Akar fungsi - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-24T23:12:31Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 24 Agustus 2026 23.12
Baris 1:		Baris 1:
	Dalam [[matematika]], '''akar fungsi''' atau '''nilai-nilai nol fungsi''''''' adalah nilai ''x'' di dalam suatu fungsi yang menghasilkan angka nol (0). Dalam kata lain:		[[File:X-intercepts.svg\|thumb\|right\|280px\|X-intercepts]]

			Dalam [[matematika]], '''akar fungsi''' atau '''nilai-nilai nol fungsi''<ref>Rinaldi Munir. ''Metode Numerik''. Informatika. 2015.</ref>''''' adalah nilai ''x'' di dalam suatu fungsi yang menghasilkan angka nol (0).<ref>Paul A. Foerster. [https://www.amazon.com/Algebra-Trigonometry-Functions-Applications-Prentice/dp/0131657100 Algebra and Trigonometry: Functions and Applications, Teacher's Edition]. Prentice Hall. 2006. hlm. 535. ISBN 0-13-165711-9.</ref> Dalam kata lain:
	:		:

	'''Akar''' dari sebuah [[polinomial]] adalah nol dari [[fungsi polinomial]] yang sesuai. [[Teorema dasar aljabar]] menyatakan bahwa setiap [[polinomial\|sukubanyak]] yang bukan nol memiliki paling akar riil paling banyak sama dengan [[Derajat polinomial\|derajat]] sukubanyak tersebut, dan akar kompleks sebanyak derajat sukubanyak tersebut. Contohnya polinomial ''f'' berderajat dua yang didefinisikan sebagai <math display="inline">f(x)=x^2-5x+6</math> memiliki dua akar, yaitu 2 dan 3, karena:		'''Akar''' dari sebuah [[polinomial]] adalah nol dari [[fungsi polinomial]] yang sesuai.<ref>[http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/Alg/ZeroesOfPolynomials.aspx Algebra - Zeroes/Roots of Polynomials]. ''tutorial.math.lamar.edu''.</ref> [[Teorema dasar aljabar]] menyatakan bahwa setiap [[polinomial\|sukubanyak]] yang bukan nol memiliki paling akar riil paling banyak sama dengan [[Derajat polinomial\|derajat]] sukubanyak tersebut, dan akar kompleks sebanyak derajat sukubanyak tersebut. Contohnya polinomial ''f'' berderajat dua yang didefinisikan sebagai <math display="inline">f(x)=x^2-5x+6</math> memiliki dua akar, yaitu 2 dan 3, karena:
	:<math>f(2) = 2^2 - 5 \cdot 2 + 6 = 0 \quad \textstyle{\rm {dan} }\quad f(3) = 3^2 - 5 \cdot 3 + 6 = 0.</math>		:<math>f(2) = 2^2 - 5 \cdot 2 + 6 = 0 \quad \textstyle{\rm {dan} }\quad f(3) = 3^2 - 5 \cdot 3 + 6 = 0.</math>

	Untuk mencari akar suatu [[fungsi polinomial]], diperlukan metode [[aproksimasi]] (seperti [[metode Newton]]). Namun, beberapa fungsi polinomial dengan derajat yang tidak lebih tinggi dari 4 dapat dicari akarnya dengan menggunakan [[aljabar]].		Untuk mencari akar suatu [[fungsi polinomial]], diperlukan metode [[aproksimasi]] (seperti [[metode Newton]]). Namun, beberapa fungsi polinomial dengan derajat yang tidak lebih tinggi dari 4 dapat dicari akarnya dengan menggunakan [[aljabar]].

	Jika fungsi memetakan bilangan real ke bilangan real, maka akarnya adalah nilai kordinat-<math> x </math> titik perpotongan [[Grafik fungsi\|grafik]] dengan [[Sistem koordinat Cartesius\|sumbu-''x'']].		Jika fungsi memetakan bilangan real ke bilangan real, maka akarnya adalah nilai kordinat-<math> x </math> titik perpotongan [[Grafik fungsi\|grafik]] dengan [[Sistem koordinat Cartesius\|sumbu-''x'']].

	== Solusi persamaan ==		== Solusi persamaan ==
Baris 17:		Baris 19:

	== Akar polinomial ==		== Akar polinomial ==


	Setiap polinomial real dengan [[Derajat polinomial\|derajat]] ganjil memiliki jumlah akar real yang ganjil (menghitung [[Multiplisitas (matematika)#Keragaman dari sebuah akar polinomial\|multiplisitas]]). Demikian pula, polinomial real dengan derajat genap harus memiliki jumlah akar real yang genap. Akibatnya, polinomial real dengan derajat ganjil harus memiliki setidaknya satu akar real (karena [[bilangan bulat]] ganjil terkecil adalah 1), sedangkan polinomial genap mungkin tidak memilikinya. Prinsip ini dapat dibuktikan dengan mengacu pada [[teorema nilai tengah]]: karena fungsi polinomial adalah [[Fungsi kontinu\|kontinu]], nilai fungsi harus melewati nol, dalam proses perubahan dari negatif ke positif atau sebaliknya (yang selalu terjadi untuk [[Fungsi ganjil dan genap\|fungsi ganjil]]).		Setiap polinomial real dengan [[Derajat polinomial\|derajat]] ganjil memiliki jumlah akar real yang ganjil (menghitung [[Multiplisitas (matematika)#Keragaman dari sebuah akar polinomial\|multiplisitas]]). Demikian pula, polinomial real dengan derajat genap harus memiliki jumlah akar real yang genap. Akibatnya, polinomial real dengan derajat ganjil harus memiliki setidaknya satu akar real (karena [[bilangan bulat]] ganjil terkecil adalah 1), sedangkan polinomial genap mungkin tidak memilikinya. Prinsip ini dapat dibuktikan dengan mengacu pada [[teorema nilai tengah]]: karena fungsi polinomial adalah [[Fungsi kontinu\|kontinu]], nilai fungsi harus melewati nol, dalam proses perubahan dari negatif ke positif atau sebaliknya (yang selalu terjadi untuk [[Fungsi ganjil dan genap\|fungsi ganjil]]).

	[[Teorema dasar aljabar]] menyatakan bahwa setiap polinomial derajat <math> n </math> memiliki <math> n </math> akar kompleks, dihitung dengan kelipatannya. Akar yang tidak real dari polinomial dengan koefisien real berasal dari pasangan [[konjugasi kompleks\|konjugasi]]. [[Rumus Vieta]] menghubungkan koefisien polinomial dengan jumlah dan hasil kali akarnya.		[[Teorema dasar aljabar]] menyatakan bahwa setiap polinomial derajat <math> n </math> memiliki <math> n </math> akar kompleks, dihitung dengan kelipatannya. Akar yang tidak real dari polinomial dengan koefisien real berasal dari pasangan [[konjugasi kompleks\|konjugasi]].<ref>Paul A. Foerster. [https://www.amazon.com/Algebra-Trigonometry-Functions-Applications-Prentice/dp/0131657100 Algebra and Trigonometry: Functions and Applications, Teacher's Edition]. Prentice Hall. 2006. hlm. 535. ISBN 0-13-165711-9.</ref> [[Rumus Vieta]] menghubungkan koefisien polinomial dengan jumlah dan hasil kali akarnya.

	== Himpunan akar ==		== Himpunan akar ==

	Dalam berbagai bidang matematika, '''himpunan akar''' suatu [[fungsi (matematika)\|fungsi]] adalah himpunan dari semua akar fungsinya. Lebih akurat lagi, jika <math>f:X\to\mathbb{R}</math> adalah [[fungsi bernilai real]] (atau lebih umumnya fungsi yang mengambil nilai di suatu [[grup Abelian\|grup aditif]]), himpunan akarnya adalah <math>f^{-1}(0)</math>, [[peta invers]] dari <math>\{0\}</math> di <math>X</math>.		Dalam berbagai bidang matematika, '''himpunan akar''' suatu [[fungsi (matematika)\|fungsi]] adalah himpunan dari semua akar fungsinya. Lebih akurat lagi, jika <math>f:X\to\mathbb{R}</math> adalah [[fungsi bernilai real]] (atau lebih umumnya fungsi yang mengambil nilai di suatu [[grup Abelian\|grup aditif]]), himpunan akarnya adalah <math>f^{-1}(0)</math>, [[peta invers]] dari <math>\{0\}</math> di <math>X</math>.

Baris 32:		Baris 31:
	Dalam [[geometri aljabar]], definisi pertama dari [[varietas aljabar]] adalah melalui himpunan akar. Secara khusus, suatu [[himpunan aljabar afin]] adalah [[Irisan (matematika)\|irisan]] dari himpunan akar dari beberapa polinomial, dalam [[gelanggang polinomial]] <math>k\left[x_1,\ldots,x_n\right]</math> atas [[Lapangan (matematika)\|lapangan]]. Dalam konteks ini, himpunan akar terkadang disebut'' zero locus''.		Dalam [[geometri aljabar]], definisi pertama dari [[varietas aljabar]] adalah melalui himpunan akar. Secara khusus, suatu [[himpunan aljabar afin]] adalah [[Irisan (matematika)\|irisan]] dari himpunan akar dari beberapa polinomial, dalam [[gelanggang polinomial]] <math>k\left[x_1,\ldots,x_n\right]</math> atas [[Lapangan (matematika)\|lapangan]]. Dalam konteks ini, himpunan akar terkadang disebut'' zero locus''.

	Dalam [[Analisis matematika\|analisis]] dan [[geometri]], setiap [[himpunan tertutup]] dari <math>\mathbb{R}^n</math> adalah himpunan akar dari suatu [[fungsi mulus]] yang didefinisikan pada semua <math>\mathbb{R}^n</math>. Himpunna ini meluas ke setiap [[manifold halus]] sebagai korolari dari [[Ruang parakompak\|parakompak]].		Dalam [[Analisis matematika\|analisis]] dan [[geometri]], setiap [[himpunan tertutup]] dari <math>\mathbb{R}^n</math> adalah himpunan akar dari suatu [[fungsi mulus]] yang didefinisikan pada semua <math>\mathbb{R}^n</math>. Himpunna ini meluas ke setiap [[manifold halus]] sebagai korolari dari [[Ruang parakompak\|parakompak]].

	Dalam [[geometri diferensial]], himpunan akar sering digunakan untuk menentukan [[manifold]]. Kasus khusus terpenting adalah bahwa <math> f </math> adalah [[fungsi mulus]] dari <math>\mathbb{R}^p</math> ke <math>\mathbb{R}^n</math>. Jika akarnya adalah [[nilai reguler]] dari <math> f </math>, maka himpunan akar dari <math> f </math> adalah manifold mulus berdimensi <math>m=p-n</math> menurut [[Perendaman (matematika)#Bentuk normal lokal\|teorema nilai reguler]].		Dalam [[geometri diferensial]], himpunan akar sering digunakan untuk menentukan [[manifold]]. Kasus khusus terpenting adalah bahwa <math> f </math> adalah [[fungsi mulus]] dari <math>\mathbb{R}^p</math> ke <math>\mathbb{R}^n</math>. Jika akarnya adalah [[nilai reguler]] dari <math> f </math>, maka himpunan akar dari <math> f </math> adalah manifold mulus berdimensi <math>m=p-n</math> menurut [[Perendaman (matematika)#Bentuk normal lokal\|teorema nilai reguler]].
Baris 45:		Baris 44:
	* [[Nol persilangan]]		* [[Nol persilangan]]
	* [[Nol dan kutub]]		* [[Nol dan kutub]]

	~~== Referensi ==~~


	== Bacaan lanjut ==		== Bacaan lanjut ==
	*		*
	*		*

			== Referensi ==
			<references />

			== Sumber dan atribusi ==

	== ~~Sumber~~ dan ~~atribusi ==~~		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Akar+fungsi&oldid=26652008 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 26652008 (2024-12-16T12:26:19Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

	~~Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Akar+fungsi&oldid=26652008 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 26652008 (2024~~-12-~~16T12:26:19Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi~~-~~BerbagiSerupa (CC BY~~-~~SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.~~		<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 26652008; atribusi sumber disertakan.

2026-08-24T22:54:06Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 26652008; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[matematika]], '''akar fungsi''' atau '''nilai-nilai nol fungsi''''''' adalah nilai ''x'' di dalam suatu fungsi yang menghasilkan angka nol (0). Dalam kata lain:
:

'''Akar''' dari sebuah [[polinomial]] adalah nol dari [[fungsi polinomial]] yang sesuai. [[Teorema dasar aljabar]] menyatakan bahwa setiap [[polinomial|sukubanyak]] yang bukan nol memiliki paling akar riil paling banyak sama dengan [[Derajat polinomial|derajat]] sukubanyak tersebut, dan akar kompleks sebanyak derajat sukubanyak tersebut. Contohnya polinomial ''f'' berderajat dua yang didefinisikan sebagai <math display="inline">f(x)=x^2-5x+6</math> memiliki dua akar, yaitu 2 dan 3, karena:
:<math>f(2) = 2^2 - 5 \cdot 2 + 6 = 0 \quad \textstyle{\rm {dan} }\quad f(3) = 3^2 - 5 \cdot 3 + 6 = 0.</math>

Untuk mencari akar suatu [[fungsi polinomial]], diperlukan metode [[aproksimasi]] (seperti [[metode Newton]]). Namun, beberapa fungsi polinomial dengan derajat yang tidak lebih tinggi dari 4 dapat dicari akarnya dengan menggunakan [[aljabar]].

Jika fungsi memetakan bilangan real ke bilangan real, maka akarnya adalah nilai kordinat-<math> x </math> titik perpotongan [[Grafik fungsi|grafik]] dengan [[Sistem koordinat Cartesius|sumbu-''x'']].

== Solusi persamaan ==
Setiap [[persamaan]] dalam variabel <math> x </math> yang [[tidak diketahui (matematika)|tidak diketahui]] dapat ditulis ulang sebagai

:<math>f(x)=0</math>

dengan mengelompokkan kembali semua suku di ruas kiri persamaan. Oleh karena itu, solusi dari persamaan tersebut pastinya merupakan akar dari fungsi <math> f </math>. Dengan kata lain, "akar fungsi" tepatnya adalah "solusi persamaan yang diperoleh dengan menyamakan fungsi dengan 0", dan kajian tentang fungsi nol pastinya sama dengan kajian solusi persamaan.

== Akar polinomial ==

Setiap polinomial real dengan [[Derajat polinomial|derajat]] ganjil memiliki jumlah akar real yang ganjil (menghitung [[Multiplisitas (matematika)#Keragaman dari sebuah akar polinomial|multiplisitas]]). Demikian pula, polinomial real dengan derajat genap harus memiliki jumlah akar real yang genap. Akibatnya, polinomial real dengan derajat ganjil harus memiliki setidaknya satu akar real (karena [[bilangan bulat]] ganjil terkecil adalah 1), sedangkan polinomial genap mungkin tidak memilikinya. Prinsip ini dapat dibuktikan dengan mengacu pada [[teorema nilai tengah]]: karena fungsi polinomial adalah [[Fungsi kontinu|kontinu]], nilai fungsi harus melewati nol, dalam proses perubahan dari negatif ke positif atau sebaliknya (yang selalu terjadi untuk [[Fungsi ganjil dan genap|fungsi ganjil]]).

[[Teorema dasar aljabar]] menyatakan bahwa setiap polinomial derajat <math> n </math> memiliki <math> n </math> akar kompleks, dihitung dengan kelipatannya. Akar yang tidak real dari polinomial dengan koefisien real berasal dari pasangan [[konjugasi kompleks|konjugasi]]. [[Rumus Vieta]] menghubungkan koefisien polinomial dengan jumlah dan hasil kali akarnya.

== Himpunan akar ==

Dalam berbagai bidang matematika, '''himpunan akar''' suatu [[fungsi (matematika)|fungsi]] adalah himpunan dari semua akar fungsinya. Lebih akurat lagi, jika <math>f:X\to\mathbb{R}</math> adalah [[fungsi bernilai real]] (atau lebih umumnya fungsi yang mengambil nilai di suatu [[grup Abelian|grup aditif]]), himpunan akarnya adalah <math>f^{-1}(0)</math>, [[peta invers]] dari <math>\{0\}</math> di <math>X</math>.

''Co-zero set'' dari suatu fungsi <math> f \colon X \to \R </math> adalah [[komplemen (teori himpunan)|komplemen]] dari himpunan akar <math> f </math> (seperti subhimpunan dari <math> X </math> yang nilai <math> f </math> tak nol).

=== Aplikasi ===
Dalam [[geometri aljabar]], definisi pertama dari [[varietas aljabar]] adalah melalui himpunan akar. Secara khusus, suatu [[himpunan aljabar afin]] adalah [[Irisan (matematika)|irisan]] dari himpunan akar dari beberapa polinomial, dalam [[gelanggang polinomial]] <math>k\left[x_1,\ldots,x_n\right]</math> atas [[Lapangan (matematika)|lapangan]]. Dalam konteks ini, himpunan akar terkadang disebut'' zero locus''.

Dalam [[Analisis matematika|analisis]] dan [[geometri]], setiap [[himpunan tertutup]] dari <math>\mathbb{R}^n</math> adalah himpunan akar dari suatu [[fungsi mulus]] yang didefinisikan pada semua <math>\mathbb{R}^n</math>. Himpunna ini meluas ke setiap [[manifold halus]] sebagai korolari dari [[Ruang parakompak|parakompak]].

Dalam [[geometri diferensial]], himpunan akar sering digunakan untuk menentukan [[manifold]]. Kasus khusus terpenting adalah bahwa <math> f </math> adalah [[fungsi mulus]] dari <math>\mathbb{R}^p</math> ke <math>\mathbb{R}^n</math>. Jika akarnya adalah [[nilai reguler]] dari <math> f </math>, maka himpunan akar dari <math> f </math> adalah manifold mulus berdimensi <math>m=p-n</math> menurut [[Perendaman (matematika)#Bentuk normal lokal|teorema nilai reguler]].

Sebagai contoh, <math> m </math>-[[bola (matematika)|sphere]] berunit pada <math>\mathbb{R}^{m+1}</math> adalah himpunan akar dari fungsi bernilai real <math>f(x)=\Vert x \Vert^2-1</math>.

== Lihat pula ==
* [[Teorema Marden]]
* [[Algoritme pencarian root]]
* [[Konjektur Sendov]]
* [[Lenyap tak terbatas]]
* [[Nol persilangan]]
* [[Nol dan kutub]]

== Referensi ==

== Bacaan lanjut ==
*
*

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Akar+fungsi&oldid=26652008 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 26652008 (2024-12-16T12:26:19Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.