Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T04:03:54Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 04.03
Baris 1:		Baris 1:
	'''Bilangan imajiner''' atau '''bilangan khayal''' (), biasa dilambangkan dengan ''i, dan'' didefinisikan sebagai		{\| class="wikitable" style="float: right; margin-left: 1em; text-align: center;"
			\|-
			\| (ulangi pola ini<br />dari area biru)
			\|-
			\|
			\|-
			\|
			\|-
			\|
			\|-
			\|style="background:#cedff2;" \|
			\|-
			\|style="background:#cedff2;" \|
			\|-
			\|style="background:#cedff2;" \|
			\|-
			\|style="background:#cedff2;" \|
			\|-
			\|
			\|-
			\|
			\|-
			\|
			\|-
			\|<br />(lihat [[modular arithmetic\|modulus]])
			\|}
			'''Bilangan imajiner''' atau '''bilangan khayal'''<ref>[https://kbbi.kemdikbud.go.id/entri/ Arti kata bilangan khayal]. ''KBBI Daring''.</ref> (), biasa dilambangkan dengan ''i, dan'' didefinisikan sebagai

	<math>i = \sqrt{-1} </math> atau secara ekuivalen <math>i^2 =-1		<math>i = \sqrt{-1} </math> atau secara ekuivalen <math>i^2 =-1
Baris 17:		Baris 43:

	== Penafsiran geometri ==		== Penafsiran geometri ==


	Dalam geometri, bilangan imajiner dilambangkan sebagai titik-titik pada sumbu vertikal pada [[complex plane\|bidang bilangan kompleks]], digambarkan secara [[tegak lurus]] terhadap sumbu [[bilangan real]]. Satu cara untuk melihat bilangan-bilangan imajiner adalah dengan membayangkan suatu [[garis bilangan]], bertambah secara positif ke sebelah kanan dan bertambah negatif ke sebelah kiri, kemudian pada [[titik nol]] "O" garis yang dapat dipandang sebagai sumbu-, suatu sumbu- dapat digambarkan sebagai suatu garis tegak lurus yang bertambah "positif" (bilangan imajiner bertambah positif) ke arah atas, dan bertambah negatif (demikian pula dengan bilangan imajiner) ke arah bawah. Sumbu vertikal ini sering disebut "sumbu bilangan imajiner" dan dilambangkan dengan , <math>\scriptstyle\mathbb{I}</math>, atau .		Dalam geometri, bilangan imajiner dilambangkan sebagai titik-titik pada sumbu vertikal pada [[complex plane\|bidang bilangan kompleks]], digambarkan secara [[tegak lurus]] terhadap sumbu [[bilangan real]]. Satu cara untuk melihat bilangan-bilangan imajiner adalah dengan membayangkan suatu [[garis bilangan]], bertambah secara positif ke sebelah kanan dan bertambah negatif ke sebelah kiri, kemudian pada [[titik nol]] "O" garis yang dapat dipandang sebagai sumbu-, suatu sumbu- dapat digambarkan sebagai suatu garis tegak lurus yang bertambah "positif" (bilangan imajiner bertambah positif) ke arah atas, dan bertambah negatif (demikian pula dengan bilangan imajiner) ke arah bawah. Sumbu vertikal ini sering disebut "sumbu bilangan imajiner" dan dilambangkan dengan , <math>\scriptstyle\mathbb{I}</math>, atau .

Baris 24:		Baris 48:

	== Perkalian akar kuadrat ==		== Perkalian akar kuadrat ==
			[[Perkalian]] [[akar kuadrat]] [[bilangan negatif]] perlu perhatian khusus. Misalnya,<ref>E. A. Maxwell. [http://books.google.com/books?id=zNvvoFEzP8IC&lpg=PP1&dq=fallacies%20in%20mathematics&pg=PA37 Fallacies in mathematics]. Cambridge University Press. 1959.. Chapter VI, §I.2</ref> pemikiran berikut ini '''salah''':
	[[Perkalian]] [[akar kuadrat]] [[bilangan negatif]] perlu perhatian khusus. Misalnya, pemikiran berikut ini '''salah''':

	:<math>-1 = i^2 = \sqrt{-1}\sqrt{-1} = \sqrt{(-1)(-1)} = \sqrt{1} = 1 </math>		:<math>-1 = i^2 = \sqrt{-1}\sqrt{-1} = \sqrt{(-1)(-1)} = \sqrt{1} = 1 </math>

	[[Mathematical fallacy\|Kekeliruan (''fallacy'')]] yang diperbuat adalah penggunaan aturan , di mana [[principal value\|nilai prinsip]] akar kuadrat dihitung setiap kali, sebenarnya hanya valid jika dan dibatasi dengan sepatutnya. Tidak mungkin untuk mengembangkan definisi nilai prinsip akar kuadrat pada semua bilangan kompleks dengan cara aturan perkalian biasa. Jadi dalam konteks ini harus dianggap "tidak berarti", atau sebagai [[multivalued function\|ekspresi bernilai ganda]] dengan kemungkinan nilai dan .		[[Mathematical fallacy\|Kekeliruan (''fallacy'')]] yang diperbuat adalah penggunaan aturan , di mana [[principal value\|nilai prinsip]] akar kuadrat dihitung setiap kali, sebenarnya hanya valid jika dan dibatasi dengan sepatutnya.<ref>Bilamana akar kuadrat prinsip didefinisikan di dalam rentang dan dalam , suatu batasan (''constraint'') sepatutnya adalah atau .</ref> Tidak mungkin untuk mengembangkan definisi nilai prinsip akar kuadrat pada semua bilangan kompleks dengan cara aturan perkalian biasa. Jadi dalam konteks ini harus dianggap "tidak berarti", atau sebagai [[multivalued function\|ekspresi bernilai ganda]] dengan kemungkinan nilai dan .

	== Lihat pula ==		== Lihat pula ==

	* [[Bilangan asli]]		* [[Bilangan asli]]
	* [[Bilangan bulat]]		* [[Bilangan bulat]]
Baris 45:		Baris 67:

	== Catatan ==		== Catatan ==


	== Referensi ==		== Referensi ==
			<references />


	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bilangan+imajiner&oldid=27987198 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27987198 (2025-10-15T21:51:56Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bilangan+imajiner&oldid=27987198 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27987198 (2025-10-15T21:51:56Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 27987198; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T03:30:10Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 27987198; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

'''Bilangan imajiner''' atau '''bilangan khayal''' (), biasa dilambangkan dengan ''i, dan'' didefinisikan sebagai

<math>i = \sqrt{-1} </math> atau secara ekuivalen <math>i^2 =-1
</math>

Bilangan ini merupakan bagian dari [[bilangan kompleks]]. Secara definisi, (bagian) bilangan imajiner <math>i</math> diperoleh dari penyelesaian persamaan kuadratik:
:<math>x^2 + 1 = 0 \ </math>

atau secara ekuivalen

:<math>x^2 = -1 \implies x = \sqrt{-1}
</math> .
'''Bilangan imajiner''' dan/atau bilangan kompleks ini sering dipakai di berbagai bidang, seperti [[teknik elektro]] dan elektronika untuk menggambarkan sifat arus AC ([[listrik arus bolak-balik]]) atau untuk menganalisis gelombang [[fisika]] yang menjalar ke arah sumbu x mengikuti:

:<math>e^{ i (kx - \omega t)} = e^{ j (\omega t-kx)} \,</math>), dengan ''j'' = −''i''.
Selain itu, bilangan imajiner juga muncul di [[mekanika kuantum]], seperti pada [[Persamaan Schrödinger]], [[pengolahan sinyal]], dan masih banyak lagi. Salah satu yang menyebabkan bilangan imajiner muncul dan digunakan di mana-mana adalah sifatnya yang mempunyai fase atau periode, sehingga dapat digunakan untuk memodelkan objek yang memiliki periode.

== Penafsiran geometri ==

Dalam geometri, bilangan imajiner dilambangkan sebagai titik-titik pada sumbu vertikal pada [[complex plane|bidang bilangan kompleks]], digambarkan secara [[tegak lurus]] terhadap sumbu [[bilangan real]]. Satu cara untuk melihat bilangan-bilangan imajiner adalah dengan membayangkan suatu [[garis bilangan]], bertambah secara positif ke sebelah kanan dan bertambah negatif ke sebelah kiri, kemudian pada [[titik nol]] "O" garis yang dapat dipandang sebagai sumbu-, suatu sumbu- dapat digambarkan sebagai suatu garis tegak lurus yang bertambah "positif" (bilangan imajiner bertambah positif) ke arah atas, dan bertambah negatif (demikian pula dengan bilangan imajiner) ke arah bawah. Sumbu vertikal ini sering disebut "sumbu bilangan imajiner" dan dilambangkan dengan , <math>\scriptstyle\mathbb{I}</math>, atau .

Dalam representasi ini, perkalian dengan  berhubungan dengan suatu [[rotasi]] 180 derajat mengelilingi [[titik nol]]. [[Perkalian]] dengan berhubungan dengan rotasi 90 derajat pada arah "positif" (yaitu, berlawanan dengan jarum jam), dan persamaan ditafsirkan sebagai pernyataan bahwa jika diterapkan dua rotasi 90 derajat mengelilingi titik nol, maka hasil akhirnya adalah suatu rotasi tunggal 180 derajat. Perhatian bahwa rotasi 90 derajat pada arah "negatif" (yaitu searah jarum jam) juga memenuhi penafsiran ini. Hal ini mencerminkan fakta bahwa juga memecahkan persamaan . Pada umumnya, perkalian dengan suatu [[bilangan kompleks]] sama dengan rotasi mengelilingi [[titik nol]] oleh [[Arg (mathematics)|''argument'']] bilangan kompleks itu, diikuti dengan perubahan skala [[besaran (matematika)|besarannya]].

== Perkalian akar kuadrat ==

[[Perkalian]] [[akar kuadrat]] [[bilangan negatif]] perlu perhatian khusus. Misalnya, pemikiran berikut ini '''salah''':

:<math>-1 = i^2 = \sqrt{-1}\sqrt{-1} = \sqrt{(-1)(-1)} = \sqrt{1} = 1 </math>

[[Mathematical fallacy|Kekeliruan (''fallacy'')]] yang diperbuat adalah penggunaan aturan , di mana [[principal value|nilai prinsip]] akar kuadrat dihitung setiap kali, sebenarnya hanya valid jika dan dibatasi dengan sepatutnya. Tidak mungkin untuk mengembangkan definisi nilai prinsip akar kuadrat pada semua bilangan kompleks dengan cara aturan perkalian biasa. Jadi dalam konteks ini harus dianggap "tidak berarti", atau sebagai [[multivalued function|ekspresi bernilai ganda]] dengan kemungkinan nilai dan .

== Lihat pula ==

* [[Bilangan asli]]
* [[Bilangan bulat]]
* [[Bilangan cacah]]
* [[Bilangan kompleks]]
* [[Bilangan riil]]
* [[Bilangan rasional]]
* [[Bilangan irasional]]
* [[Bilangan prima]]
* [[Bilangan komposit]]
* [[Pecahan]]

== Catatan ==

== Referensi ==

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bilangan+imajiner&oldid=27987198 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27987198 (2025-10-15T21:51:56Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Bilangan imajiner - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 27987198; atribusi sumber disertakan.