Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T03:57:35Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28438709; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T03:17:18Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28438709; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

'''Aljabar linier''' adalah bidang studi [[matematika]] yang mempelajari [[ruang vektor]] dan [[Peta linear|pemetaan linier]] (atau transformasi linier). Secara elementer, aljabar linier mempelajari teknik-teknik komputasional dalam menyelesaikan sistem [[persamaan linear|persamaan linier]] seperti<math display="block">a_1x_1+\cdots +a_nx_n=b,</math>[[Peta linear|pemetaan linier]] seperti<math display="block">(x_1, \ldots, x_n) \mapsto a_1x_1+\cdots +a_nx_n,</math>dan representasinya dalam [[ruang vektor]] maupun dengan [[Matriks (matematika)|matriks]].

Aljabar linier berperan penting di hampir semua bidang matematika. Sebagai contoh, aljabar linier menjadi dasar dalam menjelaskan [[geometri]] secara modern, termasuk dalam mendefinisikan objek-objek dasar seperti [[garis]], [[Bidang (geometri)|bidang]], dan [[Rotasi (matematika)|rotasi]]. [[Analisis fungsional]], salah satu cabang matematika analisis, dapat dianggap sebagai penerapan aljabar linier dalam [[ruang fungsi]].

Aljabar linier juga dipakai dalam banyak bidang ilmu dan bidang [[teknik|rekayasa]], karena kemampuannya [[Model matematika|memodelkan]] banyak fenomena alam dan mencari solusi model tersebut dengan efisien. Pada [[sistem nonlinier]], aljabar linier sering digunakan sebagai penghampiran linier (''linear approximation''), hal tersebut didasarkan pada fakta bahwa [[turunan]] dari [[fungsi multivariabel]] di suatu titik adalah transformasi linier yang terbaik dalam menghampiri nilai fungsi di sekitar [[titik]] tersebut.

== Sejarah ==

Menyelesaikan beberapa persamaan linier secara bersamaan menjadi bagian penting dalam aljabar linier. Prosedur dalam menyelesaikan masalah tersebut, yang sekarang dikenal sebagai [[eliminasi Gauss]], pertama kali muncul dalam ''Bab Delapan: Array Persegi Panjang'' di buku matematika Cina kuno ''[[Jiuzhang Suanshu|Sembilan Bab dalam Seni Matematika]]''. Buku ini mengilustrasikan 18 masalah, masing-masing melibatkan dua sampai lima persamaan.

[[Sistem persamaan linear|Sistem persamaan linier]] berkembang di Eropa bersamaan dengan dikenalkannya konsep [[Sistem koordinat|koordinat]] dalam [[geometri]], oleh [[René Descartes]] pada tahun 1637. Faktanya, pada geometri yang sekarang dikenal sebagai [[Geometri analitis|geometri Kartesius]] ini, garis-garis dan bidang-bidang diwakilkan oleh [[persamaan]] linier, dan mendapatkan hasil perpotongan mereka sama dengan menyelesaikan sistem persamaan linier.

Pada perkembangan selanjutnya, [[determinan]] digunakan untuk menyelesaikan sistem [[persamaan linear|persamaan linier]] secara sistematis. Metode ini pertama kali dipertimbangkan oleh [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]] pada tahun 1693. Pada tahun 1750, [[Gabriel Cramer]] menggunakan determinan untuk menghasilkan solusi sistem linier secara eksplisit, menggunakan metode yang saat ini dikenal dengan [[aturan Cramer]]. [[Gauss]] nantinya juga menjelaskan lebih lanjut tentang metode eliminasi, yang awalnya dicatat sebagai sebuah kemajuan (''advancement'') dalam [[geodesi]].

Pada tahun 1844, [[Hermann Grassmann]] memublikasikan "''Theory of Extension''" yang didalamnya meyertakan topik fundamental yang baru, saat ini dikenal sebagai aljabar linier. Pada tahun 1848, [[James Joseph Sylvester]] memperkenalkan istilah ''matrix''. Aljabar linier tumbuh dengan konsep-konsep dari [[bidang kompleks]]. Sebagai contoh, dua [[bilangan kompleks]] <math>w</math> dan <math>z</math> memiliki selisih <math>w-z</math> dan segmen garis <math>\overline{w z}</math> dan <math>\overline{0(w-z)}</math> memiliki panjang dan arah yang sama. Istilah [[Vektor Euklides|vektor]] diperkenalkan untuk mewakili suatu titik <math>v = x \text{i} + y \text{j} + z \text{k} </math> dalam ruang.

[[Arthur Cayley]] memperkenalkan [[perkalian matriks]] dan [[invers matriks]] pada tahun 1856. Cayley juga menggunakan satu huruf untuk menandai satu matriks, sehingga mengganggap matriks sebagai suatu gabungan dari banyak objek. Ia juga menyadari hubungan antara matriks dan determinan, dan menulis "Akan ada banyak hal untuk disampaikan tentang teori matriks ini yang, menurut saya, seharusnya mendahului teori determinan."

Publikasi ''[[A Treatise on Electricity and Magnetism]]'' pada tahun 1873 memulai ilmu [[Medan (fisika)|teori medan]] tentang elektromagnetik, dan memerlukan [[geometri diferensial]] untuk mengekspresikan konsep-konsepnya. Aljabar linier merupakan geometri diferensial untuk bidang datar dan berperan pada ruang tangen [[Lipatan (matematika)|manifold]]. Simetri elektromagnetik dari [[ruang waktu]] diekspresikan lewat [[transformasi Lorentz]], dan banyak dari sejarah aljabar linier selanjutnya juga merupakan sejarah dari transformasi Lorentz.

Definisi yang lebih pasti dan modern mengenai [[ruang vektor]] diperkenalkan oleh [[Giuseppe Peano|Peano]] pada tahun 1888. Teori tentang transformasi linier ruang vektor dimensi hingga berkembang pada tahun 1900. Aljabar linier mendapatkan bentuk modernnya pada awal abad ke-20, ketika banyak ide dan konsep dari abad-abad sebelumnya berhasil diperumum menjadi [[aljabar abstrak]]. Perkembangan komputer memulai riset yang pesat dalam [[algoritma]] efisien untuk eliminasi Gauss dan dekomposisi matriks; dan aljabar linier menjadi alat penting untuk pemodelan dan simulasi.

== Ruang vektor ==

Sampai pada abad ke-19, aljabar linier diperkenalkan lewat [[sistem persamaan linear|sistem persamaan linier]] dan [[Matriks (matematika)|matriks]]. Dalam matematika modern, perkenalan lewat ''ruang vektor'' lebih disukai karena sifatnya yang lebih umum (tidak terbatas pada kasus dimensi yang berhingga) dan lebih mudah secara konseptual, walaupun lebih abstrak.

Suatu ruang vektor atas [[Medan (matematika)|medan]] (umumnya berupa medan [[bilangan real]] atau [[bilangan kompleks]]) adalah suatu [[Himpunan (matematika)|himpunan]] yang dilengkapi oleh dua [[operasi biner]] yang memenuhi [[Aksioma|aksioma-aksioma]] pada daftar berikut. [[Elemen (matematika)|Elemen]] dari disebut ''vektor'', dan elemen dari disebut ''skalar''. Opersi yang pertama, ''penjumlahan vektor'', menggunakan sembarang dua vektor dan dan menghasilkan vektor . Operasi yang kedua, ''perkalian skalar'', menggunakan sembarang skalar dan sembarang vektor dan menghasilkan vektor . Dalam daftar berikut, , dan adalah sembarang vektor di , dan dan adalah sembarang skalar di medan .

Empat aksioma yang pertama mengartikan bahwa adalah suatu [[grup Abelian]] dalam penjumlahan.

Elemen dari suatu ruang vektor yang spesifik dapat berupa objek yang beragam. Sebagai contoh, elemen ini dapat berupa [[Deret (matematika)|deret]], [[Fungsi (matematika)|fungsi]], [[polinomial]], atau [[Matriks (matematika)|matriks]]. Aljabar linear berfokus pada sifat-sifat objek tersebut yang sama dengan semua ruang vektor lainnya.

=== Peta linier ===

Peta linier adalah [[Peta (matematika)|pemetaan]] antara dua ruang vektor yang mempertahankan struktur dari ruang vektor. Diberikan dua ruang vektor dan atas medan , suatu peta linier adalah [[Peta (matematika)|pemetaan]]<math display="block"> T:V\to W </math>yang memenuhi perkalian dan penjumlahan skalar, dengan kata lain, memenuhi<math display="block"> T(\mathbf u + \mathbf v)=T(\mathbf u)+T(\mathbf v), \quad T(a \mathbf v)=aT(\mathbf v) </math>Untuk sembarang vektor di dan skalar di . Hal ini mengakibatkan untuk sembarang vektor di dan skalar di , berlaku hubungan<math display="block">T(a \mathbf u + b \mathbf v)= T(a \mathbf u) + T(b \mathbf v) = aT(\mathbf u) + bT(\mathbf v) </math>Ketika , pemetaan linier <math> T:V\to V </math> juga disebut sebagai ''operator linier'' di . Peta linier yang [[Bijeksi|bijektif]] antara dua ruang vektor, yakni yang memetakan setiap elemen di satu ruang vektor dengan tepat satu elemen di ruang vektor yang lain, disebut sebagai suatu [[isomorfisme]]. Karena isomorfisme mempertahankan struktur linier, dua ruang vektor yang isomorfik "pada dasarnya sama" dalam sudut pandang aljabar linier, dalam artian mereka berdua tidak dapat dibedakan dengan menggunakan sifat-sifat ruang vektor. Satu masalah penting dalam aljabar linier adalah menentukan apakah suatu peta linier bersifat isomorfik; dan jika tidak isomorfik, menentukan [[Peta (matematika)|citra]] dan himpunan dari elemen-elemen yang dipetakan ke vektor nol, yang disebut sebagai [[Kernel (aljabar linear)|kernel]] dari peta tersebut. Masalah-masalah ini dapat diselesaikan dengan [[eliminasi Gauss]], atau variasinya.

=== Subruang, span, dan basis ===

Seperti banyak struktur matematika lainnya, mempelajari [[Himpunan bagian|subhimpunan]] dari ruang vektor yang juga berupa ruang vektor akibat suatu operasi adalah hal yang penting. Subhimpunan ini disebut dengan [[subruang vektor]]. Secara formal, suatu subruang vektor dari ruang vektor atas medan adalah suatu [[subset|subhimpunan]] dari yang memenuhi dan berada di dalam , untuk setiap , di , dan setiap di . (Definisi tersebut cukup untuk menyimpulkan bahwa adalah suatu ruang vektor.) Sebagai contoh, untuk pemetaan linier <math> T:V\to W </math>, [[Citra (matematika)|citra]] dari , dan invers dari citra dari '''0''' (dikenal sebagai [[Kernel (aljabar linear)|kernel]] atau ruang nol), masing-masing adalah subruang vektor dari dan .

Cara penting yang lain untuk membentuk suatu subruang adalah dengan menggunakan [[kombinasi linear|kombinasi linier]] vektor-vektor dari himpunan . Cara ini menghasilkan himpunan berisi vektor-vektor dengan bentuk <math display="block"> a_1 \mathbf v_1 + a_2 \mathbf v_2 + \cdots + a_k \mathbf v_k,</math>dengan berada di , dan berada di . Himpunan tersebut membentuk subruang vektor yang disebut [[Rentang linear|span]] dari . Span dari juga merupakan irisan dari semua subruang vektor yang mengandung . Dengan kata lain, span ini adalah subruang vektor terkecil (pada relasi subhimpunan) yang mengandung .

Suatu himpunan vektor dikatakan saling [[Kebebasan linear|bebas linier]] jika tidak ada vektor yang berada di span vektor-vektor yang lain. Secara ekuivalen, suatu himpunan vektor-vektor saling bebas linier jika satu-satunya cara menyatakan vektor nol sebagai kombinasi linier vektor-vektor di adalah dengan memilih 0 untuk setiap koefien <math>a_i.</math>

Suatu himpunan vektor yang menjadi merentang (''span'') suatu ruang vektor disebut [[Rentang linear|himpunan span]]. Jika himpunan span ''bergantung linier'' (yakni tidak bebas linier), maka ada vektor di yang berada di span vektor-vektor yang lain, dan span dari tidak akan berubah walau dibuang. Langkah membuang vektor ini dapat diulangi sampai semua elemen bebas linier. Himpunan span yang saling bebas linear yang merentang suatu ruang vektor disebut sebagai suatu [[Basis (aljabar linear)|basis]] bagi . Basis memiliki keunikan karena ia adalah himpunan span dari yang terkecil sekaligus himpunan terbesar yang mengandung vektor-vektor di . Secara lebih formal, jika adalah himpunan yang bebas linier, dan adalah himpunan span dengan <math>S\subseteq T,</math> maka ada suatu basis sedemikian rupa sehingga <math>S\subseteq B\subseteq T.</math>

Ruang vektor dapat memiliki beberapa basis berbeda. Sembarang dua basis dari memiliki [[kardinalitas]] yang sama, yang disebut sebagai [[dimensi]] dari . Lebih lanjut, dua ruang vektor atas medan yang sama saling [[Isomorfisme|isomorfik]] jika dan hanya jika kedua raung vektor tersebut memiliki dimensi yang sama. Jika salah satu basis bagi (dan akibatnya semua basis) memiliki banyak elemen yang berhingga, disebut ''ruang vektor dimensi berhingga''. Jika adalah subruang dari , maka . Pada kasus ketika berdimensi hingga, persamaan dari pernyataan tersebut terjadi ketika .

Jika ''U''<sub>1</sub> dan ''U''<sub>2</sub> adalah subruang dari ''V'', maka

: <math>\dim(U_1 + U_2) = \dim U_1 + \dim U_2 - \dim(U_1 \cap U_2),</math>

dengan <math>U_1+U_2</math> menyatakan span dari <math>U_1\cup U_2.</math>
== Matriks ==
Matriks memungkinkan manipulasi [[ruang vektor]] berdimensi hingga dan [[peta linear|peta linier]] secara eksplisit. Teori tentang matriks selanjutnya menjadi bagian penting dalam aljabar linier.

Misalkan adalah ruang vektor berdimensi hingga atas medan , dan menjadi basis bagi (sehingga adalah dimensi dari ). Dengan menggunakan definisi basis, pemetaan<math display="block">\begin{align}
(a_1, \ldots, a_m)&\mapsto a_1 \mathbf v_1+\cdots a_m \mathbf v_m\\
F^m &\to V
\end{align}</math>

adalah suatu [[bijeksi]] dari <math>F^m,</math> yakni himpunan berisi [[barisan]] elemen yang diambil dari , ke . Ini adalah suatu [[isomorfisme]] ruang vektor, jika <math>F^m</math> dilengkapi oleh struktur ruang vektor yang standarnya, yakni dengan operasi penjumlahan vektor dan [[perkalian skalar]] dilakukan komponen demi komponen. Isomorfisme ini memungkinan untuk merepresentasikan suatu vektor di dengan menggunakan [[vektor koordinat]] <math>(a_1, \ldots, a_m)</math> atau dengan vektor<math display="block">\begin{bmatrix}a_1\\\vdots\\a_m\end{bmatrix}.</math>Selanjutnya, jika adalah ruang vektor dimensi hingga yang lain (atau mungkin yang sama), dengan basis <math>(\mathbf w_1, \ldots, \mathbf w_n),</math> suatu peta linier dari ke terdefinisi jelas (''well defined'') lewat nilai-nilai fungsi pada elemen-elemen basisnya, yakni <math>(f(\mathbf w_1), \ldots, f(\mathbf w_n)).</math> Sehingga, jika<math display="block">f(\mathbf w_j)=a_{1,j}\mathbf v_1 + \cdots+a_{m,j}\mathbf v_m,</math>untuk , maka dapat dinyatakan sebagai matriks dengan baris dan kolom<math display="block">\begin{bmatrix}
a_{1,1}&\cdots&a_{1,n}\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{m,1}&\cdots&a_{m,n}
\end{bmatrix}.</math>[[Perkalian matriks]] didefinisikan sedemikian rupa sehingga hasil perkalian yang didapat merepresentasikan [[Komposisi fungsi|komposisi]] peta-peta linear dari matriks-matriks yang bersesuaian. Sedangkan perkalian matriks dengan vektor (matriks kolom) merepresentasikan hasil dari melakukan pemetaan linear kepada vektor tersebut. Dari diskusi ini disimpulkan bahwa teori ruang vektor berdimensi hingga dan teori matriks adalah dua bahasa berbeda untuk mengekspresikan satu konsep yang sama.

Dua matriks yang mewakili pemetaan linier yang sama tapi dalam basis yang berbeda disebut [[Matriks serupa|matriks yang serupa]]. Dapat ditunjukkan bahwa dua matriks serupa jika dan hanya jika satu matriks dapat diubah menjadi matriks yang lainnya hanya dengan melakukan [[Matriks dasar|operasi-operasi matriks elementer]]. Untuk suatu matriks yang mewakili pemetaan linier dari ke , operasi baris elementer berkorespodensi dengan perubahan basis di sedangkan operasi kolom elementer berkorespodensi dengan perubahan basis di . Setiap matriks serupa dengan [[matriks identitas]] dengan mungkin tambahan beberapa kolom nol dan/atau baris nol. Dalam bahasa ruang vektor, ini mengartikan untuk semua pemetaan linier dari ke , ada basis sehingga sebagian basis di dipetakan secara bijektif menjadi bagian dari basis , sedangkan sisa basis yang lain, jika ada, akan dipetakan ke vektor nol. [[Eliminasi Gauss]] adalah algoritma dasar untuk menentukan operasi-operasi elementer yang diperlukan, dan membuktikan hasil-hasil pada diskusi ini.

== Sistem persamaan linier ==

Sebuah [[himpunan hingga|himpunan berhingga]] berisi persamaan-persamaan linier, masing-masing dengan berhingga banyaknya variabel, contohnya atau , disebut sebagai ''sistem persamaan linier''.

Sistem persamaan linier membentuk bagian penting dalam aljabar linier. Dari sisi sejarah, aljabar linier dan teori matriks dikembangkan untuk menyelesaikan sistem tersebut. Dalam perkembangan modern saat ini, dimana aljabar linier dinyatakan lewat ruang vektor dan matriks, banyak masalah dinyatakan dalam bentuk sistem persamaan linier. Sebagai contoh, misalkanadalah sistem persamaan linier yang menyatakan suatu masalah. Sistem persamaan linier tersebut dapat diasosiasikan dengan matriks<math display="block">M = \left[\begin{array}{rrr}
2 & 1 & -1\\
-3 & -1 & 2 \\
-2 & 1 & 2
\end{array}\right]
</math>yang berisi semua koefisien di ruas kiri, dan vektor <math display="block">\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 8\\-11\\-3 \end{bmatrix} </math>yang berisi semua nilai di ruas kanan. Misalkan juga adalah pemetaan linier yang berasosiasi dengan matriks . Suatu penyelesaian dari sistem () adalah vektor <math display="block">\mathbf{X}=\begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix}</math>yang memenuhi

: <math>T(\mathbf{X}) = \mathbf{v},</math>

yakni sebuah elemen yang menjadi [[Citra (matematika)|pracitra]] dari oleh pemetaan .

Misalkan () adalah sistem homogen yang berasosiasi dengan (), yakni sistem persamaan linier dengan semua nilai pada ruas kanan sama dengan nol:Himpunan penyelesaian dari () adalah elemen-elemen dari [[Kernel (aljabar linear)|kernel]] , atau secara ekuivalen, kernel dari .

Solusi dari sistem persamamaan linier dapat ditemukan dengan melakukan proses [[Eliminasi Gauss|eliminasi Gauss-Jordan]] pada matriks gabungan
<math display="block">\left[\!\begin{array}{c|c}M&\mathbf{v}\end{array}\!\right] = \left[\begin{array}{rrr|r}
2 & 1 & -1&8 \\
-3 & -1 & 2&-11 \\
-2 & 1 & 2&-3
\end{array}\right].
</math>
Pross eliminasi ini adalah serangkaian [[Matriks dasar|operasi baris dasar]] yang mengubah matriks ke dalam [[Bentuk eselon baris|bentuk eselon baris tereduksi]]. Pada contoh ini, bentuk eselon baris tereduksi-nya adalah
<math display="block">\left[\!\begin{array}{c|c}M&\mathbf{v}\end{array}\!\right] = \left[\begin{array}{rrr|r}
1 & 0 & 0&2 \\
0 & 1 & 0&3 \\
0 & 0 & 1&-1
\end{array}\right],
</math> menunjukkan bahwa sistem () memiliki solusi unik<math display="block">\begin{align}x&=2\\y&=3\\z&=-1.\end{align}</math>Interpretasi matriks dari sistem persamaan linier juga dapat diterapkan untuk menyelesaikan operasi-operasi matriks dan pemetaan linier lainnya, seperti menghitung [[Rank (aljabar linear)|rank]], [[Kernel (aljabar linear)|kernel]], dan [[invers matriks]].

== Endomorfisme dan matriks persegi ==

Sebuah [[endomorfisme]] linier adalah [[peta linear|peta linier]] yang memetakan suatu ruang vektor ke dirinya sendiri. Jika memiliki basis berisi elemen, endomorfisme tersebut dapat dinyatakan oleh sebuah [[matriks persegi]] berukuran <math>n\times n</math>. Berhubungan dengan pemetaan linier secara umum, endomorfisme linier dan matriks persegi memiliki beberapa sifat khusus yang membuat mereka memainkan peran penting dalam aljabar linier.

=== Determinan ===

''Determinan'' dari suatu matriks persegi didefinisikan sebagai

: <math>\sum_{\sigma \in S_n} (-1)^{\sigma} a_{1\sigma(1)} \cdots a_{n\sigma(n)}, </math>

dengan adalah [[Grup simetrik|grup dari semua permutasi]] elemen, adalah sebuah permutasi, dan adalah [[Paritas (matematika)|paritas]] dari permutasi. Sebuah matriks disebut [[Matriks terbalikkan|terbalikkan]] (''invertible'') jika dan hanya jika nilai determinannya dapat dibalik (diinvers), dengan kata lain, nilainya tidak sama dengan nol.

[[Kaidah Cramer]] adalah rumus yang dinyatakan dalam bentuk determinan, dan dapat digunakan untuk mencari solusi sistem linear dengan persamaan dan variabel. Kaidah Cramer berguna untuk menjelaskan solusi yang ditemukan, tetapi kecuali untuk atau , kaidah tersebut jarang digunakan untuk mencari solusi. Algoritma yang lebih cepat untuk mencari penyelesaian adalah [[eliminasi Gauss]].

=== Nilai eigen dan vektor eigen ===

Jika adalah endomorfisme linier dari suatu ruang vektor atas suatu [[Medan (matematika)|medan]] , ''vektor eigen'' dari adalah vektor tak-nol di sedemikian rupa sehingga untuk suatu skalar di . Skalar ini disebut sebagai nilai eigen dari .

Jika dimensi dari hingga, dan sebuah basis telah dipilih, dan dapat direpresentasikan masing-masing oleh sebuah matriks persegi dan sebuah matriks kolom ; Persamaan yang mendefinisikan vektor eigen dan nilai eigen selanjutnya dapat ditulis ulang sebagai
<math>Mz=az.</math>

Menggunakan [[matriks identitas]] , matriks dengan semua elemen pada diagonal utama bernilai 1 dan semua elemen lainnya bernilai 0, persamaan tersebut dapat ditulis sebagai
<math>(M-aI)z=0.</math>

Karena bukan vektor nol, ekspresi menyatakan suatu [[matriks singular]] yang nilai determinannya, , sama dengan nol.

== Catatan ==

== Referensi ==

== Daftar pustaka ==

*
*
*
*
*
*
*
*
*

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Aljabar+Linier&oldid=28438709 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28438709 (2025-11-13T03:08:12Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Aljabar Linier - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28438709; atribusi sumber disertakan.