Bilangan Liouville - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-24T23:07:33Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 24 Agustus 2026 23.07
Baris 1:		Baris 1:
	Dalam [[teori bilangan]], '''bilangan Liouville''' ialah suatu [[bilangan riil]] <math>x</math> dengan sifat bahwa untuk setiap [[bilangan asli]] <math>n</math>, terdapat suatu [[pasangan terurut]] bilangan asli <math>\left( p, \, q \right)</math> dengan <math>q > 1</math> sedemikian sehingga		Dalam [[teori bilangan]], '''bilangan Liouville'''<ref>[https://pasti.kemdikbud.go.id/istilah_listdet.php?id=48576&char=L&page=70 Bilangan Liouville]. ''Pasti (Padanan Istilah)''. Badan Pengembangan dan Pembinaan Bahasa.</ref> ialah suatu [[bilangan riil]] <math>x</math> dengan sifat bahwa untuk setiap [[bilangan asli]] <math>n</math>, terdapat suatu [[pasangan terurut]] bilangan asli <math>\left( p, \, q \right)</math> dengan <math>q > 1</math> sedemikian sehingga
	<math display="block">0 < \left\| x - \dfrac{p}{q} \right\| < \dfrac{1}{q^n}</math>		<math display="block">0 < \left\| x - \dfrac{p}{q} \right\| < \dfrac{1}{q^n}</math>

	[[Pertidaksamaan]] tersebut mengakibatkan bahwa bilangan Liouville memiliki suatu [[barisan]] [[penghampiran\|hampiran]] [[bilangan rasional]] yang sangat baik. Pada tahun 1884, [[Joseph Liouville]] membuktikan bahwa terdapat batas pada seberapa baik suatu [[bilangan aljabar]] dapat dihampiri oleh bilangan rasional, dan beliau mendefinisikan bilangan Liouville secara spesifik agar bilangan tersebut memiliki hampiran rasional yang lebih baik dibandingkan bilangan lain pada rentang tersebut. Liouville juga memberikan contoh-contoh dari bilangan Liouville yang membuktikan keberadaan [[bilangan transendental]] untuk pertama kalinya. Salah satu contoh dari bilangan tersebut ialah '''konstanta Liouville'''		[[Pertidaksamaan]] tersebut mengakibatkan bahwa bilangan Liouville memiliki suatu [[barisan]] [[penghampiran\|hampiran]] [[bilangan rasional]] yang sangat baik. Pada tahun 1884, [[Joseph Liouville]] membuktikan bahwa terdapat batas pada seberapa baik suatu [[bilangan aljabar]] dapat dihampiri oleh bilangan rasional, dan beliau mendefinisikan bilangan Liouville secara spesifik agar bilangan tersebut memiliki hampiran rasional yang lebih baik dibandingkan bilangan lain pada rentang tersebut. Liouville juga memberikan contoh-contoh dari bilangan Liouville<ref>Joseph Liouville. [http://www.bibnum.education.fr/mathematiques/theorie-des-nombres/propos-de-l-existence-des-nombres-transcendants Mémoires et communications]. ''Comptes rendus de l'Académie des Sciences''. Mei 1844. Vol. 18. hlm. 883–885,910–911.</ref> yang membuktikan keberadaan [[bilangan transendental]] untuk pertama kalinya.<ref>Alan Baker. ''Transcendental Number Theory''. Cambridge University Press. 1990. hlm. 1. ISBN 978-0-521-39791-9.</ref> Salah satu contoh dari bilangan tersebut ialah '''konstanta Liouville'''
	<math display="block">L = 0, \! 11000100000000000000000100 \ldots</math>		<math display="block">L = 0, \! 11000100000000000000000100 \ldots</math>
	dimana [[digit]] ke-<math>n</math> setelah [[Pemisah Desimal\|koma desimal]] ialah 1 jika <math>n</math> merupakan [[faktorial]] dari suatu [[bilangan asli]], dan 0 untuk digit-digit lainnya. Telah diketahui bahwa [[Pi\|Pi]] dan [[e (konstanta matematika)\|e]]walau merupakan [[bilangan transendental]]bukan merupakan bilangan Liouville.		dimana [[digit]] ke-<math>n</math> setelah [[Pemisah Desimal\|koma desimal]] ialah 1 jika <math>n</math> merupakan [[faktorial]] dari suatu [[bilangan asli]], dan 0 untuk digit-digit lainnya. Telah diketahui bahwa [[Pi\|Pi]] dan [[e (konstanta matematika)\|e]]walau merupakan [[bilangan transendental]]bukan merupakan bilangan Liouville.
Baris 57:		Baris 57:

	== Keirasionalan bilangan Liouville ==		== Keirasionalan bilangan Liouville ==


	== Ketransendentalan bilangan Liouville ==		== Ketransendentalan bilangan Liouville ==


	Pernyataan ini dapat dibuktikan dengan terlebih dahulu menyelidiki sifat dari [[bilangan irasional]] [[bilangan aljabar\|aljabar]]. Sifat ini pada dasarnya menyatakan bahwa bilangan aljabar irasional tidak dapat dihampiri dengan baik oleh bilangan rasional, dan syarat untuk "dihampiri dengan baik" akan menjadi lebih sulit untuk penyebut yang lebih besar. Walaupun bilangan Liouville merupakan bilangan irasional, bilangan Liouville tidak memiliki sifat ini, sehingga bukan merupakan bilangan aljabar dan harus bersifat transendental. [[Lema (matematika)\|Lema]] berikut ini biasanya dikenal sebagai '''teorema Liouville (mengenai penghampiran Diophantine)''', meskipun terdapat beberapa hasil yang dikenal sebagai [[teorema Liouville]].		Pernyataan ini dapat dibuktikan dengan terlebih dahulu menyelidiki sifat dari [[bilangan irasional]] [[bilangan aljabar\|aljabar]]. Sifat ini pada dasarnya menyatakan bahwa bilangan aljabar irasional tidak dapat dihampiri dengan baik oleh bilangan rasional, dan syarat untuk "dihampiri dengan baik" akan menjadi lebih sulit untuk penyebut yang lebih besar. Walaupun bilangan Liouville merupakan bilangan irasional, bilangan Liouville tidak memiliki sifat ini, sehingga bukan merupakan bilangan aljabar dan harus bersifat transendental. [[Lema (matematika)\|Lema]] berikut ini biasanya dikenal sebagai '''teorema Liouville (mengenai penghampiran Diophantine)''', meskipun terdapat beberapa hasil yang dikenal sebagai [[teorema Liouville]].


	</math>		</math>
Baris 100:		Baris 95:
	* [[Konstanta Markov]]		* [[Konstanta Markov]]
	* [[Penghampiran Diophantus]]		* [[Penghampiran Diophantus]]

	~~== Referensi ==~~


	== Pranalaa luar ==		== Pranalaa luar ==
	* [http://www.math.sc.edu/~filaseta/gradcourses/Math785/Math785Notes5.pdf The Beginning of Transcendental Numbers]		* [http://www.math.sc.edu/~filaseta/gradcourses/Math785/Math785Notes5.pdf The Beginning of Transcendental Numbers]

			== Referensi ==
			<references />

	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bilangan+Liouville&oldid=28474100 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28474100 (2025-11-14T04:06:10Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bilangan+Liouville&oldid=28474100 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28474100 (2025-11-14T04:06:10Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28474100; atribusi sumber disertakan.

2026-08-24T22:42:01Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28474100; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[teori bilangan]], '''bilangan Liouville''' ialah suatu [[bilangan riil]] <math>x</math> dengan sifat bahwa untuk setiap [[bilangan asli]] <math>n</math>, terdapat suatu [[pasangan terurut]] bilangan asli <math>\left( p, \, q \right)</math> dengan <math>q > 1</math> sedemikian sehingga
<math display="block">0 < \left| x - \dfrac{p}{q} \right| < \dfrac{1}{q^n}</math>

[[Pertidaksamaan]] tersebut mengakibatkan bahwa bilangan Liouville memiliki suatu [[barisan]] [[penghampiran|hampiran]] [[bilangan rasional]] yang sangat baik. Pada tahun 1884, [[Joseph Liouville]] membuktikan bahwa terdapat batas pada seberapa baik suatu [[bilangan aljabar]] dapat dihampiri oleh bilangan rasional, dan beliau mendefinisikan bilangan Liouville secara spesifik agar bilangan tersebut memiliki hampiran rasional yang lebih baik dibandingkan bilangan lain pada rentang tersebut. Liouville juga memberikan contoh-contoh dari bilangan Liouville yang membuktikan keberadaan [[bilangan transendental]] untuk pertama kalinya. Salah satu contoh dari bilangan tersebut ialah '''konstanta Liouville'''
<math display="block">L = 0, \! 11000100000000000000000100 \ldots</math>
dimana [[digit]] ke-<math>n</math> setelah [[Pemisah Desimal|koma desimal]] ialah 1 jika <math>n</math> merupakan [[faktorial]] dari suatu [[bilangan asli]], dan 0 untuk digit-digit lainnya. Telah diketahui bahwa [[Pi|Pi]] dan [[e (konstanta matematika)|e]]walau merupakan [[bilangan transendental]]bukan merupakan bilangan Liouville.

== Kewujudan bilangan Liouville (konstanta Liouville) ==
Bilangan Liouville dapat ditunjukkan keberadaannya dengan konstruksi eksplisit.

Diberikan sembarang [[bilangan bulat]] <math>b \geq 2</math> dan sembarang [[barisan]] <math>\langle a_k \rangle</math> sedemikian sehingga
# nilai <math>a_k \in \left\{ 0, \, 1, \, 2, \, \ldots, \, b - 1 \right\}</math> untuk setiap <math>k \in \mathbb{N}</math>, dan
# terdapat [[takhingga]] banyaknya nilai <math>k \in \mathbb{N}</math> sedemikian sehingga <math>a_k \neq 0</math>.
Didefinisikan bilangan
<math display="block">x := \sum_{n \, = \, 1}^{\infty} \dfrac{a_n}{b^{n!}}</math>
Pada [[kasus khusus]] ketika <math>b = 10</math> dan <math>a_k = 1</math> untuk setiap <math>k \in \mathbb{N}</math>, bilangan <math>x</math> disebut sebagai '''konstanta Liouville''':
<math display="block">L = 0, \! {\color{red}11} 000 {\color{red}1} 00000000000000000 {\color{red}1} 00 \ldots</math>

Berdasarkan definisi dari <math>x</math>, maka representasi <math>x</math> dalam [[radiks|basis]] <math>b</math> ialah
<math display="block">x = \left( 0, \! a_1 a_2 000 a_3 00000000000000000 a_4 00 \ldots \right)_b</math>
dengan suku ke-<math>n</math> berada pada posisi <math>n!</math> setelah [[Pemisah Desimal|tanda koma]]. Oleh karena digit-digit dari representasi <math>x</math> dalam basis <math>b</math> tidak periodik, maka <math>x</math> merupakan [[bilangan irasional]]. Akibatnya, untuk setiap [[bilangan rasional]] <math>\tfrac{p}{q}</math>, maka berlaku
<math display="block">\left| x - \dfrac{p}{q} \right| > 0</math>

Diambil sembarang <math>n \in \mathbb{N}</math>. Nilai <math>p</math> dan <math>q</math> dapat dipilih sebagai berikut
<math display="block">\begin{align}
q &= b^{n!} \\
p &= q \sum_{k \, = \, 1}^{n} \dfrac{a_k}{b^{k!}} = \sum_{k \, = \, 1}^{n} a_k b^{n! - k!}
\end{align}</math>
sehingga didapatkan
<math display="block">\begin{align}
\left| x - \dfrac{p}{q} \right| &= \left| \sum_{k \, = \, 1}^{\infty} \dfrac{a_k}{b^{k!}} - \sum_{k \, = \, 1}^{n} \dfrac{a_k}{b^{k!}} \right| \\
&= \left| \sum_{k \, = \, n + 1}^{\infty} \dfrac{a_k}{b^{k!}} \right| \\
&= \sum_{k \, = \, n + 1}^{\infty} \dfrac{a_k}{b^{k!}} && \text{(Lihat catatan 1)} \\
&\leq \sum_{k \, = \, n + 1}^{\infty} \dfrac{b - 1}{b^{k!}} && \text{(Lihat catatan 2)} \\
&< \sum_{k \, = \, (n + 1)!}^{\infty} \dfrac{b - 1}{b^{k}} && \text{(Lihat catatan 3)} \\
&= \sum_{k \, = \, 0}^{\infty} \dfrac{b - 1}{b^{k + (n + 1)!}} \\
&= \dfrac{b - 1}{b^{(n + 1)!}} \sum_{k \, = \, 0}^{\infty} \dfrac{1}{b^{k}} \\
&= \dfrac{b - 1}{b^{(n + 1)!}} \cdot \dfrac{b}{b - 1} \\
&= \dfrac{b}{b^{(n + 1)!}} \\
&\leq \dfrac{b^{n!}}{b^{(n + 1)!}} && \text{(Lihat catatan 4)} \\
&= \dfrac{1}{b^{(n + 1)! - n!}} \\
&= \dfrac{1}{b^{n! \, \cdot \, n}} \\
&= \dfrac{1}{\left( b^{n!} \right)^{n}} \\
&= \dfrac{1}{q^n}
\end{align}</math>
yang menunjukkan bahwa <math>x</math> merupakan bilangan Liouville.

=== Catatan pembuktian ===
# Pada baris kedua, perhatikan bahwa <math>k</math>, <math>a_k</math>, dan <math>b</math> bernilai nonnegatif. Akibatnya, setiap suku dari deret takhingga <math display="block">\sum_{k \, = \, n + 1}^{\infty} \dfrac{a_k}{b^{k!}}</math> juga bernilai nonnegatif, sehingga [[Nilai absolut|tanda mutlak]] pada baris kedua dapat dihilangkan.
# Pada baris ketiga, ingat bahwa <math>a_k \in \left\{ 0, \, 1, \, 2, \, \ldots, \, b - 1 \right\}</math> untuk setiap <math>k \in \mathbb{N}</math>. Akibatnya, nilai jumlahan terbesar akan terjadi ketika <math>a_k = b - 1</math> untuk setiap <math>k \in \mathbb{N}</math>, sehingga diperoleh [[pertidaksamaan]] <math display="block">\sum_{k \, = \, n + 1}^{\infty} \dfrac{a_k}{b^{k!}} \leq \sum_{k \, = \, n + 1}^{\infty} \dfrac{b - 1}{b^{k!}}</math> [[Deret (matematika)|Deret]] pada baris ketiga diarahkan menjadi deret pada baris keempat sebab bentuk umum dari suku-suku pada deret <math>\displaystyle \sum_{k \, = \, n + 1}^{\infty} \dfrac{a_k}{b^{k!}}</math> mirip dengan [[deret geometrik]] <math display="block">\sum_{k \, = \, 0}^{\infty} \dfrac{1}{b^k} = \dfrac{b}{b - 1}</math> sehingga dengan memunculkan deret yang pembilangnya ialah <math>b - 1</math> dan menggeser indeks dari jumlahannya dari <math>k = n + 1</math> menjadi <math>k = 0</math>, maka <math>b - 1</math> pada [[pecahan|bagian pembilang]] dan [[pecahan|bagian penyebut]] akan saling mengeliminasi, yang harapannya akan membuat hasil akhir pecahannya mendekati bentuk <math display="block">\dfrac{1}{q^n} = \dfrac{1}{b^{\text{pangkat} \, \times \, n}}</math>
# Pada baris keempat, ingat bahwa nilai <math>b \geq 2</math>. Akibatnya, pertidaksamaan <math display="block">\sum_{k \, = \, n + 1}^{\infty} \dfrac{1}{b^{k!}} < \sum_{k \, = \, (n + 1)!}^{\infty} \dfrac{1}{b^k}</math> merupakan pertidaksamaan sejati, sebab untuk setiap <math>k \geq n + 1</math>, terdapat <math>k(k!) - 1</math> suku yang bernilai positif di atara <math>\dfrac{1}{b^{k!}}</math> dan <math>\dfrac{1}{b^{(k + 1)!}}</math> yang termuat pada deret <math>\displaystyle \sum_{k \, = \, (n + 1)!}^{\infty} \dfrac{1}{b^k}</math> tetapi tidak termuat pada deret <math>\displaystyle \sum_{k \, = \, n + 1}^{\infty} \dfrac{1}{b^{k!}}</math>. Dengan kata lain, pertidaksamaan <math display="block">\sum_{k \, = \, n}^{\infty} \dfrac{1}{b^{k!}} < \sum_{k \, = \, (n + 1)!}^{\infty} \dfrac{1}{b^k}</math> merupakan pertidaksamaan sejati, sebab [[barisan]] <math display="block">(n + 1)!, \, (n + 2)!, \, (n + 3)!, \, (n + 4)!, \, \ldots</math> merupakan [[barisan bagian]] dari barisan <math display="block">(n + 1)!, \, (n + 1)! + 1, \, (n + 1)! + 2, \, (n + 1)! + 3, \, \ldots</math>
# Pada baris kesembilan, ingat bahwa <math>n \in \mathbb{N}</math> dan <math>b \geq 2</math>. Akibatnya, <math display="block">\begin{align}
1 &\leq n! \\
b^1 &\leq b^{n!} \\
\dfrac{b}{b^{(n + 1)!}} &\leq \dfrac{b^{n!}}{b^{(n + 1)!}}
\end{align}</math> Pertidaksamaan tersebut dipilih sebab pecahan <math>\dfrac{b}{b^{(n + 1)!}}</math> harus dimanipulasi menjadi sesuatu dengan bentuk <math>\dfrac{1}{b^{\text{pangkat} \, \times \, n}}</math>. Pertidaksamaan tersebut memungkinkan proses eliminasi dari <math>(n + 1)!</math> dan bagian pembilang, menggunakan sifat bahwa <math>(n + 1)! - n! = n(n!)</math>, sehingga bagian penyebutnya memiliki bentuk ideal untuk substitusi <math>q = b^{n!}</math>.

== Keirasionalan bilangan Liouville ==

== Ketransendentalan bilangan Liouville ==

Pernyataan ini dapat dibuktikan dengan terlebih dahulu menyelidiki sifat dari [[bilangan irasional]] [[bilangan aljabar|aljabar]]. Sifat ini pada dasarnya menyatakan bahwa bilangan aljabar irasional tidak dapat dihampiri dengan baik oleh bilangan rasional, dan syarat untuk "dihampiri dengan baik" akan menjadi lebih sulit untuk penyebut yang lebih besar. Walaupun bilangan Liouville merupakan bilangan irasional, bilangan Liouville tidak memiliki sifat ini, sehingga bukan merupakan bilangan aljabar dan harus bersifat transendental. [[Lema (matematika)|Lema]] berikut ini biasanya dikenal sebagai '''teorema Liouville (mengenai penghampiran Diophantine)''', meskipun terdapat beberapa hasil yang dikenal sebagai [[teorema Liouville]].

</math>
Oleh karena <math>f(\alpha) = 0</math> dan <math>f \! \left( \tfrac{p}{q} \right) \neq 0</math>, maka kedua [[Ruas dari suatu persamaan|ruas]] dari persamaan tersebut bernilai tak nol, sehingga <math>\left| f'(c) \right| > 0</math>. Akibatnya,
<math display="block">\begin{align}
\alpha - \dfrac{p}{q} &= \dfrac{f(\alpha) - f \! \left( \tfrac{p}{q} \right)}{f'(c)} \\
\alpha - \dfrac{p}{q} &= - \dfrac{1}{f'(c)} \cdot f \! \left( \tfrac{p}{q} \right) \\
\left| \alpha - \dfrac{p}{q} \right| &= \dfrac{1}{\left| f'(c) \right|} \left| f \! \left( \tfrac{p}{q} \right) \right| \\
&= \dfrac{1}{\left| f'(c) \right|} \left| a_0 + a_1 \dfrac{p}{q} + a_2 \dfrac{p^2}{q^2} + a_3 \dfrac{p^3}{q^3} + \ldots + a_n \dfrac{p^n}{q^n} \right| \\
&= \dfrac{1}{\left| f'(c) \right| q^n} \underbrace{\left| a_0 q^n + a_1 p q^{n - 1} + a_2 p^2 q^{n - 2} + a_3 p^3 q^{n - 3} + \ldots + a_n p^n \right|}_{\geq \, 1} \\
&\geq \dfrac{1}{M q^n} \cdot 1 \\
&> \dfrac{A}{q^n}
\end{align}</math>
dengan <math>0 < A < \min \left\{ \delta, \, \dfrac{1}{M} \right\}</math>.}}

\\
&= \dfrac{1}{b^m \cdot b^n} \\
&\leq \dfrac{1}{2^m \cdot b^n} \\
&\leq \dfrac{A}{b^n}
\end{align}</math>
yang bertentangan dengan hasil dari teorema Liouville. Oleh karena terjadi [[kontradiksi]], maka asumsi di
awalbahwa terdapat suatu bilangan Liouville yang merupakan [[bilangan aljabar]]bernilai salah, sehingga terbukti bahwa setiap bilangan Liouville merupakan [[bilangan transendental]].}}

== Ketakterhitungan himpunan semua bilangan Liouville ==
Pandang bilangan
<math display="block">\begin{align}
3&.1400010000000000000000050000 \ldots \\
3&.14 \! \left( 3 \; \text{nol} \right) \! 1 \! \left( 17 \; \text{nol} \right) \! 5 \! \left( 95 \; \text{nol} \right) \! 9 \! \left( 599 \; \text{nol} \right) \! 2 \! \left( 4319 \; \text{nol} \right) \! 6 \, \ldots
\end{align}</math>
yaitu bilangan yang setiap digitnya setelah koma desimal ialah angka nol, kecuali pada posisi <math>n!</math>, yang nilai digitnya sama dengan digit ke-<math>n</math> dari [[representasi desimal]] [[Pi|bilangan ]].

[[Bilangan Liouville#Kewujudan bilangan Liouville (konstanta Liouville)|Telah ditunjukkan sebelumnya]] bahwa bilangan tersebutbeserta setiap bilangan desimal takberakhir lainnya, dengan digit-digitnya diatur menyerupai contoh di atasmemenuhi definisi dari bilangan Liouville. Oleh karena himpunan semua bilangan desimal takberakhir memiliki [[kardinalitas kontinum]], maka himpunan semua bilangan Liouville juga demikian.

== Lihat juga ==
* [[Bilangan Brjuno]]
* [[Konstanta Markov]]
* [[Penghampiran Diophantus]]

== Referensi ==

== Pranalaa luar ==
* [http://www.math.sc.edu/~filaseta/gradcourses/Math785/Math785Notes5.pdf The Beginning of Transcendental Numbers]

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bilangan+Liouville&oldid=28474100 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28474100 (2025-11-14T04:06:10Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.