Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T04:05:26Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 04.05
Baris 8:		Baris 8:

	== Aturan Trapesium Rekursif ==		== Aturan Trapesium Rekursif ==

	Misalkan <math>f</math>		Misalkan <math>f</math>
	adalah suatu fungsi yang terdefinisi pada <math> [a,b]		adalah suatu fungsi yang terdefinisi pada <math> [a,b]
Baris 53:		Baris 52:

	== Langkah-langkah Aturan Trapesium Rekursif ==		== Langkah-langkah Aturan Trapesium Rekursif ==

	Dalam menghitung hampiran <math>\int_a^b f(x)\,dx</math>dengan aturan trapesium rekursif, kita lakukan langkah-langkah sebagai berikut;		Dalam menghitung hampiran <math>\int_a^b f(x)\,dx</math>dengan aturan trapesium rekursif, kita lakukan langkah-langkah sebagai berikut;


	'''<math>h=b-a</math>'''		'''<math>h=b-a</math>'''
Baris 72:		Baris 69:

	== Contoh Penghitungan Integral Menggunakan MATLAB ==		== Contoh Penghitungan Integral Menggunakan MATLAB ==

	Misalkan kita akan menghitung integral <math>\int_1^5 f(x)\,dx</math>,dengan menggunakan Aturan Trapesium Rekursif. Untuk lebih memudahkan penghitungan dalam MATLAB, telebih dahulu kita buat fungsi dalam M file, berikut fungsinya		Misalkan kita akan menghitung integral <math>\int_1^5 f(x)\,dx</math>,dengan menggunakan Aturan Trapesium Rekursif. Untuk lebih memudahkan penghitungan dalam MATLAB, telebih dahulu kita buat fungsi dalam M file, berikut fungsinya


	function Tn=trapesiumrekursif(f,n,a,b)		function Tn=trapesiumrekursif(f,n,a,b)
Baris 97:		Baris 92:

	end		end


	Kita simpan fungsi ini dalam file trapesiumrekursi.m		Kita simpan fungsi ini dalam file trapesiumrekursi.m
Baris 144:		Baris 138:

	== Daftar Pustaka ==		== Daftar Pustaka ==

	Sahid. 2005. Pengantar Komputasi Numerik dengan MATLAB. ANDI, Yogyakarta		Sahid. 2005. Pengantar Komputasi Numerik dengan MATLAB. ANDI, Yogyakarta



	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Aturan+Trapesium+Rekursif&oldid=29115358 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29115358 (2026-04-09T08:24:54Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Aturan+Trapesium+Rekursif&oldid=29115358 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29115358 (2026-04-09T08:24:54Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29115358; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T03:34:00Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29115358; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

'''Aturan Trapesium Rekursif''' merupakan suatu metode pengintegralan dalam [[analisis numerik]]. Di dalam [[Kalkulus]], integral tentu didefinisikan sebagai sebuah limit [[jumlah Riemann]]. Selanjutnya, menurut [[Teorema Dasar Kalkulus]] integral tersebut dapat dihitung dengan rumus,

<math>\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)</math>

Dengan ''F(x)'' adalah [[antiderivatif]] ''f(x)'' (yakni ''F’(x)=f(x)''). Banyak integral tentu yang dapat dihitung dengan rumus tesebut, tetapi demikian, tidak sedikit integral tentu yang tidak dapat dihitung dengan rumus di atas, hal itu dikarenakan integran ''f(x)''tidak mempunyai antiderivatif yang dapat dinyatakan dalam fungsi-fungsi elementer. Dalam hal ini perhitungan yang dapat dilakukan adalah secara numerik.

Integrasi numerik merupakan suatu alat utama yang digunakan para [[ilmuwan]] untuk mendapatkan nilai-nilai hampiran untuk integral tentu yang tidak dapat diselesaikan secara analitik. Dalam mendapatkan nilai-nilai hampiran integral tentu, digunakan banyak metode, salah satu metode yang dapat digunakan adalah Aturan Trapesium Rekursif. Berikut akan dijelaskan penghitungan integral tentu menggunakan Aturan Trapesium Rekursif.

== Aturan Trapesium Rekursif ==

Misalkan <math>f</math>
adalah suatu fungsi yang terdefinisi pada <math> [a,b]
</math> . Misalkan
<math>a=x_0<x_1<x_2<...<x_n</math> suatu
partisi sedemikian seihngga <math>x_k=x_0 + kh</math>
dengan <math>h=(b-a)/n </math> untuk
<math>k=0,1,2,3,...n </math>. Perhatikan aturan trapesium
untuk fungsi
<math>f</math> terhadap partisi di atas (untuk keperluan
pembahasan pada bagian ini, kita gunakan notasi kuadratur dengan
menyertakan cacah dan lebar subinterval),

<math>\ T_n(f,h)
=\frac{h}{2}(f_0+2f_1+2f_2+....+2f_{n-1} + f_n)</math>

:::<math>=\frac{h}{2}(f_0+ f_n)+h(f_1+f_2+....+f_(n-1))</math>

:::<math>=\frac{h}{2}(f_0+ f_n)+ h \sum_{k=1}^{n-1} f_k</math>...................(1)

Jika lebar setiap subinterval diperkecil separonya, maka didapat

<math>\ T_{2n}(f,\frac{h}{2}) =\frac{h}{4}(f_0+f_{2n})+\frac{h}{2}\sum_{k=1}^{2n-1} f_k</math>

:::<math>=\frac{h}{4}(f_0+ f_{2n})+ \frac{h}{2}\sum_{j=1}^{n-1}f_{2j}+\frac{h}{2}\sum_{j=1}^n f_{2j-1}</math>...................(2)

<math>\ T_{2n}(f,\frac{h}{2}) =\frac{T_n(f,h}{2}+\frac{h}{2}\sum_{j=1}^n f_{2j-1}</math>...................(3)

Pada (1) berlaku <math>f_k=f(x_0+kh)</math>, sedangkan pada
(2) berlaku <math>f_k=f(x_0+kh/2</math>,
sehingga <math>f_{2k}</math>, pada (2) sama
dengan <math>f_k</math> pada (1). Rumus (3) disebut rumus
trapesium rekursif. Rumus ini
memungkinkan penggunaan aturan trapesium majemuk secara efisien, tanpa
harus menghitung ulang nilai-nilai fungsi di beberapa absis yang sudah
dihitung sebelumnya. Untuk <math>h=(b-a)</math>, dan
<math>n=1,2,4,8,16.......</math> atau
<math>n=2^0,2^1,2^2,2^3,2^4,......,2^k......</math> Kita
akan mendapatkan barisan aturan trapesium <math>T_0,T_1,T_2,T_3,.....T_k,....</math> dengan,
<math>T_0 = T_1(f,h)=\frac{h}{2}(f(a)+f(b))</math>
dan,<math>T_k=T_{2^k}(f,\frac{h}{2^k})</math>, k=1,2,3,...
yang memenuhi hubungan <math>T_{k+1}=\frac{T_k}{2}+\frac{h}{2^{k+1}}\sum_{j=1}^{2^k}f_{2j-1}</math>,
dengan <math>f_1=f(a+i(\frac{h}{2^{k+1}})</math>............... (4)

== Langkah-langkah Aturan Trapesium Rekursif ==

Dalam menghitung hampiran <math>\int_a^b f(x)\,dx</math>dengan aturan trapesium rekursif, kita lakukan langkah-langkah sebagai berikut;

'''<math>h=b-a</math>'''

<math>T_0=\frac{h}{2}(f(a)+f(b))</math>

<math>T_1=\frac{T_0}{2}+\frac{h}{2}f_1</math>

<math>T_2=\frac{T_1}{2}+\frac{h}{4}(f_1+f_3)</math>

<math>T_3=\frac{T_2}{2}+\frac{h}{8}(f_1+f_3+f_5)</math>
.
.
.
dst

== Contoh Penghitungan Integral Menggunakan MATLAB ==

Misalkan kita akan menghitung integral <math>\int_1^5 f(x)\,dx</math>,dengan menggunakan Aturan Trapesium Rekursif. Untuk lebih memudahkan penghitungan dalam MATLAB, telebih dahulu kita buat fungsi dalam M file, berikut fungsinya

function Tn=trapesiumrekursif(f,n,a,b)

h=b-a;

if n==0, Tn=h*(f(a)+f(b))/2;

else if n>0,

index=[1:2:2^n-1];

x=a+h*index/(2^n);

F=f(x);

Jf=sum(F);

Tn=trapesiumrekursif(f,n-1,a,b)/2+Jf*h/(2^n);

end

end

Kita simpan fungsi ini dalam file trapesiumrekursi.m
untuk menghitung integral yang dimaksud, kita tinggal memasukan fungsinya dalam command window MATLAB, berikut caranya;

>> f=inline(‘exp(x)’)

kemudian akan munncul hasil sebagai berikut

f =

Inline function:
f(x) = exp(x)
selanjutnya kita panggil fungsi fungsi trapesiumrekursif,

>> T=[];

>> for n=0:10,

Tn=trapesiumrekursif(f,n,1,5);

T=[T;n Tn];

end

Selanjutnya kita tampilkan nilai T

>> T

kemudian akan muncul hasil sebagai berikut,

T =

0 302.2629
1.0000 191.3025
2.0000 157.6385
3.0000 148.7176
4.0000 146.4529
5.0000 145.8845
6.0000 145.7423
7.0000 145.7067
8.0000 145.6978
9.0000 145.6956
10.0000 145.6951
Maksud dari tabel penghitungan MATLAB di atas adalah, kolom pertama menyatakan nilai-nilai n, dan kolom kedua menyatakan Tn.

== Daftar Pustaka ==

Sahid. 2005. Pengantar Komputasi Numerik dengan MATLAB. ANDI, Yogyakarta

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Aturan+Trapesium+Rekursif&oldid=29115358 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29115358 (2026-04-09T08:24:54Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Aturan Trapesium Rekursif - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29115358; atribusi sumber disertakan.