Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T09:03:57Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 09.03
Baris 1:		Baris 1:
			[[File:Latex_integers.svg\|thumb\|right\|280px\|Latex integers]]

	Dalam [[matematika]], khususnya dalam cabang [[aljabar abstrak]] yang dikenal sebagai [[teori gelanggang]], '''aljabar bebas''' merupakan analog tak komutatif dari gelanggang polinomial. Unsur-unsur dalam aljabar bebas dapat dipandang sebagai "[[polinomial]]" yang variabel-variabelnya tidak saling komutatif, artinya urutan variabel memengaruhi hasil.		Dalam [[matematika]], khususnya dalam cabang [[aljabar abstrak]] yang dikenal sebagai [[teori gelanggang]], '''aljabar bebas''' merupakan analog tak komutatif dari gelanggang polinomial. Unsur-unsur dalam aljabar bebas dapat dipandang sebagai "[[polinomial]]" yang variabel-variabelnya tidak saling komutatif, artinya urutan variabel memengaruhi hasil.

Baris 54:		Baris 56:

	=== Aplikasi ===		=== Aplikasi ===

	* [[Ilmu komputer]]: digunakan untuk merepresentasikan ekspresi simbolik, [[bahasa formal]], dan [[Pohon (struktur data)\|struktur pohon ekspresi]].		* [[Ilmu komputer]]: digunakan untuk merepresentasikan ekspresi simbolik, [[bahasa formal]], dan [[Pohon (struktur data)\|struktur pohon ekspresi]].
	* [[Logika matematika]]: muncul dalam [[teori bilangan aljabar]] dan sistem pembuktian otomatis.		* [[Logika matematika]]: muncul dalam [[teori bilangan aljabar]] dan sistem pembuktian otomatis.
Baris 64:		Baris 65:

	== Lihat juga ==		== Lihat juga ==

	* [[Koaljabar Kobebas]]		* [[Koaljabar Kobebas]]
	* [[Tensor\|Aljabar Tensor]]		* [[Tensor\|Aljabar Tensor]]
Baris 72:		Baris 72:
	* [[Istilah aljabar]]		* [[Istilah aljabar]]

	== ~~Referensi~~ ==		== Sumber dan atribusi ==

	* Berstel, Jean; Reutenauer, Christophe (2011). ''[https://zbmath.org/?format=complete&q=an:1250.68007 Noncommutative rational series with applications. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications]''. Cambridge: [[Cambridge University Press]]. p. 137. [[ISBN]] [[Istimewa:Sumber buku/978-0-521-19022-0\|<bdi>978-0-521-19022-0</bdi>]].
	* L.A. Bokut' (2001) [1994], [https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Free_associative_algebra "Free associative algebra"], [[Encyclopedia of Mathematics]], [[EMS Press]].



	== ~~Sumber~~ dan ~~atribusi ==~~		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Aljabar+bebas&oldid=28655013 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28655013 (2025-12-03T02:03:40Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

	~~Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Aljabar+bebas&oldid=28655013 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28655013 (2025~~-12-~~03T02:03:40Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi~~-~~BerbagiSerupa (CC BY~~-~~SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.~~		<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28655013; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T08:37:03Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28655013; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[matematika]], khususnya dalam cabang [[aljabar abstrak]] yang dikenal sebagai [[teori gelanggang]], '''aljabar bebas''' merupakan analog tak komutatif dari gelanggang polinomial. Unsur-unsur dalam aljabar bebas dapat dipandang sebagai "[[polinomial]]" yang variabel-variabelnya tidak saling komutatif, artinya urutan variabel memengaruhi hasil.

Sebaliknya, gelanggang polinomial biasa dapat dianggap sebagai aljabar bebas komutatif, di mana variabel-variabelnya saling komutatif, sehingga urutan variabel tidak memengaruhi hasil operasi.

== Pengertian ==
Dalam aljabar abstrak, aljabar bebas atas suatu [[gelanggang komutatif]] ''R'' (dengan sifat [[Aljabar atas medan#Aljabar takasosiatif|asosiatif]] dan memiliki elemen identitas atau [[Aljabar atas medan#Aljabar unital|unital]]) pada ''n'' simbol tak tentu {X1,...,X<big>n</big>}, didefinisikan sebagai [[modul bebas]] ''R'' dengan basis yang terdiri dari semua [[Kata (teori grup)|kata]] yang dapat dibentuk dari alfabet {X<big>1</big>,...,X<big>n</big>}. Basis ini mencakup juga kata kosong, yang berfungsi sebagai elemen identitas dalam aljabar tersebut.

Modul bebas ini diperlengkapi dengan struktur aljabar R melalui [[perkalian]] yang didefinisikan sebagai penggabungan kata. Perkalian antara dua elemen basis dilakukan dengan menggabungkan kata-kata yang bersesuaian, sebagai berikut:
:<math>\left(X_{i_1}X_{i_2} \cdots X_{i_l}\right) \cdot \left(X_{j_1}X_{j_2} \cdots X_{j_m}\right) = X_{i_1}X_{i_2} \cdots X_{i_l}X_{j_1}X_{j_2} \cdots X_{j_m},</math>
Untuk dua elemen sebarang dari modul ''R'', hasil kali ditentukan secara unik karena perkalian dalam aljabar R harus bersifat '''bilinear''' terhadap R. Aljabar yang dihasilkan dari konstruksi ini dilambangkan dengan: ''R''⟨X1,...,Xn⟩ Konstruksi ini dapat digeneralisasi untuk himpunan tak tentu sembarang ''X'', bukan hanya yang himpunan berhingga.

=== Definisi Umum ===
Secara umum, untuk suatu himpunan sembarang <math>X=\{X_i\,;\; i\in I\}</math>, aljabar bebas atas ''R'' yang bersifat asosiatif dan unital dilambangkan dengan:

:<math>R\langle X\rangle:=\bigoplus_{w\in X^\ast}R w</math>

di mana:

* X∗ menyatakan [[Monoid bebas|monoide bebas]] yang dihasilkan oleh ''X'', yaitu semua kata hingga (termasuk kata kosong) yang dibentuk dari simbol dalam ''X'',
* Simbol ⨁ menyatakan jumlah langsung eksternal,
* ''Rw'' menyatakan salinan [[Modul bebas|''R'' modul bebas]] untuk setiap kata ''w''.

Perkalian dalam aljabar ini didefinisikan sebagai [[Rangkaian (ilmu komputer)|penggabungan rangkaian]], dan bersifat [[pemetaan bilinear]] terhadap ''R''.

=== Contoh ===
Misalnya, dalam aljabar bebas ''R⟨''X''1,''X''2,''X''3,''X''4⟩, ''untuk skala''r ''α, β, γ, δ'' ∈ ''R'','' suatu contoh konkret dari hasil perkalian dua elemen adalah sebagai berikut:

=== Hubungan dengan Gelanggang monoid ===
Aljabar bebas tidak komutatif juga dapat dipandang sebagai [[gelanggang monoid]] dalam ''R'', di mana [[monoid]]e yang dimaksud adalah semua kata hingga dari alfabet

''X''. Aljabar bebas menyediakan suatu cara untuk membentuk [[gelanggang polinomial]] tidak komutatif atas himpunan pembangkit sembarang.

=== Kontras dengan Gelanggang Polinomial ===
Karena kata-kata atas alfabet {''X''1, ...,''Xn''} membentuk basis dari aljabar bebas ''R''⟨''X''1,..., maka setiap elemen dari aljabar tersebut dapat dinyatakan secara unik dalam bentuk:

:<math>\sum\limits_{k = 0}^\infty \, \, \, \sum\limits_{i_1,i_2, \cdots ,i_k\in\left\lbrace 1,2, \cdots ,n\right\rbrace} a_{i_1,i_2, \cdots ,i_k} X_{i_1} X_{i_2} \cdots X_{i_k},</math>

di mana <math> a_{i_1,i_2,...,i_k}</math> merupakan elemen-elemen dari ring ''R'', dan hanya sejumlah terbatas dari elemen tersebut yang bernilai bukan nol.

Bentuk ini menjelaskan mengapa elemen-elemen dalam R⟨''X''1,...,''Xn''⟩ sering kali disebut sebagai polinomial tidak komutatif. Dalam konteks ini, simbol-simbol ''X''1,...,''Xn'' berfungsi sebagai variabel, sedangkan koefisien-koefisien <math> a_{i_1,i_2,...,i_k}</math> berasal dari gelanggang komutatif ''R''. Aljabar ''R''⟨X1,...,''X''n⟩ ini disebut sebagai aljabar polinomial tidak komutatif pada ''R'' dengan ''n'' variabel.

Berbeda dengan gelanggang polinomial biasa, dalam aljabar bebas variabel tidak saling menukar posisi. Sebagai contoh, ''X''1''X''2 tidak sama dengan ''X''2''X''1, karena urutan penulisan memengaruhi hasil perkalian.

=== Konstruksi Umum ===
Secara lebih umum, seseorang dapat membangun aljabar bebas ''R''⟨E⟩ untuk himpunan generator sembarang ''E''. Karena sebuah gelanggang dapat dianggap sebagai aljabar atas ''Z'', maka aljabar bebas atas ''Z'' dengan himpunan ''E'' dilambangkan dengan ''Z''⟨E⟩.

Jika ''R'' adalah sebuah medan, maka aljabar bebas atas ''n'' tak tentu dapat dikonstruksi sebagai aljabar [[tensor]] dari suatu ruang vektor berdimensi ''n''. Untuk [[persamaan linear gelanggang]] yang lebih umum, pendekatan serupa dapat dilakukan dengan menggunakan [[modul bebas]] pada ''R'' dengan jumlah generator sebanyak elemen ''E''.

=== Sifat Universal ===
Aljabar bebas memenuhi sifat universal: untuk setiap fungsi, di mana adalah [[Aljabar atas medan|aljabar atas]] [[Aljabar atas medan|medan]], terdapat satu-satunya [[homomorfisme aljabar]] yang memperluas. Artinya, adalah "aljabar paling umum" yang mengandung tanpa syarat tambahan.

=== Hubungan dengan Teori Kategori ===
Dalam [[Teori bilangan aljabar]], aljabar bebas merupakan funktor kiri adjungsi terhadap [[funktor fogetful]] dari kategori bilangan aljabar ke [[aljabar himpunan]]. Ini berarti bahwa aljabar bebas memberikan struktur aljabar yang "paling bebas" atas suatu himpunan.

=== Aplikasi ===

* [[Ilmu komputer]]: digunakan untuk merepresentasikan ekspresi simbolik, [[bahasa formal]], dan [[Pohon (struktur data)|struktur pohon ekspresi]].
* [[Logika matematika]]: muncul dalam [[teori bilangan aljabar]] dan sistem pembuktian otomatis.
* [[Teori basis data]]: digunakan dalam manipulasi [[bahasa kueri]].
* [[Maple (perangkat lunak)|Komputasi simbolik]]: aljabar bebas digunakan untuk merepresentasikan ekspresi yang belum disederhanakan.

=== Aljabar Bebas atas Gelanggang Pembagian ===
Aljabar bebas atas gelanggang pembagian menghasilkan [[gelanggang pembagian]], yang penting dalam [[teori gelanggang]] dan [[teori representasi]].

== Lihat juga ==

* [[Koaljabar Kobebas]]
* [[Tensor|Aljabar Tensor]]
* [[Objek bebas]]
* [[Gelanggang nonkomutatif]]
* [[Deret rasional]]
* [[Istilah aljabar]]

== Referensi ==

* Berstel, Jean; Reutenauer, Christophe (2011). ''[https://zbmath.org/?format=complete&q=an:1250.68007 Noncommutative rational series with applications. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications]''. Cambridge: [[Cambridge University Press]]. p. 137. [[ISBN]] [[Istimewa:Sumber buku/978-0-521-19022-0|<bdi>978-0-521-19022-0</bdi>]].
* L.A. Bokut' (2001) [1994], [https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Free_associative_algebra "Free associative algebra"], [[Encyclopedia of Mathematics]], [[EMS Press]].

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Aljabar+bebas&oldid=28655013 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28655013 (2025-12-03T02:03:40Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Aljabar bebas - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28655013; atribusi sumber disertakan.