Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T04:02:50Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 04.02
Baris 1:		Baris 1:
			[[File:Triangle_with_notations_2.svg\|thumb\|right\|280px\|Gambar 1 – Label-label yang disesuaikan dengan hukum kosinus. Sudut (juga ), (juga ), dan (juga ) masing-masing adalah sudut yang menghadap sisi , , dan]]

	Dalam [[trigonometri]], '''aturan kosinus''', '''rumus kosinus''', '''hukum kosinus''', atau '''rumus al-Kāshī''', adalah persamaan yang memberikan hubungan antara panjang sisi-sisi [[segitiga]] dengan [[kosinus]] [[Sudut (geometri)\|sudut]] pada segitiga tersebut. Menggunakan notasi pada Gambar 1, aturan kosinus menyatakan<math display="block">c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma,</math>dengan menyatakan besar sudut yang diapit oleh sisi dan , dan yang menghadap sisi . Dengan menggunakan gambar yang sama, dua persamaan lain dapat diperoleh:<math display="block">a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha,</math><math display="block">b^2=a^2+c^2-2ac\cos\beta.</math>Aturan kosinus memperumum [[teorema Pythagoras]], yang hanya berlaku untuk [[segitiga siku-siku]]: jika sudut siku-siku (nilainya 90 [[Derajat (satuan sudut)\|derajat]] atau [[radian]]), maka nilai , dan akibatnya aturan kosinus berubah menjadi teorema Pythagoras,<math display="block">c^2 = a^2 + b^2.</math>Aturan kosinus berguna untuk mencari panjang sisi ketiga dari segitiga jika hanya diketahui panjang dua sisi dan besar sudut yang diapit dua sisi tersebut. Penggunaan lain dari aturan ini adalah untuk menentukan besar sudut pada segitiga jika semua panjang sisinya diketahui.		Dalam [[trigonometri]], '''aturan kosinus''', '''rumus kosinus''', '''hukum kosinus''', atau '''rumus al-Kāshī''', adalah persamaan yang memberikan hubungan antara panjang sisi-sisi [[segitiga]] dengan [[kosinus]] [[Sudut (geometri)\|sudut]] pada segitiga tersebut. Menggunakan notasi pada Gambar 1, aturan kosinus menyatakan<math display="block">c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma,</math>dengan menyatakan besar sudut yang diapit oleh sisi dan , dan yang menghadap sisi . Dengan menggunakan gambar yang sama, dua persamaan lain dapat diperoleh:<math display="block">a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha,</math><math display="block">b^2=a^2+c^2-2ac\cos\beta.</math>Aturan kosinus memperumum [[teorema Pythagoras]], yang hanya berlaku untuk [[segitiga siku-siku]]: jika sudut siku-siku (nilainya 90 [[Derajat (satuan sudut)\|derajat]] atau [[radian]]), maka nilai , dan akibatnya aturan kosinus berubah menjadi teorema Pythagoras,<math display="block">c^2 = a^2 + b^2.</math>Aturan kosinus berguna untuk mencari panjang sisi ketiga dari segitiga jika hanya diketahui panjang dua sisi dan besar sudut yang diapit dua sisi tersebut. Penggunaan lain dari aturan ini adalah untuk menentukan besar sudut pada segitiga jika semua panjang sisinya diketahui.

	== Sejarah ==		== Sejarah ==

	Walaupun konsep [[kosinus]] belum dikembangkan pada masanya, [[Euklides]] dalam bukunya [[Elemen Euklides\|''Elemen'']] (sekitar [[300 SM]]), memberikan teorema geometrik yang hampir sama dengan aturan kosinus. Dalam buku tersebut membahas dua kasus: segitiga lancip dan segitiga tumpul, yang masing-masing bersesuaian dengan kasus nilai kosinus positif dan nilai kosinus negatif. Menggunakan notasi yang tertera pada Gambar 2, teorema oleh Euklides dapat ditulis sebagai<math display="block">AB^2 = CA^2 + CB^2 + 2 (CA)(CH).</math>Rumus tersebut dapat diubah menjadi aturan kosinus dengan mensubtitusi .		Walaupun konsep [[kosinus]] belum dikembangkan pada masanya, [[Euklides]] dalam bukunya [[Elemen Euklides\|''Elemen'']] (sekitar [[300 SM]]), memberikan teorema geometrik yang hampir sama dengan aturan kosinus. Dalam buku tersebut membahas dua kasus: segitiga lancip dan segitiga tumpul, yang masing-masing bersesuaian dengan kasus nilai kosinus positif dan nilai kosinus negatif. Menggunakan notasi yang tertera pada Gambar 2, teorema oleh Euklides dapat ditulis sebagai<math display="block">AB^2 = CA^2 + CB^2 + 2 (CA)(CH).</math>Rumus tersebut dapat diubah menjadi aturan kosinus dengan mensubtitusi .

	Perkembangan trigonometri di zaman [[Matematika Islam abad pertengahan\|keemasan Islam]] memperluas cakupan dan memperbaiki bentuk dari teorema oleh Euklides tersebut. Pada abad kesepuluh, [[Al-Battani]] memperumum hasil perolehan Euklid untuk [[geometri bola]]. Pada abad kelima belas, dengan telah dikenalnya [[fungsi trigonometri]], [[Jamshīd al-Kāshī]] untuk pertama kalinya menyatakan aturan kosinus dalam rumus yang mudah dipakai dalam proses [[triangulasi]]. Rumus ini dipopulerkan di [[Dunia Barat\|dunia barat]] oleh [[François Viète]] pada abad keenam belas. Selanjutnya pada awal abad ke-19, penggunaan notasi aljabar yang modern memungkinkan aturan kosinus ditulis dalam bentuk yang dikenal saat ini.		Perkembangan trigonometri di zaman [[Matematika Islam abad pertengahan\|keemasan Islam]] memperluas cakupan dan memperbaiki bentuk dari teorema oleh Euklides tersebut. Pada abad kesepuluh, [[Al-Battani]] memperumum hasil perolehan Euklid untuk [[geometri bola]]. Pada abad kelima belas, dengan telah dikenalnya [[fungsi trigonometri]], [[Jamshīd al-Kāshī]] untuk pertama kalinya menyatakan aturan kosinus dalam rumus yang mudah dipakai dalam proses [[triangulasi]].<ref>Clifford A. Pickover. [https://books.google.com/books?id=JrslMKTgSZwC&q=al+kashi+law+of+cosines&pg=PA106 The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics]. Sterling Publishing Company, Inc. 2009. hlm. 106. ISBN 9781402757969.</ref><ref>''Computing : a historical and technical perspective''. 2014-05-27. hlm. 78. ISBN 9781482227413.</ref><ref>Ilija Baruk. [https://books.google.com/books?isbn=1409229521 Causality I. A Theory of Energy, Time and Space, Volume 2]. 2008. hlm. 174.</ref> Rumus ini dipopulerkan di [[Dunia Barat\|dunia barat]] oleh [[François Viète]] pada abad keenam belas. Selanjutnya pada awal abad ke-19, penggunaan notasi aljabar yang modern memungkinkan aturan kosinus ditulis dalam bentuk yang dikenal saat ini.


	== Penerapan ==		== Penerapan ==

	Aturan kosinus dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah [[triangulasi]]. Ada beberapa kasus yang dapat diselesaikan secara langsung dengan aturan ini (lihat Gambar 3):		Aturan kosinus dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah [[triangulasi]]. Ada beberapa kasus yang dapat diselesaikan secara langsung dengan aturan ini (lihat Gambar 3):

Baris 19:		Baris 18:

	==Bukti==		==Bukti==

	===Menggunakan teorema Phytagoras===		===Menggunakan teorema Phytagoras===

	Perhatikan gambar berikut. Dengan [[teorema Pythagoras]] dapat ditulis		Perhatikan gambar berikut. Dengan [[teorema Pythagoras]] dapat ditulis
	:<math>c^2=a_1^2+h^2</math> atau <math>c^2=(a-a_2)^2+h^2</math>		:<math>c^2=a_1^2+h^2</math> atau <math>c^2=(a-a_2)^2+h^2</math>
	dan		dan
	:<math>b^2=h^2+a_2^2</math>		:<math>b^2=h^2+a_2^2</math>
Baris 39:		Baris 36:
	* [[Triangulasi]]		* [[Triangulasi]]
	* [[Hukum sinus]]		* [[Hukum sinus]]
	~~==Rujukan==~~

			== Referensi ==
			<references />

			== Sumber dan atribusi ==

	== ~~Sumber~~ dan ~~atribusi ==~~		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Aturan+kosinus&oldid=27046420 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27046420 (2025-03-18T03:54:05Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

	~~Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Aturan+kosinus&oldid=27046420 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27046420 (2025~~-03-~~18T03:54:05Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi~~-~~BerbagiSerupa (CC BY~~-~~SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.~~		<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 27046420; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T03:27:11Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 27046420; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[trigonometri]], '''aturan kosinus''', '''rumus kosinus''', '''hukum kosinus''', atau '''rumus al-Kāshī''', adalah persamaan yang memberikan hubungan antara panjang sisi-sisi [[segitiga]] dengan [[kosinus]] [[Sudut (geometri)|sudut]] pada segitiga tersebut. Menggunakan notasi pada Gambar 1, aturan kosinus menyatakan<math display="block">c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma,</math>dengan menyatakan besar sudut yang diapit oleh sisi dan , dan yang menghadap sisi . Dengan menggunakan gambar yang sama, dua persamaan lain dapat diperoleh:<math display="block">a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha,</math><math display="block">b^2=a^2+c^2-2ac\cos\beta.</math>Aturan kosinus memperumum [[teorema Pythagoras]], yang hanya berlaku untuk [[segitiga siku-siku]]: jika sudut siku-siku (nilainya 90 [[Derajat (satuan sudut)|derajat]] atau [[radian]]), maka nilai , dan akibatnya aturan kosinus berubah menjadi teorema Pythagoras,<math display="block">c^2 = a^2 + b^2.</math>Aturan kosinus berguna untuk mencari panjang sisi ketiga dari segitiga jika hanya diketahui panjang dua sisi dan besar sudut yang diapit dua sisi tersebut. Penggunaan lain dari aturan ini adalah untuk menentukan besar sudut pada segitiga jika semua panjang sisinya diketahui.

== Sejarah ==

Walaupun konsep [[kosinus]] belum dikembangkan pada masanya, [[Euklides]] dalam bukunya [[Elemen Euklides|''Elemen'']] (sekitar [[300 SM]]), memberikan teorema geometrik yang hampir sama dengan aturan kosinus. Dalam buku tersebut membahas dua kasus: segitiga lancip dan segitiga tumpul, yang masing-masing bersesuaian dengan kasus nilai kosinus positif dan nilai kosinus negatif. Menggunakan notasi yang tertera pada Gambar 2, teorema oleh Euklides dapat ditulis sebagai<math display="block">AB^2 = CA^2 + CB^2 + 2 (CA)(CH).</math>Rumus tersebut dapat diubah menjadi aturan kosinus dengan mensubtitusi .

Perkembangan trigonometri di zaman [[Matematika Islam abad pertengahan|keemasan Islam]] memperluas cakupan dan memperbaiki bentuk dari teorema oleh Euklides tersebut. Pada abad kesepuluh, [[Al-Battani]] memperumum hasil perolehan Euklid untuk [[geometri bola]]. Pada abad kelima belas, dengan telah dikenalnya [[fungsi trigonometri]], [[Jamshīd al-Kāshī]] untuk pertama kalinya menyatakan aturan kosinus dalam rumus yang mudah dipakai dalam proses [[triangulasi]]. Rumus ini dipopulerkan di [[Dunia Barat|dunia barat]] oleh [[François Viète]] pada abad keenam belas. Selanjutnya pada awal abad ke-19, penggunaan notasi aljabar yang modern memungkinkan aturan kosinus ditulis dalam bentuk yang dikenal saat ini.

== Penerapan ==

Aturan kosinus dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah [[triangulasi]]. Ada beberapa kasus yang dapat diselesaikan secara langsung dengan aturan ini (lihat Gambar 3):

* Menentukan panjang sisi ketiga dari segitiga, jika diketahui panjang kedua sisi lainnya dan besar sudut yang diapit oleh dua sisi tersebut:<math display="block">\,c = \sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma}\,;</math>

* Besar titik sudut pada segitiga (dalam [[radian]]) jika panjang semua sisi diketahui:<math display="block">\,\gamma = \arccos\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)\,;</math>

Persamaan-persamaan ini menghasilkan [[galat pembulatan]] yang besar jika segitiga sangat lancip, maksudnya panjang jauh lebih kecil daripada panjang dan , atau sudut jauh lebih kecil daripada 1.

==Bukti==

===Menggunakan teorema Phytagoras===

Perhatikan gambar berikut. Dengan [[teorema Pythagoras]] dapat ditulis
:<math>c^2=a_1^2+h^2</math> atau <math>c^2=(a-a_2)^2+h^2</math>
dan
:<math>b^2=h^2+a_2^2</math>
akibatnya diperoleh
:<math>h^2=c^2-(a-a_2)^2=b^2-a_2^2</math>
dapat diturunkan
:<math>\begin{align}
c^2 &= b^2+(a-a_2)^2-a_2^2 \\
&= b^2+a^2-2aa_2+a_2^2-a_2^2\\
&= b^2+a^2-2aa_2
\end{align}</math>
Dari definisi kosinus, dapat ditulis <math>a_2=b\cos(\gamma)</math>. Sehingga bentuk persamaan di atas dapat ditulis
:<math>c^2 = b^2+a^2-2ab\cos(\gamma)</math>
== Lihat pula ==
* [[Triangulasi]]
* [[Hukum sinus]]
==Rujukan==

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Aturan+kosinus&oldid=27046420 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27046420 (2025-03-18T03:54:05Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Aturan kosinus - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 27046420; atribusi sumber disertakan.