Bilangan hiperkompleks - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T03:59:40Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 03.59
Baris 1:		Baris 1:
			[[File:HypernumbersPowerOrbitM.png\|thumb\|right\|280px\|jmpl]]

	Dalam [[matematika]], '''bilangan hiperkompleks''' adalah istilah tradisional untuk [[elemen (matematika)\|elemen]] dari [[Aljabar di atas bidang#Aljabar satuan\|satuan]] [[aljabar di atas bidang\|aljabar]] di atas [[bidang (matematika)\|bidang]].		Dalam [[matematika]], '''bilangan hiperkompleks''' adalah istilah tradisional untuk [[elemen (matematika)\|elemen]] dari [[Aljabar di atas bidang#Aljabar satuan\|satuan]] [[aljabar di atas bidang\|aljabar]] di atas [[bidang (matematika)\|bidang]].
	Studi tentang bilangan hiperkompleks pada akhir abad ke-19 membentuk dasar teori [[representasi grup]] modern.		Studi tentang bilangan hiperkompleks pada akhir abad ke-19 membentuk dasar teori [[representasi grup]] modern.
Baris 5:		Baris 7:
	Pada abad kesembilan belas [[sistem bilangan]] disebut [[kuaternion]], [[tessarin]], [[kokuaternion]], [[bikuaternion]], dan [[oktonion]] menjadi konsep dalam literatur matematika, ditambahkan ke riil dan [[bilangan kompleks]]. Konsep bilangan hiperkompleks mencakup semuanya, dan disiplin untuk menjelaskan dan mengklasifikasikannya.		Pada abad kesembilan belas [[sistem bilangan]] disebut [[kuaternion]], [[tessarin]], [[kokuaternion]], [[bikuaternion]], dan [[oktonion]] menjadi konsep dalam literatur matematika, ditambahkan ke riil dan [[bilangan kompleks]]. Konsep bilangan hiperkompleks mencakup semuanya, dan disiplin untuk menjelaskan dan mengklasifikasikannya.

	Proyek pembuatan katalog dimulai pada tahun 1872 ketika [[Benjamin Peirce]] pertama kali menerbitkan '' Aljabar asosiatif linear '', dan dibawa oleh putranya [[Charles Sanders Peirce]]. Mengidentifikasi [[nilpoten]] dan [[elemen idempoten (teori gelanggang)\|elemen idempoten]] sebagai bilangan hiperkompleks yang berguna untuk klasifikasi. [[Konstruksi Cayley–Dickson]] menggunakan [[involusi (matematika)\|involusi]] untuk menghasilkan bilangan kompleks, kuaternion, dan oktonion dari sistem bilangan riil. Hurwitz dan Frobenius membuktikan teorema yang membatasi hiperkompleksitas: [[Teorema Hurwitz (aljabar pembagi bernorma)\|Teorema Hurwitz]] menyatakan bahwa [[komposisi aljabar]] riil berdimensi-hingga adalah riil ℝ, kompleks ℂ, kuartenion ℍ, dan oktonion 𝕆, dan [[Teorema Frobenius (aljabar divisi riil)\|Teorema Frobenius]] menyatakan bahwa satu-satunya [[aljabar pembagian asosiatif]] adalah ℝ, ℂ, dan ℍ. Pada tahun 1958 [[Frank Adams\|J. Frank Adams]] menerbitkan generalisasi lebih lanjut dalam hal invarian Hopf pada ruang-'' H '' yang masih membatasi dimensinya menjadi 1, 2, 4, atau 8.		Proyek pembuatan katalog dimulai pada tahun 1872 ketika [[Benjamin Peirce]] pertama kali menerbitkan '' Aljabar asosiatif linear '', dan dibawa oleh putranya [[Charles Sanders Peirce]].<ref>Benjamin Peirce. ''Linear Associative Algebra''. ''American Journal of Mathematics''. 1881. Vol. 4 (1). hlm. 221–6.</ref> Mengidentifikasi [[nilpoten]] dan [[elemen idempoten (teori gelanggang)\|elemen idempoten]] sebagai bilangan hiperkompleks yang berguna untuk klasifikasi. [[Konstruksi Cayley–Dickson]] menggunakan [[involusi (matematika)\|involusi]] untuk menghasilkan bilangan kompleks, kuaternion, dan oktonion dari sistem bilangan riil. Hurwitz dan Frobenius membuktikan teorema yang membatasi hiperkompleksitas: [[Teorema Hurwitz (aljabar pembagi bernorma)\|Teorema Hurwitz]] menyatakan bahwa [[komposisi aljabar]] riil berdimensi-hingga adalah riil ℝ, kompleks ℂ, kuartenion ℍ, dan oktonion 𝕆, dan [[Teorema Frobenius (aljabar divisi riil)\|Teorema Frobenius]] menyatakan bahwa satu-satunya [[aljabar pembagian asosiatif]] adalah ℝ, ℂ, dan ℍ. Pada tahun 1958 [[Frank Adams\|J. Frank Adams]] menerbitkan generalisasi lebih lanjut dalam hal invarian Hopf pada ruang-'' H '' yang masih membatasi dimensinya menjadi 1, 2, 4, atau 8.<ref>Adams, J. F. [http://www.math.rochester.edu/people/faculty/doug/otherpapers/Adams-HI1.pdf On the Non-Existence of Elements of Hopf Invariant One]. ''Annals of Mathematics''. July 1960. Vol. 72 (1). hlm. 20–104. doi:10.2307/1970147.</ref>

	[[matriks (matematika)\|Aljabar matriks]] yang memanfaatkan sistem hiperkompleks. Pertama, matriks memberikan kontribusi bilangan hiperkompleks baru seperti [[matriks real 2 × 2]]. Segera paradigma matriks mulai menjelaskan yang lain ketika mereka diwakili oleh matriks dan operasi mereka. Pada tahun 1907 [[Joseph Wedderburn]] menunjukkan bahwa sistem hiperkompleks asosiatif dapat diwakili oleh matriks, atau jumlah langsung dari sistem matriks. Sejak tanggal itu istilah yang lebih disukai untuk sistem hiperkompleks menjadi [[aljabar asosiatif]] seperti yang terlihat pada judul tesis Wedderburn di [[Universitas Edinburgh]]. Namun perlu dicatat, bahwa sistem non-asosiatif seperti oktonion dan [[kuaternion hiperbolik]] mewakili jenis bilangan hiperkompleks lainnya.		[[matriks (matematika)\|Aljabar matriks]] yang memanfaatkan sistem hiperkompleks. Pertama, matriks memberikan kontribusi bilangan hiperkompleks baru seperti [[matriks real 2 × 2]]. Segera paradigma matriks mulai menjelaskan yang lain ketika mereka diwakili oleh matriks dan operasi mereka. Pada tahun 1907 [[Joseph Wedderburn]] menunjukkan bahwa sistem hiperkompleks asosiatif dapat diwakili oleh matriks, atau jumlah langsung dari sistem matriks.<ref>J.H.M. Wedderburn. [https://zenodo.org/record/1447798 On Hypercomplex Numbers]. ''Proceedings of the London Mathematical Society''. 1908. Vol. 6. hlm. 77–118. doi:10.1112/plms/s2-6.1.77.</ref><ref>Emil Artin kemudian menggeneralisasikan hasil Wedderburn sehingga dikenal sebagai Teorema Artin–Wedderburn</ref> Sejak tanggal itu istilah yang lebih disukai untuk sistem hiperkompleks menjadi [[aljabar asosiatif]] seperti yang terlihat pada judul tesis Wedderburn di [[Universitas Edinburgh]]. Namun perlu dicatat, bahwa sistem non-asosiatif seperti oktonion dan [[kuaternion hiperbolik]] mewakili jenis bilangan hiperkompleks lainnya.

	Sebagai Hawkins menjelaskan, bilangan hypercomplex adalah batu loncatan untuk mempelajari teori [[grup Lie]] dan [[representasi grup]]. Misalnya, pada tahun 1929 [[Emmy Noether]] menulis tentang "kuantitas hiperkompleks dan teori representasi". Pada tahun 1973 Kantor dan Solodovnikov menerbitkan buku teks tentang bilangan hiperkompleks yang diterjemahkan pada tahun 1989.		Sebagai Hawkins<ref>Thomas Hawkins. ''Hypercomplex numbers, Lie groups, and the creation of group representation theory''. ''Archive for History of Exact Sciences''. 1972. Vol. 8 (4). hlm. 243–287. doi:10.1007/BF00328434.</ref> menjelaskan, bilangan hypercomplex adalah batu loncatan untuk mempelajari teori [[grup Lie]] dan [[representasi grup]]. Misalnya, pada tahun 1929 [[Emmy Noether]] menulis tentang "kuantitas hiperkompleks dan teori representasi".<ref>Emmy Noether. [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=GDZPPN002371448&L=1 Hyperkomplexe Größen und Darstellungstheorie]. ''Mathematische Annalen''. 1929. Vol. 30. hlm. 641–92. doi:10.1007/BF01187794.</ref> Pada tahun 1973 Kantor dan Solodovnikov menerbitkan buku teks tentang bilangan hiperkompleks yang diterjemahkan pada tahun 1989.<ref>Kantor, I.L., Solodownikow (1978), ''Hyperkomplexe Zahlen'', BSB B.G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig</ref><ref>I. L. Kantor. [https://archive.org/details/hypercomplexnumb0000kant Hypercomplex numbers]. Springer-Verlag. 1989. ISBN 978-0-387-96980-0.</ref>

	[[Karen Parshall]] telah menulis penjelasan terperinci tentang masa kejayaan bilangan hiperkompleks, termasuk peran matematikawan termasuk [[Theodor Molien]] dan [[Eduard Study]]. Untuk transisi ke [[Abstrak aljabar\|aljabar modern]], [[Bartel van der Waerden]] menyediakan tiga puluh halaman untuk bilangan hiperkompleks dalam '' Sejarah Aljabar ''.		[[Karen Parshall]] telah menulis penjelasan terperinci tentang masa kejayaan bilangan hiperkompleks,<ref>Karen Parshall. ''Wedderburn and the Structure of Algebras''. ''Archive for History of Exact Sciences''. 1985. Vol. 32. hlm. 223–349. doi:10.1007/BF00348450.</ref> termasuk peran matematikawan termasuk [[Theodor Molien]]<ref>Theodor Molien. [https://zenodo.org/record/2029540 Ueber Systeme höherer complexer Zahlen]. ''Mathematische Annalen''. 1893. Vol. 41 (1). hlm. 83–156. doi:10.1007/BF01443450.</ref> dan [[Eduard Study]].<ref>Eduard Study. ''''Encyclopädie der mathematischen Wissenschaften''. 1898. Vol. I A (4). hlm. 147–183.</ref> Untuk transisi ke [[Abstrak aljabar\|aljabar modern]], [[Bartel van der Waerden]] menyediakan tiga puluh halaman untuk bilangan hiperkompleks dalam '' Sejarah Aljabar ''.<ref>B.L. van der Waerden. ''A History of Algebra''. Springer. 1985. ISBN 3-540-13610X.</ref>

	== Definisi ==		== Definisi ==
Baris 17:		Baris 19:

	== Aljabar riil dua dimensi ==		== Aljabar riil dua dimensi ==


	Bukti: Karena aljabar adalah 2-dimensi, kita dapat memilih basis {1, '' u ''}. Karena aljabar [[penutupan (matematika)\|tertutup]] di bawah kuadrat, elemen basis non-riil '' u '' persegi menjadi kombinasi linear 1 dan '' u '':		Bukti: Karena aljabar adalah 2-dimensi, kita dapat memilih basis {1, '' u ''}. Karena aljabar [[penutupan (matematika)\|tertutup]] di bawah kuadrat, elemen basis non-riil '' u '' persegi menjadi kombinasi linear 1 dan '' u '':
	:<math>u^2=a_0+a_1u</math>		:<math>u^2=a_0+a_1u</math>
Baris 33:		Baris 33:
	Aljabar seperti bilangan kompleks terbagi yang menyertakan akar non-nyata dari 1 juga mengandung [[elemen idempoten\|idempoten]] <math>\tfrac{1}{2} (1 \pm j)</math> dan [[pembagi nol]] <math>(1 + j)(1 - j) = 0</math>, jadi aljabar seperti itu tidak bisa [[aljabar pembagian]] s. Namun, properti ini ternyata bisa menjadi sangat berarti, misalnya dalam mendeskripsikan [[transformasi Lorentz]] dari [[relativitas khusus]].		Aljabar seperti bilangan kompleks terbagi yang menyertakan akar non-nyata dari 1 juga mengandung [[elemen idempoten\|idempoten]] <math>\tfrac{1}{2} (1 \pm j)</math> dan [[pembagi nol]] <math>(1 + j)(1 - j) = 0</math>, jadi aljabar seperti itu tidak bisa [[aljabar pembagian]] s. Namun, properti ini ternyata bisa menjadi sangat berarti, misalnya dalam mendeskripsikan [[transformasi Lorentz]] dari [[relativitas khusus]].

	Dalam edisi 2004 [[Majalah Matematika]], aljabar nyata 2 dimensi telah diberi gaya "bilangan kompleks umum". The idea of [[cross-ratio]] of four complex numbers can be extended to the 2-dimensional real algebras.		Dalam edisi 2004 [[Majalah Matematika]], aljabar nyata 2 dimensi telah diberi gaya "bilangan kompleks umum".<ref>Anthony A. Harkin. [http://people.rit.edu/harkin/research/articles/generalized_complex_numbers.pdf Geometry of Generalized Complex Numbers]. ''Mathematics Magazine''. 2004. Vol. 77 (2). hlm. 118–129. doi:10.1080/0025570X.2004.11953236.</ref> The idea of [[cross-ratio]] of four complex numbers can be extended to the 2-dimensional real algebras.<ref>Sky Brewer. ''Projective Cross-ratio on Hypercomplex Numbers''. ''Advances in Applied Clifford Algebras''. 2013. Vol. 23 (1). hlm. 1–14. doi:10.1007/s00006-012-0335-7.</ref>

	== Lihat pula ==		== Lihat pula ==
Baris 41:		Baris 41:
	* [[Richard Brauer]]		* [[Richard Brauer]]
	* [[Analisis hiperkompleks]]		* [[Analisis hiperkompleks]]

	~~== Referensi ==~~


	== Bacaan lebih lanjut ==		== Bacaan lebih lanjut ==
			*
	*		*
	*		*
	*
	* . and ''Ouvres Completes'' T.2 pt. 1, pp 107–246.		* . and ''Ouvres Completes'' T.2 pt. 1, pp 107–246.
	*		*
	*		*
	*		*
	*		*
	*		*
	*		*


	== Pranala luar ==		== Pranala luar ==
			*
	*
	* [https://web.archive.org/web/20070130020723/http://history.hyperjeff.net/hypercomplex History of the Hypercomplexes on hyperjeff.com]		* [https://web.archive.org/web/20070130020723/http://history.hyperjeff.net/hypercomplex History of the Hypercomplexes on hyperjeff.com]
	* [http://hypercomplex.xpsweb.com/index.php?&lang=en Hypercomplex.info]		* [http://hypercomplex.xpsweb.com/index.php?&lang=en Hypercomplex.info]
	*		*
	* (English translation)		* (English translation)
	* (English translation)		* (English translation)

			== Referensi ==
			<references />

			== Sumber dan atribusi ==

	== ~~Sumber~~ dan ~~atribusi ==~~		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bilangan+hiperkompleks&oldid=28429718 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28429718 (2025-11-12T12:09:20Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

	~~Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bilangan+hiperkompleks&oldid=28429718 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28429718 (2025~~-11-~~12T12:09:20Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi~~-~~BerbagiSerupa (CC BY~~-~~SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.~~		<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28429718; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T03:21:01Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28429718; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[matematika]], '''bilangan hiperkompleks''' adalah istilah tradisional untuk [[elemen (matematika)|elemen]] dari [[Aljabar di atas bidang#Aljabar satuan|satuan]] [[aljabar di atas bidang|aljabar]] di atas [[bidang (matematika)|bidang]].
Studi tentang bilangan hiperkompleks pada akhir abad ke-19 membentuk dasar teori [[representasi grup]] modern.

== Sejarah ==
Pada abad kesembilan belas [[sistem bilangan]] disebut [[kuaternion]], [[tessarin]], [[kokuaternion]], [[bikuaternion]], dan [[oktonion]] menjadi konsep dalam literatur matematika, ditambahkan ke riil dan [[bilangan kompleks]]. Konsep bilangan hiperkompleks mencakup semuanya, dan disiplin untuk menjelaskan dan mengklasifikasikannya.

Proyek pembuatan katalog dimulai pada tahun 1872 ketika [[Benjamin Peirce]] pertama kali menerbitkan '' Aljabar asosiatif linear '', dan dibawa oleh putranya [[Charles Sanders Peirce]]. Mengidentifikasi [[nilpoten]] dan [[elemen idempoten (teori gelanggang)|elemen idempoten]] sebagai bilangan hiperkompleks yang berguna untuk klasifikasi. [[Konstruksi Cayley–Dickson]] menggunakan [[involusi (matematika)|involusi]] untuk menghasilkan bilangan kompleks, kuaternion, dan oktonion dari sistem bilangan riil. Hurwitz dan Frobenius membuktikan teorema yang membatasi hiperkompleksitas: [[Teorema Hurwitz (aljabar pembagi bernorma)|Teorema Hurwitz]] menyatakan bahwa [[komposisi aljabar]] riil berdimensi-hingga adalah riil ℝ, kompleks ℂ, kuartenion ℍ, dan oktonion 𝕆, dan [[Teorema Frobenius (aljabar divisi riil)|Teorema Frobenius]] menyatakan bahwa satu-satunya [[aljabar pembagian asosiatif]] adalah ℝ, ℂ, dan ℍ. Pada tahun 1958 [[Frank Adams|J. Frank Adams]] menerbitkan generalisasi lebih lanjut dalam hal invarian Hopf pada ruang-'' H '' yang masih membatasi dimensinya menjadi 1, 2, 4, atau 8.

[[matriks (matematika)|Aljabar matriks]] yang memanfaatkan sistem hiperkompleks. Pertama, matriks memberikan kontribusi bilangan hiperkompleks baru seperti [[matriks real 2 × 2]]. Segera paradigma matriks mulai menjelaskan yang lain ketika mereka diwakili oleh matriks dan operasi mereka. Pada tahun 1907 [[Joseph Wedderburn]] menunjukkan bahwa sistem hiperkompleks asosiatif dapat diwakili oleh matriks, atau jumlah langsung dari sistem matriks. Sejak tanggal itu istilah yang lebih disukai untuk sistem hiperkompleks menjadi [[aljabar asosiatif]] seperti yang terlihat pada judul tesis Wedderburn di [[Universitas Edinburgh]]. Namun perlu dicatat, bahwa sistem non-asosiatif seperti oktonion dan [[kuaternion hiperbolik]] mewakili jenis bilangan hiperkompleks lainnya.

Sebagai Hawkins menjelaskan, bilangan hypercomplex adalah batu loncatan untuk mempelajari teori [[grup Lie]] dan [[representasi grup]]. Misalnya, pada tahun 1929 [[Emmy Noether]] menulis tentang "kuantitas hiperkompleks dan teori representasi". Pada tahun 1973 Kantor dan Solodovnikov menerbitkan buku teks tentang bilangan hiperkompleks yang diterjemahkan pada tahun 1989.

[[Karen Parshall]] telah menulis penjelasan terperinci tentang masa kejayaan bilangan hiperkompleks, termasuk peran matematikawan termasuk [[Theodor Molien]] dan [[Eduard Study]]. Untuk transisi ke [[Abstrak aljabar|aljabar modern]], [[Bartel van der Waerden]] menyediakan tiga puluh halaman untuk bilangan hiperkompleks dalam '' Sejarah Aljabar ''.

== Definisi ==
Definisi dari '''bilangan hiperkompleks''' oleh sebagai elemen aljabar berdimensi hingga atas bilangan sebenarnya adalah [[aljabar unital|unital]] tetapi tidak harus [[sifat asosiatif|asosiatif]] atau [[sifat komutatif|komutatif]]. Elemen dihasilkan dengan koefisien bilangan riil <math>(a_0, \dots, a_n)</math> untuk dasar <math>\{ 1, i_1, \dots, i_n \}</math>. Jika memungkinkan, adalah konvensional untuk memilih basis tersebut <math>i_k^2 \in \{ -1, 0, +1 \}</math>. Pendekatan teknis untuk bilangan hypercomplex mengarahkan perhatian pertama ke [[dimensi]] dua.

== Aljabar riil dua dimensi ==

Bukti: Karena aljabar adalah 2-dimensi, kita dapat memilih basis {1, '' u ''}. Karena aljabar [[penutupan (matematika)|tertutup]] di bawah kuadrat, elemen basis non-riil '' u '' persegi menjadi kombinasi linear 1 dan '' u '':
:<math>u^2=a_0+a_1u</math>
untuk beberapa bilangan riil ''a''0 dan ''a''1.
Menggunakan metode umum [[kuadrat kompleks]] dengan mengurangi ''a''1''u'' dan menambahkan komplemen kuadrat ''a'' / 4 untuk kedua sisi hasil
:<math>u^2-a_1u+\frac{a_1^2}{4} = a_0+\frac{a_1^2}{4}.</math>
Thus <math>\left(u-\frac{a_1}{2}\right)^2 = \tilde{u}^2</math> di mana <math>\tilde{u}^2~=a_0 + \frac{a_1^2}{4}.</math>
Ketiga kasus tersebut bergantung pada nilai riil:
* Bila , hasil rumus di atas . Oleh karena itu, '' ũ '' dapat langsung diidentifikasi dengan elemen [[nilpoten]] <math>\epsilon</math> dari dasar <math>\{ 1, ~\epsilon \}</math> dari dua angka.
* Bila , rumus di atas menghasilkan . Hal ini mengarah pada bilangan kompleks terbagi yang memiliki basis yang dinormalisasi <math>\{ 1 , ~j \}</math> dengan <math>j^2 = +1</math>. Untuk mendapatkan '' j '' dari '' ũ '', yang terakhir harus dibagi dengan bilangan riil positif <math>a:=\sqrt{a_0+\frac{a_1^2}{4}}</math> yang memiliki kotak yang sama dengan '' ũ ''.
* Bila , rumus di atas menghasilkan . Bilangan kompleks yang memiliki basis yang dinormalisasi <math>\{ 1 , ~i \}</math> with <math>i^2 = -1</math>. Untuk menghasilkan '' i '' dari '' ũ '', yang terakhir harus dibagi dengan bilangan riil positif <math>a:=\sqrt{\frac{a_1^2}{4}-a_0}</math> yang kuadratkan ke negatif ''ũ''2.

Bilangan kompleks adalah satu-satunya aljabar hiperkompleks 2 dimensi yang merupakan [[Bidang (matematika)|bidang]].
Aljabar seperti bilangan kompleks terbagi yang menyertakan akar non-nyata dari 1 juga mengandung [[elemen idempoten|idempoten]] <math>\tfrac{1}{2} (1 \pm j)</math> dan [[pembagi nol]] <math>(1 + j)(1 - j) = 0</math>, jadi aljabar seperti itu tidak bisa [[aljabar pembagian]] s. Namun, properti ini ternyata bisa menjadi sangat berarti, misalnya dalam mendeskripsikan [[transformasi Lorentz]] dari [[relativitas khusus]].

Dalam edisi 2004 [[Majalah Matematika]], aljabar nyata 2 dimensi telah diberi gaya "bilangan kompleks umum". The idea of [[cross-ratio]] of four complex numbers can be extended to the 2-dimensional real algebras.

== Lihat pula ==
* [[Sedenions]]
* [[Thomas Kirkman]]
* [[Georg Scheffers]]
* [[Richard Brauer]]
* [[Analisis hiperkompleks]]

== Referensi ==

== Bacaan lebih lanjut ==

*
*
*
* . and ''Ouvres Completes'' T.2 pt. 1, pp 107–246.
*
*
*
*
*
*

== Pranala luar ==

*
* [https://web.archive.org/web/20070130020723/http://history.hyperjeff.net/hypercomplex History of the Hypercomplexes on hyperjeff.com]
* [http://hypercomplex.xpsweb.com/index.php?&lang=en Hypercomplex.info]
*
* (English translation)
* (English translation)

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bilangan+hiperkompleks&oldid=28429718 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28429718 (2025-11-12T12:09:20Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.