Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-24T22:57:18Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 27821386; atribusi sumber disertakan.

2026-08-24T22:19:25Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 27821386; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Di dalam [[matematika]], '''akar kuadrat''' atau '''akar persegi''' dari bilangan ''x'' sama dengan bilangan ''r'' sedemikian sehingga ''r''2 = ''x'', atau, di dalam perkataan lain, bilangan ''r'' yang bila di''[[kuadrat (aljabar)|kuadrat]]''kan (hasil kali dengan bilangan itu sendiri) sama dengan ''x''. Setiap [[bilangan real]] tak-negatif, katakanlah ''x'' memiliki akar kuadrat tak-negatif yang tunggal, disebut '''akar kuadrat utama''', yang dilambangkan oleh [[akar ke-n]] sebagai <math>\scriptstyle \sqrt{x}</math>. Akar kuadrat dapat juga dituliskan dengan notasi [[eksponen]], sebagai ''x''1/2. Misalnya, akar kuadrat utama dari 9 adalah 3, dituliskan dengan <math>\scriptstyle \sqrt{9} = 3</math>, karena dan 3 tak-negatif. Bagaimanapun, akar kuadrat utama dari sebuah bilangan positif hanya satu dari dua akar kuadratnya.

Setiap bilangan positif ''x'' memiliki dua akar kuadrat. Salah satunya adalah <math>\scriptstyle \sqrt{x}</math>, yakni yang bernilai positif, sementara yang lainnya adalah <math>\scriptstyle -\sqrt{x}</math>, yakni yang bernilai negatif. Kedua-dua akar kuadrat itu dilambangkan dengan <math>\scriptstyle \pm\sqrt{x}</math>. Akar kuadrat dari [[Bilangan riil negatif|bilangan negatif]] dibahas di dalam kerangka kajian [[bilangan kompleks]]. Lebih umum lagi, akar kuadrat dapat dipandang dari beraneka konteks di mana notasi "penguadratan" beberapa objek matematika didefinisi (termasuk [[Teori matriks|aljabar matriks]], [[gelanggang endomorfisma]], dll).

Akar kuadrat dari [[bilangan bulat]] yang bukan merupakan [[bilangan akar|kuadrat sempurna]] adalah selalu ''[[bilangan irasional]]'' (disebut juga '''bilangan takrasional''': bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai [[hasil bagi]] dari dua bilangan bulat. Misalnya, <math>\scriptstyle \sqrt{2}</math> tidak dapat dituliskan secara tepat oleh ''m''/''n'', di mana ''n'' dan ''m'' adalah bilangan bulat. Meskipun demikian, ia adalah nilai yang pasti dari panjang [[diagonal]] sebuah [[persegi]] yang panjang sisinya sama dengan 1. Kejadian ini telah dikenal sejak zaman kuno, dengan ditemukannya bahwa <math>\scriptstyle \sqrt{2}</math> adalah irasional oleh [[Hippasus]], murid dari [[Pythagoras]]. (''Lihat [[Akar kuadrat dari 2]] untuk membuktikan ketakrasionalan bilangan ini dan [[irasional kuadrat]] untuk membuktikan semua bilangan asli yang bukan kuadrat'')

'''Radikan''' adalah bilangan atau penyajian matematika di bawah tanda akar. Di dalam penyajian <math>\scriptstyle \sqrt[n]{ab+2}</math>, ''ab'' + 2 adalah radikan.

== Sifat ==

Fungsi akar kuadrat utama <math>\scriptstyle f(x) = \sqrt{x}</math> (biasanya hanya disebut sebagai "fungsi akar kuadrat") adalah [[fungsi]] yang memetakan [[Himpunan (matematika)|himpunan]] bilangan real taknegatif '''R'''+ ∪ {0} kepada himpunan itu sendiri, dan, seperti semua fungsi, selalu memiliki nilai balikan yang tunggal. Fungsi akar kuadrat juga memetakan [[bilangan rasional]] ke dalam [[bilangan aljabar]] ([[himpunan bagian|adihimpunan]] bilangan rasional); <math>\scriptstyle \sqrt{x}</math> adalah rasional jika dan hanya jika ''x'' adalah bilangan rasional yang dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dari dua [[Bilangan kuadrat|kuadrat sempurna]]. Di dalam istilah [[geometri]], fungsi akar kuadrat memetakan [[luas]] dari [[persegi]] kepada panjang sisinya.

* Untuk setiap bilangan real ''x''
::<math>
\sqrt{x^2} = \left|x\right| =
\begin{cases}
x, & \mbox{if }x \ge 0 \\
-x, & \mbox{if }x < 0.
\end{cases}
</math>     (lihat [[nilai absolut]])

* Untuk setiap bilangan real taknegatif ''x'' dan ''y'',
::<math>\sqrt{xy} = \sqrt x \sqrt y</math>
:dan
::<math>\sqrt x = x^{1/2}.</math>

* Fungsi akar kuadrat adalah [[Fungsi kontinu|kontinu]] untuk setiap bilangan taknegatif ''x'' dan [[turunan|terdiferensialkan]] untuk setiap bilangan positif ''x''. Turunannya diberikan oleh
::<math>f'(x) = \frac{1}{2\sqrt x}.</math>

* [[Deret Taylor]] dari √1 + ''x'' di dekat ''x'' = 0 konvergen ke | ''x'' | < 1 dan diberikan oleh
::<math>\sqrt{1 + x} = 1 + \textstyle \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16} x^3 - \frac{5}{128} x^4 + \dots\!</math>

== Akar kuadrat dari bilangan bulat positif ==
Bilangan positif memiliki dua akar kuadrat, satu positif, dan satu negatif, yang [[berlawanan (matematika)|berlawanan]] satu sama lain. Ketika berbicara tentang akar kuadrat dari [[Bilangan asli|bilangan bulat positif]], biasanya yang dimaksud adalah akar kuadrat positif.

Akar kuadrat dari bilangan bulat adalah [[bilangan bulat]] [[aljabar]], lebih spesifiknya bilangan bulat [[kuadrat]].

Akar kuadrat dari bilangan bulat positif adalah hasil kali dari akar faktor [[bilangan prima|prima]], karena akar kuadrat dari suatu perkalian adalah hasil kali dari akar kuadrat faktor. Maka <math>\sqrt{p^{2k}} = p^k,</math> hanya akar dari bilangan prima yang memiliki pangkat ganjil dalam [[faktorisasi bilangan bulat|faktorisasi]] yang diperlukan. Lebih tepatnya, akar kuadrat dari [[faktorisasi prima]] adalah
:<math>\sqrt{p_1^{2e_1+1}\cdots p_k^{2e_k+1}p_{k+1}^{2e_{k+1}}\dots p_n^{2e_n}}=p_1^{e_1}\dots p_n^{e_n}\sqrt{p_1\dots p_k}.</math>

=== Sebagai ekspansi desimal ===
Akar kuadrat dari [[bilangan kuadrat|kuadrat sempurna]] s (misalnya, 0, 1, 4, 9, 16) adalah [[bilangan bulat]]. Dalam semua kasus lainnya, akar kuadrat dari bilangan bulat positif adalah [[bilangan irasional]] s, dan karenanya memiliki non-[[desimal berulang]] dalam [[representasi desimal]]. Perkiraan desimal dari akar kuadrat dari beberapa bilangan asli pertama diberikan dalam tabel berikut.

:

=== Sebagai perluasan dalam sistem angka lainnya ===
Seperti sebelumnya, akar kuadrat dari [[bilangan kuadrat|kuadrat sempurna]] (misalnya, 1, 4, 9, 16) adalah bilangan bulat. Dalam semua kasus lainnya, akar kuadrat dari bilangan bulat positif adalah [[bilangan irasional]] s, dan oleh karena itu memiliki digit yang tidak berulang dalam sistem [[notasi posisi]] standar.

Akar kuadrat dari bilangan bulat kecil digunakan di kedua desain fungsi hash [[SHA-1]] dan [[SHA-2]] untuk memberikan [[tidak ada bilangan lengan]].

=== Sebagai pecahan lanjutan periodik ===
Salah satu hasil paling menarik dari studi [[bilangan irasional]] s karena [[pecahan kontinu]] diperoleh dengan [[Joseph Louis Lagrange]] 1780. Lagrange menemukan bahwa representasi dari akar kuadrat dari bilangan bulat positif bukan kuadrat sebagai pecahan lanjutan adalah [[Pecahan bersambung periodik|berkala]]. Artinya, pola penyebut parsial tertentu berulang tanpa batas waktu dalam pecahan lanjutan. Dalam arti tertentu, akar kuadrat ini adalah bilangan irasional yang paling sederhana, karena mereka dapat direpresentasikan dengan pola berulang sederhana dari bilangan bulat.

:

Notasi [[kurung siku]] yang digunakan di atas adalah singkatan dari pecahan lanjutan. Ditulis dalam bentuk aljabar yang lebih sugestif, pecahan lanjutan sederhana untuk akar kuadrat dari 11, [3; 3, 6, 3, 6, ...], terlihat seperti ini:

:<math>
\sqrt{11} = 3 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{6 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{6 + \cfrac{1}{3 + \ddots}}}}}
</math>

di mana pola dua digit {3, 6} berulang lagi dan lagi pada penyebut parsial. Karena , di atas juga identik dengan [[pecahan lanjutan umum#Akar dari bilangan positif|pecahan lanjutan umum]]:

:<math>
\sqrt{11} = 3 + \cfrac{2}{6 + \cfrac{2}{6 + \cfrac{2}{6 + \cfrac{2}{6 + \cfrac{2}{6 + \ddots}}}}} = 3 + \cfrac{6}{20 - 1 - \cfrac{1}{20 - \cfrac{1}{20 - \cfrac{1}{20 - \cfrac{1}{20 - \ddots}}}}}.
</math>

== Akar kuadrat dari bilangan negatif dan kompleks ==

Kuadrat dari bilangan positif atau negatif adalah positif, dan kuadrat 0 adalah 0. Oleh karena itu, tidak ada bilangan negatif yang dapat memiliki akar kuadrat [[bilangan riil|nyata]]. Namun, dimungkinkan untuk bekerja dengan himpunan bilangan yang lebih inklusif, yang disebut [[bilangan kompleks]] s, yang memang berisi solusi untuk akar kuadrat dari bilangan negatif. Ini dilakukan dengan memasukkan angka baru, dilambangkan dengan '' i '' (terkadang '' j '', terutama dalam konteks [[arus listrik|listrik]] di mana "'' i ''" secara tradisional mewakili arus listrik) dan disebut [[unit imajiner]], yang '' didefinisikan '' sedemikian rupa . Dengan menggunakan notasi ini, kita dapat menganggap '' i '' sebagai akar kuadrat dari −1, tetapi kita juga punya dan jadi - '' i '' juga merupakan akar kuadrat dari −1. Berdasarkan konvensi, akar kuadrat utama dari −1 adalah '' i '', atau lebih umum lagi, jika '' x '' adalah bilangan nonnegatif apa pun, akar kuadrat utama dari '' x '' adalah

:<math>\sqrt{-x} = i \sqrt x.</math>

Ruas kanan (dan juga negatifnya) memang merupakan akar kuadrat dari '' x '', maka

:<math>(i\sqrt x)^2 = i^2(\sqrt x)^2 = (-1)x = -x.</math>

Untuk setiap bilangan kompleks bukan nol '' z '' terdapat tepat dua bilangan '' w '' sedemikian rupa : akar kuadrat utama dari '' z '' (didefinisikan di bawah), dan negatifnya.

=== Akar kuadrat utama dari sebuah bilangan kompleks ===

Untuk menemukan definisi akar kuadrat yang memungkinkan kita memilih satu nilai secara konsisten, yang disebut [[nilai pokok]], kita mulai dengan mengamati bahwa bilangan kompleks apa pun '' x '' + '' iy '' dapat dilihat sebagai titik di bidang, (''x'', ''y''), diekspresikan menggunakan [[sistem koordinat kartesius|koordinat kartesius]]. Titik yang sama dapat diinterpretasikan ulang menggunakan [[koordinat polar]] sebagai pasangan <math>(r, \varphi</math>), di mana '' r '' ≥ 0 adalah jarak titik dari titik asal, dan <math>\varphi</math> adalah sudut yang dibuat oleh garis dari titik asal ke titik dengan sumbu positif nyata ('' x ''). Dalam [[analisis kompleks]], lokasi titik ini ditulis secara konvensional <math>re^{i\varphi}.</math> Jika

:<math> z=r e^{i \varphi} \text{ dengan } -\pi < \varphi \le \pi, </math>

kemudian kita tentukan akar kuadrat utama dari '' z '' sebagai berikut:

:<math>\sqrt{z} = \sqrt{r} e^{i \varphi / 2}.</math>

Fungsi akar kuadrat utama didefinisikan dengan menggunakan sumbu riil nonpositif sebagai [[potongan cabang]]. Fungsi akar kuadrat utama adalah [[fungsi holomorfik|holomorfik]] di mana-mana kecuali pada himpunan bilangan real non-positif (pada real negatif ketat itu bahkan [[fungsi berkelanjutan|kontinu]]). Deret Taylor di atas untuk <math>\sqrt{1 + x}</math> tetap berlaku untuk bilangan kompleks '' x '' dengan .

Di atas juga dapat dinyatakan dalam [[fungsi trigonometri]]:
:<math>\sqrt{r \left(\cos \varphi + i \sin \varphi \right)} = \sqrt{r} \left (\cos \frac{\varphi}{2} + i \sin \frac{\varphi}{2} \right) .</math>

=== Rumus aljabar ===

Ketika bilangan tersebut diekspresikan menggunakan koordinat Kartesius, rumus berikut dapat digunakan untuk akar kuadrat utama:
:<math>\sqrt{x+iy} = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}} \pm i\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}},</math>
di mana [[Fungsi tanda|tanda]] dari bagian imajiner dari akar dianggap sama dengan tanda bagian imajiner dari bilangan asli, atau positif jika nol. Bagian riil dari nilai pokok selalu tidak negatif.

Misalnya, akar kuadrat utama dari diberikan oleh:
:<math>\begin{align}
\sqrt{i} &= \frac{1}{\sqrt{2}} + i\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i),\\
\sqrt{-i} &= \frac{1}{\sqrt{2}} - i\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}(1-i).
\end{align}</math>

=== Catatan ===
Berikut ini, kompleks '' z '' dan '' w '' dapat diekspresikan sebagai:

* <math> z=|z|e^{i \theta_z}</math>
* <math> w=|w|e^{i \theta_w}</math>

di mana <math>-\pi<\theta_z\le\pi</math> dan <math>-\pi<\theta_w\le\pi</math>.

Karena sifat terputus-putus dari fungsi akar kuadrat dalam bidang kompleks, hukum berikut ini adalah '''tidak benar''' secara umum.

* <math>\sqrt{zw} = \sqrt{z} \sqrt{w}</math> (contoh berlawanan untuk akar kuadrat utama: dan ) Kesetaraan ini hanya berlaku jika <math>-\pi<\theta_z+\theta_w\le\pi</math>
* <math>\frac{\sqrt{w}}{\sqrt z} = \sqrt{\frac{w}{z}}</math> (counterexample untuk akar kuadrat utama: dan ) Persamaan ini hanya berlaku jika <math>-\pi<\theta_w-\theta_z\le\pi</math>
*<math>\sqrt{z^*} = \left( \sqrt z \right)^*</math> (contoh berlawanan untuk akar kuadrat utama: ) Persamaan ini hanya valid jika <math>\theta_z\ne\pi</math>

Masalah serupa muncul dengan fungsi kompleks lainnya dengan pemotongan cabang, misalnya, [[logaritma kompleks]] dan relasi or yang tidak benar secara umum.

Salah mengasumsikan salah satu dari undang-undang ini mendasari beberapa "bukti" yang salah, misalnya yang berikut menunjukkan itu :

:<math>
\begin{align}
-1 &= i \cdot i \\
&= \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} \\
&= \sqrt{\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)} \\
&= \sqrt{1} \\
&= 1
\end{align}
</math>

Persamaan ketiga tidak dapat dibenarkan (lihat [[bukti tidak sah]]). Ini dapat dibuat untuk menahan dengan mengubah arti dari √ sehingga ini tidak lagi mewakili akar kuadrat utama (lihat di atas) tetapi memilih cabang untuk akar kuadrat yang mengandung <math>\sqrt{1}\cdot\sqrt{-1}.</math> Sisi kiri menjadi salah satunya

:<math>\sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1}=i \cdot i=-1</math>

jika cabang menyertakan +'' i '' atau

:<math>\sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1}=(-i) \cdot (-i)=-1</math>

jika cabang termasuk -'' i '', sedangkan sisi kanan menjadi

:<math>\sqrt{\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)}=\sqrt{1}=-1,</math>

di mana persamaan terakhir, <math>\sqrt{1} = -1,</math> adalah konsekuensi dari pemilihan cabang dalam definisi ulang √.

== Akar ke-n dan akar polinomial ==

Definisi akar kuadrat dari <math> x </math> sebagai angka <math> y </math> sedemikian rupa sehingga <math> y^2 = x </math> telah digeneralisasikan dengan cara berikut.

[[Akar pangkat tiga]] dari <math> x </math> adalah angka <math> y </math> sedemikian rupa sehingga <math> y^3 = x </math>; dilambangkan <math>\sqrt[3]x.</math>

Jika adalah bilangan bulat yang lebih besar dari dua, [[akar ke-n| akar ke]] dari <math> x </math> adalah angka <math> y </math> seperti <math>y^n = x</math>; dilambangkan <math>\sqrt[n]x.</math>

Mengingat [[polinomial]] , sebuah [[akar polinomial|akar]] dari adalah bilangan seperti yang . Misalnya, akar ke dari adalah akar dari polinomial (pada ) <math>y^n-x.</math>

[[Teorema Abel–Ruffini]] menyatakan bahwa, secara umum, akar suatu polinomial berderajat lima atau lebih tinggi tidak dapat diekspresikan dalam istilah akar ke .

== Komputasi ==

Sebagian besar [[mesin hitung]] memiliki tombol akar kuadrat. [[Lembar kerja]] komputer dan [[perangkat lunak]] lainnya juga sering kali digunakan untuk menghitung akar kuadrat. Program perangkat lunak komputer biasanya menerapkan rutin (perulangan) yang baik untuk menghitung [[fungsi eksponensial]] dan [[logaritma natural]] atau [[logaritma]], dan kemudian menghitung akar kuadrat dari ''x'' menggunakan identitas
:<math>\sqrt{x} = e^{\frac{1}{2}\ln x}</math> atau <math>\sqrt{x} = 10^{\frac{1}{2}\log x}.</math>
Identitas yang sama dieksploitasi ketika menghitung akar kuadrat dengan [[logaritma biasa|tabel logaritma]] atau [[slide rule]].

[[Metode iteratif]] penghitungan akar kuadrat yang paling biasa dilakukan oleh tangan dikenal sebagai "[[Metode penghitungan akar kuadrat#Metode Babilonia|Metode Babilonia]]" atau "Metode Heron" dinamai demikian untuk menghargai filsuf Yunani Kuno [[Heron dari Iskandariyah]] yang pertama memaparkan metode ini. Metode ini melibatkan [[Algoritma|algoritme]] sederhana, yang menghasilkan suatu bilangan yang semakin mendekati nilai akar kuadrat sebenarnya tiap kali perulangan dilakukan. Untuk menentukan ''r'', akar kuadrat dari bilangan real ''x'':
# Mulakan dengan nilai pemulai positif sembarang ''r'' (semakin dekat ke akar kuadrat ''x'', semakin baik).
# Ganti ''r'' dengan rata-rata antara ''r'' dan ''x''/''r'', yaitu: <math>\scriptstyle (r + x/r) / 2\,</math> (Adalah cukup untuk mengambil nilai hampiran dari rata-rata itu untuk memastikan [[Limit suatu barisan|konvergensi]].)
# Ulangi langkah ke-2 hingga ''r'' dan ''x''/''r'' cukup dekat dengan nilai yang diharapkan.

[[Teori kompleksitas komputasi|Kompleksitas waktu]] untuk menghitung akar kuadrat dengan ''n'' angka ketelitian setara dengan perkalian dua bilangan yang memiliki ''n''-angka.

== Catatan ==

== Referensi ==
*
*
*

== Pranala luar ==

* [http://webhome.idirect.com/~totton/soroban/katoSq/ Teknik soroban Jepang] - Metode Profesor Fukutaro Kato
* [http://webhome.idirect.com/~totton/soroban/KojimaSq/ Teknik soroban Jepang] - Metode Takashi Kojima
* [http://www.azillionmonkeys.com/qed/sqroot.html Algoritme, penerapan, dan lebih banyak lagi] - Halaman web akar kuadrat milik Paul Hsieh
* [http://math.arizona.edu/~kerl/doc/square-root.html Cara menentukan akar kuadrat secara manual]

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Akar+kuadrat&oldid=27821386 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27821386 (2025-09-14T03:02:52Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Akar kuadrat - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 27821386; atribusi sumber disertakan.