Barisan lengkap - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T09:04:06Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 09.04
Baris 13:		Baris 13:
	: <math>2a_k \ge a_{k+1} \text{ for all } k \ge 0</math>		: <math>2a_k \ge a_{k+1} \text{ for all } k \ge 0</math>

	adalah keduanya merupakan syarat yang diperlukan dan cukup untuk ''n'' menjadi barisan lengkap		adalah keduanya merupakan syarat yang diperlukan dan cukup untuk ''n'' menjadi barisan lengkap<ref>Honsberger, R. Mathematical Gems III. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., 1985, pp.123-128.</ref>

	Yang mengakibatkan		Yang mengakibatkan
Baris 20:		Baris 20:
	: <math>s_{k-1} \ge a_k - 1 \text{ for all } k \ge 1</math>		: <math>s_{k-1} \ge a_k - 1 \text{ for all } k \ge 1</math>

	cukup agar a<sub>''n''</sub> ''menjadi'' barisan yang lengkap.		cukup agar a<sub>''n''</sub> ''menjadi'' barisan yang lengkap.<ref>Honsberger, R. Mathematical Gems III. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., 1985, pp.123-128.</ref><ref>J. L. Brown. ''Note on Complete Sequences of Integers''. ''The American Mathematical Monthly''. 1961. Vol. 68 (6). hlm. 557–560. doi:10.2307/2311150.</ref>

	Namun, ada barisan lengkap yang tidak memenuhi akibat ini, misalnya , yang terdiri dari bilangan 1 dan bilangan [[Bilangan prima\|prima]] pertama setelah masing-masing pangkat 2.		Namun, ada barisan lengkap yang tidak memenuhi akibat ini, misalnya , yang terdiri dari bilangan 1 dan bilangan [[Bilangan prima\|prima]] pertama setelah masing-masing pangkat 2.
Baris 27:		Baris 27:
	Barisan lengkap meliputi:		Barisan lengkap meliputi:

	* Barisan bilangan 1 diikuti [[bilangan prima]] (diteliti oleh SS Pillai dan lain-lain); ini mengikuti [[postulat Bertrand]] .		* Barisan bilangan 1 diikuti [[bilangan prima]] (diteliti oleh SS Pillai <ref>S. S. Pillai, "An arithmetical function concerning primes", Annamalai University Journal (1930), pp. 159–167.</ref> dan lain-lain); ini mengikuti [[postulat Bertrand]] . <ref>Honsberger, R. Mathematical Gems III. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., 1985, pp.123-128.</ref>
	* Barisan bilangan praktis yang memiliki 1 sebagai suku pertama dan memuat semua pangkat 2 lainnya sebagai himpunan bagian.		* Barisan bilangan praktis yang memiliki 1 sebagai suku pertama dan memuat semua pangkat 2 lainnya sebagai himpunan bagian. <ref>A. K. Srinivasan. [http://www.currentscience.ac.in/Downloads/article_id_017_06_0179_0180_0.pdf Practical numbers]. ''Current Science''. 1948. Vol. 17. hlm. 179–180..</ref>
	* [[Angka Fibonacci]], serta angka Fibonacci dengan salah satu angkanya dihilangkan. Berdasarkan identitas bahwa jumlah ''n'' bilangan Fibonacci pertama adalah bilangan Fibonacci ke-(''n'' + 2) dikurangi 1.		* [[Angka Fibonacci]], serta angka Fibonacci dengan salah satu angkanya dihilangkan.<ref>Honsberger, R. Mathematical Gems III. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., 1985, pp.123-128.</ref> Berdasarkan identitas bahwa jumlah ''n'' bilangan Fibonacci pertama adalah bilangan Fibonacci ke-(''n'' + 2) dikurangi 1.

	== Aplikasi ==		== Aplikasi ==
Baris 46:		Baris 46:
	Bentuk maksimal di atas akan selalu menggunakan F<sub>1</sub> dan selalu memiliki angka satu di akhir. Pengkodean lengkap tanpa angka 1 di akhir dapat ditemukan di . Dengan menghilangkan angka satu di akhir, pengkodean untuk 17 di atas muncul sebagai suku ke-16 dari A104326. Bentuk minimalnya tidak akan pernah menggunakan F<sub>1</sub> dan akan selalu memiliki angka nol di belakangnya. Pengkodean lengkap tanpa akhiran nol dapat ditemukan di (. Pengkodean ini dikenal sebagai [[Teorema Zeckendorf\|representasi Zeckendorf]].		Bentuk maksimal di atas akan selalu menggunakan F<sub>1</sub> dan selalu memiliki angka satu di akhir. Pengkodean lengkap tanpa angka 1 di akhir dapat ditemukan di . Dengan menghilangkan angka satu di akhir, pengkodean untuk 17 di atas muncul sebagai suku ke-16 dari A104326. Bentuk minimalnya tidak akan pernah menggunakan F<sub>1</sub> dan akan selalu memiliki angka nol di belakangnya. Pengkodean lengkap tanpa akhiran nol dapat ditemukan di (. Pengkodean ini dikenal sebagai [[Teorema Zeckendorf\|representasi Zeckendorf]].

	Dalam sistem bilangan ini, setiap substring "100" dapat diganti dengan "011" dan sebaliknya karena definisi bilangan Fibonacci. Penerapan aturan-aturan ini secara terus-menerus akan mengubah dari yang maksimal menjadi minimal, dan sebaliknya. Fakta bahwa bilangan apa pun (lebih besar dari 1) dapat direpresentasikan dengan angka terminal 0 berarti bahwa selalu mungkin untuk menambahkan 1, dan mengingat bahwa 1 dan 2 dapat direpresentasikan dalam pengkodean Fibonacci, kelengkapannya diikuti dengan [[Induksi matematika\|induksi]].		Dalam sistem bilangan ini, setiap substring "100" dapat diganti dengan "011" dan sebaliknya karena definisi bilangan Fibonacci. <ref>Stakhov, Alexey. [http://www.goldenmuseum.com/1202FibCdeTransf_engl.html The main operations of the Fibonacci arithmetic]., ''Museum of Harmony and Golden Section''. Originally accessed: 27 July 2010.</ref> Penerapan aturan-aturan ini secara terus-menerus akan mengubah dari yang maksimal menjadi minimal, dan sebaliknya. Fakta bahwa bilangan apa pun (lebih besar dari 1) dapat direpresentasikan dengan angka terminal 0 berarti bahwa selalu mungkin untuk menambahkan 1, dan mengingat bahwa 1 dan 2 dapat direpresentasikan dalam pengkodean Fibonacci, kelengkapannya diikuti dengan [[Induksi matematika\|induksi]].

	== Lihat juga ==		== Lihat juga ==

	* [[Penomoran Ostrowski]]		* [[Penomoran Ostrowski]]

	~~== Referensi ==~~


	== Pranala luar ==		== Pranala luar ==

	* Weisstein, Eric W. "Complete Sequence". MathWorld.		* Weisstein, Eric W. "Complete Sequence". MathWorld.

			== Referensi ==
			<references />

	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Barisan+lengkap&oldid=27947712 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27947712 (2025-10-10T10:16:12Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Barisan+lengkap&oldid=27947712 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27947712 (2025-10-10T10:16:12Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 27947712; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T08:37:11Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 27947712; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[matematika]], [[barisan]] suatu [[bilangan asli]] disebut '''barisan lengkap,''' jika setiap [[bilangan bulat]] positif dapat dinyatakan sebagai jumlah dari nilai-nilai dalam barisan tersebut, dengan setiap nilai digunakan paling banyak satu kali.

Sebagai contoh, barisan [[Perpangkatan bilangan dua|pangkat dua]] (1, 2, 4, 8, ...), yang merupakan basis [[sistem bilangan biner]], adalalah barisan lengkap; Jika diberikan bilangan asli apa pun, kita dapat memilih nilai yang sesuai dengan 1 bit dalam representasi binernya dan menjumlahkannya untuk mendapatkan bilangan tersebut (misalnya 37 = 100101 2 = 1 + 4 + 32). Barisan ini minimal, karena tidak ada nilai yang bisa dihapus dari urutan ini tanpa membuat beberapa bilangan alami menjadi tidak dapat direpresentasikan. Contoh sederhana barisan yang tidak lengkap adalah [[Paritas (matematika)|bilangan genap]], karena penjumlahan bilangan genap hanya menghasilkan bilangan genap—tidak ada [[Paritas (matematika)|bilangan ganjil]] yang dapat dibentuk.

== Syarat kelengkapan ==
Tanpa mengurangi keumuman, diasumsikan barisan ''a'' ''n'' berada dalam urutan tak menurun, dan didefinisikan jumlah parsial dari ''a'' ''n'' sebagai:

: <math>s_n=\sum_{m=0}^n a_m</math> .

Dengan syarat-syarat

: <math>a_0 = 1\,</math>
: <math>2a_k \ge a_{k+1} \text{ for all } k \ge 0</math>

adalah keduanya merupakan syarat yang diperlukan dan cukup untuk ''n'' menjadi barisan lengkap

Yang mengakibatkan

: <math>a_0 = 1 \,</math>
: <math>s_{k-1} \ge a_k - 1 \text{ for all } k \ge 1</math>

cukup agar a''n'' ''menjadi'' barisan yang lengkap.

Namun, ada barisan lengkap yang tidak memenuhi akibat ini, misalnya , yang terdiri dari bilangan 1 dan bilangan [[Bilangan prima|prima]] pertama setelah masing-masing pangkat 2.

== Barisan lengkap lainnya ==
Barisan lengkap meliputi:

* Barisan bilangan 1 diikuti [[bilangan prima]] (diteliti oleh SS Pillai dan lain-lain); ini mengikuti [[postulat Bertrand]] .
* Barisan bilangan praktis yang memiliki 1 sebagai suku pertama dan memuat semua pangkat 2 lainnya sebagai himpunan bagian.
* [[Angka Fibonacci]], serta angka Fibonacci dengan salah satu angkanya dihilangkan. Berdasarkan identitas bahwa jumlah ''n'' bilangan Fibonacci pertama adalah bilangan Fibonacci ke-(''n'' + 2) dikurangi 1.

== Aplikasi ==
Sama seperti pangkat dua yang membentuk barisan lengkap karena sistem bilangan biner. Sebenarnya barisan lengkap apa pun dapat digunakan untuk menyandikan bilangan bulat sebagai ''string bit''. Posisi bit paling kanan ditetapkan ke anggota barisan pertama dan terkecil; paling kanan berikutnya ke anggota berikutnya; dan seterusnya. Bit yang disetel ke 1 disertakan dalam penjumlahan. Representasi ini mungkin tidak unik.

=== Pengkodean Fibonacci ===
Misalnya, dalam sistem '''aritmetika Fibonacci''', berdasarkan deret Fibonacci, angka 17 dapat dikodekan dalam enam cara berbeda:

: 110111 (F6 + F5 + F3 + F2 + F1 = 8 + 5 + 2 + 1 + 1 = 17, bentuk maksimal)
: 111001 (F6 + F5 + F4 + F1 = 8 + 5 + 3 + 1 = 17)
: 111010 (F6 + F5 + F4 + F2 = 8 + 5 + 3 + 1 = 17)
: 1000111 (F7 + F3 + F2 + F1 = 13 + 2 + 1 + 1 = 17)
: 1001001 (F7 + F4 + F1 = 13 + 3 + 1 = 17)
: 1001010 (F7 + F4 + F2 = 13 + 3 + 1 = 17, bentuk minimal, yang digunakan pada [[Pengkodean Fibonacci|kode Fibonacci]])

Bentuk maksimal di atas akan selalu menggunakan F1 dan selalu memiliki angka satu di akhir. Pengkodean lengkap tanpa angka 1 di akhir dapat ditemukan di . Dengan menghilangkan angka satu di akhir, pengkodean untuk 17 di atas muncul sebagai suku ke-16 dari A104326. Bentuk minimalnya tidak akan pernah menggunakan F1 dan akan selalu memiliki angka nol di belakangnya. Pengkodean lengkap tanpa akhiran nol dapat ditemukan di (. Pengkodean ini dikenal sebagai [[Teorema Zeckendorf|representasi Zeckendorf]].

Dalam sistem bilangan ini, setiap substring "100" dapat diganti dengan "011" dan sebaliknya karena definisi bilangan Fibonacci. Penerapan aturan-aturan ini secara terus-menerus akan mengubah dari yang maksimal menjadi minimal, dan sebaliknya. Fakta bahwa bilangan apa pun (lebih besar dari 1) dapat direpresentasikan dengan angka terminal 0 berarti bahwa selalu mungkin untuk menambahkan 1, dan mengingat bahwa 1 dan 2 dapat direpresentasikan dalam pengkodean Fibonacci, kelengkapannya diikuti dengan [[Induksi matematika|induksi]].

== Lihat juga ==

* [[Penomoran Ostrowski]]

== Referensi ==

== Pranala luar ==

* Weisstein, Eric W. "Complete Sequence". MathWorld.

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Barisan+lengkap&oldid=27947712 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27947712 (2025-10-10T10:16:12Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.