Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T03:59:43Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29389844; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T03:21:04Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29389844; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

:''Untuk kegunaan lain, lihat [[Sinus (disambiguasi)]].''

Dalam [[trigonometri]], '''aturan sinus''', '''rumus sinus''', atau '''hukum sinus''' adalah sebuah persamaan yang memperbandingan panjang sisi-sisi segitiga terhadap [[Sinus (trigonometri)|sinus]] sudut-sudutnya. Aturan ini menyatakan bahwa<math display="block"> \frac{a}{\sin{\alpha}} \,=\, \frac{b}{\sin{\beta}} \,=\, \frac{c}{\sin{\gamma}} \,=\, 2R, </math>dengan , dan menyatakan panjang-panjang sisi dari segitiga, dan , dan adalah besar sudut-sudut yang menghadap sisi-sisi tersebut (lihat gambar sebagai ilustrasi), sedangkan adalah [[radius]] dari lingkaran luar segitiga. Jika radius lingkaran tidak digunakan, aturan sinus terkadang dinyatakan dalam bentuk<math display="block"> \frac{\sin{\alpha}}{a} \,=\, \frac{\sin{\beta}}{b} \,=\, \frac{\sin{\gamma}}{c}. </math>Aturan sinus berguna untuk menghitung sisi yang belum diketahui dari suatu segitiga apabila besar dua sudut dan panjang satu sisinya diketahui. Ini adalah masalah yang umum terjadi ketika melakukan [[triangulasi]]. Rumus ini juga dapat digunakan bila diketahui panjang dua sisi dan besar sudut yang tak diapit kedua sisi tersebut. Dalam kasus ini, data mungkin tidak dapat menghasilkan segitiga yang unik, sehingga rumus dapat memberikan dua nilai yang mungkin untuk sudut yang diapit. Aturan sinus juga dapat dipakai untuk menghitung jari-jari lingkaran luar segitiga.

Aturan sinus adalah salah satu dari dua persamaan trigonometrik yang umum digunakan untuk menentukan besar panjang dan sudut pada segitiga, persamaan lain yang digunakan adalah [[aturan kosinus]].

Aturan sinus dapat diperumum ke dimensi yang lebih tinggi, yakni pada permukaan dengan kurvatur yang bernilai konstan.

== Sejarah ==
Hukum sinus bagi [[Trigonometri bola|segitiga yang terletak pada bola]] ditemukan pada abad ke-10. Penemuan ini banyak diatribusikan kepada [[Abu-Mahmud Khojandi]], [[Abul Wafa Muhammad Al Buzjani]], [[Nasir al-Din al-Tusi|Nashiruddin ath-Thusi]], dan [[Abu Nashr Mansur]].

Pada abad ke-11, buku [[Ibn Muʿādh al-Jayyānī]]' mengandung hukum sinus secara umum. Hukum sinus pada bidang [datar] kemudian dinyatakan oleh [[Nasir al-Din al-Tusi|Nashiruddin ath-Thusi]] pada abad ke-13. Dalam karyanya ''Tentang Gambar Sektor'', ia menuliskan hukum sinus untuk bidang datar dan untuk permukaan bola, dan memberikan rumus untuk kedua hukum ini.

Pada abad ke-15, matematikawan Jerman [[Regiomontanus]] menggunakan hukum sinus sebagai fondasi solusi tentang masalah yang berkaitan dengan [[segitiga siku-siku]]. Solusi yang tertulis pada Buku IV-nya pada gilirannya menjadi dasar solusi masalah yang berkaitan dengan segitiga secara umum.

== Bukti ==

Perhatikan segitiga dengan sisi ''a'', ''b'', dan ''c'', dan sudut yang berhadapan ''A'', ''B'', dan ''C''. Tarik garis tinggi ''h'' dari sudut ''C'' ke sisi ''c'' sehingga segitiga ''ABC'' terbagi menjadi dua segitiga siku-siku.

Dapat diamati bahwa:
:<math>\sin A = \frac{h}{b}</math> dan<math>\; \sin B = \frac{h}{a}</math>

Dari persamaan tersebut, dapat diturunkan dua bentuk dari ''h''
:<math>h = b\,\sin A = a\,\sin B</math>

sehingga diperoleh
:<math>\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}.</math>

Memperlakukan garis tinggi dari sudut ''A d''engan cara yang sama, kemudian akan diperoleh:
:<math>\frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}</math>

== Kasus ambigu ==
Ketika menggunakan aturan sinus untuk menentukan panjang sisi suatu segitiga, kasus ambigu dapat terjadi ketika terdapat dua segitiga dapat dibuat dari informasi yang diketahui (dengan kata lain, akan menghasilkan dua solusi berbeda). Kasus ini mungkin saja terjadi karena ada dua nilai sudut yang benar antara 0° dan 180° yang memiliki nilai sinus yang sama.

:

Untuk sembarang segitiga, kasus ambigu terjadi apabila kondisi-kondisi berikut terpenuhi:

* Informasi yang tersedia tentang segitiga hanyalah sudut dan panjang dan .
* Sudut lancip (yakni, besar sudut < 90°).
* Sisi lebih pendek daripada sisi (yakni, besar ).
* Sisi lebih panjang daripada ketinggian ketika diukur dari titik (artinya ), dengan nilai .

Jika semua kondisi tersebut terpenuhi, maka sudut dan menghasilkan dua segitiga yang valid tapi berbeda, mengartikan dua persamaan berikut benar:<math display="block"> {\gamma}' = \arcsin\frac{c \sin{\alpha}}{a} \quad \text{atau} \quad {\gamma} = \pi - \arcsin\frac{c \sin{\alpha}}{a}.</math>Dari persamaan di atas, dapat ditentukan besar sudut dan panjang sisi , atau besar sudut dan panjang sisi , jika diperlukan.

== Contoh ==

Diberikan informasi: panjang sisi , sisi , dan sudut , sedangkan nilai sudut ingin dicari. Menggunakan aturan sinus, disimpulkan bahwa<math display="block">\frac{\sin \alpha}{20} = \frac{\sin (40^\circ)}{24}.</math> Sehingga dengan menggunakan invers dari fungsi sinus, [[arcsinus]], didapatkan <math display="block"> \alpha = \arcsin\left( \frac{20\sin (40^\circ)}{24} \right) \approx 32.39^\circ. </math>Solusi lain dari arcsin adalah nilai . Namun ini tidak digunakan karena akan menghasilkan solusi dengan total sudut segitiga .

== Hubungan dengan lingkaran luar segitiga ==
Pada identitas<math display="block"> \frac{a}{\sin{\alpha}} = \frac{b}{\sin{\beta}} = \frac{c}{\sin{\gamma}},</math>ketiga pecahan tersebut memiliki nilai yang sama dengan panjang [[diameter]] dari [[lingkaran luar]] segitiga. Bukti mengenai hal ini dapat ditelusuri sampai ke [[Ptolemy]].

=== Bukti ===

Seperti terlihat pada gambar, misalkan ada sebuah lingkaran yang memuat segitiga <math> \triangle ABC</math>, dan memuat segitiga lain <math> \triangle ADB</math> yang sisinya melewati pusat lingkaran '''O'''. Sudut <math> \angle AOD</math> memiliki [[sudut pusat]] sebesar <math> 180^\circ</math>, sehingga sudut <math> \angle ABD = 90^\circ</math>. Karena merupakan segitiga siku-siku, pada segitiga <math> \triangle ABD</math> berlaku<math display="block"> \sin{\delta}= \frac{\text{depan}}{\text{miring}}= \frac{c}{2R},</math>

dengan <math display="inline"> R= \frac{d}{2}</math> adalah jari-jari dari lingkaran yang memuat segitiga. Sudut <math>{\gamma}</math> dan <math>{\delta}</math> memiliki sudut pusat yang sama, sehingga besar sudut mereka sama: <math>{\gamma} = {\delta}</math>. Maka disimpulkan,<math display="block"> \sin{\delta} = \sin{\gamma} = \frac{c}{2R}.</math>Dengan menyusun kembali suku-suku, dihasilkan<math display="block"> 2R = \frac{c}{\sin{\gamma}}.</math>Proses di atas dapat diulangi dengan membentuk <math> \triangle ADB</math> yang berbeda, sehingga menghasilkan persamaan

= \frac{b}{\sin{\beta}} = \frac{c}{\sin{\gamma}}=2R.</math>}}

=== Hubungan dengan luas segitiga ===
Menggunakan notasi yang sama dengan bagian sebelumnya, luas dari segitiga <math> \triangle ABC</math> adalah <math display="inline">L = \frac{1}{2}ab \sin \gamma</math>, dengan <math>\gamma</math> adalah sudut yang diapit oleh sisi dan . Mensubtitusi aturan sinus pada persamaan luas segitiga menghasilkan <math display="block">L=\frac{1}{2}ab \cdot \frac {c}{2R} = \frac{abc}{4R}. </math>Dapat ditunjukkan bahwa persamaan tersebut mengimplikasikan<math display="block">\begin{align}
\frac{abc} {2L}
& = \frac{abc} {2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}} \\[6pt]
& = \frac {2abc} {\sqrt,
\end{align}</math>dengan <math>s</math> adalah [[Semiperimeter|panjang setengah keliling]] segitiga, yakni <math display="inline">s = \frac{a+b+c}{2}.</math> Persamaan ini dapat disederhanakan menjadi [[Teorema Heron|rumus Heron]] untuk menghitung luas segitiga.

Aturan sinus juga dapat digunakan untuk menghasilkan rumus berikut untuk menghitung luas lingkaran. Dengan menyatakan <math display="inline">S =\frac {\sin A + \sin B + \sin C}{2}</math>, dapat ditunjukkan

== Kasus hiperbolik ==

Dalam [[geometri hiperbolik]] dengan kurvatur bernilai −1, aturan sinus berubah menjadi<math display="block">\frac{\sin A}{\sinh a} = \frac{\sin B}{\sinh b} = \frac{\sin C}{\sinh c} \,.</math>Pada kasus khusus dengan berupa sudut siku-siku, dihasilkan<math display="block">\sin C = \frac{\sinh c}{\sinh b} </math>yang mirip dengan rumus pada [[geometri Euklides]], yang menyatakan sinus sebagai perbandingan panjang sisi berlawanan dengan sisi [[hipotenusa]].

== Pada permukaan bola ==

Aturan sinus pada permukaan bola memberikan hubungan trigonometrik pada segitiga yang sisi-sisinya berupa [[lingkaran besar]].

Misalkan radius dari bola adalah 1. Misalkan pula , , dan adalah panjang dari segmen-segmen lingkaran besar yang menjadi sisi-sisi segitiga. Karena bola berupa bola satuan, panjang , , dan sama dengan besar-besar sudut (dalam [[radian]]) dari pusat bola, yang membentuk segmen-segmen lingkaran besar. Misalkan juga , , dan adalah sudut-sudut yang berhadapan dengan masing-masing sisi segitiga. Aturan sinus pada permukaan bola menyatakan bahwa<math display="block">\frac{\sin A}{\sin a} = \frac{\sin B}{\sin b} = \frac{\sin C}{\sin c}.</math>

== Pada permukaan dengan kurvatur konstan ==
Pada permukaan secara umum, fungsi sinus dapat diperumum sebagai berikut:<math display="block">\sin_K x = x - \frac{K x^3}{3!} + \frac{K^2 x^5}{5!} - \frac{K^3 x^7}{7!} + \cdots.</math>yang nilainya juga bergantung kurvatur di posisi <math>x</math> berada. Aturan sinus pada permukaan kurvatur bernilai konstan menyatakan bahwa<math display="block">\frac{\sin A}{\sin_K a} = \frac{\sin B}{\sin_K b} = \frac{\sin C}{\sin_K c} \,.</math>Mensubtitusi nilai , , dan , secara berurutan akan menghasilkan aturan sinus pada permukaan Euklides, bola, dan hiperbolik, yang dijelaskan pada bagian-bagian sebelumnya. Misalkan menyatakan [[keliling lingkaran]] berdiameter pada ruang dengan kurvatur konstan . Maka . Akibatnya, aturan sinus juga dapat ditulis ulang sebagai:<math display="block">\frac{\sin A}{p_K(a)} = \frac{\sin B}{p_K(b)} = \frac{\sin C}{p_K(c)} \,.</math>Rumus ini ditemukan oleh [[János Bolyai]].

== Lihat pula ==
* [[Triangulasi]]
* [[Aturan kosinus]]

== Catatan ==

== Rujukan ==

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Aturan+sinus&oldid=29389844 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29389844 (2026-06-26T16:00:47Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Aturan sinus - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29389844; atribusi sumber disertakan.