Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T18:11:37Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29302385; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T17:54:04Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29302385; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[matematika]], '''analisis kompleks''' (), merupakan cabang analisis matematis yang membahas fungsi dari [[bilangan kompleks]] (yakni mengkaji tidak hanya satu bilangan, melainkan dua bilangan, yakni [[bilangan real|bilangan riil]] dan [[bilangan imajiner]]).

Analisis kompleks biasanya dikenal sebagai '''teori fungsi variabel kompleks''' atau '''teori fungsi peubah kompleks'''.

== Konsep analisis kompleks ==
Konsep analisis kompleks ini hampir mirip dengan konsep analisis real. Berikut ini merupakan konsep-konsep analisis kompleks, diantaranya

=== Bilangan kompleks ===

Dalam matematika, khususnya analisis kompleks, bilangan kompleks merupakan himpunan bilangan yang terdiri dua himpunan bilangan, yakni [[bilangan real|bilangan riil]] dan [[Bilangan imajiner|imajiner]]. Mengenai definisi bilangan kompleks, kita misalkan <math>z</math> adalah bilangan kompleks, sehingga dapat didefinisikan

:<math>z = \{a + bi \mid a, b \in \R \}</math>

serta himpunannya didefinisikan sebagai

:<math>\C = \{z \mid z = (a,b); a, b \in \R\}</math>,

di mana <math>a</math> adalah [[bagian real|bagian riil]], dinotasikan <math>\Re(z)</math> dan <math>bi</math> adalah [[bagian imajiner]], dinotasikan <math>\Im(z)</math>, atau <math>\operatorname{Re}(z)</math> dan <math>\operatorname{Im}(z)</math>.

=== Fungsi elementer ===
Pada konsep ini akan diperkenalkan fungsi elementer, yakni [[Suku banyak|fungsi suku banyak]], [[fungsi rasional]], [[fungsi eksponensial]], [[Fungsi trigonometrik|fungsi trigonometri]], [[fungsi hiperbolik]], [[fungsi logaritma]] (beserta inversnya), dan [[Fungsi transendental|fungsi aljabar dan transenden]].

==== Fungsi suku banyak ====
Dalam analisis kompleks, fungsi suku banyak didefinisikan sebagai

:<math>P(z) = a_0z^{n-1} + a_1 z^n + \dots + a_n</math>

di mana <math>a_0 \ne 0</math>, <math>a_1, \dots, a_n</math> adalah konstanta kompleks dan <math>n</math> adalah [[Bilangan asli|bilangan bulat positif]] yang dinamakan derajat suku polinom <math>P(z)</math>. Mengingat kembali, fungsi rasional adalah fungsi yang mana setiap pembilang dan penyebutnya berupa [[fungsi polinomial]]. Misalkan <math>P</math> dan <math>Q</math> adalah fungsi polinomial dengan variabel kompleks sehingga

:<math>R(z) = \frac{a_{0}z^{n}+a_{1}z^{n-1}+\cdots +a_{n}}{c_{0}z^{m}+c_{1}z^{m-1}+\cdots +c_{m}}</math>

adalah fungsi rasional bilangan kompleks, dengan kasus khusus diperoleh

:<math>R(z) = \frac{az + b}{cz + d}, \quad ad - bc \ne 0</math>

adalah suatu transformasi linear atau dinamakan transformasi bilinear.

==== Fungsi eksponensial ====
Dalam cabang ini, eksponensial dapat memperluas [[Deret Taylor#Fungsi eksponensial|deret kuasa]] [[fungsi eksponensial]] dari bilangan riil ke bilangan kompleks. Untuk suatu bilangan riil <math>\theta</math>,

:<math>\begin{aligned}
e^{i \theta} &= \sum_{n = 0}^\infty \frac{(i \theta)^n}{n!} \\
&= 1 + i\theta + \frac{1}{2!}(i \theta)^2 + \frac{1}{3!} (i \theta)^3 + \frac{1}{4!} (i \theta)^4 + \cdots \\
&= \left(1 - \frac{\theta^2}{2!} - \frac{\theta^4}{4!} - \cdots \right) + i \left(\theta - \frac{\theta^3}{3!} - \frac{\theta^5}{5!} - \cdots \right)
\end{aligned}</math>

Karena <math>\cos x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n \cdot x^{2n}}{(2n)!}</math> dan <math>\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \cdot x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> (lihat di[[Deret Taylor#Fungsi trigonometri|sini]] mengenai hubungan fungsi trigonometri dengan deret), maka

:<math>e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta</math>

Hubungan fungsi eksponensial dengan bilangan kompleks ini dapat kita sebut sebagai [[rumus Euler]].

==== Fungsi trigonometri dan fungsi hiperbolik beserta inversnya ====
Mengenai fungsi trigonometri cukup kita turunan [[rumus Euler]], sehingga didapati

:<math>\sin z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2i}</math> dan <math>\cos z = \frac{e^{iz} + e^{iz}}{2}</math>

Sifat-sifat mengenai fungsi trigonometri dalam bilangan riil berlaku juga dalam bilangan kompleks. Karena fungsi trigonometri dan fungsi hiperbolik (beserta inversnya) berhubungan, maka berlaku juga dalam bilangan kompleks.

==== Fungsi logaritma ====

Dalam konsep ini, fungsi ini berupa generalisasi [[logaritma alami]] terhadap [[bilangan kompleks]] bukan nol. Misalkan <math>w = \log z</math>, di mana <math>z = e^{a+bi} = e^a \cdot e^{bi}</math> dan persamaan ini ekuivalen dengan

:<math>e^a = \left|w \right| \quad \text{ dan } \quad e^b = \frac{w}</math>.

Dengan substitusi, maka diperoleh

:<math>w = \log e^a + \log e^{bi} = \log |w| + i \arg w</math>

di mana <math>b = \arg w</math>.

=== Limit dan kekontinuan ===
Suatu fungsi <math>f(z)</math> terdefinisi atau mempunyai limit <math>L</math> untuk <math>z</math> mendekati <math>z_0</math> dituliskan sebagai

:<math>\lim_{z \to z_0} f(z) = L</math>.

Definisi limit dapat kita agak-agihkan lebih lanjut menggunakan [[Definisi limit (ε, δ)|definsi limit (ε,δ)]].

=== Turunan ===
Turunan dalam analisis kompleks mirip dengan turunan dalam analisis riil. Namun, karena halaman ini membahas tentang analisis kompleks, kita akan menganggap <math>z</math> adalah bilangan kompleks. Menurut definisi, jika diturunkan di <math>z_0</math>, maka turunan <math>f</math> dirumuskan

:<math>f'(z_0) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z_0 - \Delta z) - f(z_0)}{\Delta z}</math> atau <math>f'(z_0) = \lim_{z \to z_0} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0}</math>.

=== Integral ===
Dalam analisis kompleks, integral mirip dengan [[analisis riil]] (termasuk juga dengan [[kalkulus]]), yakni cabang dari analisis matematis yang menyelidiki fungsi dari bilangan kompleks. Dengan memisalkan <math>f(t)</math> adalah fungsi kompleks dengan variabel riil <math>t</math> di mana <math>f(t) = u(t) + i \cdot v(t)</math> sehingga <math>u(t)</math> dan <math>v(t)</math> [[Fungsi kontinu|kontinu]] di interval <math>[a,b]</math>. Kita dapat menuliskannya sebagai

:<math>\int_a ^b f(t)\, \mathrm dt = \int_a ^b u(t) \, \mathrm dt + i \int_a ^b v(t) \, \mathrm dt</math>.
Integral dalam cabang ini dibagi menjadi:

* '''Integral lintasan''', yaitu suatu integral yang didefinisikan dalam bentuk <math>f(z)</math> sepanjang lintasan <math>C</math> dari <math>z_1</math> hingga ke <math>z_2</math>. Ini dapat ditulis sebagai

<blockquote><math>\int_C f(z) \, \mathrm dz</math> atau <math>\int_{z_1} ^{z_2} f(z) \, \mathrm dz</math>.</blockquote>

* '''[[Integral kontur]]''', metode menghitung integral tertentu di sepanjang lintasan dalam bidang kompleks.
* '''[[Teorema integral Cauchy]]''' atau dikenal '''[[teorema Cauchy–Goursat]]''' adalah pernyataan penting tentang [[integral garis]] terhadap fungsi holomorfik dalam bidang kompleks. Teorema ini berbunyi

*

=== Residu ===

[[Residu (analisis kompleks)|Residu]] dalam analisis kompleks ialah bilangan kompleks yang sebanding dengan integral kontur dari fungsi meromorfik di sepanjang lintasan yang melintasi salah satu singularitasnya. Biasanya dilambangkan sebagai <math>\operatorname{Res}(f,c)</math> atau <math>\operatorname{Res}_c f</math>. Misal <math>f</math> adalah fungsi yang analitik di titik <math>z_0</math>, yang dapat diekspansi ke dalam [[deret Laurent]] yang berbentuk

:<math>f(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty a_n (z - z_0)^n</math>.

Pada koefisien <math>a_{-1}</math>, terdapat pada suku deret Laurent yang berbentuk <math>\frac{1}{z - z_0}</math> dinamakan residu <math>f</math> pada <math>z_0</math>. Ini ditulis dengan

:<math>a_{-1} = \operatorname{Res}(f,z_0)</math>.

==== Teorema residu Cauchy ====

[[Teorema residu]] (kadangkala disebut teorema residu Cauchy) merupakan teorema yang cukup penting untuk menghitung integral garis fungsi analitik terhadap kurva tertutup dan kerap kala dipakai untuk menghitung integral riil dan [[Deret (matematika)|deret takhingga]] juga. Diberikan <math>C</math> adalah lintasan tertutup sederhana yang berorientasi positif, dengan eksepsi pada berhingga banyaknya titik <math>z_1,\dots,z_n</math> yang masing-masing merupakan singularitas terasing <math>f</math>. Maka,

:<math>\int_C f(z) \, \mathrm dz = 2\pi i \sum_{k = 1}^n \operatorname{Res}(f,z_k)</math>
atau kita tuliskan sebagai
:<math>\int_C f(z) \, \mathrm dz = 2 \pi i \sum_{k = 1}^n \underset{z=z_k}{\operatorname{Res}} f(z)</math>.

=== Pemetaan konformal ===

Pemetaan konformal (terkadang disebut juga sebagai transformasi konformal atau pemetaan bihomorfik) merupakan suatu pemetaan yang mempertahankan besar dan arah [[Sudut (geometri)|sudut]]. Pemetaan ini juga didefinisikan sebagai suatu teknik dalam matematika (terutama analisis kompleks) yang digunakan untuk mentransformasikan suatu permasalahan matematika beserta penyelesaiannya ke bentuk lain.

Dengan meninjau diberikan suatu pemetaan, <math>w = f(z) = f(x + iy)</math>, beserta sebarang dua kurva <math>C_1</math>, <math>C_2</math> pada bidang <math>z</math> berpotongan pada titik <math>(x_0,y_0)</math> dipetakan berturut-turut sebagai kurva <math>C_1</math> dan <math>C_2</math> pada bidang <math>w</math> yang berpotongan di <math>(u_0,v_0)</math> antara kurva <math>C_1</math> dan <math>C_2</math>, maka pemetaan <math>w = f(z) = f(x + iy)</math> konformal pada <math>(x_0,y_0)</math>.

== Dimensi fraktal dalam bilangan kompleks ==

[[Dimensi fraktal]] merupakan dimensi dengan rasio yang memberikan [[kompleksitas]] indeks statistik dengan membandingkan bagaimana detail dalam [[pola]] [[fraktal]] berubah [[Skala (geometri)|skalanya]] pada saat diukur. Namun, halaman ini membahas dimensi fraktal dalam bilangan kompleks, salah satu himpunan yang terkenal adalah [[himpunan Julia]] dan [[himpunan Mandelbrot]].

=== Himpunan Julia ===

[[Himpunan Julia]], himpunan yang pertama kali diselidiki matematikawan Prancis, [[Gaston Julia]], merupakan salah satu contoh himpunan fraktal yang didefinisikan pada bilangan kompleks dan dibangun dari iterasi-iterasi fungsi kompleks. Salah satu fungsi yang sederhana yang membangun himpunan Julia adalah

: <math>z_{n+1} = z_n^2 + c, \quad c \in \C</math>.

Dalam dinamika kompleks, himpunan Julia sangat terkait erat dengan [[himpunan Mandelbrot]].

=== Himpunan Mandelbrot ===

Himpunan Mandelbrot, dinamai dari [[Benoît Mandelbrot]] (matematikawan berkebangsaan Prancis dan [[Amerika Serikat]]) merupakan kumpulan titik-titik <math>c</math> pada bidang kompleks yang dibangun dengan mengiterasikan fungsi <math>z_{n+1} = z_n^2 + c</math> dengan nilai awal <math>z</math> bernilai <math>0</math>.

== Hubungan analisis kompleks dengan cabang lainnya ==
Analisis kompleks berguna terhadap cabang matematika lainnya, diantaranya: [[geometri aljabar]], hubungan di mana metode transendental ke geometri aljabar, bersama dengan lebih banyak aspek geometri analisis kompleks, yaitu [[geometri kompleks]]; [[teori bilangan]], salah satunya [[hipotesis Riemann]], berasal dari [[Masalah Milenium]]. Masalah ini diperluas ke seluruh bidang kompleks melalui kontinuasi analitik.; dan [[kombinatorik analitik]], di mana cabang ini dapat diterapkan pada ekspansi binomial pada bilangan kompleks, seperti [[deret Taylor]], [[deret Laurent]], dan [[teorema binomial]].

Namun, hubungan analisis kompleks masih berkaitan dengan cabang fisika, di antaranya: [[hidrodinamika]] atau [[dinamika fluida]], di mana bilangan kompleks dapat diterapkan ke dalam kasus penghitungan potensial untuk aliran inkompresibel dimensi 2.; [[termodinamika]], di mana [[hipotesis Riemann]] berhubungan dengan [[Mekanika statistika|mekanika statistik]], lihat [[Gas Riemann bebas#Mekanika statistik|gas Riemann bebas]] ([[Free Riemann gas#Statistical mechanics|en]]); dan [[mekanika kuantum]], bilangan kompleks dapat diterapkan pada dualitas gelombang partikel, kontroversi kucing [[Erwin Schrödinger|Schrödinger]], studi kasus spin dan dadu, percobaan celah ganda (berupa contoh pedagogik), dan lain sebagainya.
*

== Lihat pula ==

* [[Analisis real]] atau [[analisis riil]], cabang yang membahas [[Analisis matematis|analisis]] mengenai [[bilangan riil]].
* [[Daftar topik analisis kompleks]], meliputi topik yang berkenaan dengan analisis kompleks.

== Referensi ==

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Analisis+kompleks&oldid=29302385 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29302385 (2026-06-01T08:18:52Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Analisis kompleks - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29302385; atribusi sumber disertakan.