Benda putar - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T14:00:57Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 14.00
Baris 1:		Baris 1:
			[[File:Rotationskoerper_animation.gif\|thumb\|right\|280px\|Rotationskoerper animation]]

	Dalam [[matematika]], [[teknik]], dan [[manufaktur]], sebuah '''benda putar''' adalah sebuah gambar benda diperoleh dengan memutar sebuah [[Lengkung bidang\|kurva bidang]] sepanjang [[garis lurus]] (''[[Rotasi di sekeliling sumbu tertentu\|sumbu edar]]'') yang terletak pada bidang yang sama.		Dalam [[matematika]], [[teknik]], dan [[manufaktur]], sebuah '''benda putar''' adalah sebuah gambar benda diperoleh dengan memutar sebuah [[Lengkung bidang\|kurva bidang]] sepanjang [[garis lurus]] (''[[Rotasi di sekeliling sumbu tertentu\|sumbu edar]]'') yang terletak pada bidang yang sama.

Baris 9:		Baris 11:

	=== Metode cakram ===		=== Metode cakram ===

	Metode cakram digunakan ketika irisannya yang digambar ''tegak lurus dengan'' sumbu edar; yaitu ketika mengintegralkan yang ''sejajar'' ''dengan'' sumbu edar.		Metode cakram digunakan ketika irisannya yang digambar ''tegak lurus dengan'' sumbu edar; yaitu ketika mengintegralkan yang ''sejajar'' ''dengan'' sumbu edar.

Baris 28:		Baris 29:

	=== Metode silinder ===		=== Metode silinder ===

	Metode silinder digunakan ketika irisannya yang digambar ''sejajar dengan'' sumbu edar; yaitu ketika mengintegralkan yang ''tegak lurus'' dengan sumbu edar.		Metode silinder digunakan ketika irisannya yang digambar ''sejajar dengan'' sumbu edar; yaitu ketika mengintegralkan yang ''tegak lurus'' dengan sumbu edar.

Baris 44:		Baris 44:

	<math display="block">V = \iiint_D \mathrm{d}V = \int_a^b \int_{g(r)}^{f(r)} \int_0^{2\pi} r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}r = 2\pi \int_a^b\int_{g(r)}^{f(r)} r\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}r = 2\pi\int_a^b r(f(r) - g(r))\,\mathrm{d}r</math>		<math display="block">V = \iiint_D \mathrm{d}V = \int_a^b \int_{g(r)}^{f(r)} \int_0^{2\pi} r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}r = 2\pi \int_a^b\int_{g(r)}^{f(r)} r\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}r = 2\pi\int_a^b r(f(r) - g(r))\,\mathrm{d}r</math>


	== Bentuk parametrik ==		== Bentuk parametrik ==
			Ketika sebuah kurva didefinisikan oleh bentuk [[Persamaan Parametrik\|parametrik]]<nowiki/>nya <math>(x(t),y(t))</math> dalam suatu interval <math>[a,b]</math>, volume dari benda dihasilkan dengan memutar kurva di sekitar sumbu-<math>x </math> dan sumbu-<math>y </math> diberikan dengan<ref>A. K. Sharma. [https://books.google.com/books?id=V_WxjYMKuUAC&pg=PA168 Application Of Integral Calculus]. Discovery Publishing House. 2005. hlm. 168. ISBN 81-7141-967-4.</ref>

	Ketika sebuah kurva didefinisikan oleh bentuk [[Persamaan Parametrik\|parametrik]]<nowiki/>nya <math>(x(t),y(t))</math> dalam suatu interval <math>[a,b]</math>, volume dari benda dihasilkan dengan memutar kurva di sekitar sumbu-<math>x </math> dan sumbu-<math>y </math> diberikan dengan

	<math display="block">V_x = \int_a^b \pi y^2 \, \frac{dx}{dt} \, \mathrm{d}t \text{ dan } V_y = \int_a^b \pi x^2 \, \frac{dy}{dt} \, \mathrm{d}t</math>		<math display="block">V_x = \int_a^b \pi y^2 \, \frac{dx}{dt} \, \mathrm{d}t \text{ dan } V_y = \int_a^b \pi x^2 \, \frac{dy}{dt} \, \mathrm{d}t</math>

	Dalam keadaan yang sama, luas dari permukaan benda dihasilkan dengan memutar kurva di sekitar sumbu-<math>x </math> dan sumbu-<math>y </math> diberikan dengan		Dalam keadaan yang sama, luas dari permukaan benda dihasilkan dengan memutar kurva di sekitar sumbu-<math>x </math> dan sumbu-<math>y </math> diberikan dengan<ref>Ravish R. Singh. [https://books.google.com/books?id=oQ1y1HCpeowC&pg=SA6-PA90 Engineering Mathematics]. Tata McGraw-Hill. 1993. hlm. 6.90. ISBN 0-07-014615-2.</ref>

	<math display="block">A_x = \int_a^b 2 \pi y \, \sqrt{ \left( \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \right)^2 + \left( \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \right)^2} \,\mathrm{d}t \text{ dan } A_y = \int_a^b 2 \pi x \, \sqrt{ \left( \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \right)^2 + \left( \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \right)^2} \, \mathrm{d}t</math>		<math display="block">A_x = \int_a^b 2 \pi y \, \sqrt{ \left( \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \right)^2 + \left( \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \right)^2} \,\mathrm{d}t \text{ dan } A_y = \int_a^b 2 \pi x \, \sqrt{ \left( \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \right)^2 + \left( \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \right)^2} \, \mathrm{d}t</math>
Baris 67:		Baris 64:

	== Catatan ==		== Catatan ==


	== Referensi ==		== Referensi ==
			<references />

	*		== Sumber dan atribusi ==
	* (
	*

			Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Benda+putar&oldid=29409539 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29409539 (2026-07-02T01:22:02Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->
	~~== Sumber dan atribusi ==~~

	~~Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Benda+putar&oldid=29409539 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29409539 (2026~~-07-~~02T01:22:02Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi~~-~~BerbagiSerupa (CC BY~~-~~SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.~~

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29409539; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T13:25:22Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29409539; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[matematika]], [[teknik]], dan [[manufaktur]], sebuah '''benda putar''' adalah sebuah gambar benda diperoleh dengan memutar sebuah [[Lengkung bidang|kurva bidang]] sepanjang [[garis lurus]] (''[[Rotasi di sekeliling sumbu tertentu|sumbu edar]]'') yang terletak pada bidang yang sama.

Mengasumsi bahwa kurvanya tidak melintasi sumbu tersebut, [[volume]] benda sama dengan panjang dari [[lingkaran]] digambarkan oleh sentroid gambar yang dikalikan oleh luas gambar ([[Teorema sentroid Pappus|teorema sentroid kedua Pappus]]).

Sebuah '''cakram wakilan''' adalah sebuah [[unsur volume]] sebuah benda putar. Unsur tersebut diciptakan dengan [[Rotasi|memutar]] sebuah [[ruas garis]] ([[panjang]] <math>w</math>) di sekitar sumbu tertentu (terletak <math>r</math> satuan), jadi bahwa sebuah [[volume]] [[Tabung (geometri)|silindris]] <math>\pi r^2 w </math> satuan adalah tertutup.

== Mencari volume ==
Dua metode utama untuk mencari volume benda putar adalah metode integrasi cakram dan metode integrasi kulit. Untuk menerapkan metode-metode ini, ini adalah yang paling mudah untuk menggambar grafik dalam pertanyaan, mengenali luas yang akan diputar mengenai sumbu putar, menentukan volume dari salah satu sebuah irisan berbentuk cakram benda, dengan ketebalan <math>\delta x</math>, atau sebuah kulit silindris dengan lebar <math>\delta x</math>, dan kemudian cari jumlah limit volume-volume ini saat <math>\delta x</math> mendekati 0, sebuah nilai yang dapat ditemukan dengan mengevaluasi sebuah integral yang sesuai. Sebuah pembenaran yang lebih teliti dapat diberikan dengan mencoba untuk mengevaluasi sebuah [[Integral lipat#Kasus tertentu|integral rangkap-tiga]] dalam [[koordinat silindris]] dengan dua urutan integrasi yang berbeda.

=== Metode cakram ===

Metode cakram digunakan ketika irisannya yang digambar ''tegak lurus dengan'' sumbu edar; yaitu ketika mengintegralkan yang ''sejajar'' ''dengan'' sumbu edar.

Volume dari benda dibentuk dengan memutar luasnya di antara kurva <math>f(x)</math> dan <math>g(x)</math> dan garisnya <math>x=a</math> dan <math>x=b</math> mengenai sumbu-<math>x</math> diberikan dengan

<math display="block">V = \pi \int_a ^b \left[f(x)^2 - g(x)^2\right] \mathrm{d}x</math>

Jika <math>g(x) = 0</math> (misalnya memutar sebuah luas di antara kurva dan sumbu-<math>x</math>), ini dikurangi menjadi

<math display="block">V = \pi \int_a ^b f(x)^2 \, \mathrm{d}x</math>

Metode tersebut dapat divisualkan dengan menganggap sebuah [[persegi panjang]] horizontal tipis pada <math>y</math> di antara <math>f(y)</math> di atas dan <math>g(y)</math> di bawah, dan memutarnya mengenai sumbu-<math>y</math>; ini membenetuk sebuah cincin (atau cakram dalam kasus bahwa <math>g(y)=0</math>, dengan jari-jari luar <math>f(y)</math> dan jari-jari dalam <math>g(y)</math>. Luas sebuah cincin adalah <math>\pi(R^2 - r^2)</math>, dimana <math>R</math> adalah jari-jari luar (pada kasus <math>f(y)</math> ini), dan <math>r </math> adalah jari-jari dalam (pada kasus <math>g(y)</math> ini). Karena itu volume setiap cakram [[infinitesimal]] adalah <math>\pi f(y)^2 \, \mathrm{d}y</math>. Limit jumlah Riemann dari volume cakram di antara <math>a</math> dan <math>b</math> menjadi integral (1).

Mengasumsi penerapan [[teorema Fubini]] dan mulitpeubah mengubah rumus variabel, metode cakram dapat diturunkan dengan cara yang lugas dengan (melambangkan benda sebagai <math>D</math>).

<math display="block">V = \iiint_D \mathrm{d}V = \int_a^b \int_{g(z)}^{f(z)} \int_0^{2\pi} r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}z = 2\pi \int_a^b\int_{g(z)}^{f(z)} r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}z = 2\pi \int_a^b \frac{1}{2}r^2\Vert^{g(z)}_{f(z)} \,\mathrm{d}z = \pi \int_a^b f(z)^2 - g(z)^2\,\mathrm{d}z
</math>

=== Metode silinder ===

Metode silinder digunakan ketika irisannya yang digambar ''sejajar dengan'' sumbu edar; yaitu ketika mengintegralkan yang ''tegak lurus'' dengan sumbu edar.

Volume dari benda dibentuk dengan memutar luasnya di antara kurva <math>f(x)</math> dan <math>g(x)</math> dan garisnya <math>x=a</math> dan <math>x=b</math> mengenai sumbu-<math>x</math> diberikan dengan

<math display="block">V = 2\pi \int_a^b x |f(x) - g(x)|\,\mathrm{d}x</math>

Jika <math>g(x)=0</math> (misalnya memutar sebuah luas di antara kurva dan sumbu-<math>y</math>), ini dikurangi menjadi

<math display="block">V = 2\pi \int_a^b x | f(x) | \,\mathrm{d}x</math>

Metode ini dapat divisualkan dengan menganggap sebuah persegi panjang vertikal yang tipis pada <math>x</math> dengan tinggi <math>f(x) - g(x)</math>, dan memutarnya mengenai sumbu-<math>y</math>; ini membentuk sebuah kulit silindris. [[Luas permukaan]] sisi silinder adalah <math>2\pi r h</math>, dimana <math>r </math> adalah jari-jari (pada kasus <math>x</math> ini), dan <math>h</math> adalah tinggi (pada kasus <math>f(x) - g(x)</math> ini). Menjumlahkan semua dari luas permukaan sepanjang interval memberikan jumlah keseluruhan volume..

Metode ini dapat diturunkan dengan integral rangkap-tiga yang sama, kali ini dengan sebuah urutan integrasi yang berbeda.

<math display="block">V = \iiint_D \mathrm{d}V = \int_a^b \int_{g(r)}^{f(r)} \int_0^{2\pi} r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}r = 2\pi \int_a^b\int_{g(r)}^{f(r)} r\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}r = 2\pi\int_a^b r(f(r) - g(r))\,\mathrm{d}r</math>

== Bentuk parametrik ==

Ketika sebuah kurva didefinisikan oleh bentuk [[Persamaan Parametrik|parametrik]]<nowiki/>nya <math>(x(t),y(t))</math> dalam suatu interval <math>[a,b]</math>, volume dari benda dihasilkan dengan memutar kurva di sekitar sumbu-<math>x </math> dan sumbu-<math>y </math> diberikan dengan

<math display="block">V_x = \int_a^b \pi y^2 \, \frac{dx}{dt} \, \mathrm{d}t \text{ dan } V_y = \int_a^b \pi x^2 \, \frac{dy}{dt} \, \mathrm{d}t</math>

Dalam keadaan yang sama, luas dari permukaan benda dihasilkan dengan memutar kurva di sekitar sumbu-<math>x </math> dan sumbu-<math>y </math> diberikan dengan

<math display="block">A_x = \int_a^b 2 \pi y \, \sqrt{ \left( \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \right)^2 + \left( \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \right)^2} \,\mathrm{d}t \text{ dan } A_y = \int_a^b 2 \pi x \, \sqrt{ \left( \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \right)^2 + \left( \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \right)^2} \, \mathrm{d}t</math>

== Lihat pula ==
* [[Bola semu]]
* [[Integrasi cakram]]
* [[Integrasi kulit]]
* [[Permukaan putar]]
* [[Terompet Gabriel]]
* [[Teorema Guldinus]]
* [[Ungula]]

== Catatan ==

== Referensi ==

*
* (
*

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Benda+putar&oldid=29409539 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29409539 (2026-07-02T01:22:02Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.