Analisis numerik - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-23T03:14:27Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 23 Agustus 2026 03.14
Baris 1:		Baris 1:
	'''Analisis numerik''' adalah studi [[algoritme]] untuk memecahkan masalah dalam ''matematika kontinu'' (sebagaimana dibedakan dengan [[matematika diskret]])		'''Analisis numerik''' adalah studi [[algoritme]] untuk memecahkan masalah dalam ''matematika kontinu'' (sebagaimana dibedakan dengan [[matematika diskret]])

	Salah satu tulisan matematika terdini adalah loh Babilonia [[YBC 7289]], yang memberikan hampiran numerik [[seksagesimal]] dari <math>\sqrt{2}</math>, panjang diagonal dari persegi satuan.		Salah satu tulisan matematika terdini adalah loh Babilonia [[YBC 7289]], yang memberikan hampiran numerik [[seksagesimal]] dari <math>\sqrt{2}</math>, panjang diagonal dari persegi satuan.<ref>Hampiran akar dari 2 itu adalah empat angka seksagesimal, yaitu sekitar enam angka desimal: 1 + 24/60 + 51/60 2 + 10/60 3 = 1.41421296... [http://it.stlawu.edu/%7Edmelvill/mesomath/tablets/YBC7289.html Foto, ilustrasi dan deskripsi dari loh ''akar (2) dari koleksi Babilonia Universitas Yale]</ref>

	Kemampuan untuk dapat menghitung sisi segitiga (dan berarti mampu menghitung akar kuadrat) sangatlah penting, misalnya, dalam pertukangan kayu dan konstruksi.		Kemampuan untuk dapat menghitung sisi segitiga (dan berarti mampu menghitung akar kuadrat) sangatlah penting, misalnya, dalam pertukangan kayu dan konstruksi.<ref>Otoritas kualifikasi Selandia Baru secara khusus menyebutkan kecekatan ini dalam dokumen 13004 versi 2, tertanggal 17 Oktober 2003 berjudul [http://www.nzqa.govt.nz/nqfdocs/units/pdf/13004.pdf CARPENTRY THEORY: Demonstrate knowledge of setting out a building]</ref>

	Analisis numerik melanjutkan tradisi panjang perhitungan praktis matematika ini. Seperti hampiran orang Babilonia terhadap <math>\sqrt{2}</math>, analisis numerik modern tidak mencari jawaban eksak, karena jawaban eksak dalam praktiknya tidak mungkin diperoleh. Sebagai gantinya, kebanyakan analisis numerik memperhatikan bagaimana memperoleh pemecahan hampiran, dalam batas galat yang beralasan.		Analisis numerik melanjutkan tradisi panjang perhitungan praktis matematika ini. Seperti hampiran orang Babilonia terhadap <math>\sqrt{2}</math>, analisis numerik modern tidak mencari jawaban eksak, karena jawaban eksak dalam praktiknya tidak mungkin diperoleh. Sebagai gantinya, kebanyakan analisis numerik memperhatikan bagaimana memperoleh pemecahan hampiran, dalam batas galat yang beralasan.
Baris 12:		Baris 12:

	== Pengenalan umum ==		== Pengenalan umum ==

	Tujuan keseluruhan bidang analisis numerik adalah perancangan dan analisis teknik untuk mendapatkan solusi hampiran yang akurat terhadap masalah-masalah yang sukar. Contoh masalah-masalah tersebut akan dipaparkan di bawah.		Tujuan keseluruhan bidang analisis numerik adalah perancangan dan analisis teknik untuk mendapatkan solusi hampiran yang akurat terhadap masalah-masalah yang sukar. Contoh masalah-masalah tersebut akan dipaparkan di bawah.

Baris 23:		Baris 22:

	=== Sejarah ===		=== Sejarah ===

	Bidang analisis numerik sudah sudah dikembangkan berabad-abad sebelum penemuan komputer modern. [[Interpolasi linear]] sudah digunakan lebih dari 2000 tahun yang lalu. Banyak matematikawan besar dari masa lalu disibukkan oleh analisis numerik, seperti yang terlihat jelas dari nama algoritma penting seperti [[metode Newton]], [[polinomial Lagrange\|interpolasi polinomial Lagrange]], [[eliminasi Gauss]], atau [[metode Euler]].		Bidang analisis numerik sudah sudah dikembangkan berabad-abad sebelum penemuan komputer modern. [[Interpolasi linear]] sudah digunakan lebih dari 2000 tahun yang lalu. Banyak matematikawan besar dari masa lalu disibukkan oleh analisis numerik, seperti yang terlihat jelas dari nama algoritma penting seperti [[metode Newton]], [[polinomial Lagrange\|interpolasi polinomial Lagrange]], [[eliminasi Gauss]], atau [[metode Euler]].

Baris 31:		Baris 29:

	=== Metode langsung dan iteratif ===		=== Metode langsung dan iteratif ===

	Metode langsung menghitung pemecahan suatu masalah dalam jumlah langkah terhingga. Metode ini akan memberikan jawaban persis bila dilakukan dalam hitungan dengan ketepatan takhingga. Contohnya adalah [[eliminasi Gauss]], metode pemfaktoran QR untuk memecahkan [[sistem persamaan linear]], dan metode simpleks untuk [[Program linear\|pemrograman linear]]. Pada praktiknya, yang digunakan adalah perhitungan ketepatan hingga (titik kambang) dan hasilnya adalah hampiran terhadap pemecahan sebenarnya (dengan andaian tercapai kestabilan numerik).		Metode langsung menghitung pemecahan suatu masalah dalam jumlah langkah terhingga. Metode ini akan memberikan jawaban persis bila dilakukan dalam hitungan dengan ketepatan takhingga. Contohnya adalah [[eliminasi Gauss]], metode pemfaktoran QR untuk memecahkan [[sistem persamaan linear]], dan metode simpleks untuk [[Program linear\|pemrograman linear]]. Pada praktiknya, yang digunakan adalah perhitungan ketepatan hingga (titik kambang) dan hasilnya adalah hampiran terhadap pemecahan sebenarnya (dengan andaian tercapai kestabilan numerik).

Baris 39:		Baris 36:

	=== Diskretisasi ===		=== Diskretisasi ===

	Masalah kontinu kadang-kadang mesti digantikan dengan masalah diskret yang solusinya diketahui menghampiri masalah kontinu. Proses seperti ini dinamakan ''[[diskretisasi]]''. Sebagai contoh, solusi [[persamaan diferensial]] adalah sebuah fungsi. Fungsi ini mesti direpresentasikan oleh data dalam jumlah terhingga, misalnya oleh nilai-nilainya pada sejumlah terhingga titik dalam domainnya, meskipun domainnya adalah malaran.		Masalah kontinu kadang-kadang mesti digantikan dengan masalah diskret yang solusinya diketahui menghampiri masalah kontinu. Proses seperti ini dinamakan ''[[diskretisasi]]''. Sebagai contoh, solusi [[persamaan diferensial]] adalah sebuah fungsi. Fungsi ini mesti direpresentasikan oleh data dalam jumlah terhingga, misalnya oleh nilai-nilainya pada sejumlah terhingga titik dalam domainnya, meskipun domainnya adalah malaran.

Baris 46:		Baris 42:

	=== Pembulatan ===		=== Pembulatan ===

	[[Galat pembulatan]] muncul karena tidak mungkin merepresentasikan [[bilangan riil]] secara eksak dalam sebuah mesin dengan memori terhingga (semua [[komputer digital]] seperti ini).		[[Galat pembulatan]] muncul karena tidak mungkin merepresentasikan [[bilangan riil]] secara eksak dalam sebuah mesin dengan memori terhingga (semua [[komputer digital]] seperti ini).

	=== Galat pemenggalan dan diskretisasi ===		=== Galat pemenggalan dan diskretisasi ===

	[[Galat pemenggalan]] dilakukan ketika metode iteratif diakhiri atau prosedur matematika dihampiri, dan pemecahan hampiran berbeda dengan pemecahan eksak. Mirip dengan hal ini, [[galat diskretisasi]] terjadi karena pemecahan masalah diskret tidak sama dengan pemecahan masalah kontinu. Sebagai contoh pada iterasi untuk menghitung pemecahan persamaan <math>3x^3+4=28</math>, setelah 10 atau lebih iterasi, kita menyimpulkan bahwa akarnya kira-kira 1,99. Dengan demikian kita memiliki galat pemenggalan 0,01.		[[Galat pemenggalan]] dilakukan ketika metode iteratif diakhiri atau prosedur matematika dihampiri, dan pemecahan hampiran berbeda dengan pemecahan eksak. Mirip dengan hal ini, [[galat diskretisasi]] terjadi karena pemecahan masalah diskret tidak sama dengan pemecahan masalah kontinu. Sebagai contoh pada iterasi untuk menghitung pemecahan persamaan <math>3x^3+4=28</math>, setelah 10 atau lebih iterasi, kita menyimpulkan bahwa akarnya kira-kira 1,99. Dengan demikian kita memiliki galat pemenggalan 0,01.

Baris 56:		Baris 50:

	Apa artinya ketika kita mengaktan bahwa galat pemenggalan diciptakan ketika kita menghampiri sebuah prosedur matematika? Kita mengetahui bahwa untuk mengintegralkan fungsi dengan eksak kita perlu mengetahui jumlahan trapesium yang banyaknya takhingga. Namun secara numerik kita hanya dapat menemukan jumlahan trapesium hingga, dan karena itu hanyalah hampiran dari prosedur matematika itu. Mirip dengan hal itu, untuk menurunkan suatu fungsi, elemen diferensial mendekati nol, tetapi secara numerik kita hanya dapat memilih nilai hingga dari elemen diferensial.		Apa artinya ketika kita mengaktan bahwa galat pemenggalan diciptakan ketika kita menghampiri sebuah prosedur matematika? Kita mengetahui bahwa untuk mengintegralkan fungsi dengan eksak kita perlu mengetahui jumlahan trapesium yang banyaknya takhingga. Namun secara numerik kita hanya dapat menemukan jumlahan trapesium hingga, dan karena itu hanyalah hampiran dari prosedur matematika itu. Mirip dengan hal itu, untuk menurunkan suatu fungsi, elemen diferensial mendekati nol, tetapi secara numerik kita hanya dapat memilih nilai hingga dari elemen diferensial.


	== Perangkat lunak ==		== Perangkat lunak ==
Baris 67:		Baris 60:
	Selain itu perangkat lunak [[lembatang sebar]] juga dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan berkaitan dengan analisis numerik		Selain itu perangkat lunak [[lembatang sebar]] juga dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan berkaitan dengan analisis numerik

	== ~~Catatan kaki~~ ==		== Referensi ==
			<references />

	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	~~Artikel~~ ini diadaptasi ~~dalam mode teks~~ dari		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Analisis+numerik&oldid=28365290 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28365290 (2025-11-07T03:44:27Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.
	[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=~~Analisis_numerik~~&oldid=28365290 Wikipedia bahasa Indonesia],
	revisi 28365290 (2025-11-07T03:44:27Z).		<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->
	~~Gambar, media, infobox, templat navigasi~~, ~~dan kategori sumber~~
	~~tidak diimpor ke Wiki Unissula.~~
	~~Atribusi dan~~ lisensi ~~mengikuti ketentuan~~ Creative Commons
	Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA) ~~pada sumber Wikipedia~~.

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28365290; atribusi sumber disertakan.

2026-08-23T02:26:06Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28365290; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

'''Analisis numerik''' adalah studi [[algoritme]] untuk memecahkan masalah dalam ''matematika kontinu'' (sebagaimana dibedakan dengan [[matematika diskret]])

Salah satu tulisan matematika terdini adalah loh Babilonia [[YBC 7289]], yang memberikan hampiran numerik [[seksagesimal]] dari <math>\sqrt{2}</math>, panjang diagonal dari persegi satuan.

Kemampuan untuk dapat menghitung sisi segitiga (dan berarti mampu menghitung akar kuadrat) sangatlah penting, misalnya, dalam pertukangan kayu dan konstruksi.

Analisis numerik melanjutkan tradisi panjang perhitungan praktis matematika ini. Seperti hampiran orang Babilonia terhadap <math>\sqrt{2}</math>, analisis numerik modern tidak mencari jawaban eksak, karena jawaban eksak dalam praktiknya tidak mungkin diperoleh. Sebagai gantinya, kebanyakan analisis numerik memperhatikan bagaimana memperoleh pemecahan hampiran, dalam batas galat yang beralasan.

Analisis numerik secara alami diterapkan di semua bidang [[rekayasa]] dan ilmu-ilmu fisis, tetapi pada abad ke-21, ilmu-ilmu hayati dan seni mulai mengadopsi unsur-unsur komputasi ilmiah. [[Persamaan diferensial biasa]] muncul dalam pergerakan benda langit ([[planet]], [[bintang]] dan [[galaksi]]. Optimisasi muncul dalam pengelolaan portofolio. [[Aljabar linear numerik]] sangat penting dalam psikologi kuantitatif. [[Persamaan diferensial stokastik]] dan [[rantai Markov]] penting dalam menyimulasikan sel hidup dalam [[kedokteran]] dan [[biologi]]

Sebelum munculnya komputer modern metode numerik kerap kali tergantung pada interpolasi menggunakan pada tabel besar yang dicetak. Sejak pertengahan abad ke-20, sebagai gantinya, komputer menghitung [[fungsi]] yang diperlukan. Namun algoritma [[interpolasi]] mungkin masih digunakan sebagai bagian dari peranti lunak untuk memecahkan [[persamaan diferensial]].

== Pengenalan umum ==

Tujuan keseluruhan bidang analisis numerik adalah perancangan dan analisis teknik untuk mendapatkan solusi hampiran yang akurat terhadap masalah-masalah yang sukar. Contoh masalah-masalah tersebut akan dipaparkan di bawah.

* Metode numerik lanjut sangat penting dalam membuat prakiraan cuaca numerik yang layak
* Perhitungan trajektori wahana antariksa mensyaratkan pemecahan numerik yang akurat dari sistem [[persamaan diferensial biasa]].
* Perusahaan otomotif dapat meningkatkan keamanan kendaraan dengan menggunakan simulasi tabrakan kendaraan. Simulasi seperti ini pada dasarnya terdiri dari pemecahan [[persamaan diferensial parsial]] secara numerik.
* Lembaga dana investasi pribadi menggunakan alat-alat dari seluruh bidang analisis numerik untuk menghitung nilai saham dan derivatif yang lebih tepat daripada peserta pasar lainnya
* Maskapai penerbangan menggunakan [[algoritme]] optimisasi canggih untuk menentukan harga tiket, [[pesawat terbang]] dan penugasan awak, serta keperluan bahan bakar. Bidang ini juga dinamakan [[riset operasi]]
* Perusahaan asuransi menggunakan program numerik untuk analisis [[aktuaria]].

=== Sejarah ===

Bidang analisis numerik sudah sudah dikembangkan berabad-abad sebelum penemuan komputer modern. [[Interpolasi linear]] sudah digunakan lebih dari 2000 tahun yang lalu. Banyak matematikawan besar dari masa lalu disibukkan oleh analisis numerik, seperti yang terlihat jelas dari nama algoritma penting seperti [[metode Newton]], [[polinomial Lagrange|interpolasi polinomial Lagrange]], [[eliminasi Gauss]], atau [[metode Euler]].

Buku-buku besar berisi rumus dan tabel data seperti interpolasi titik dan koefisien fungsi diciptakan untuk memudahkan perhitungan tangan. Dengan menggunakan tabel ini (sering kali menampilkan perhitungan sampai 16 angka desimal atau lebih untuk beberapa fungsi), kita bisa melihat nilai-nilai untuk diisikan ke dalam rumus yang diberikan dan mencapai perkiraan numerik sangat baik untuk beberapa fungsi. Karya utama dalam bidang ini adalah penerbitan [[NIST]] yang disunting oleh [[Abramovich dan Stegun]], sebuah buku setebal 1000 halaman lebih. Buku ini berisi banyak sekali rumus yang umum digunakan dan fungsi dan nilai-nilainya di banyak titik. Nilai f-nilai fungsi tersebut tidak lagi terlalu berguna ketika komputer tersedia, tetapi senarai rumus masih mungkin sangat berguna.

[[Kalkulator mekanik]] juga dikembangkan sebagai alat untuk perhitungan tangan. Kalkulator ini berevolusi menjadi [[komputer elektronik]] pada tahun 1940. Kemudian ditemukan bahwa komputer juga berguna untuk tujuan administratif. Namun, penemuan komputer juga memengaruhi bidang analisis numerik, karena memungkinkan dilakukannya perhitungan yang lebih panjang dan rumit.

=== Metode langsung dan iteratif ===

Metode langsung menghitung pemecahan suatu masalah dalam jumlah langkah terhingga. Metode ini akan memberikan jawaban persis bila dilakukan dalam hitungan dengan ketepatan takhingga. Contohnya adalah [[eliminasi Gauss]], metode pemfaktoran QR untuk memecahkan [[sistem persamaan linear]], dan metode simpleks untuk [[Program linear|pemrograman linear]]. Pada praktiknya, yang digunakan adalah perhitungan ketepatan hingga (titik kambang) dan hasilnya adalah hampiran terhadap pemecahan sebenarnya (dengan andaian tercapai kestabilan numerik).

Berbeda dengan metode langsung, [[metode iteratif]] tidak diharapkan akan berakhir dalam jumlah langkah terhingga. Dimulai dari tebakan awal, metode iteratif menghasilkan hampiran yang secara berturut-turut akan [[limit barisan|konvergen]] ke pemecahan eksak. Uji kekonvergenan dilakukan untuk memutuskan kapan pemecahan yang cukup akurat dapat dicapai. Bahkan dengan menggunakan aritmetika ketepatan takhingga sekali pun metode seperti ini secara umum tidak akan mencapai pemecahan dalam jumlah langkah terhingga. Contohnya termasuk [[metode Newton]], [[metode bagi dua]], dan [[iterasi Jacobi]]. Dalam aljabar komputasi matriks, metode iteratif biasanya diperlukan untuk masalah besar.

Dalam analisis numerik metode iteratif lebih jamak daripada metode langsung. Beberapa metode pada intinya adalah langsung, tetapi biasanya diterapkan seolah-olah bukan, seperti [[GMRES]] dan [[metode gradien sekawan]]. Untuk metode-metode ini jumlah langkah yang diperlukan untuk mencapai solusi eksak sangat besar sehingga hampiran dapat diterima seperti pada metode iteratif.

=== Diskretisasi ===

Masalah kontinu kadang-kadang mesti digantikan dengan masalah diskret yang solusinya diketahui menghampiri masalah kontinu. Proses seperti ini dinamakan ''[[diskretisasi]]''. Sebagai contoh, solusi [[persamaan diferensial]] adalah sebuah fungsi. Fungsi ini mesti direpresentasikan oleh data dalam jumlah terhingga, misalnya oleh nilai-nilainya pada sejumlah terhingga titik dalam domainnya, meskipun domainnya adalah malaran.

== Penciptaan dan perambatan galat ==
Studi galat merupakan bagian penting dari analisis numerik. Ada beberapa jalan masuknya galat ke dalam pemecahan suatu masalah.

=== Pembulatan ===

[[Galat pembulatan]] muncul karena tidak mungkin merepresentasikan [[bilangan riil]] secara eksak dalam sebuah mesin dengan memori terhingga (semua [[komputer digital]] seperti ini).

=== Galat pemenggalan dan diskretisasi ===

[[Galat pemenggalan]] dilakukan ketika metode iteratif diakhiri atau prosedur matematika dihampiri, dan pemecahan hampiran berbeda dengan pemecahan eksak. Mirip dengan hal ini, [[galat diskretisasi]] terjadi karena pemecahan masalah diskret tidak sama dengan pemecahan masalah kontinu. Sebagai contoh pada iterasi untuk menghitung pemecahan persamaan <math>3x^3+4=28</math>, setelah 10 atau lebih iterasi, kita menyimpulkan bahwa akarnya kira-kira 1,99. Dengan demikian kita memiliki galat pemenggalan 0,01.

Sekali galat diciptakan, galat ini akan merambat ke seluruh perhitungan. Sebagai contoh, kita telah mengetahui bahwa operasi + pada kalkulator atau komputer tidaklah eksak. Karena itu penghitungan a+b+c+d+e lebih tidak eksak lagi.

Apa artinya ketika kita mengaktan bahwa galat pemenggalan diciptakan ketika kita menghampiri sebuah prosedur matematika? Kita mengetahui bahwa untuk mengintegralkan fungsi dengan eksak kita perlu mengetahui jumlahan trapesium yang banyaknya takhingga. Namun secara numerik kita hanya dapat menemukan jumlahan trapesium hingga, dan karena itu hanyalah hampiran dari prosedur matematika itu. Mirip dengan hal itu, untuk menurunkan suatu fungsi, elemen diferensial mendekati nol, tetapi secara numerik kita hanya dapat memilih nilai hingga dari elemen diferensial.

== Perangkat lunak ==
Sejak akhir abad keduapuluh, algoritma kebanyakan diimplementasikan dalam berbagai bahasa pemrograman. Netlib memiliki berbagai daftar [[perangkat lunak]] yang banyak digunakan di bidang numerik, kebanyakan bahasa pemrograman yang digunakan dalam Fortran dan C. Untuk produk perangkat lunak yang komersial menerapkan algoritma numerik yang lebih beragam termasuk IMSL dan NAG ''libraries'', sedangkan untuk alternatif yang gratis adalah GNU ''Scientific Library.''

Ada beberapa perangkat lunak populer di bidang numerik seperti MATLAB, TK Solver, S - PLUS, LabVIEW, dan IDL selain itu ada juga versi gratis seperti freemat, Scilab, GNU Octave (mirip dengan [[MATLAB|Matlab]]), IT ++ (C ++ library), R (mirip dengan S - PLUS ) dan varian tertentu dari Python. Kinerja yang dihasilkan dari perangkat lunak tersebut bervariasi, untuk operasi matrik dan vektor biasanya cukup cepat sedangkan untuk skalar kecepatan bervariasi berdasarkan urutan besarnya.

Banyak sistem aljabar komputer seperti perangkat lunak [[Mathematica]] memiliki kelebihan dalam hal [[arbitrary precision arithmetic]] sehingga dapat memberikan hasil yang lebih akurat.

Selain itu perangkat lunak [[lembatang sebar]] juga dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan berkaitan dengan analisis numerik

== Catatan kaki ==

== Sumber dan atribusi ==

Artikel ini diadaptasi dalam mode teks dari
[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Analisis_numerik&oldid=28365290 Wikipedia bahasa Indonesia],
revisi 28365290 (2025-11-07T03:44:27Z).
Gambar, media, infobox, templat navigasi, dan kategori sumber
tidak diimpor ke Wiki Unissula.
Atribusi dan lisensi mengikuti ketentuan Creative Commons
Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA) pada sumber Wikipedia.