Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-24T22:58:45Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29303171; atribusi sumber disertakan.

2026-08-24T22:23:00Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29303171; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[matematika]], '''barisan dan deret aritmetika''' atau dikenal sebagai '''barisan dan deret hitung''' adalah barisan yang mempunyai pola tertentu, yakni selisih dua suku berturutan sama dan tetap. Dengan kata lain, setiap suku (kecuali suku pertama) pada barisan aritmetika diperoleh dari suku usebelumnya dengan menambah bilangan tetap. Misalnya,
:<math>3</math>, <math>5</math>, <math>7</math>, <math>9</math>, <math>11</math>, <math>13</math>, <math>\dots</math>.

Barisan aritmetika ini dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut:
:<math>a</math>, <math>a+b</math>, <math>a+2b</math>, <math>a+3b</math>, <math>\dots</math>.

== Suku barisan aritmetika ==
Misal <math>a_n</math> adalah suku barisan ke-<math>n</math>, maka
:<math>\ a_n = a + (n - 1)b</math>.

Kita mulai mengurutkannya dari suku <math>a_1 = a</math>. Kita teruskan untuk suku ke-2, 3, hingga <math>n</math>.
:<math>\begin{align}
a_2 &= a + b \\
a_3 &= a + 2b \\
&\vdots
\end{align} </math>
Dengan memperhatikan pola, kita memperoleh <math> a_n = a + (n-1)b \quad \blacksquare </math>.

Lebih umumnya, suku barisan ke-<math>n</math> dapat ditulis

:<math>a_n = a_m + (n - m)b</math>
di mana <math>m < n</math>.

=== Beda ===
Beda, dalam suku barisan aritmetika, merupakan selisih dua suku. Misal <math>b</math> adalah beda antar suku, maka secara matematis dapat ditulis

:<math>b = a_{n}-a_{n-1}</math>.

=== Suku tengah ===
Suku tengah ialah suku yang berada di tengah-tengah barisan aritmetika jika banyaknya barisan suku berupa [[Bilangan ganjil|ganjil]]. Misal <math>a_m</math> dan <math>a_n</math> dengan <math>m < n</math> mengapit sebanyak ganjil suku-suku lain pada suatu barisan aritmetika. Karena itu, <math>n-m</math> maupun <math>n+m</math> adalah bilangan [[Bilangan genap|genap]]. Suku yang terletak antara <math>a_m</math> dan <math>a_n</math> adalah

:<math>a_{\frac{m+n}{2}} = a_m + \left(\frac{m+n}{2} - m \right)b</math>

dengan

:<math>b = \frac{a_n - a_m}{n - m}</math>.

Kita dapat jabarkan lagi sehingga didapati

:<math>a_\frac{m+n}{2} = a_m + \left(\frac{n-m}{2}\right) \left(\frac{a_n - a_m}{n - m}\right) = \frac{a_m + a_n}{2}</math>.

== Deret aritmetika ==
Deret aritmetika ialah jumlah suku barisan aritmetika, dan dapat kita rumuskan sebagai
:<math> S_n=\frac{n}{2}(a + a_n)=\frac{n}{2}[2a + (n-1)b].</math>

Misal <math>a_n</math> adalah barisan suku aritmetika ke-<math>n</math>.

Dengan menggunakan [[sifat komutatif]], akan memperoleh

Persamaan '''(1)''' ditambah '''(2)''' menjadi:

: <math>2S_n = 2a+(n-1)b + 2a+(n-1)b + \cdots + 2a+(n-1)b</math>

Karena <math>2a+(n-1)b</math> sama banyaknya menjadi jumlah <math>n</math>, maka
:<math>\begin{align}
2 S_n &= n [2a+(n-1)b] \\
S_n &= \frac{n}{2} [2a+(n-1)b] \quad \blacksquare
\end{align}</math>

Demikian, kita membuktikannya.

Mirip dengan [[Barisan dan deret aritmetika#Beda|beda]] suku aritmetika, selisih antara deret suku memberikan suku ke-<math>n</math>.
:<math>a_n = S_n - S_{n-1}</math>.

Kita cukup menjabarkan <math>S_n</math> dan <math>S_{n-1}</math>,

:<math>\begin{align}
S_n &= a_1 + a_2 + \dots + a_{n-1} + a_n \\
S_{n-1} &= a_1 + a_2 + \dots + a_{n-1}
\end{align}</math>

lalu kurangi persamaan sehingga di dapati persamaan di atas.

:<math>S_n - S_{n-1} = a_n</math>. <math>\blacksquare</math>

== Barisan aritmetika bertingkat ==
Pada kasus ini, barisan aritmetika bertingkat ini merupakan barisan aritmetika tingkat yang menghasilkan barisan aritmetika tingkat sebelumnya. Sebagai contohnya, barisan aritmetika tingkat dua dapat didefinisikan barisan aritmetika tingkat kedua yang menghasilkan barisan aritmetika tingkat pertama. Untuk tingkatan <math>n</math>, diperoleh

:<math>u_n = a_n + \frac{a_{n-1}(n-1)}{1!} + \frac{a_{n-2}(n-1)(n-2)}{2!} + \frac{a_{n-3}(n-1)(n-2)(n-3)}{3!} + \cdots + \frac{a_1(n-1)(n-2)(n-3)\cdots(2)(1)}{(n-1)!}</math>,

di mana <math>u_n</math> adalah tingkat ke-<math>n</math> pada barisan aritmetika, <math>a_n, a_{n-1},\dots,a_1</math> adalah suku pertama dari masing-masing barisan pertama, kedua, dan seterusnya. Hasil rumus di atas dapat kita pakai untuk rumusan barisan aritmetika bertingkat dengan uraian berikut.

* Jika berupa barisan linear (yakni ketika <math>n = 2</math>), maka <math>u_2 = a_2 + a_1(n-1)</math>;
* Jika berupa barisan berpangkat dua (yakni ketika <math>n=3</math>), maka <math>u_3 = a_3 + a_2(n-1) + \frac{a_1(n-1)(n-2)}{2}</math>;

Hal tersebut berlanjut hingga seterusnya sehingga mendapat rumus umum di atas.

=== Bentuk rekursif ===
Pada barisan aritmetika tingkat kedua, kita misalkan <math>b_i</math>, <math>a_i</math> adalah masing-masing suku pada barisan tingkat pertama dan kedua, dengan <math>i = 1,\dots, n</math>. Misalkan juga <math>c</math> adalah bilangan tetap dari barisan tingkat kedua. Secara rekursif, suku <math>a_n</math> dapat dirumuskan sebagai

:<math>a_n = 3a_{n-1} - 3a_{n-2} + a_{n-3}</math>.

Karena <math>b_1, \dots, b_n</math> adalah barisan tingkat kedua, maka <math>b_n = a_{n+1} - a_n</math>. Oleh karena itu, kita memperoleh<math display="block">\begin{matrix}
a_2 - a_1 = b_1 &\quad (1.1) &\quad b_2 - b_1 = k &\quad (2.1) \\
a_3 - a_2 = b_2 &\quad (1.2) &\quad b_3 - b_2 = k &\quad (2.2) \\
a_4 - a_3 = b_3 &\quad (1.3) &\quad b_4 - b_3 = k &\quad (2.3) \\
a_5 - a_4 = b_4 &\quad (1.4) &\quad b_5 - b_4 = k &\quad (2.4) \\
a_6 - a_5 = b_5 &\quad (1.5) &\quad b_6 - b_5 = k &\quad (2.5) \\
a_7 - a_6 = b_6 &\quad (1.6) &\quad b_7 - b_6 = k &\quad (2.6) \\
\vdots &\quad \vdots &\quad \vdots &\quad \vdots \\
a_n - a_{n-1} = b_n &\quad (1.n) &\quad b_n - b_{n+1} = k &\quad (2.n)
\end{matrix}</math>Kita akan mengurangi masing-masing persamaan di atas, dimulai dari <math>(1.1)</math> dengan <math>(1.2)</math>, <math>(1.2)</math> dengan <math>(1.3)</math>, dan seterusnya. Dari kumpulan persamaan-persamaan di atas dapat diperoleh
<math display="block">\begin{matrix}
a_3 - 2a_2 + a_1 &= &b_2 - b_1 &= &k & (3.1)\\
a_4 - 2a_3 + a_2 &= &b_3 - b_2 &= &k &(3.2)\\
a_5 - 2a_4 + a_3 &= &b_4 - b_3 &= &k &(3.3)\\
a_6 - 2a_5 + a_4 &= &b_5 - b_4 &= &k &(3.4)\\
\vdots &&\vdots &&\vdots &\vdots\\
\end{matrix}</math>Pada persamaan <math>(3.1)</math> dengan <math>(3.2)</math>, kita memperoleh

:<math>a_3 - 2a_2 + a_1 = a_4 - 2a_3 + a_2 \iff a_4 = 3a_3 - 3a_2 + a_1</math>

Hal yang serupa pada <math>(3.2)</math> dengan <math>(3.3)</math>, <math>(3.4)</math> dengan <math>(3.5)</math>, dst. Dengan mengikuti cara di atas, kita memperoleh

<math display="block">\begin{matrix}
a_4 - 2a_3 + a_2 = a_5 - 2a_4 + a_3 &\iff a_5 = 3a_4 - 3a_3 + a_2 \\
a_5 - 2a_4 + a_3 = a_6 - 2a_5 + a_4 &\iff a_6 = 3a_5 - 3a_4 + a_3 \\
a_6 - 2a_5 + a_4 = a_7 - 2a_6 + a_5 &\iff a_7 = 3a_6 - 3a_5 + a_4 \\
\vdots &\vdots
\end{matrix}</math>

Persamaan yang sudah ditulis membentuk pola bahwa

:<math>a_n = 3a_{n-1} - 3a_{n-2} + a_{n-3}</math>. <math>\blacksquare</math>

Kita lakukan lagi pada barisan tingkat tiga. Misalkan <math>c_i</math>, <math>b_i</math>, <math>a_i</math> adalah masing-masing suku pada barisan tingkat pertama, kedua, dan ketiga, dengan <math>i = 1,\dots, n</math>. Misalkan <math>k</math> adalah bilangan tetap dari barisan tingkat ketiga. Suku <math>a_n</math> dapat dirumuskan secara rekursif, yakni

: <math>a_n = 4a_{n-1} - 6a_{n-2} + 4a_{n-3} - a_{n-4}</math>.

<math display="block">\begin{matrix}
a_2 - a_1 = b_1 &\quad (1.1) &\quad b_2 - b_1 = c_1 &\quad (2.1) & c_2 - c_1 = k &\quad (3.1) \\
a_3 - a_2 = b_2 &\quad (1.2) &\quad b_3 - b_2 = c_2 &\quad (2.2) & c_3 - c_2 = k &\quad (3.2) \\
a_4 - a_3 = b_3 &\quad (1.3) &\quad b_4 - b_3 = c_3 &\quad (2.3) & c_3 - c_2 = k &\quad (3.2) \\
a_5 - a_4 = b_4 &\quad (1.4) &\quad b_5 - b_4 = c_4 &\quad (2.4) & c_3 - c_2 = k &\quad (3.2) \\
a_6 - a_5 = b_5 &\quad (1.5) &\quad b_6 - b_5 = c_5 &\quad (2.5) & c_3 - c_2 = k &\quad (3.2) \\
a_7 - a_6 = b_6 &\quad (1.6) &\quad b_7 - b_6 = c_6 &\quad (2.6) & c_3 - c_2 = k &\quad (3.2) \\
\vdots &\quad \vdots &\quad \vdots &\quad &\vdots &\quad \vdots\\
a_n - a_{n-1} = b_n &\quad (1.n) &\quad b_n - b_{n+1} = c_n &\quad (2.n) &c_{n+1} - c_n = k &\quad (3.n)
\end{matrix}</math>Dengan cara yang serupa (pada barisan tingkat dua), kita memperoleh

<math display="block">\begin{matrix}
b_3 - 2b_2 + b_1 = c_2 - c_1 = k & (4.1) \\
b_4 - 2b_3 + b_2 = c_3 - c_2 = k & (4.2) \\
b_5 - 2b_3 + b_3 = c_3 - c_2 = k & (4.3) \\
b_6 - 2b_5 + b_4 = c_4 - c_3 = k & (4.4) \\
\vdots & \vdots
\end{matrix}</math>sehingga

<math display="block">\begin{matrix}
b_4 &= 3b_3 - 3b_2 + b_1 \\
b_5 &= 3b_4 - 3b_3 + b_2 \\
b_6 &= 3b_5 - 3b_4 + b_3 \\
\vdots &\vdots
\end{matrix}</math>dan didapati <math>b_n = 3b_{n-1} - 3b_{n-2} + b_{n-3}</math>. Karena <math>a_n - a_{n-1} = b_{n-1}</math>, maka didapati

:<math>\begin{align}
a_n - a_{n-1} &= 3(a_{n-1} - a_{n-2}) - 3(a_{n-2} - a_{n-3}) + (a_{n-3} - a_{n-4}) \\
a_n &= 4a_{n-1} - 6a_{n-2} + 4a_{n-3} - a_{n-4} \quad \blacksquare
\end{align}</math>

Demikian, kita telah membuktikannya.

Ini akan terus berlanjut untuk barisan tingkat keempat, kelima, dst.

== Lihat pula ==
* [[Barisan]]
* [[Deret (matematika)]]
* [[Barisan dan deret geometri]]

== Referensi ==

*

== Bacaan lebih lanjut ==
*
*

== Pranala luar ==
*
*
*

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Barisan+dan+deret+aritmetika&oldid=29303171 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29303171 (2026-06-01T11:01:17Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Barisan dan deret aritmetika - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29303171; atribusi sumber disertakan.