Lihat sumber Teori order

'''Teori order''' () atau '''teori tatanan''' dan '''teori urutan''' (= teori keteraturan) adalah suatu cabang [[matematika]] yang meneliti pandangan intuitif manusia terhadap tatanan atau keteraturan dengan menggunakan hubungan [[biner]]. Teori ini memberikan kerangka formal untuk mengungkapkan pernyataan-pernyataan seperti "ini lebih kecil dari itu" atau "ini mendahului itu". Dalam artikel ini diperkenalkan bidang ini dan memberikan definisi dasar. Daftar istilah teori-orde dapat ditemukan di [[glosarium teori tatanan]].

== Latar belakang dan motivasi ==
Tatanan dapat dijumpai di mana-mana dalam matematika atau bidang-bidang terkait seperti [[sains komputer]]. Tatanan pertama yang sering didiskusikan dalam [[sekolah dasar]] adalah tatanan baku pada [[bilangan asli]] misalnya "2 lebih kecil dari 3", "10 lebih besar dari 5", atau "Apakah Toto mempunyai lebih sedikit kue daripada Siti?". Konsep intuitif ini dapat dikembangkan kepada tatanan-tatanan dalam himpunan bilangan yang lain, seperti [[bilangan bulat]] dan [[bilangan real]]. Konsep "lebih besar dari" atau "lebih kecil dari" suatu bilangan lain adalah salah satu intuisi dasar dalam [[sistem bilangan]] secara umum, meskipun orang juga tertarik untuk mengetahui perbedaan (yaitu [[pengurangan]]) dua bilangan, yang tidak diberikan oleh tatanan. Contoh umum lain adalah tatanan (atau urutan leksikografi) kata-kata dalam suatu [[kamus]].

== Definisi dasar ==
Bagian ini memperkenalkan sejumlah himpunan tertata yang dibangun di atas konsep-konsep [[teori himpunan]], [[aritmetika]], dan relasi [[biner]].

=== Himpunan dengan tatanan parsial ===
Tatanan merupakan [[relasi biner]] khusus. Misalkan ''P'' adalah suatu himpunan dan ≤ adalah relasi terhadap ''P'', maka ≤ merupakan "tatanan parsial" (''partial order'') jika bersifat [[:en:reflexive relation|refleksif]], [[:en:antisymmetric relation|antisimetri]], dan [[:en:transitive relation|transitif]], yaitu untuk setiap ''a'', ''b'' dan ''c'' dalam ''P'', didapatkan:

:''a'' ≤ ''a'' (refleksivitas)
: jika ''a'' ≤ ''b'' dan ''b'' ≤ ''a'' maka ''a'' = ''b'' (antisimetri)
: jika ''a'' ≤ ''b'' dan ''b'' ≤ ''c'' maka ''a'' ≤ ''c'' (transitivitas).

Suatu himpunan dengan [[:enLpartially ordered set|tatanan parsial]] di dalamnya dikatakan '''himpunan dengan tatanan parsial''' (''partially ordered set''), '''poset''', atau hanya '''himpunan tertata''' (''ordered set'') jika maknanya sudah jelas. Dengan memandang sifat-sifat ini, langsung dapat dilihat tatanan yang sudah dikenal dalam [[bilangan asli]], [[bilangan bulat]], [[bilangan rasional]] dan [[bilangan real]] yang semuanya adalah tatanan dalam makna di atas. Namun, ada juga sifat tambahan '''tatanan total''' (''total order''), yaitu untuk setiap ''a'' dan ''b'' dalam ''P'', didapatkan:

:''a'' ≤ ''b'' atau ''b'' ≤ ''a'' (totalitas).

Tatanan-tatanan ini dapat juga disebut '''tatanan linear''' (''linear order'') atau '''rantai''' (''chain''). Banyak tatanan klasik bersifat [[Lincoln Near-Earth Asteroid Research|linear]], tetapi tatanan [[subset]] pada himpunan memberi contoh kapan hal ini tidak benar. Contoh lain dapat diberikan dari relasi divisibilitas "|". Untuk dua bilangan asli ''n'' dan ''m'', ditulis ''n''|''m'' jika ''n'' [[pembagian|dibagi oleh]] ''m'' tanpa sisa. Dapat dengan mudah dilihat bahwa ini menghasilkan tatanan parsial.
=== Elemen khusus dalam suatu tatanan ===
Dalam suatu himpunan dengan tatanan parsial ada sejumlah [[elemen (matematika)|elemen]] yang berperan penting. Contoh paling dasar adalah "elemen terkecil" dalam suatu [[poset]]. Misalnya, 1 adalah elemen terkecil dari bilangan bulat positif dan [[himpunan kosong]] adalah himpunan terkecil di bawah tatanan subset. Secara formal, suatu elemen ''m'' adalah elemen terkecil jika:

: ''m'' ≤ ''a'', untuk semua elemen ''a'' dalam tatanan itu.

Notasi 0 sering dijumpai pada elemen terkecil, meskipun tidak melibatkan bilangan apapun. Namun, dalam tatanan suatu himpunan bilangan, notasi ini tidak tepat dan bahkan menimbulkan kerancuan, karena bilangan 0 tidak selalu yang terkecil. Contohnya adalah pada tatanan divisibilitas |, di mana 1 adalah elemen terkecil karena bilangan itu membangi semua bilangan yang lain. Sebaliknya, bilangan 0 merupakan bilangan yang dapat dibagi oleh semua bilangan lain. Jadi bilangan 0 merupakan '''elemen terbesar''' dari tatanan tersebut. Istilah lain untuk "terkecil" dan "terbesar" adalah "terendah" ("terbawah", "paling dasar"; ''bottom'') dan "tertinggi" ("teratas"; ''top'') dan juga "nol" (''zero'') dan "unit" ("satuan").

== Sejarah ==
Sebagaimana dijelaskan sebelumnya, tatanan sangat banyak ditemuai dalam matematika. Namun, penyebutan eksplisit paling awal mengenai tatanan parsial dapat dilacak setelah abad ke-19. Dalam konteks ini karya [[George Boole]] dianggap sangat penting. Di samping itu [[Charles Sanders Peirce]], [[Richard Dedekind]], dan [[Ernst Schröder]] juga membahas konsep teori order.

Istilah "''poset''" sebagai singkatan dari "''<u>p</u>artially <u>o</u>rdered <u>set</u>''", yaitu "himpunan dengan tatanan parsial", digagas oleh [[:en:Garrett Birkhoff|Garrett Birkhoff]] dalam edisi kedua bukunya yang berpengaruh ''Lattice Theory''.<ref>Birkhoff 1948, p.1</ref><ref>[http://jeff560.tripod.com/o.html Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics]</ref>

== Lihat pula ==
* [[Cyclic order]]
* [[Hierarki]]
* [[Incidence algebra]]
* [[Himpunan kausal]]

== Pustaka ==
* 
* 
* 
* 

== Pranala luar ==
* [http://www.apronus.com/provenmath/orders.htm Orders at ProvenMath] partial order, linear order, well order, initial segment; formal definitions and proofs within the axioms of set theory.
* Nagel, Felix (2013). [http://www.felixnagel.org Set Theory and Topology. An Introduction to the Foundations of Analysis]

== Referensi ==
<references />

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teori+order&oldid=24592953 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 24592953 (2023-10-19T17:54:14Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->