Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T09:04:22Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 09.04
Baris 1:		Baris 1:
			[[File:First_members_of_harmonic_sequence.svg\|thumb\|right\|280px\|Sepuluh anggota pertama barisan harmonik a_n = \tfrac{1}{n}]]

	Dalam [[matematika]], '''progresi harmonik''' (atau '''barisan harmonik''') adalah sebuah barisan yang diambil dari [[invers perkalian]] dari suatu [[Barisan dan deret aritmetika\|barisan aritmetika]]. Secara sederhana, deret harmonik adalah barisan yang kebalikannya membentuk barisan aritmetika.		Dalam [[matematika]], '''progresi harmonik''' (atau '''barisan harmonik''') adalah sebuah barisan yang diambil dari [[invers perkalian]] dari suatu [[Barisan dan deret aritmetika\|barisan aritmetika]]. Secara sederhana, deret harmonik adalah barisan yang kebalikannya membentuk barisan aritmetika.

Baris 22:		Baris 24:

	== Jumlah dari barisan harmonik ==		== Jumlah dari barisan harmonik ==

	Barisan harmonik tidak terbatas tidak dapat [[Deret (matematika)\|dijumlahkan]] (karena penjumlahannya takhingga).		Barisan harmonik tidak terbatas tidak dapat [[Deret (matematika)\|dijumlahkan]] (karena penjumlahannya takhingga).

	Tidak mungkin suatu barisan harmonik dari [[pecahan satuan]] yang berbeda (selain dari kasus trivial di mana a = 1 dan k = 0) akan menghasilkan [[bilangan bulat]]. Alasannya adalah setidaknya satu penyebut dari deret tersebut akan [[Pembagi\|habis dibagi]] oleh suatu [[bilangan prima]] yang tidak habis dibagi penyebut lainnya.		Tidak mungkin suatu barisan harmonik dari [[pecahan satuan]] yang berbeda (selain dari kasus trivial di mana a = 1 dan k = 0) akan menghasilkan [[bilangan bulat]]. Alasannya adalah setidaknya satu penyebut dari deret tersebut akan [[Pembagi\|habis dibagi]] oleh suatu [[bilangan prima]] yang tidak habis dibagi penyebut lainnya.<ref>P. Erdős. [https://www.renyi.hu/~p_erdos/1932-02.pdf Egy Kürschák-féle elemi számelméleti tétel általánosítása]. ''Mat. Fiz. Lapok''. 1932. Vol. 39. hlm. 17–24.. As cited by Ronald L. Graham. ''Erdős centennial''. János Bolyai Math. Soc., Budapest. 2013. Vol. 25. hlm. 289–309. doi:10.1007/978-3-642-39286-3_9. ISBN 978-3-642-39285-6..</ref>

	== Penggunaan dalam geometri ==		== Penggunaan dalam geometri ==
	Jika [[titik-titik kolinier]] A, B, C, dan D sedemikian sehingga D adalah [[Projektif konjugat harmonik\|konjugat harmonik]] dari C terhadap A dan B, maka jarak dari salah satu titik ini ke tiga titik lainnya membentuk barisan harmonik. Secara khusus, masing-masing barisan		Jika [[titik-titik kolinier]] A, B, C, dan D sedemikian sehingga D adalah [[Projektif konjugat harmonik\|konjugat harmonik]] dari C terhadap A dan B, maka jarak dari salah satu titik ini ke tiga titik lainnya membentuk barisan harmonik.<ref>''Chapters on the modern geometry of the point, line, and circle, Vol. II'' by Richard Townsend (1865) p. 24</ref><ref>''[https://books.google.com/books?id=HfFYvQEACAAJ Modern geometry of the point, straight line, and circle: an elementary treatise]'' by John Alexander Third (1898) p. 44</ref> Secara khusus, masing-masing barisan
	AC, AB, AD; BC, BA, BD; CA, CD, CB; dan DA, DC, DB adalah barisan harmonik, di mana masing-masing jarak ditandai berdasarkan orientasi garis yang tetap.		AC, AB, AD; BC, BA, BD; CA, CD, CB; dan DA, DC, DB adalah barisan harmonik, di mana masing-masing jarak ditandai berdasarkan orientasi garis yang tetap.

Baris 34:		Baris 35:

	== Menara miring Lire ==		== Menara miring Lire ==

	Contoh yang sangat bagus dari barisan harmonik adalah [[Masalah penumpukan blok\|Menara miring Lire]]. Di dalamnya, balok-balok yang seragam ditumpuk di atas satu sama lain untuk mencapai jarak menyamping atau lateral maksimum yang cukup. Balok-balok tersebut ditumpuk 1/2, 1/4, 1/6, 1/8, 1/10, … dengan jarak menyamping di bawah balok asli atau sebelumnya. Hal ini memastikan bahwa pusat gravitasi berada tepat di tengah-tengah menara sehingga tidak runtuh. Sedikit saja penambahan berat pada menara akan menyebabkan menara menjadi tidak stabil dan runtuk.		Contoh yang sangat bagus dari barisan harmonik adalah [[Masalah penumpukan blok\|Menara miring Lire]]. Di dalamnya, balok-balok yang seragam ditumpuk di atas satu sama lain untuk mencapai jarak menyamping atau lateral maksimum yang cukup. Balok-balok tersebut ditumpuk 1/2, 1/4, 1/6, 1/8, 1/10, … dengan jarak menyamping di bawah balok asli atau sebelumnya. Hal ini memastikan bahwa pusat gravitasi berada tepat di tengah-tengah menara sehingga tidak runtuh. Sedikit saja penambahan berat pada menara akan menyebabkan menara menjadi tidak stabil dan runtuk.

	== Lihat juga ==		== Lihat juga ==

	* [[Barisan dan deret geometri\|Barisan Geometri]]		* [[Barisan dan deret geometri\|Barisan Geometri]]
	* [[Deret harmonik (matematika)\|Deret harmonik]]		* [[Deret harmonik (matematika)\|Deret harmonik]]
Baris 45:		Baris 44:

	== Referensi ==		== Referensi ==
			<references />

			== Sumber dan atribusi ==

	* ''Mastering Technical Mathematics'' by Stan Gibilisco, Norman H. ~~Crowhurst~~, (~~2007~~) ~~p. 221~~		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Barisan+harmonik+%28matematika%29&oldid=27724958 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27724958 (2025-08-24T06:18:26Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.
	* ''Standard mathematical tables'' by Chemical Rubber Company (~~1974~~) p.~~ 102~~
	* ''Essentials of algebra for secondary schools'' by Webster Wells (1897) p.~~ 307~~



	~~== Sumber~~ dan ~~atribusi ==~~

	~~Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Barisan+harmonik+%28matematika%29&oldid=27724958 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27724958 (2025~~-08-~~24T06:18:26Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi~~-~~BerbagiSerupa (CC BY~~-~~SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.~~		<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 27724958; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T08:38:06Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 27724958; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[matematika]], '''progresi harmonik''' (atau '''barisan harmonik''') adalah sebuah barisan yang diambil dari [[invers perkalian]] dari suatu [[Barisan dan deret aritmetika|barisan aritmetika]]. Secara sederhana, deret harmonik adalah barisan yang kebalikannya membentuk barisan aritmetika.

Ekuivalennya, suatu '''barisan disebut barisan harmonik''' jika setiap suku merupakan [[Arti harmonik|rata-rata harmonik]] dari suku-suku tetangganya.

Sebagai karakterisasi ekuivalen yang ketiga, barisan harmonik adalah urutan takhingga dari bentuk

: <math> \frac{1}{a},\ \frac{1}{a+d},\ \frac{1}{a+2d},\ \frac{1}{a+3d}, \cdots,</math>

di mana ''a'' adalah bilangan bukan nol dan −''a''/''d'' adalah bukan suatu [[bilangan asli]], atau suatu barisan berhingga dari bentuk

: <math> \frac{1}{a},\ \frac{1}{a+d},\ \frac{1}{a+2d},\ \frac{1}{a+3d}, \cdots,\ \frac{1}{a+kd},</math>

di mana ''a'' adalah bilangan bukan nol, ''k'' adalah suatu bilangan asli, dan −''a''/''d'' adalah bukan suatu [[bilangan asli]] atau lebih besar dari ''k.''

== Contoh ==
Berikut ini adalah suatu bilangan asli, secara berurut: <math>\ n = 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \ldots\ </math>

* <math>1, \tfrac{\ 1\ }{2},\ \tfrac{\ 1\ }{3},\ \tfrac{\ 1\ }{4},\ \tfrac{\ 1\ }{5},\ \tfrac{\ 1\ }{6},\ \ldots \ , \ \tfrac{\ 1\ }{n},\ \ldots \ </math> dinamakan '''barisan harmonik'''
* 12, 6, 4, 3, <math>\ \tfrac{12}{\ 5\ },\ 2,\ \ldots\ ,\ \tfrac{12}{\ n\ },\ \ldots\ </math>
* 30, −30, −10, −6, <math>\ -\tfrac{30}{\ 7\ },\ \ldots\ ,\ \tfrac{30}{\ \left( 3\ -\ 2 n \right)\ },\ \ldots\ </math>
* 10, 30, −30, −10, −6, <math>\ \ldots\ ,\ \tfrac{30}{\ \left( 5\ -\ 2 n \right)\ },\ \ldots\ </math>

== Jumlah dari barisan harmonik ==

Barisan harmonik tidak terbatas tidak dapat [[Deret (matematika)|dijumlahkan]] (karena penjumlahannya takhingga).

Tidak mungkin suatu barisan harmonik dari [[pecahan satuan]] yang berbeda (selain dari kasus trivial di mana a = 1 dan k = 0) akan menghasilkan [[bilangan bulat]]. Alasannya adalah setidaknya satu penyebut dari deret tersebut akan [[Pembagi|habis dibagi]] oleh suatu [[bilangan prima]] yang tidak habis dibagi penyebut lainnya.

== Penggunaan dalam geometri ==
Jika [[titik-titik kolinier]] A, B, C, dan D sedemikian sehingga D adalah [[Projektif konjugat harmonik|konjugat harmonik]] dari C terhadap A dan B, maka jarak dari salah satu titik ini ke tiga titik lainnya membentuk barisan harmonik. Secara khusus, masing-masing barisan
AC, AB, AD; BC, BA, BD; CA, CD, CB; dan DA, DC, DB adalah barisan harmonik, di mana masing-masing jarak ditandai berdasarkan orientasi garis yang tetap.

Dalam sebuah segitiga, jika [[garis tinggi segitiga]] berada dalam [[Barisan dan deret aritmetika|barisan aritmetika]], maka sisi-sisinya berada dalam progresi harmonik.

== Menara miring Lire ==

Contoh yang sangat bagus dari barisan harmonik adalah [[Masalah penumpukan blok|Menara miring Lire]]. Di dalamnya, balok-balok yang seragam ditumpuk di atas satu sama lain untuk mencapai jarak menyamping atau lateral maksimum yang cukup. Balok-balok tersebut ditumpuk 1/2, 1/4, 1/6, 1/8, 1/10, … dengan jarak menyamping di bawah balok asli atau sebelumnya. Hal ini memastikan bahwa pusat gravitasi berada tepat di tengah-tengah menara sehingga tidak runtuh. Sedikit saja penambahan berat pada menara akan menyebabkan menara menjadi tidak stabil dan runtuk.

== Lihat juga ==

* [[Barisan dan deret geometri|Barisan Geometri]]
* [[Deret harmonik (matematika)|Deret harmonik]]
* [[Daftar jumlah resiprokal]]
* [[Harmonisa]] (dalam musik)

== Referensi ==

* ''Mastering Technical Mathematics'' by Stan Gibilisco, Norman H. Crowhurst, (2007) p. 221
* ''Standard mathematical tables'' by Chemical Rubber Company (1974) p. 102
* ''Essentials of algebra for secondary schools'' by Webster Wells (1897) p. 307

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Barisan+harmonik+%28matematika%29&oldid=27724958 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27724958 (2025-08-24T06:18:26Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Barisan harmonik (matematika) - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 27724958; atribusi sumber disertakan.