Besaran (matematika) - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-24T23:11:59Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 24 Agustus 2026 23.11
Baris 2:		Baris 2:

	== Sejarah ==		== Sejarah ==
	Orang Yunani membedakan beberapa jenis besaran, termasuk:		Orang Yunani membedakan beberapa jenis besaran,<ref>Thomas Smd. Heath. [https://archive.org/details/thirteenbooksofe00eucl The Thirteen Books of Euclid's Elements]. Dover Publications. 1956.</ref> termasuk:
	* [[Pecahan]] positif		* [[Pecahan]] positif
	* Segmen [[garis]] (ditata menurut [[panjang]])		* Segmen [[garis]] (ditata menurut [[panjang]])
Baris 9:		Baris 9:
	* [[Sudut]] (ditata menurut besaran angular)		* [[Sudut]] (ditata menurut besaran angular)

	Mereka membuktikan bahwa dua kelompok pertama tidak dapat merupakan sistem besaran yang sama atau isomorfik. Mereka tidak menganggap besaran negatif itu berguna, dan ''besaran'' masih terutama digunakan dalam konteks [[nol]] adalah ukuran terendah atau terkecil dari segala ukuran.		Mereka membuktikan bahwa dua kelompok pertama tidak dapat merupakan sistem besaran yang sama atau isomorfik.<ref>Ethan D. Bloch. [https://books.google.com/books?id=vXw_AAAAQBAJ&pg=PA52 The Real Numbers and Real Analysis]. Springer. 2011. hlm. 52. ISBN 9780387721774..</ref> Mereka tidak menganggap besaran negatif itu berguna, dan ''besaran'' masih terutama digunakan dalam konteks [[nol]] adalah ukuran terendah atau terkecil dari segala ukuran.

	== Bilangan ==		== Bilangan ==

	Besaran suatu [[bilangan]] biasanya disebut "[[nilai mutlak]]", "nilai absolut" atau "modulus", dilambangkan dengan '''\|''x''\|'''.		Besaran suatu [[bilangan]] biasanya disebut "[[nilai mutlak]]", "nilai absolut" atau "modulus", dilambangkan dengan '''\|''x''\|'''.

	=== Bilangan real ===		=== Bilangan real ===
	Nilai mutlak suatu [[bilangan real]] ''r'' didefinisikan sebagai:		Nilai mutlak suatu [[bilangan real]] ''r'' didefinisikan sebagai:<ref>Mendelson, Elliott, ''Schaum's Outline of Beginning Calculus'', McGraw-Hill Professional, 2008. ISBN 978-0-07-148754-2, page 2</ref>

	:<math> \left\| r \right\| = r, \text{ jika } r \text{ ≥ } 0 </math>		:<math> \left\| r \right\| = r, \text{ jika } r \text{ ≥ } 0 </math>
Baris 24:		Baris 23:

	=== Bilangan kompleks ===		=== Bilangan kompleks ===
	[[Bilangan kompleks]] ''z'' dapat dipandang sebagai posisi suatu titik ''P'' dalam suatu [[Euclidean space\|ruang]] 2-dimensi, yang disebut [[complex plane\|planar kompleks]]. Nilai absolut atau modulus dari ''z'' dapat dipandang sebagai jarak ''P'' dari titik origin ruang itu. Rumus untuk nilai absolut mirip dengan rumus [[Euclidean norm\|norma]] suatu vektor dalam [[Euclidean space\|ruang]] 2-dimensi:		[[Bilangan kompleks]] ''z'' dapat dipandang sebagai posisi suatu titik ''P'' dalam suatu [[Euclidean space\|ruang]] 2-dimensi, yang disebut [[complex plane\|planar kompleks]]. Nilai absolut atau modulus dari ''z'' dapat dipandang sebagai jarak ''P'' dari titik origin ruang itu. Rumus untuk nilai absolut mirip dengan rumus [[Euclidean norm\|norma]] suatu vektor dalam [[Euclidean space\|ruang]] 2-dimensi:<ref>Ahlfors, Lars V.: ''Complex Analysis'', Mc Graw Hill Kogakusha, Tokyo (1953)</ref>

	:<math> \left\| z \right\| = \sqrt{a^2 + b^2 }</math>		:<math> \left\| z \right\| = \sqrt{a^2 + b^2 }</math>
Baris 33:		Baris 32:

	== Vektor ==		== Vektor ==
			Suatu [[vektor (spasial)\|vektor Euklidean]] melambangkan posisi suatu titik ''P'' dalam [[Euclidean space\|ruang Euklidean]]. Secara geometri, dapat dikatakan sebagai suatu panah dari origin ruang (ekor vektor) ke titik itu (ujung vektor). Secara matematis, vektor '''x''' dalam suatu ruang Euklidean berdimensi-''n'' dapat didefinisikan sebagai suatu daftar tertata dari ''n'' [[bilangan real]] ([[sistem koordinat Kartesius\|koordinat Kartesius]] dari ''P''): '''x''' = [''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>]. '''Besaran''' atau '''panjang'''nya secara umum didefinisikan sebagai [[Norm (mathematics)#Euclidean norm\|norma Euklidean]] (atau panjang Euklidean):<ref>Howard Anton. ''Elementary Linear Algebra (Applications Version)''. Wiley International. 2005.</ref>
	Suatu [[vektor (spasial)\|vektor Euklidean]] melambangkan posisi suatu titik ''P'' dalam [[Euclidean space\|ruang Euklidean]]. Secara geometri, dapat dikatakan sebagai suatu panah dari origin ruang (ekor vektor) ke titik itu (ujung vektor). Secara matematis, vektor '''x''' dalam suatu ruang Euklidean berdimensi-''n'' dapat didefinisikan sebagai suatu daftar tertata dari ''n'' [[bilangan real]] ([[sistem koordinat Kartesius\|koordinat Kartesius]] dari ''P''): '''x''' = [''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>]. '''Besaran''' atau '''panjang'''nya secara umum didefinisikan sebagai [[Norm (mathematics)#Euclidean norm\|norma Euklidean]] (atau panjang Euklidean):
	:<math>\\|\mathbf{x}\\|:= \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}.</math>		:<math>\\|\mathbf{x}\\|:= \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}.</math>
	Misalnya, dalam ruang 3-dimensi, besaran [4, 5, 6] adalah √(4<sup>2</sup> + 5<sup>2</sup> + 6<sup>2</sup>) = √77 atau kira-kira 8,775.		Misalnya, dalam ruang 3-dimensi, besaran [4, 5, 6] adalah √(4<sup>2</sup> + 5<sup>2</sup> + 6<sup>2</sup>) = √77 atau kira-kira 8,775.
Baris 50:		Baris 48:

	== Tingkat besaran ==		== Tingkat besaran ==
			Dalam matematika lanjutan, juga dalam percakapan pada [[budaya populer]], frasa "tingkat besaran" ("''order of magnitude''") digunakan untuk menyatakan suatu perubahan dalam kuantitas terbilang, biasanya suatu pengukuran, dengan "faktor 10" (atau "10 kali lipat") baik lebih tinggi atau lebih rendah; yaitu dengan memindahkan tanda koma desimal ke depan atau ke belakang, bisa saja dengan penambahan angka nol signifikan.<ref>Paus Brians. [http://public.wsu.edu/~brians/errors/orders.html Orders of Magnitude].</ref>
	Dalam matematika lanjutan, juga dalam percakapan pada [[budaya populer]], frasa "tingkat besaran" ("''order of magnitude''") digunakan untuk menyatakan suatu perubahan dalam kuantitas terbilang, biasanya suatu pengukuran, dengan "faktor 10" (atau "10 kali lipat") baik lebih tinggi atau lebih rendah; yaitu dengan memindahkan tanda koma desimal ke depan atau ke belakang, bisa saja dengan penambahan angka nol signifikan.

	Kadang-kadang frasa "setengah tingkat besaran" ("''half an order of magnitude''") juga dipakai, umumnya lebih dalam konteks informal, untuk menunjukkan perubahan dalam skala 5 banding 1, atau juga 10<sup>1/2</sup> banding 1 (kira-kira 3,162 banding 1).		Kadang-kadang frasa "setengah tingkat besaran" ("''half an order of magnitude''") juga dipakai, umumnya lebih dalam konteks informal, untuk menunjukkan perubahan dalam skala 5 banding 1, atau juga 10<sup>1/2</sup> banding 1 (kira-kira 3,162 banding 1).
Baris 59:		Baris 56:

	== Referensi ==		== Referensi ==
			<references />


	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Besaran+%28matematika%29&oldid=29441642 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29441642 (2026-07-10T23:35:56Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Besaran+%28matematika%29&oldid=29441642 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29441642 (2026-07-10T23:35:56Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29441642; atribusi sumber disertakan.

2026-08-24T22:52:24Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29441642; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

'''Besaran''' atau '''magnitude''' dalam [[matematika]] adalah ukuran suatu [[mathematical object|objek matematika]], suatu ukuran yang membandingkan objek itu sebagai "lebih besar" atau "lebih kecil" dengan objek sejenis yang lain. Lebih formalnya, besaran suatu objek adalah [[order theory|penataan]] (atau penempatan ranking) [[class (mathematics)|kelas]] objek pada kelompoknya.

== Sejarah ==
Orang Yunani membedakan beberapa jenis besaran, termasuk:
* [[Pecahan]] positif
* Segmen [[garis]] (ditata menurut [[panjang]])
* Objek datar (ditata menurut [[luas]])
* Benda padat (ditata menurut [[volume]])
* [[Sudut]] (ditata menurut besaran angular)

Mereka membuktikan bahwa dua kelompok pertama tidak dapat merupakan sistem besaran yang sama atau isomorfik. Mereka tidak menganggap besaran negatif itu berguna, dan ''besaran'' masih terutama digunakan dalam konteks [[nol]] adalah ukuran terendah atau terkecil dari segala ukuran.

== Bilangan ==

Besaran suatu [[bilangan]] biasanya disebut "[[nilai mutlak]]", "nilai absolut" atau "modulus", dilambangkan dengan '''|''x''|'''.

=== Bilangan real ===
Nilai mutlak suatu [[bilangan real]] ''r'' didefinisikan sebagai:

:<math> \left| r \right| = r, \text{ jika } r \text{ ≥ } 0 </math>
:<math> \left| r \right| = -r, \text{ jika } r < 0 .</math>

Dapat dipandangn sebagai jarak bilangan tersebut dari bilangan [[nol]] pada garis bilangan real. Misalnya, nilai mutlak bilangan 7 maupun bilangan −7 sama-sama adalah 7.

=== Bilangan kompleks ===
[[Bilangan kompleks]] ''z'' dapat dipandang sebagai posisi suatu titik ''P'' dalam suatu [[Euclidean space|ruang]] 2-dimensi, yang disebut [[complex plane|planar kompleks]]. Nilai absolut atau modulus dari ''z'' dapat dipandang sebagai jarak ''P'' dari titik origin ruang itu. Rumus untuk nilai absolut mirip dengan rumus [[Euclidean norm|norma]] suatu vektor dalam [[Euclidean space|ruang]] 2-dimensi:

:<math> \left| z \right| = \sqrt{a^2 + b^2 }</math>

di mana masing-masing bilangan real ''a'' dan ''b'' adalah bagian [[bilangan real]] dan bagian [[bilangan imajiner]] dari ''z''. Misalnya, modulus adalah <math>\sqrt{(-3)^2+4^2} = 5</math>. Dengan cara lain, besaran bilangan kompleks ''z'' dapat didefinisikan sebagai [[akar kuadrat]] dari produk bilangan itu dengan [[complex conjugate|konjugat kompleksnya]], ''z''∗, di mana untuk setiap bilangan kompleks , kompleks konjugatnya adalah .
:<math> \left| z \right| = \sqrt{zz^* } = \sqrt{(a+bi)(a-bi)} = \sqrt{a^2 -abi + abi - b^2i^2} = \sqrt{a^2 + b^2 }</math>
<big>(</big> recall <math>i^2 = -1</math> <big>)</big>

== Vektor ==

Suatu [[vektor (spasial)|vektor Euklidean]] melambangkan posisi suatu titik ''P'' dalam [[Euclidean space|ruang Euklidean]]. Secara geometri, dapat dikatakan sebagai suatu panah dari origin ruang (ekor vektor) ke titik itu (ujung vektor). Secara matematis, vektor '''x''' dalam suatu ruang Euklidean berdimensi-''n'' dapat didefinisikan sebagai suatu daftar tertata dari ''n'' [[bilangan real]] ([[sistem koordinat Kartesius|koordinat Kartesius]] dari ''P''): '''x''' = [''x''1, ''x''2, ..., ''x''''n'']. '''Besaran''' atau '''panjang'''nya secara umum didefinisikan sebagai [[Norm (mathematics)#Euclidean norm|norma Euklidean]] (atau panjang Euklidean):
:<math>\|\mathbf{x}\|:= \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}.</math>
Misalnya, dalam ruang 3-dimensi, besaran [4, 5, 6] adalah √(42 + 52 + 62) = √77 atau kira-kira 8,775.

Ini ekuivalen dengan [[akar kuadrat]] [[produk skalar]] dari vektor itu sendiri:
:<math>\|\mathbf{x}\|:= \sqrt{\mathbf{x} \cdot \mathbf{x}}.</math>

Norma Euklidean suatu vektor hanyalah suatu kasus khusus [[Euclidean distance|jarak Euklidean]]: jarak antara ekor dan ujungnya. Dua notasi yang mirip telah digunakan untuk norma Euklidean suatu vektor '''x''':
# <math>\left \| \mathbf{x} \right \|,</math>
# <math>\left | \mathbf{x} \right |.</math>
Kekurangan dari notasi kedua adalah notasi itu juga digunakan untuk menyatakan [[nilai absolut]] skalar dan [[determinan]] suatu [[matriks]] sehingga maknanya dapat rancu.

== Besaran logaritma ==
Sering kali lebih mudah membandingkan besaran dengan menggunakan skala [[logaritma]]. Contoh nyata antara lain: tingkat kenyaringan [[suara]] ([[desibel]]), [[kecerahan]] suatu [[bintang]], atau [[Skala Richter]] pada pengukuran intensitas [[gempa bumi]]. Besaran logaritma dapat bernilai negatif. Biasanya tidak bermakna banyak jika hanya [[penjumlahan|menambah]] atau [[pengurangan|mengurangi]].

== Tingkat besaran ==

Dalam matematika lanjutan, juga dalam percakapan pada [[budaya populer]], frasa "tingkat besaran" ("''order of magnitude''") digunakan untuk menyatakan suatu perubahan dalam kuantitas terbilang, biasanya suatu pengukuran, dengan "faktor 10" (atau "10 kali lipat") baik lebih tinggi atau lebih rendah; yaitu dengan memindahkan tanda koma desimal ke depan atau ke belakang, bisa saja dengan penambahan angka nol signifikan.

Kadang-kadang frasa "setengah tingkat besaran" ("''half an order of magnitude''") juga dipakai, umumnya lebih dalam konteks informal, untuk menunjukkan perubahan dalam skala 5 banding 1, atau juga 101/2 banding 1 (kira-kira 3,162 banding 1).

== Lihat pula ==
* [[Bilangan]]

== Referensi ==

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Besaran+%28matematika%29&oldid=29441642 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29441642 (2026-07-10T23:35:56Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.