Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T13:59:15Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 26510195; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T13:21:19Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 26510195; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[matematika]], '''bayangan''' () [[Fungsi (matematika) |fungsi]] adalah himpunan dari semua nilai ''output'' (keluaran) yang dapat dihasilkan.

Lebih umumnya lagi, ketika mencari fungsi <math>f</math> yang diketahui di setiap anggota subhimpunan <math>A</math> dari [[Domain fungsi|domain]]<nowiki/>nya akan menghasilkan sebuah himpunan, dan hal tersebut dikatakan sebagai "'''bayangan''' ''<math>A</math>'' di bawah fungsi." Mirip seperti sebelumnya, '''prabayangan''' () subhimpunan <math>B</math> dari [[kodomain]] <math>f</math> adalah himpunan semua anggota dari domain yang memetakan ke anggota <math>B.</math>

Bayangan dan prabayangan tidak hanya dapat didefinisikan untuk fungsi, tetapi juga untuk [[relasi biner#Operasi pada relasi biner|relasi biner]].

== Definisi ==
Kata "bayangan" digunakan dalam tiga cara. Dalam definisi ini, <math>f \colon X \to Y</math> menyatakan [[fungsi (matematika)|fungsi]] <math>f</math> yang memetakan dari [[Himpunan (matematika)|himpunan]] <math>X</math> ke himpunan <math>Y</math>.

;Bayangan anggota
: Jika <math> x </math> anggota dari <math>X</math>, maka bayangan <math>x</math> di bawah <math>f</math>, dinotasikan <math> f(x) </math>, adalah nilai keluaran <math>f</math> untuk argumen <math>x</math>.

;Bayangan subhimpunan
: Misalkan <math>f\colon X \rightarrow Y</math> adalah fungsi. Bayangan di bawah <math>f</math> dari subhimpunan <math>A \subseteq X</math> adalah himpunan semua <math>f(a)</math> untuk <math>a\in A</math>, diberi notasi <math>f[A]</math>. Definisi ini dapat ditulis menggunakan [[notasi ungkapan himpunan]], yaitu:<math display="block">f[A] = \{ f(x) \mid x \in A \}.</math>Dengan demikian, akan menyebabkan <math>f[\,\cdot\,] : \mathcal P(X) \to \mathcal P(Y),</math> dengan <math>\mathcal P(S)</math> menyatakan [[himpunan kuasa]] dari himpunan <math>S</math>, himpunan yang mengandung semua [[subhimpunan]] <math>S</math>. Lihat di bawah.

;Bayangan fungsi
: Bayangan fungsi adalah bayangan dari seluruh [[domain fungsi|daerah asal]] fungsi, atau dikenal sebagai [[Kisaran fungsi|''range'']] fungsi. Akan tetapi, hindari penggunaan kata "range" sebab dapat diartikan sebagai [[kodomain]] <math>f</math>.

;Perumuman bayangan fungsi ke relasi biner
: Jika <math>R</math> menyatakan sebarang [[relasi biner]] di [[perkalian Cartesius]] <math>X</math> dan <math>Y</math>, dinotasikan <math>X \times Y</math>, maka himpunan <math>\{y \in Y \mid xRy \text{ untuk beberapa } x \in X \}</math> disebut bayangan atau ''range'' <math> R </math>. Himpunan <math>\{x \in X \mid xRy \text{ untuk beberapa } y \in Y \}</math> disebut daerah asal <math>R</math>.

== Prabayangan fungsi ==
Misalkan <math>f</math> adalah fungsi yang dipetakan dari <math>X</math> ke <math>Y.</math> '''Prabayangan''' dari hmpunan <math>B \subseteq Y</math> di bawah <math>f,</math> diberi notasi <math>f^{-1}[B],</math> adalah subhimpunan <math>X</math> yang didefinisikan dengan<math display="block">f^{-1}[ B ] = \{ x \in X \,:\, f(x) \in B \}.</math>Terdapat notasi lain untuk prabayangan fungsi, seperti <math>f^{-1}(B)</math> dan <math>f^{-}(B).</math> Prabayangan fungsi dari [[Singleton (matematika)|himpunan singleton]], yang dilambangkan dengan <math>f^{-1}[\{ y \}]</math> atau <math>f^{-1}[y],</math> juga disebut sebagai [[Fiber (matematika)|fiber]], atau fiber atas <math>y</math>, atau [[himpunan aras]] dari <math>y.</math> Himpunan dari semua fiber atas anggota <math>Y</math> merupakan keluarga himpunan dengan indeks <math>Y.</math>

==Notasi untuk bayangan dan prabayangan==
Pemakaian notasi di bagian sebelumnya dapat membingungkan. Oleh karena itu, terdapat notasi alternatif yang memberikan nama eksplisit untuk bayangan dan prabayangan sebagai fungsi di antara himpunan kuasa:
;Notasi panah
: <math>f^\rightarrow:\mathcal{P}(X)\rightarrow\mathcal{P}(Y)</math> dengan <math>f^\rightarrow(A) = \{ f(a)\;|\; a \in A\}</math>
: <math>f^\leftarrow:\mathcal{P}(Y)\rightarrow\mathcal{P}(X)</math> dengan <math>f^\leftarrow(B) = \{ a \in X \;|\; f(a) \in B\}</math>
;Notasi bintang
: <math>f_\star:\mathcal{P}(X)\rightarrow\mathcal{P}(Y)</math> sebagai pengganti <math>f^\rightarrow</math>
: <math>f^\star:\mathcal{P}(Y)\rightarrow\mathcal{P}(X)</math> sebagai pengganti <math>f^\leftarrow</math>
;Notasi lain
: Notasi lain untuk <math>f[A]</math> yang digunakan dalam [[logika matematika]] dan [[teori himpunan]] adalah '<math>f^{\prime\prime} A</math>. <br />
== Sifat-sifat ==

=== Sifat-sifat umum ===

Untuk setiap fungsi <math>f : X \rightarrow Y</math> dan semua himpunan bagian <math>A \subseteq X</math> and <math>B \subseteq Y</math>, berlaku sifat-sifat berikut:

Juga:

* <math>f(A) \cap B = \varnothing</math> jika dan hanya jika <math>A \cap f^{-1}(B) = \varnothing</math>

=== Fungsi banyak ===

Untuk fungsi <math>f : X \rightarrow Y</math> dan <math>g : Y \rightarrow Z</math> dengan subhimpunan <math>A \subseteq X</math> dan <math>C \subseteq Z</math>, berlaku sifat-sifat berikut:

* <math>(g \circ f)(A) = g(f(A))</math>
* <math>(g \circ f)^{-1}(C) = f^{-1}(g^{-1}(C))</math>

=== Subhimpunan daeral asal atau kodomain banyak ===

Untuk fungsi <math>f : X \rightarrow Y</math> dan subhimpunan <math>A_1,A_2 \subseteq X</math> and <math>B_1,B_2 \subseteq Y</math>, berlaku sifat-sifat berikut:

Hasil tersebut tidak hanya mengaitkan bayangan dan prabayangan dengan pasang subhimpunan, tetapi juga mengaitkannya dengan aljabar [[Irisan (teori himpunan)|irisan]] dan [[Gabungan (teori himpunan)|gabungan]] ([[Aljabar Boole (struktur)|Boole]]) untuk setiap koleksi subhimpunan:

* <math>f\left(\bigcup_{s\in S}A_s\right) = \bigcup_{s\in S} f(A_s)</math>
* <math>f\left(\bigcap_{s\in S}A_s\right) \subseteq \bigcap_{s\in S} f(A_s)</math>
* <math>f^{-1}\left(\bigcup_{s\in S}B_s\right) = \bigcup_{s\in S} f^{-1}(B_s)</math>
* <math>f^{-1}\left(\bigcap_{s\in S}B_s\right) = \bigcap_{s\in S} f^{-1}(B_s)</math>
<math>S</math> dapat berupa himpunan tak terhingga, bahkan [[Himpunan tak terhitung|tak terhitung]].)

Fungsi bayangan invers adalah [[homomorfisme kekisi]] terhadap aljabar himpunan bagian seperti yang dijelaskan sebelumnya, sedangkan fungsi bayangan hanyalah homomorfisme [[semikekisi]] (dalam artian, tidak selalu mempertahankan irisan himpunan).

== Lihat pula ==
* [[Kernel (teori himpunan)|Kernel fungsi]]
* [[Inversi himpunan]]

== Catatan ==

== Referensi ==
*
* .
*
*

*
*

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bayangan+%28matematika%29&oldid=26510195 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 26510195 (2024-11-10T03:35:51Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Bayangan (matematika) - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 26510195; atribusi sumber disertakan.