Aljabar Bose–Mesner - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T09:03:15Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 09.03
Baris 4:		Baris 4:
	:*darab matriksnya adalah [[komutatif]].		:*darab matriksnya adalah [[komutatif]].

	Aljabar Bose–Mesner dapat diterapkan ke dalam cabang [[fisika]] hingga [[model spin]]. Selain itu, aljabar ini juga dapat diterapkan ke dalam cabang [[statistika]] hingga [[desain eksperimen]]. Aljabar ini dinamai dari dua orang matematikawan yang bernama [[R. C. Bose]] dan Dale Marsh Mesner.		Aljabar Bose–Mesner dapat diterapkan ke dalam cabang [[fisika]] hingga [[model spin]]. Selain itu, aljabar ini juga dapat diterapkan ke dalam cabang [[statistika]] hingga [[desain eksperimen]]. Aljabar ini dinamai dari dua orang matematikawan yang bernama [[R. C. Bose]] dan Dale Marsh Mesner.<ref>Bose & Mesner (1959)</ref>

	==Definisi==		==Definisi==
Baris 12:		Baris 12:
	Struktur pada definisi tersebut dapat diperkuat dengan menambahkan semua pasangan elemen berulang ''X'' dan mengumpulkannya dalam himpunan bagian ''R''<sub>0</sub>. Hal ini memungkinkan parameter ''i'', ''j'', dan ''k'' mengambil nilai nol, dan memisalkan untuk setiap ''x'',''y'' atau ''z'' adalah sama.		Struktur pada definisi tersebut dapat diperkuat dengan menambahkan semua pasangan elemen berulang ''X'' dan mengumpulkannya dalam himpunan bagian ''R''<sub>0</sub>. Hal ini memungkinkan parameter ''i'', ''j'', dan ''k'' mengambil nilai nol, dan memisalkan untuk setiap ''x'',''y'' atau ''z'' adalah sama.

	Himpunan dengan partisi yang diperkuat tersebut biasanya disebut [[skema asosiasi]]. Seseorang dapat melihat skema asosiasi sebagai partisi dari tepi [[graf lengkap]] (dengan himpunan simpul ''X'') ke dalam kelas-''n'' yang biasanya dianggap sebagai kelas warna. Dalam representasi ini, terdapat gelung di setiap simpul dan semua gelung menerima warna ke-0 yang sama.		Himpunan dengan partisi yang diperkuat tersebut biasanya disebut [[skema asosiasi]].<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Aljabar+Bose%E2%80%93Mesner&oldid=23664623 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref> Seseorang dapat melihat skema asosiasi sebagai partisi dari tepi [[graf lengkap]] (dengan himpunan simpul ''X'') ke dalam kelas-''n'' yang biasanya dianggap sebagai kelas warna. Dalam representasi ini, terdapat gelung di setiap simpul dan semua gelung menerima warna ke-0 yang sama.

	Skema asosiasi juga dapat direpresentasikan secara aljabar, dengan cara memisalkan ''D''<sub>''i''</sub> adalah [[Matriks (matematika)\|matriks]] yang didefinisikan sebagai:		Skema asosiasi juga dapat direpresentasikan secara aljabar, dengan cara memisalkan ''D''<sub>''i''</sub> adalah [[Matriks (matematika)\|matriks]] yang didefinisikan sebagai:
	: <math>(D_i)_{x,y} = \begin{cases}		: <math>(D_i)_{x,y} = \begin{cases}
	1,& \text{jika } \left(x,y\right)\in R_{i},\\		1,& \text{jika } \left(x,y\right)\in R_{i},\\
	0,& \text{jika tidak.} \end{cases} \qquad (1)</math>		0,& \text{jika tidak.} \end{cases} \qquad (1)</math>

	Lalu, misalkan <math>\mathcal{A}</math> adalah [[ruang vektor]] yang terdiri dari semua [[Matriks (matematika)\|matriks]] <math>\sideset{}{_{i=0}^{n}}\sum a_{i}D_{i}</math> dengan kompleks <math>a_{i}</math>. Maka, definisi dari [[skema asosiasi]] ekuivalen dengan pernyataan yang mengatakan bahwa <math>D_{i}</math> adalah ''v'' × ''v'' pada [[Matriks (matematika)\|matriks]]-(0,1) yang memenuhi sifat berikut:		Lalu, misalkan <math>\mathcal{A}</math> adalah [[ruang vektor]] yang terdiri dari semua [[Matriks (matematika)\|matriks]] <math>\sideset{}{_{i=0}^{n}}\sum a_{i}D_{i}</math> dengan kompleks <math>a_{i}</math>.<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Aljabar+Bose%E2%80%93Mesner&oldid=23664623 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref><ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Aljabar+Bose%E2%80%93Mesner&oldid=23664623 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref> Maka, definisi dari [[skema asosiasi]] ekuivalen dengan pernyataan yang mengatakan bahwa <math>D_{i}</math> adalah ''v'' × ''v'' pada [[Matriks (matematika)\|matriks]]-(0,1) yang memenuhi sifat berikut:

	# <math>D_i</math> adalah simetris,		# <math>D_i</math> adalah simetris,
Baris 56:		Baris 56:
	</math>		</math>

	Bilangan-''p'' <math>p_i (k)</math> dan bilangan-''q'' <math>q_k(i)</math> memainkan peran penting dalam teori. Bilangan tersebut memenuhi kaitan ortogonalitas yang terdefinisi dengan baik. Bilangan-''p'' adalah [[nilai eigen]] dari [[matriks kedampingan]] <math>D_i</math>.		Bilangan-''p'' <math>p_i (k)</math> dan bilangan-''q'' <math>q_k(i)</math> memainkan peran penting dalam teori.<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Aljabar+Bose%E2%80%93Mesner&oldid=23664623 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref> Bilangan tersebut memenuhi kaitan ortogonalitas yang terdefinisi dengan baik. Bilangan-''p'' adalah [[nilai eigen]] dari [[matriks kedampingan]] <math>D_i</math>.

	==Teorema==		==Teorema==

	[[Nilai eigen]] dari <math>p_i(k)</math> dan <math>q_k(i)</math>, memenuhi syarat-syarat ortogonalitas. Syarat-syarat tersebut adalah		[[Nilai eigen]] dari <math>p_i(k)</math> dan <math>q_k(i)</math>, memenuhi syarat-syarat ortogonalitas. Syarat-syarat tersebut adalah

Baris 89:		Baris 88:

	==Bukti teorema==		==Bukti teorema==

	[[Nilai eigen]] dari <math>D_i D_\ell</math> adalah <math>p_i (k)p_\ell (k)</math> dengan perkalian <math>\mu_k</math>. Hal ini menyiratkan bahwa		[[Nilai eigen]] dari <math>D_i D_\ell</math> adalah <math>p_i (k)p_\ell (k)</math> dengan perkalian <math>\mu_k</math>. Hal ini menyiratkan bahwa

Baris 106:		Baris 104:
	Ada analogi antara perluasan [[skema asosiasi]] dan [[Teorema Kronecker\|perluasan]] dari [[Medan berhingga]]. Kasus yang paling menariknya adalah kasus dimana skema yang diperluas didefinisikan pada [[kuasa Kartesius]] ke-<math>n</math> <math>X=\mathcal{F}^{n}</math> dari satu himpunan <math>\mathcal{F}</math> dimana [[skema asosiasi]] <math>\left(\mathcal{F},K\right)</math> dasar didefinisikan. [[skema asosiasi]] pertama yang didefinisikan pada <math>X=\mathcal{F}^{n}</math> disebut [[produk Kronecker\|kuasa Kronecker]] ke-<math>n</math> <math>\left(\mathcal{F},K\right)_{\otimes}^{n}</math> pada <math>\left(\mathcal{F},K\right)</math>. Selanjutnya ekstensi didefinisikan pada himpunan yang sama <math>X=\mathcal{F}^{n}</math> dengan mengumpulkan kelas <math>\left(\mathcal{F},K\right)_{\otimes}^{n}</math>. [[produk Kronecker\|Kuasa Kronecker]] sesuai dengan [[gelanggang polinomial]] <math>F\left[X\right]</math> yang pertama kali didefinisikan pada [[Medan berhingga\|medan]] <math>\mathbb{F}</math>, sedangkan skema ekstensi sesuai dengan [[medan ekstensi]] yang diperoleh sebagai hasil bagi. Contoh skema yang diperluas adalah [[skema Hamming]].		Ada analogi antara perluasan [[skema asosiasi]] dan [[Teorema Kronecker\|perluasan]] dari [[Medan berhingga]]. Kasus yang paling menariknya adalah kasus dimana skema yang diperluas didefinisikan pada [[kuasa Kartesius]] ke-<math>n</math> <math>X=\mathcal{F}^{n}</math> dari satu himpunan <math>\mathcal{F}</math> dimana [[skema asosiasi]] <math>\left(\mathcal{F},K\right)</math> dasar didefinisikan. [[skema asosiasi]] pertama yang didefinisikan pada <math>X=\mathcal{F}^{n}</math> disebut [[produk Kronecker\|kuasa Kronecker]] ke-<math>n</math> <math>\left(\mathcal{F},K\right)_{\otimes}^{n}</math> pada <math>\left(\mathcal{F},K\right)</math>. Selanjutnya ekstensi didefinisikan pada himpunan yang sama <math>X=\mathcal{F}^{n}</math> dengan mengumpulkan kelas <math>\left(\mathcal{F},K\right)_{\otimes}^{n}</math>. [[produk Kronecker\|Kuasa Kronecker]] sesuai dengan [[gelanggang polinomial]] <math>F\left[X\right]</math> yang pertama kali didefinisikan pada [[Medan berhingga\|medan]] <math>\mathbb{F}</math>, sedangkan skema ekstensi sesuai dengan [[medan ekstensi]] yang diperoleh sebagai hasil bagi. Contoh skema yang diperluas adalah [[skema Hamming]].

	[[Skema asosiasi]] dapat digabungkan, tetapi menggabungkan mereka mengarah ke [[skema asosiasi]] non-simetris, sedangkan semua [[kode]] biasa adalah [[subgrup]] dalam simetris [[varietas Abelian\|skema Abelian]].		[[Skema asosiasi]] dapat digabungkan, tetapi menggabungkan mereka mengarah ke [[skema asosiasi]] non-simetris, sedangkan semua [[kode]] biasa adalah [[subgrup]] dalam simetris [[varietas Abelian\|skema Abelian]].<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Aljabar+Bose%E2%80%93Mesner&oldid=23664623 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref><ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Aljabar+Bose%E2%80%93Mesner&oldid=23664623 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref><ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Aljabar+Bose%E2%80%93Mesner&oldid=23664623 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref>

	==Lihat pula==		==Lihat pula==
	* [[Skema asosiasi]]		* [[Skema asosiasi]]


	==Catatan==		==Catatan==

			== Referensi ==
	==Referensi==		<references />
	*
	*
	*
	*
	*
	*
	*
	*
	*



	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Aljabar+Bose%E2%80%93Mesner&oldid=23664623 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 23664623 (2023-06-12T03:50:51Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Aljabar+Bose%E2%80%93Mesner&oldid=23664623 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 23664623 (2023-06-12T03:50:51Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 23664623; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T08:35:03Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 23664623; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[matematika]], '''aljabar Bose–Mesner''' merupakan himpunan khusus [[Matriks (matematika)|matriks]] yang muncul dari struktur kombinatorial yang dikenal sebagai [[skema asosiasi]], Kaidah-kaidahnya menggabungkan (lebih tepatnya, membentuk hasil kali atau darab dari) matriks tersebut, sehingga membentuk [[aljabar asosiatif]] atau lebih tepatnya, [[Aljabar uniter|aljabar komutatif uniter]]. Kaidah tersebut berbunyi:
:*Hasil dari suatu darab juga merupakan himpunan matriks,
:*ada matriks identitas dalam himpunan, dan
:*darab matriksnya adalah [[komutatif]].

Aljabar Bose–Mesner dapat diterapkan ke dalam cabang [[fisika]] hingga [[model spin]]. Selain itu, aljabar ini juga dapat diterapkan ke dalam cabang [[statistika]] hingga [[desain eksperimen]]. Aljabar ini dinamai dari dua orang matematikawan yang bernama [[R. C. Bose]] dan Dale Marsh Mesner.

==Definisi==
Misalkan ''X'' adalah himpunan elemen ''v'' dan misalkan partisi dari subhimpunan 2-anggota dari ''X'' adalah himpunan bagian takkosong ''n'', ''R''1, ..., ''R''''n'' sehingga:
* diberikan <math>x \in X</math>, jumlah dari <math>y \in X</math> sehingga <math>\{x,y\} \in R_i</math> hanya bergantung pada ''i'' (dan bukan pada ''x''). Bilangan ini akan dilambangkan dengan vi, dan
* diberikan <math>x,y \in X</math> dengan <math>\{x,y\} \in R_k</math>, jumlah dari <math>z \in X</math> sehingga <math>\{x,z\} \in R_i</math> dan <math>\{z,y\} \in R_j</math> hanya bergantung pada ''i'', ''j'' dan ''k'' (dan bukan pada ''x'' dan ''y''). Bilangan ini akan dilambangkan dengan <math>p^k_{in}</math>.
Struktur pada definisi tersebut dapat diperkuat dengan menambahkan semua pasangan elemen berulang ''X'' dan mengumpulkannya dalam himpunan bagian ''R''0. Hal ini memungkinkan parameter ''i'', ''j'', dan ''k'' mengambil nilai nol, dan memisalkan untuk setiap ''x'',''y'' atau ''z'' adalah sama.

Himpunan dengan partisi yang diperkuat tersebut biasanya disebut [[skema asosiasi]]. Seseorang dapat melihat skema asosiasi sebagai partisi dari tepi [[graf lengkap]] (dengan himpunan simpul ''X'') ke dalam kelas-''n'' yang biasanya dianggap sebagai kelas warna. Dalam representasi ini, terdapat gelung di setiap simpul dan semua gelung menerima warna ke-0 yang sama.

Skema asosiasi juga dapat direpresentasikan secara aljabar, dengan cara memisalkan ''D''''i'' adalah [[Matriks (matematika)|matriks]] yang didefinisikan sebagai:
: <math>(D_i)_{x,y} = \begin{cases}
1,& \text{jika } \left(x,y\right)\in R_{i},\\
0,& \text{jika tidak.} \end{cases} \qquad (1)</math>

Lalu, misalkan <math>\mathcal{A}</math> adalah [[ruang vektor]] yang terdiri dari semua [[Matriks (matematika)|matriks]] <math>\sideset{}{_{i=0}^{n}}\sum a_{i}D_{i}</math> dengan kompleks <math>a_{i}</math>. Maka, definisi dari [[skema asosiasi]] ekuivalen dengan pernyataan yang mengatakan bahwa <math>D_{i}</math> adalah ''v'' × ''v'' pada [[Matriks (matematika)|matriks]]-(0,1) yang memenuhi sifat berikut:

# <math>D_i</math> adalah simetris,
# <math>\sum_{i=0}^n D_{i}=J </math> (semuanya adalah matriks satuan),
# <math>D_0=I,</math>
# <math>D_i D_j = \sum_{k=0}^n p^k_{ij} D_k = D_j D_i,\qquad i,j=0,\ldots,n.</math>

Entri ke-(''x'',''y'') dari ruas kiri 4 adalah jumlah dua jalur berwarna dengan panjang yang menghubungkan ''x'' dan ''y'' (menggunakan "warna" ''i'' dan ''j'') dalam graf. Perhatikan bahwa baris dan kolom <math>D_i</math> mengandung 1 di <math>v_i</math>:

: <math>D_i J=J D_i = v_i J. \qquad (2)</math>

Sifat yang ke-1 mengatakan bahwa [[Matriks (matematika)|matriks]]<nowiki/>nya adalah [[Matriks simetris|simetris]]. Sifat yang ke-2 mengatakan bahwa. <math>D_{0},\ldots,D_{n}</math> adalah [[bebas linear]], dan dimensi <math>\mathcal{A}</math> adalah <math>n+1</math>. Dan sifat yang keempat mengatakan bahwa <math>\mathcal{A}</math> tertutup terhadap perkalian, dan perkaliannya selalu asosiatif. [[Aljabar komutatif]] <math>\mathcal{A}</math> yang memiliki sifat [[asosiatif]] ini, disebut juga sebagai '''aljabar Bose–Mesner''' dari [[skema asosiasi]]. Karena [[Matriks (matematika)|matriks]] pada <math>\mathcal{A}</math> adalah simetris dan bertukar satu sama lain, maka matriks tersebut dapat didiagonalisasi secara bersamaan. Artinya, ada [[Matriks (matematika)|matriks]] <math>S</math> sehingga untuk setiap <math>A\in\mathcal{A}</math>, terdapat [[matriks diagonal]] <math>\Lambda_{A}</math> dengan <math>S^{-1}A S=\Lambda_{A}</math>. Hal ini mengartkan bahwa <math>\mathcal{A}</math> adalah semi-sederhana dan memiliki basis unik dari idempoten primitif <math>J_{0},\ldots,J_{n}</math>. [[Matriks (matematika)|Matriks]] kompleks ''n'' × ''n'' ini memenuhi sifat-sifat berikut.

: <math>
J_i^2 =J_i, i=0,\ldots,n, \qquad (3)
</math>

: <math>
J_i J_k=0, i\neq k, \qquad (4)
</math>

: <math>
\sum_{i=0}^n J_i = I. \qquad (5)
</math>

'''Aljabar Bose–Mesner''' memiliki dua basis yang berbeda. Yang kepertama, basisnya terdiri dari [[matriks idempoten]] <math>D_i</math>, dan yang kedua, basisnya terdiri dari [[matriks idempoten]] taktereduksikan <math>E_k</math>. Menurut definisi, ada [[bilangan kompleks]] yang terdefinisi dengan baik, sehingga

: <math>
D_{i}=\sum_{k=0}^n p_i (k) E_k, \qquad (6)
</math>

dan

: <math>
|X|E_{k}=\sum_{i=0}^n q_k\left(i\right)D_i. \qquad (7)
</math>

Bilangan-''p'' <math>p_i (k)</math> dan bilangan-''q'' <math>q_k(i)</math> memainkan peran penting dalam teori. Bilangan tersebut memenuhi kaitan ortogonalitas yang terdefinisi dengan baik. Bilangan-''p'' adalah [[nilai eigen]] dari [[matriks kedampingan]] <math>D_i</math>.

==Teorema==

[[Nilai eigen]] dari <math>p_i(k)</math> dan <math>q_k(i)</math>, memenuhi syarat-syarat ortogonalitas. Syarat-syarat tersebut adalah

: <math>
\sum_{k=0}^n \mu_i p_i (k)p_\ell (k)=v v_i \delta_{i \ell}, \quad(8)
</math>

: <math>
\sum_{k=0}^n \mu_i q_k (i) q_\ell (i)=v \mu_k \delta_{k \ell}. \quad(9)
</math>

Dan juga,

: <math>
\mu_j p_i (j) = v_i q_ j (i),\quad i,j=0,\ldots,n. \quad(10)
</math>

Dalam notasi [[Matriks (matematika)|matriks]],

: <math>
P^T \Delta_\mu P=v\Delta_v, \quad(11)
</math>
dan
: <math>
Q^T \Delta_v Q=v\Delta_\mu, \quad(12)
</math>

dengan <math>\Delta_v = \operatorname{diag} \{v_0,v_1,\ldots,v_n\}</math> dan <math>\Delta_\mu = \operatorname{diag} \{\mu_0,\mu_1,\ldots,\mu_n\}.</math>

==Bukti teorema==

[[Nilai eigen]] dari <math>D_i D_\ell</math> adalah <math>p_i (k)p_\ell (k)</math> dengan perkalian <math>\mu_k</math>. Hal ini menyiratkan bahwa

: <math>
v v_i \delta_{i\ell} = \operatorname{trace}D_i D_\ell = \sum_{k=0}^n \mu_i p_i(k) p_\ell (k), \quad(13)
</math>

yang membuktikan Persamaan <math>\left(8\right)</math> dan Persamaan <math>\left(11\right)</math>,

: <math>
Q = v P^{-1} = \Delta_v^{-1} P^T \Delta_\mu, \quad(14)
</math>

yang memberikan Persamaan <math>(9)</math>, <math>(10)</math> dan <math>(12)</math>.<math>\Box</math>

Ada analogi antara perluasan [[skema asosiasi]] dan [[Teorema Kronecker|perluasan]] dari [[Medan berhingga]]. Kasus yang paling menariknya adalah kasus dimana skema yang diperluas didefinisikan pada [[kuasa Kartesius]] ke-<math>n</math> <math>X=\mathcal{F}^{n}</math> dari satu himpunan <math>\mathcal{F}</math> dimana [[skema asosiasi]] <math>\left(\mathcal{F},K\right)</math> dasar didefinisikan. [[skema asosiasi]] pertama yang didefinisikan pada <math>X=\mathcal{F}^{n}</math> disebut [[produk Kronecker|kuasa Kronecker]] ke-<math>n</math> <math>\left(\mathcal{F},K\right)_{\otimes}^{n}</math> pada <math>\left(\mathcal{F},K\right)</math>. Selanjutnya ekstensi didefinisikan pada himpunan yang sama <math>X=\mathcal{F}^{n}</math> dengan mengumpulkan kelas <math>\left(\mathcal{F},K\right)_{\otimes}^{n}</math>. [[produk Kronecker|Kuasa Kronecker]] sesuai dengan [[gelanggang polinomial]] <math>F\left[X\right]</math> yang pertama kali didefinisikan pada [[Medan berhingga|medan]] <math>\mathbb{F}</math>, sedangkan skema ekstensi sesuai dengan [[medan ekstensi]] yang diperoleh sebagai hasil bagi. Contoh skema yang diperluas adalah [[skema Hamming]].

[[Skema asosiasi]] dapat digabungkan, tetapi menggabungkan mereka mengarah ke [[skema asosiasi]] non-simetris, sedangkan semua [[kode]] biasa adalah [[subgrup]] dalam simetris [[varietas Abelian|skema Abelian]].

==Lihat pula==
* [[Skema asosiasi]]

==Catatan==

==Referensi==
*
*
*
*
*
*
*
*
*

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Aljabar+Bose%E2%80%93Mesner&oldid=23664623 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 23664623 (2023-06-12T03:50:51Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.