Barisan eksak - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-24T23:08:16Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 24 Agustus 2026 23.08
Baris 1:		Baris 1:
			[[File:Illustration_of_an_Exact_Sequence_of_Groups.svg\|thumb\|right\|280px\|Illustration of an Exact Sequence of Groups]]

	'''Barisan eksak''' adalah sebuah konsep dalam [[matematika]], khususnya dalam [[teori grup]], [[Gelanggang (matematika)\|gelanggang]] dan [[Modul (matematika)\|modul]] teori, [[aljabar homologis]], serta dalam [[geometri diferensial]]. Barisan eksak adalah [[urutan\|barisan]] terbatas atau tak terbatas dari objek dan [[morfisme]] sedemikian sehingga peta dari satu morfisme sama dengan [[Kernel (aljabar)\|kernel]] yang berikutnya.		'''Barisan eksak''' adalah sebuah konsep dalam [[matematika]], khususnya dalam [[teori grup]], [[Gelanggang (matematika)\|gelanggang]] dan [[Modul (matematika)\|modul]] teori, [[aljabar homologis]], serta dalam [[geometri diferensial]]. Barisan eksak adalah [[urutan\|barisan]] terbatas atau tak terbatas dari objek dan [[morfisme]] sedemikian sehingga peta dari satu morfisme sama dengan [[Kernel (aljabar)\|kernel]] yang berikutnya.

Baris 35:		Baris 37:

	== Contoh ==		== Contoh ==

	=== Bilangan bulat modulo dua ===		=== Bilangan bulat modulo dua ===
	Tinjau barisan eksak [[grup abelian]] berikut:<math display="block">\mathbb{Z} \;\;\overset{2\times}{\hookrightarrow}\;\; \mathbb{Z} \twoheadrightarrow \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}</math>		Tinjau barisan eksak [[grup abelian]] berikut:<math display="block">\mathbb{Z} \;\;\overset{2\times}{\hookrightarrow}\;\; \mathbb{Z} \twoheadrightarrow \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}</math>
Baris 78:		Baris 79:

	(Ini benar untuk beberapa kategori, termasuk kategori abelian seperti kategori grup abelian, tetapi namun tidak benar untuk semua kategori yang mengenal konsep barisan eksak, dan khususnya tidak benar untuk kategori grup; spesifiknya <math>\operatorname{coker}(f):G \rightarrow H</math> bukanlah <math>H/\operatorname{Im}(f)</math>, tetapi adalah grup hasil bagi <math>H</math> dengan tutupan normal dari <math>\operatorname{Im}(f)</math>, i.e. irisan semua subgrup normal dari <math>H</math> yang memuat <math>\operatorname{Im}(f)</math>.) Dengan demikian, kita mendapati diagram komutatif berikut yang setiap diagonalnya adalah barisan eksak pendek:		(Ini benar untuk beberapa kategori, termasuk kategori abelian seperti kategori grup abelian, tetapi namun tidak benar untuk semua kategori yang mengenal konsep barisan eksak, dan khususnya tidak benar untuk kategori grup; spesifiknya <math>\operatorname{coker}(f):G \rightarrow H</math> bukanlah <math>H/\operatorname{Im}(f)</math>, tetapi adalah grup hasil bagi <math>H</math> dengan tutupan normal dari <math>\operatorname{Im}(f)</math>, i.e. irisan semua subgrup normal dari <math>H</math> yang memuat <math>\operatorname{Im}(f)</math>.) Dengan demikian, kita mendapati diagram komutatif berikut yang setiap diagonalnya adalah barisan eksak pendek:


	Bagian dari diagram ini yang bergantung pada eksistensi kokernel di kategori objek barisan adalah objek <math>C_7</math> dan pasangan morfisme terakhir <math>A_6 \rightarrow C_7 \rightarrow 0</math>. Hal ini dikarenakan adanya objek <math>A_{k+1}</math> dan morfisme <math>A_{k} \rightarrow A_{k+1}</math> sedemikian sehingga <math>A_{k-1} \rightarrow A_k \rightarrow A_{k+1}</math> adalah barisan yang eksak juga membuat barisan <math>0 \rightarrow C_k \rightarrow A_k \rightarrow C_{k+1} \rightarrow 0</math> menjadi eksak. Dengan demikian, misalnya pada kategori grup, <math>\operatorname{im}(f)</math> adalah kernel dari suatu homomorfisme dengan domain <math>H</math> mengimplikasikan bahwa <math>\operatorname{im}(f)</math> adalah subgrup normal dari <math>H</math>. Oleh karena itu, <math>\operatorname{coker}(f)</math> isomorfik dengan hasil peta dari <math>H/\operatorname{im}(f)</math> oleh pemetaan berikutnya.		Bagian dari diagram ini yang bergantung pada eksistensi kokernel di kategori objek barisan adalah objek <math>C_7</math> dan pasangan morfisme terakhir <math>A_6 \rightarrow C_7 \rightarrow 0</math>. Hal ini dikarenakan adanya objek <math>A_{k+1}</math> dan morfisme <math>A_{k} \rightarrow A_{k+1}</math> sedemikian sehingga <math>A_{k-1} \rightarrow A_k \rightarrow A_{k+1}</math> adalah barisan yang eksak juga membuat barisan <math>0 \rightarrow C_k \rightarrow A_k \rightarrow C_{k+1} \rightarrow 0</math> menjadi eksak. Dengan demikian, misalnya pada kategori grup, <math>\operatorname{im}(f)</math> adalah kernel dari suatu homomorfisme dengan domain <math>H</math> mengimplikasikan bahwa <math>\operatorname{im}(f)</math> adalah subgrup normal dari <math>H</math>. Oleh karena itu, <math>\operatorname{coker}(f)</math> isomorfik dengan hasil peta dari <math>H/\operatorname{im}(f)</math> oleh pemetaan berikutnya.
Baris 98:		Baris 98:

	== Daftar pustaka ==		== Daftar pustaka ==
	*		*
	*		*

	; Kutipan		; Kutipan


	== Pranala luar ==		== Pranala luar ==

	*		*

			== Sumber dan atribusi ==

			Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Barisan+eksak&oldid=29437777 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29437777 (2026-07-10T01:35:26Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

	~~== Sumber dan atribusi ==~~		<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

	~~Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Barisan+eksak&oldid=29437777 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29437777 (2026~~-07-~~10T01:35:26Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi~~-~~BerbagiSerupa (CC BY~~-~~SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.~~

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29437777; atribusi sumber disertakan.

2026-08-24T22:43:18Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29437777; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

'''Barisan eksak''' adalah sebuah konsep dalam [[matematika]], khususnya dalam [[teori grup]], [[Gelanggang (matematika)|gelanggang]] dan [[Modul (matematika)|modul]] teori, [[aljabar homologis]], serta dalam [[geometri diferensial]]. Barisan eksak adalah [[urutan|barisan]] terbatas atau tak terbatas dari objek dan [[morfisme]] sedemikian sehingga peta dari satu morfisme sama dengan [[Kernel (aljabar)|kernel]] yang berikutnya.

== Definisi ==
Dalam konteks [[teori grup]], sebuah barisan<math display="block">G_0\;\xrightarrow{\ f_1\ }\; G_1 \;\xrightarrow{\ f_2\ }\; G_2 \;\xrightarrow{\ f_3\ }\; \cdots \;\xrightarrow{\ f_n\ }\; G_n</math>dari [[Grup (matematika)|grup]] dan [[homomorfisme grup]] disebut '''eksak''' jika [[Galeri (matematika)|peta]] dari setiap homomorfisme sama dengan [[Kernel (aljabar)|kernel]] dari homomorfisme berikutnya:<math display="block">\operatorname{im}(f_k) = \ker(f_{k+1}),</math>untuk setiap <math>k</math>. Di sini, barisan grup beserta homomorfismenya dapat bersifat terbatas, maupun tidak terbatas.

Definisi serupa dapat dibuat untuk [[struktur aljabar]] lainnya. Misalnya barisan dari [[ruang vektor]] dan [[peta linear|transformasi linear]], atau dari [[Modul (matematika)|modul]] dan [[homomorfisme modul]]. Secara umum, konsep barisan eksak dapat didefinisikan pada [[Kategori (matematika)|kategori]] yang memiliki [[Kernel (teori kategori)|kernel]] dan [[kokernel]].

=== Kasus sederhana ===
Untuk memahami pengertian dari barisan eksak, mari meninjau kasus-kasus sederhana dengan barisan bersifat terbatas yang dimulai atau diakhiri dengan [[grup gabungan|grup trivial]]. Biasanya, grup trivial dengan elemen identitas tunggal, dilambangkan dengan 0 (notasi aditif, biasanya jika grupnya abelian), atau dilambangkan 1 (notasi perkalian).

* Tinjau barisan <math>0\rightarrow A \rightarrow B</math>. Peta pemetaan paling kiri adalah <math>0</math>. Oleh karena itu, barisan ini eksak jika dan hanya jika pemetaan paling kanan (dari <math>A</math> ke <math>B</math>) memiliki kernel <math>0</math>; yaitu jika dan hanya jika pemetaan paling kanan adalah [[monomorfisme]] (injektif, atau satu-ke-satu).
* Tinjau barisan <math>B \rightarrow C \rightarrow 0</math>. Kernel peta paling kanan adalah <math>C</math>. Oleh karena itu, barisan ini eksak jika dan hanya jika peta pemetaan paling kiri (dari <math>B</math> ke <math>C</math>) adalah <math>C</math>; yaitu jika dan hanya jika pemetaan paling kanan adalah [[epimorfisme]] (perkiraan, atau ke atas).
* Oleh karena itu, barisan <math>0\rightarrow X \rightarrow Y \rightarrow 0</math> eksak jika dan hanya jika pemetaan dari <math>X \rightarrow Y</math> adalah monomorfisme dan epimorfisme (yaitu, [[bimorfisme]]), yang biasanya juga merupakan [[Bimorfisme|isomorfisme]] antara <math>X</math> dan <math>Y</math> (hal ini berlaku pada kategori eksak seperti [[kategori himpunan]]).

=== Barisan eksak pendek ===
'''Barisan eksak pendek''' merupakan barisan eksak berbentuk<math display="block">0 \to A \;\xrightarrow{\ f\ }\; B \;\xrightarrow{\ g\ }\; C \to 0</math>.

Dari pembahasan di atas, barisan di atas merupakan barisan eksak pendek jika dan hanya jika <math>f</math> adalah [[monomorfisme]], <math>g</math> adalah [[epimorfisme]], dan peta dari <math>f</math> sama dengan kernel <math>g</math>. Untuk memudahkan, pandang <math>A</math> sebagai [[subobjek]] dari <math>B</math> dengan <math>f</math> pemetaan yang "memasukkan" <math>A</math> ke dalam <math>B</math>, dan <math>C</math> sebagai objek faktor (atau [[hasil bagi]]) <math>B/A</math> melalui [[isomorfisme]] yang diinduksi oleh <math>g</math> berikut.<math display="block">C \cong B/\operatorname{im}(f)=B/\ker(g)</math>.

Barisan eksak pendek<math display="block">0 \to A \;\xrightarrow{\ f\ }\; B \;\xrightarrow{\ g\ }\; C \to 0</math>disebut ''<nowiki/>'split''' jika terdapat homomorfisme <math>h:C \rightarrow B</math> sedemikian sehingga <math>g \circ h=\mathrm{id}_C</math>, dengan <math>\mathrm{id}_C</math> adalah pemetaan identitas pada <math>C</math>Akibatnya, jika barisan ini merupakan barisan eksak dari grup abelian, <math>B</math> isomorfik terhadap [[jumlah langsung]] dari <math>A</math> dan <math>C</math>:<math>B \cong A \oplus C.</math>

=== Barisan eksak panjang ===
'''Barisan eksak panjang''' adalah barisan eksak yang terdiri dari lebih dari tiga suku bukan nol, sering kali merupakan barisan eksak tak terbatas.

Barisan eksak panjang ekuivalen dengan kumpulan barisan eksak pendek. Misalkan<math display="block"> A_0\;\xrightarrow{\ f_1\ }\; A_1 \;\xrightarrow{\ f_2\ }\; A_2 \;\xrightarrow{\ f_3\ }\; \cdots \;\xrightarrow{\ f_n\ }\; A_n</math>

adalah barisan eksak panjang dengan <math>n \geq 2</math>, maka barisan eksak ini dapat dipecah menjadi beberapa barisan eksak pendek<math display="block">\begin{align}
0\;\rightarrow\;K_1 \rightarrow {} & A_1 \;\rightarrow\; K_2 \;\rightarrow\; 0\;,\\
0\;\rightarrow\;K_2 \rightarrow {} & A_2 \;\rightarrow\; K_3 \;\rightarrow\; 0\;,\\
&\vdots\,\,\,\, \\
0\;\rightarrow\;K_{n-1} \rightarrow {} & A_{n-1} \rightarrow\; K_n \;\rightarrow\; 0\;,\\
\end{align}</math>

dimana <math>K_i = \operatorname{im}(f_i)=\ker(f_{i+1})</math> untuk <math>i</math>.

== Contoh ==

=== Bilangan bulat modulo dua ===
Tinjau barisan eksak [[grup abelian]] berikut:<math display="block">\mathbb{Z} \;\;\overset{2\times}{\hookrightarrow}\;\; \mathbb{Z} \twoheadrightarrow \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}</math>

Homomorfisme pertama memetakan setiap <math>i\in \mathbb{Z}</math> ke <math>2i \in \mathbb{Z}</math>. Homomorfisme kedua memetakan setiap <math>i \in \mathbb{Z}</math> ke <math>i\bmod 2</math>. Di sini panah kait <math>\hookrightarrow</math> menunjukkan bahwa pemetaan <math>2 \times</math> dari <math>\mathbb{Z}</math> ke <math>\mathbb{Z}</math> adalah [[monomorfisme]], dan panah berkepala dua <math>\twoheadrightarrow</math> menunjukkan [[epimorfisme]] (pemetaan modulo 2). Ini adalah barisan eksak, karena peta dari monomorfisme <math>2 \times</math> adalah kernel dari epimorfisme. Pada dasarnya, barisan yang "sama" juga dapat ditulis sebagai<math display="block">2\mathbb{Z} \;\;{\hookrightarrow}\;\; \mathbb{Z} \twoheadrightarrow \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}</math>

Dalam hal ini, monomorfismenya adalah pemetaan inklusi <math>2n \mapsto 2n</math>, yang meskipun terlihat seperti fungsi identitas, bukanlah fungsi identitas (bukan epimorfisme), karena bilangan ganjil bukanlah elemen <math>2 \mathbb{Z}</math>'''''. '''''Peta dari <math>\mathbb{2Z}</math> melalui monomorfisme ini adalah subhimpunan dari <math>\mathbb{Z}</math> yang merupakan peta dari pemetaan <math>n \mapsto 2n</math> yang digunakan dalam barisan eksak sebelumnya. Secara konkret, barisan eksak ini berbeda dengan barisan eksak sebelumnya, mengingat objek pertama barisan eksak ini adalah <math>2 \mathbb{Z}</math> dan objek pertama pada barisan sebelumnya adalah <math>\mathbb{Z}</math>, meskipun keduanya isomorfik sebagai grup.

Barisan eksak pada contoh pertama juga dapat ditulis tanpa menggunakan simbol khusus untuk monomorfisme dan epimorfisme:<math display="block">0\;\to\; \mathbb{Z} \;\;\overset{2\times} {\longrightarrow}\;\; \mathbb{Z}\; \longrightarrow\; \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\;\to\;\ 0</math>

Di sini <math>0</math> menunjukkan grup trivial, pemetaan dari <math>\mathbb{Z}</math> ke <math>\mathbb{Z}</math> adalah perkalian dengan <math>2</math>, dan pemetaan dari <math>\mathbb{Z}</math> ke [[grup faktor]] <math>\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}</math> adalah pemetaan [[Aritmetika modular|modulo]] <math>2</math>. adalah barisan yang eksak, mengingat:

* peta pemetaan <math>0 \rightarrow \mathbb{Z}</math> adalah <math>0</math>, dan kernel dari perkalian dengan <math>2</math> juga adalah <math>0</math>, sehingga barisannya eksak di <math>\mathbb{Z}</math> pertama.
* peta perkalian dengan <math>2</math> adalah <math>2 \mathbb{Z}</math>, dan kernel dari pemetaan modulo <math>2</math> juga adalah <math>2 \mathbb{Z}</math>, sehingga barisannya eksak di <math>\mathbb{Z}</math> kedua.
* peta pemetaan modulo 2 adalah <math>\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}</math>, dan kernel dari pemetaan nol juga adalah <math>\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}</math>, sehingga barisannya eksak di <math>\mathbb{Z}/\mathbb{2Z}</math>.

Perhatikan kembali barisan eksak pertama dan ketiga. Pada kedua barisan tersebut, pemetaan inklusi dari <math>\mathbb{Z}</math> ke <math>\mathbb{Z}</math> merupakan endomorfisme dari <math>\mathbb{Z}</math> yang merupakan monomorfisme. Hal ini memungkinkan untuk <math>\mathbb{Z}</math>, karena <math>\mathbb{Z}</math> adalah grup tak hingga. Tidak seperti <math>\mathbb{Z}</math>, grup berhingga tidak mungkin dipetakan oleh pemetaan inklusi (oleh monomorfisme) sebagai subgrup sejati dari grup berhingga itu sendiri. Sebaliknya, secara umum, barisan eksak pendek grup berhingga, berdasarkan [[teorema isomorfisme pertama]], dapat ditulis sebagai berikut<math display="block">1\to N \to G \to G/N\to 1</math>

Berikut contoh yang lebih konkret dari barisan eksak grup berhingga:<math display="block">1\to C_n \to D_{2n} \to C_2\to 1</math>

dengan <math>C_n</math> adalah [[grup siklik]] dari order ''n'' dan <math>D_{2n}</math> adalah [[grup dihedral]] dari order 2''n'', yang merupakan grup nonabelian.

=== Irisan dan jumlah modul ===
Misalkan dan adalah dua [[Ideal (teori gelanggang)|ideal]] dari sebuah gelanggang . Maka<math display="block">0 \to I\cap J \to I\oplus J \to I + J \to 0 </math>

adalah barisan yang eksak modul-, dengan homomorfisme modul <math>I\cap J \to I\oplus J</math> memetakan setiap elemen <math>x \in I\cap J</math> ke elemen pada [[jumlah langsung]] <math>I\oplus J</math>, dan homomorfisme <math>I\oplus J \to I+J</math> memetakan setiap elemen dari <math>I\oplus J</math> ke .

Homomorfisme-homomorfisme pada barisan eksak di atas dapat dilihat sebagai batasan dari homomorfisme-homomorfisme yang didefinisikan secara serupa pada barisan eksak pendek berikut<math display="block">0\to R \to R\oplus R \to R \to 0 </math>

Dengan menggunakan [[modul hasil bagi]], barisan eksak ini menghasilkan barisan eksak yang sama persis dengan barisan eksak di atas<math display="block">0\to R/(I\cap J) \to R/I \oplus R/J \to R/(I+J) \to 0 </math>

== Sifat barisan eksak ==
Lema split menyatakan barisan eksak pendek<math display="block">0 \to A \;\xrightarrow{\ f\ }\; B \;\xrightarrow{\ g\ }\; C \to 0</math>merupakan barisan eksak yang ''<nowiki/>'split','' i.e. <math>B \cong A \oplus C</math> , jika dan hanya jika terdapat morfisme <math>t:B \rightarrow A</math> sedemikian sehingga <math>t \circ f=\operatorname{id}_A</math> atau terdapat morfisme <math>u: C \rightarrow B</math> sedemikian sehingga <math>g \circ u = \operatorname{id}_C</math>.

Lema ular memperlihatkan bahwa diagram komutatif dengan dua baris eksak menginduksi barisan eksak panjang. Lema sembilan adalah contoh khusus dari aplikasi lema ular.

Lema lima memberikan kondisi untuk pemetaan di tengah pada diagram komutatif dengan dua baris eksak memiliki panjang 5 menjadi isomorfisme; lema pendek lima merupakan contoh khusus dari aplikasi lema lima pada barisan eksak pendek.

Fakta bahwa setiap barisan eksak dapat dilihat sebagai hasil dari "menghubungkan" beberapa barisan eksak pendek yang tumpang tindih menunjukkan betapa pentingnya barisan eksak pendek. Sebagai contoh, tinjau barisan eksak berikut<math display="block">A_1\rightarrow A_2 \rightarrow A_3 \rightarrow A_4 \rightarrow A_5 \rightarrow A_6</math>yang mengimplikasikan terdapat objek <math>C_k</math> pada kategori objek barisan tersebut sedemikian sehingga<math display="block">C_k \cong \ker(A_k \rightarrow A_{k+1}) \cong \operatorname{im}(A_{k-1}\rightarrow A_{k}).</math>

Misalkan pula kokernel setiap morfisme pada barisan ada pada kategori objek barisan tersebut, dan isomorfis dengan peta morfisme setelahnya pada barisan eksak di atas:<math display="block">C_k \cong \operatorname{coker}(A_{k-2} \rightarrow A_{k-1})</math>

(Ini benar untuk beberapa kategori, termasuk kategori abelian seperti kategori grup abelian, tetapi namun tidak benar untuk semua kategori yang mengenal konsep barisan eksak, dan khususnya tidak benar untuk kategori grup; spesifiknya <math>\operatorname{coker}(f):G \rightarrow H</math> bukanlah <math>H/\operatorname{Im}(f)</math>, tetapi adalah grup hasil bagi <math>H</math> dengan tutupan normal dari <math>\operatorname{Im}(f)</math>, i.e. irisan semua subgrup normal dari <math>H</math> yang memuat <math>\operatorname{Im}(f)</math>.) Dengan demikian, kita mendapati diagram komutatif berikut yang setiap diagonalnya adalah barisan eksak pendek:

Bagian dari diagram ini yang bergantung pada eksistensi kokernel di kategori objek barisan adalah objek <math>C_7</math> dan pasangan morfisme terakhir <math>A_6 \rightarrow C_7 \rightarrow 0</math>. Hal ini dikarenakan adanya objek <math>A_{k+1}</math> dan morfisme <math>A_{k} \rightarrow A_{k+1}</math> sedemikian sehingga <math>A_{k-1} \rightarrow A_k \rightarrow A_{k+1}</math> adalah barisan yang eksak juga membuat barisan <math>0 \rightarrow C_k \rightarrow A_k \rightarrow C_{k+1} \rightarrow 0</math> menjadi eksak. Dengan demikian, misalnya pada kategori grup, <math>\operatorname{im}(f)</math> adalah kernel dari suatu homomorfisme dengan domain <math>H</math> mengimplikasikan bahwa <math>\operatorname{im}(f)</math> adalah subgrup normal dari <math>H</math>. Oleh karena itu, <math>\operatorname{coker}(f)</math> isomorfik dengan hasil peta dari <math>H/\operatorname{im}(f)</math> oleh pemetaan berikutnya.

Sebaliknya, jika diberikan sembarang kumpulan barisan eksak pendek yang saling tumpah tindih, maka suku tengah barisan eksak membentuk suatu barisan eksak dengan cara yang serupa.

== Penerapan barisan eksak ==
Dalam teori kategori abelian, barisan eksak pendek sering kali digunakan sebagai media untuk membicarakan subobjek dan objek faktor.

[[Masalah ekstensi]] pada dasarnya adalah pertanyaan "Misalkan <math>A</math> dan <math>C</math> adalah suku akhir tidak nol pada barisan eksak pendek, apa yang dapat dikatakan mengenai suku tengah <math>B</math> ?" Dalam kategori grup, ini ekuivalen dengan pertanyaan, "Grup <math>B</math> apakah yang memiliki <math>A</math> sebagai [[subgrup normal]]nya dengan <math>C</math> merupakan grup hasil baginya?" Masalah ini penting dalam [[Klasifikasi grup sederhana hingga|klasifikasi grup]]. Lihat pula [[grup automorfisme luar]].

Perhatikan bahwa komposisi <math>f_{i+1} \circ f_i</math> dalam barisan eksak merupakan pemetaan <math>0</math> dari <math>A_i</math> ke <math>A_{i+2}</math>, sehingga setiap barisan eksak adalah [[kaidah kompleks|rantai kompleks]]. Selanjutnya, hanya peta dari <math>f_i</math> yang dipetakan ke <math>0</math> oleh <math>f_{i+1}</math>, sehingga [[Homologi (matematika)|homologi]] dari rantai kompleks (yaitu <math>H_i=\ker(f_{i+1})/\mathrm{im}(f_{i})</math>) semuanya trivial (merupakan grup nol). Dalam bahasa rantai kompleks, barisan eksak disebut rantai [[Kompleks asiklik|asiklik]]. Dari pembahasan sebelumnya, hal ini ekuivalen dengan rantai kompleks yang memiliki homologi trivial

Pada sembarang rantai kompleks, homologi dapat dianggap sebagai alat yang mengukur kegagalan rantai kompleks menjadi barisan yang eksak.

Jika barisan eksak pendek dihubungkan sedemikian rupa menjadi sebuah rantai kompleks (yaitu, barisan eksak pendek yang sukunya berupa rantai kompleks, atau dari sudut pandang lain, rantai kompleks yang sukunya berupa barisan eksak pendek), maka '''barisan eksak panjang''' dari homologi (yaitu barisan eksak yang tidak terbatas) dapat dikonstruksi dengan menggunakan [[lema zig-zag]]. Hal ini muncul di [[topologi aljabar]] dalam studi tentang [[homologi relatif]]; [[urutan Mayer–Vietoris|barisan Mayer–Vietoris]] adalah contoh lain. Praktik mengkonstruksi barisan eksak panjang dari barisan eksak pendek seperti ini juga muncul pada pembahasan [[funktor turunan]].

[[Funktor]] yang mengirimkan barisan eksak ke barisan eksak disebut [[funktor eksak]].

== Daftar pustaka ==
*
*

; Kutipan

== Pranala luar ==

*

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Barisan+eksak&oldid=29437777 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29437777 (2026-07-10T01:35:26Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.