Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T14:03:44Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 14.03
Baris 2:		Baris 2:

	Dalam [[aljabar abstrak]], akar kesatuan dapat didefinisikan di setiap [[Medan (matematika)\|medan]]. Jika [[karakteristik medan]] bernilai nol, maka akarnya yang merupakan bilangan kompleks juga merupakan [[bilangan aljabar]]. Untuk medan dengan karakteristik yang bernilai positif, akar-akarnya merupakan milik [[medan hingga]], dan sebaliknya, setiap anggota taknol dari medan hingga merupakan akar kesatuan. Setiap [[medan tertutup secara aljabar]] mengandung setidaknya ada akar kesatuan ke-, kecuali ketika adalah kelipatan dari karakteristik medan (yang bernilai positif).		Dalam [[aljabar abstrak]], akar kesatuan dapat didefinisikan di setiap [[Medan (matematika)\|medan]]. Jika [[karakteristik medan]] bernilai nol, maka akarnya yang merupakan bilangan kompleks juga merupakan [[bilangan aljabar]]. Untuk medan dengan karakteristik yang bernilai positif, akar-akarnya merupakan milik [[medan hingga]], dan sebaliknya, setiap anggota taknol dari medan hingga merupakan akar kesatuan. Setiap [[medan tertutup secara aljabar]] mengandung setidaknya ada akar kesatuan ke-, kecuali ketika adalah kelipatan dari karakteristik medan (yang bernilai positif).


	==Definisi umum==		==Definisi umum==
Baris 27:		Baris 26:

	==Ekspresi trigonometri==		==Ekspresi trigonometri==

	[[Rumus de Moivre]], yang valid untuk setiap [[bilangan riil]] dan bilangan bulat , adalah		[[Rumus de Moivre]], yang valid untuk setiap [[bilangan riil]] dan bilangan bulat , adalah

Baris 37:		Baris 35:
	akan tetapi		akan tetapi
	:<math>\left(\cos\frac{2\pi}{n} + i \sin\frac{2\pi}{n}\right)^{\!k} = \cos\frac{2k\pi}{n} + i \sin\frac{2k\pi}{n} \neq 1</math>		:<math>\left(\cos\frac{2\pi}{n} + i \sin\frac{2\pi}{n}\right)^{\!k} = \cos\frac{2k\pi}{n} + i \sin\frac{2k\pi}{n} \neq 1</math>
	untuk . Dengan kata lain,		untuk . Dengan kata lain,
	:<math>\cos\frac{2\pi}{n} + i \sin\frac{2\pi}{n}</math>		:<math>\cos\frac{2\pi}{n} + i \sin\frac{2\pi}{n}</math>
	merupakan akar satuan primitif ke-.		merupakan akar satuan primitif ke-.
Baris 55:		Baris 53:

	== Catatan ==		== Catatan ==



	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Akar+satuan&oldid=27744353 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27744353 (2025-08-27T00:47:55Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Akar+satuan&oldid=27744353 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27744353 (2025-08-27T00:47:55Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 27744353; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T13:32:14Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 27744353; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[matematika]], '''akar kesatuan''' adalah setiap [[bilangan kompleks]] yang dipangkatkan dengan setiap [[bilangan bulat]] positif menghasilkan nilai 1. Akar kesatuan banyak dipakai dalam cabang matematika, khususnya di cabang [[teori bilangan]], teori [[karakter grup]], dan [[Transformasi Fourier diskrit|transformasi Fourier diskret]].

Dalam [[aljabar abstrak]], akar kesatuan dapat didefinisikan di setiap [[Medan (matematika)|medan]]. Jika [[karakteristik medan]] bernilai nol, maka akarnya yang merupakan bilangan kompleks juga merupakan [[bilangan aljabar]]. Untuk medan dengan karakteristik yang bernilai positif, akar-akarnya merupakan milik [[medan hingga]], dan sebaliknya, setiap anggota taknol dari medan hingga merupakan akar kesatuan. Setiap [[medan tertutup secara aljabar]] mengandung setidaknya ada akar kesatuan ke-, kecuali ketika adalah kelipatan dari karakteristik medan (yang bernilai positif).

==Definisi umum==
Akar satuan ke-'''', dengan adalah bilangan bulat positif, adalah sebuah bilangan yang memenuhi [[persamaan]]
:<math>z^n = 1. </math>
Terdapat pengecualian bahwa kalau ditentukan, akar satuan dapat dianggap [[bilangan kompleks]] (termasuk bilangan 1, dan bilangan −1 jika itu [[paritas (matematika)|genap]], yang merupakan bilangan kompleks dengan [[bilangan kompleks|bagian imajiner]]nya 0), dan dalam kasus ini, akar satuan ke- ialah

:<math>\exp\left(\frac{2k\pi i}{n}\right)=\cos\frac{2k\pi}{n}+i\sin\frac{2k\pi}{n},\qquad k=0,1,\dots, n-1.</math>

==Sifat dasar==
Setiap perpangkatan bilangan bulat dari akar satuan ke- juga merupakan akar satuan ke-, sebab
:<math>(z^k)^n = z^{kn} = (z^n)^k = 1^k = 1.</math>
Hal ini juga berlaku untuk pangkat negatif. Lebih jelasnya, [[invers perkalian]] dari akar satuan ke- adalah [[konjugat kompleks]]nya, yang sama-sama merupakan akar satuan ke-:
:<math>\frac{1}{z} = z^{-1} = 1 \cdot z^{-1} = z^n \cdot z^{-1} = z^{n-1} = \bar z.</math>

==Sifat pada grup==
===Grup semua akar satuan===
Hasil perkalian dan [[invers perkalian]] dari dua akar satuan juga merupakan akar satuan. Bahkan, jika dan , maka , dan , dengan adalah [[kelipatan persekutuan terkecil]] dari dan .

Oleh karena itu, himpunan akar satuan membentuk [[grup abelian]] terhadap perkalian. [[Grup (matematika)|group]] ini merupakan [[subgrup torsi]] dari [[grup lingkaran]].

===Grup akar satuan ke-===
Untuk bilangan bulat '''', hasil perkalian dan invers perkalian dari dua akar satuan ke- juga merupakan akar satuan ke-. Oleh karena itu, akar satuan ke- membentuk gruo abelian terhadap perkalian.

==Ekspresi trigonometri==

[[Rumus de Moivre]], yang valid untuk setiap [[bilangan riil]] dan bilangan bulat , adalah

:<math>\left(\cos x + i \sin x\right)^n = \cos nx + i \sin nx.</math>

Substitusi menghasilkan akar satuan primitif ke- – yaitu

:<math>\left(\cos\frac{2\pi}{n} + i \sin\frac{2\pi}{n}\right)^{\!n} = \cos 2\pi + i \sin 2\pi = 1,</math>
akan tetapi
:<math>\left(\cos\frac{2\pi}{n} + i \sin\frac{2\pi}{n}\right)^{\!k} = \cos\frac{2k\pi}{n} + i \sin\frac{2k\pi}{n} \neq 1</math>
untuk . Dengan kata lain,
:<math>\cos\frac{2\pi}{n} + i \sin\frac{2\pi}{n}</math>
merupakan akar satuan primitif ke-.

Dalam [[bidang kompleks]], rumus ini menunjukkan kalau akar satuan ke- berada pada sudut sebuah [[poligon beraturan|segi- beraturan]] di dalam [[lingkaran satuan]], dengan satu sudut di 1 (lihat gambar dan di kanan).

[[Rumus Euler]]

:<math>e^{i x} = \cos x + i \sin x,</math>

yang valid untuk setiap bilangan riil , bisa digunakan untuk mengubah akar satuan ke- dalam bentuk

:<math>e^{2\pi i \frac{k}{n}}, \quad 0 \le k < n.</math>

==Grup siklik==
Akar satuan ke- membentuk [[grup siklik]] dengan [[orde (teori grup)|orde]] terhadap perkalian, dan bahkan grup ini mencakup semua subgrup [[grup hingga|berhingga]] dari [[grup perkalian]] dalam bidang kompleks.

== Catatan ==

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Akar+satuan&oldid=27744353 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27744353 (2025-08-27T00:47:55Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Akar satuan - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 27744353; atribusi sumber disertakan.