Bilangan kompleks - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T13:58:39Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 13.58
Baris 1:		Baris 1:
			[[File:Complex_number_illustration.svg\|thumb\|right\|280px\|Complex number illustration]]

	'''Bilangan kompleks''' dalam [[matematika]], adalah bilangan yang dinotasikan oleh <math> a + bi \,</math>, di mana ''a'' dan ''b'' adalah [[bilangan riil]], dan ''i'' adalah suatu [[bilangan imajiner]] di mana ''i'' <sup>2</sup> = −1. Bilangan riil ''a'' disebut juga ''[[bagian riil]]'' dari bilangan kompleks, dan bilangan real ''b'' disebut ''[[bagian imajiner]]''. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai ''b'' adalah 0, maka bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real ''a''.		'''Bilangan kompleks''' dalam [[matematika]], adalah bilangan yang dinotasikan oleh <math> a + bi \,</math>, di mana ''a'' dan ''b'' adalah [[bilangan riil]], dan ''i'' adalah suatu [[bilangan imajiner]] di mana ''i'' <sup>2</sup> = −1. Bilangan riil ''a'' disebut juga ''[[bagian riil]]'' dari bilangan kompleks, dan bilangan real ''b'' disebut ''[[bagian imajiner]]''. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai ''b'' adalah 0, maka bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real ''a''.

Baris 22:		Baris 24:

	=== Definisi ===		=== Definisi ===

	Definisi formal bilangan kompleks adalah sepasang bilangan real (''a'', ''b'') dengan operasi sebagai berikut:		Definisi formal bilangan kompleks adalah sepasang bilangan real (''a'', ''b'') dengan operasi sebagai berikut:
	* <math> ( a, b ) + ( c, d ) = ( a + c, b + d ) \,</math>		* <math> ( a, b ) + ( c, d ) = ( a + c, b + d ) \,</math>
Baris 59:		Baris 60:

	== Bidang kompleks ==		== Bidang kompleks ==


	Bilangan kompleks dapat divisualisasikan sebagai titik atau vektor posisi pada sistem koordinat dua dimensi yang dinamakan '''[[bidang kompleks]]''' atau '''Diagram Argand'''.		Bilangan kompleks dapat divisualisasikan sebagai titik atau vektor posisi pada sistem koordinat dua dimensi yang dinamakan '''[[bidang kompleks]]''' atau '''Diagram Argand'''.

Baris 73:		Baris 72:
	dapat diperoleh:		dapat diperoleh:

	:<math>r_1 e^{i\phi_1} \cdot r_2 e^{i\phi_2}		:<math>r_1 e^{i\phi_1} \cdot r_2 e^{i\phi_2}
	= r_1 r_2 e^{i(\phi_1 + \phi_2)} \,</math>		= r_1 r_2 e^{i(\phi_1 + \phi_2)} \,</math>
	dan		dan
Baris 86:		Baris 85:
	== Konstruksi formal ==		== Konstruksi formal ==
	=== Konstruksi sebagai tatanan ===		=== Konstruksi sebagai tatanan ===
	[[William Rowan Hamilton]] memperkenalkan pendekatan untuk mendefinisikan himpunan dari bilangan kompleks sebagai himpunan dari bilangan real, di mana aturan penjumlahan dan perkalian berikut diterapkan:		[[William Rowan Hamilton]] memperkenalkan pendekatan untuk mendefinisikan himpunan dari bilangan kompleks<ref>Leo Corry. [https://archive.org/details/briefhistoryofnu0000corr A Brief History of Numbers]. Oxford University Press. 2015. hlm. [https://archive.org/details/briefhistoryofnu0000corr/page/215 215]–16.</ref> sebagai himpunan dari bilangan real, di mana aturan penjumlahan dan perkalian berikut diterapkan:<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bilangan+kompleks&oldid=27724962 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref>

	: <math>\begin{align}		: <math>\begin{align}
Baris 102:		Baris 101:
	Dimana adalah bilangan real. Penambahan dan perkalian polinomial biasa memberikan himpunan dari semua polinomial dengan struktur [[Gelanggang (matematika)\|gelanggang]]. Gelanggang ini disebut [[gelanggang polinomial]] di atas bilangan riil.		Dimana adalah bilangan real. Penambahan dan perkalian polinomial biasa memberikan himpunan dari semua polinomial dengan struktur [[Gelanggang (matematika)\|gelanggang]]. Gelanggang ini disebut [[gelanggang polinomial]] di atas bilangan riil.

	Kumpulan bilangan kompleks ditentukan sebagai [[gelanggang hasil bagi]] . Bidang ekstensi ini berisi dua akar kuadrat dari , yaitu ([[coset]] dari) dan , masing-masing. (Koset dari) dan membentuk dasar dari sebagai [[ruang vektor]] nyata, yang berarti bahwa setiap elemen bidang ekstensi dapat ditulis secara unik sebagai [[kombinasi linier]] di kedua elemen ini. Dengan kata lain, elemen bidang ekstensi dapat ditulis sebagai pasangan berurutan dari bilangan real. Cincin hasil bagi adalah bidang, karena adalah [[Polinomial tak tersederhanakan\|tak tersederhanakan]] berakhir , sehingga ideal yang dihasilkan adalah [[Ideal maksimal\|maksimal]].		Kumpulan bilangan kompleks ditentukan sebagai [[gelanggang hasil bagi]] .<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bilangan+kompleks&oldid=27724962 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref> Bidang ekstensi ini berisi dua akar kuadrat dari , yaitu ([[coset]] dari) dan , masing-masing. (Koset dari) dan membentuk dasar dari sebagai [[ruang vektor]] nyata, yang berarti bahwa setiap elemen bidang ekstensi dapat ditulis secara unik sebagai [[kombinasi linier]] di kedua elemen ini. Dengan kata lain, elemen bidang ekstensi dapat ditulis sebagai pasangan berurutan dari bilangan real. Cincin hasil bagi adalah bidang, karena adalah [[Polinomial tak tersederhanakan\|tak tersederhanakan]] berakhir , sehingga ideal yang dihasilkan adalah [[Ideal maksimal\|maksimal]].

	Rumus penjumlahan dan perkalian di ring , modulo the relation , sesuai dengan rumus untuk penjumlahan dan perkalian bilangan kompleks yang didefinisikan sebagai pasangan berurutan.		Rumus penjumlahan dan perkalian di ring , modulo the relation , sesuai dengan rumus untuk penjumlahan dan perkalian bilangan kompleks yang didefinisikan sebagai pasangan berurutan.
Baris 146:		Baris 145:
	Tiga poin [[collinearity\|non-collinear]] <math>u, v, w</math> di pesawat tentukan '' 'bentuk' '' segitiga <math>\{u, v, w\}</math>. Menemukan titik-titik dalam bidang kompleks, bentuk segitiga ini dapat diekspresikan dengan aritmetika kompleks sebagai		Tiga poin [[collinearity\|non-collinear]] <math>u, v, w</math> di pesawat tentukan '' 'bentuk' '' segitiga <math>\{u, v, w\}</math>. Menemukan titik-titik dalam bidang kompleks, bentuk segitiga ini dapat diekspresikan dengan aritmetika kompleks sebagai
	:<math>S(u, v, w) = \frac {u - w}{u - v}. </math>		:<math>S(u, v, w) = \frac {u - w}{u - v}. </math>
	Bentuk <math>S</math> sebuah segitiga akan tetap sama, ketika bidang kompleks diubah oleh translasi atau dilasi (dengan [[transformasi affin]]), sesuai dengan pengertian intuitif tentang bentuk, dan mendeskripsikan [[kesamaan (geometri)\|kesamaan]]. Demikianlah setiap segitiga <math>\{u, v, w\}</math> berada dalam [[bentuk#kelas kesamaan\|kelas kesamaan]] segitiga dengan bentuk yang sama.		Bentuk <math>S</math> sebuah segitiga akan tetap sama, ketika bidang kompleks diubah oleh translasi atau dilasi (dengan [[transformasi affin]]), sesuai dengan pengertian intuitif tentang bentuk, dan mendeskripsikan [[kesamaan (geometri)\|kesamaan]]. Demikianlah setiap segitiga <math>\{u, v, w\}</math> berada dalam [[bentuk#kelas kesamaan\|kelas kesamaan]] segitiga dengan bentuk yang sama.<ref>J.A. Lester. ''Triangles I: Shapes''. ''Aequationes Mathematicae''. 1994. Vol. 52. hlm. 30–54. doi:10.1007/BF01818325.</ref>

	=== Geometri fraktal ===		=== Geometri fraktal ===

	[[Himpunan Mandelbrot]] adalah contoh populer dari fraktal yang terbentuk pada bidang kompleks. Ini didefinisikan dengan memplot setiap lokasi <math> c </math> tempat melakukan iterasi urutan <math>f_c(z)=z^2+c</math> tidak [[menyimpang (teori stabilitas)\|menyimpang]] ketika [[iterasi]] tanpa batas. Demikian pula, [[himpunan Julia]] memiliki aturan yang sama, kecuali di mana <math>c</math> tetap konstan.		[[Himpunan Mandelbrot]] adalah contoh populer dari fraktal yang terbentuk pada bidang kompleks. Ini didefinisikan dengan memplot setiap lokasi <math> c </math> tempat melakukan iterasi urutan <math>f_c(z)=z^2+c</math> tidak [[menyimpang (teori stabilitas)\|menyimpang]] ketika [[iterasi]] tanpa batas. Demikian pula, [[himpunan Julia]] memiliki aturan yang sama, kecuali di mana <math>c</math> tetap konstan.

	=== Segitiga ===		=== Segitiga ===
	Setiap segitiga memiliki [[Steiner inellipse]] unik sebuah [[elips]] di dalam segitiga dan bersinggungan dengan titik tengah ketiga sisi segitiga. [[Fokus (geometri)\|fokus]] dari segitiga inellipse Steiner dapat ditemukan sebagai berikut, menurut [[teorema Marden]]: Nyatakan simpul segitiga pada bidang kompleks sebagai , , and . Tulis [[persamaan kubik]] <math>\scriptstyle (x-a)(x-b)(x-c)=0</math>, ambil turunannya, dan samakan turunan (kuadratik) menjadi nol. [[Teorema Marden]] mengatakan bahwa solusi dari persamaan ini adalah bilangan kompleks yang menunjukkan lokasi dari dua fokus.		Setiap segitiga memiliki [[Steiner inellipse]] unik sebuah [[elips]] di dalam segitiga dan bersinggungan dengan titik tengah ketiga sisi segitiga. [[Fokus (geometri)\|fokus]] dari segitiga inellipse Steiner dapat ditemukan sebagai berikut, menurut [[teorema Marden]]:<ref>Dan Kalman. [http://mathdl.maa.org/mathDL/22/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=3338&pf=1 An Elementary Proof of Marden's Theorem]. ''American Mathematical Monthly''. 2008a. Vol. 115 (4). hlm. 330–38. doi:10.1080/00029890.2008.11920532.</ref><ref>Dan Kalman. [http://mathdl.maa.org/mathDL/4/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=1663 The Most Marvelous Theorem in Mathematics]. ''Journal of Online Mathematics and its Applications''. 2008b.</ref> Nyatakan simpul segitiga pada bidang kompleks sebagai , , and . Tulis [[persamaan kubik]] <math>\scriptstyle (x-a)(x-b)(x-c)=0</math>, ambil turunannya, dan samakan turunan (kuadratik) menjadi nol. [[Teorema Marden]] mengatakan bahwa solusi dari persamaan ini adalah bilangan kompleks yang menunjukkan lokasi dari dua fokus.

	== Lihat pula ==		== Lihat pula ==


	* [[Bilangan asli]]		* [[Bilangan asli]]
	* [[Bilangan bulat]]		* [[Bilangan bulat]]
Baris 180:		Baris 176:

	== Catatan ==		== Catatan ==


	~~== Referensi ==~~


	~~=== Kutipan ===~~
	*
	*
	*

	== Bacaan lebih lanjut ==		== Bacaan lebih lanjut ==
			*
			*
	*		*
	*
	*

	=== Matematika ===		=== Matematika ===
	*		*
	*		*
	*		*
	*		*
	*		*
	*		*

	=== Sejarah ===		=== Sejarah ===
	*		*
	*		*
	*		*
	*		*
	*: A gentle introduction to the history of complex numbers and the beginnings of complex analysis.		*: A gentle introduction to the history of complex numbers and the beginnings of complex analysis.
	*		*
	*: An advanced perspective on the historical development of the concept of number.		*: An advanced perspective on the historical development of the concept of number.

			== Referensi ==
			<references />

			== Sumber dan atribusi ==

	== ~~Sumber~~ dan ~~atribusi ==~~		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bilangan+kompleks&oldid=27724962 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27724962 (2025-08-24T06:18:30Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

	~~Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bilangan+kompleks&oldid=27724962 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27724962 (2025~~-08-~~24T06:18:30Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi~~-~~BerbagiSerupa (CC BY~~-~~SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.~~		<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 27724962; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T13:20:13Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 27724962; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

'''Bilangan kompleks''' dalam [[matematika]], adalah bilangan yang dinotasikan oleh <math> a + bi \,</math>, di mana ''a'' dan ''b'' adalah [[bilangan riil]], dan ''i'' adalah suatu [[bilangan imajiner]] di mana ''i'' 2 = −1. Bilangan riil ''a'' disebut juga ''[[bagian riil]]'' dari bilangan kompleks, dan bilangan real ''b'' disebut ''[[bagian imajiner]]''. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai ''b'' adalah 0, maka bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real ''a''.

Sebagai contoh, 3 + 2''i'' adalah ''bilangan kompleks'' dengan bagian riil 3 dan bagian imajiner 2''i''.

Bilangan kompleks dapat ditambah, dikurang, dikali, dan dibagi seperti bilangan riil; namun bilangan kompleks juga mempunyai sifat-sifat tambahan yang menarik. Misalnya, setiap persamaan aljabar [[polinomial]] mempunyai solusi bilangan kompleks, tidak seperti bilangan riil yang hanya memiliki sebagian.

Dalam bidang-bidang tertentu (seperti [[teknik elektro]], di mana ''i'' digunakan sebagai simbol untuk [[arus listrik]]), bilangan kompleks ditulis ''a'' + ''bj''.

== Garis besar ==
=== Notasi dan operasi ===
[[Himpunan]] bilangan kompleks umumnya dinotasikan dengan '''C''', atau <math>\mathbb{C}</math>. Bilangan real, '''R''', dapat dinyatakan sebagai bagian dari himpunan '''C''' dengan menyatakan setiap bilangan real sebagai bilangan kompleks: <math>a = a + 0i</math>.

Bilangan kompleks ditambah, dikurang, dan dikali dengan menggunakan sifat-sifat aljabar seperti [[asosiatif]], [[komutatif]], dan [[distributif]], dan dengan persamaan ''i'' 2 = −1:

:(''a'' + ''bi'') + (''c'' + ''di'') = (''a''+''c'') + (''b''+''d'')''i''
:(''a'' + ''bi'') − (''c'' + ''di'') = (''a''−''c'') + (''b''−''d'')''i''
:(''a'' + ''bi'')(''c'' + ''di'') = ''ac'' + ''bci'' + ''adi'' + ''bd i'' 2 = (''ac''−''bd'') + (''bc''+''ad'')''i''

Pembagian bilangan kompleks juga dapat didefinisikan (lihat di bawah). Jadi, himpunan bilangan kompleks membentuk bidang matematika yang, berbeda dengan bilangan real, berupa aljabar tertutup.

Dalam matematika, adjektif "kompleks" berarti bilangan kompleks digunakan sebagai dasar teori angka yang digunakan. Sebagai contoh, [[analisis kompleks]], [[matriks kompleks]], [[polinomial kompleks]], dan [[aljabar Lie kompleks]].

=== Definisi ===

Definisi formal bilangan kompleks adalah sepasang bilangan real (''a'', ''b'') dengan operasi sebagai berikut:
* <math> ( a, b ) + ( c, d ) = ( a + c, b + d ) \,</math>
* <math> ( a, b ) \cdot ( c, d ) = ( ac - bd, bc + ad ). \,</math>

Dengan definisi di atas, bilangan-bilangan kompleks yang ada membentuk suatu himpunan bilangan kompleks yang dinotasikan dengan '''C'''.

Karena bilangan kompleks ''a'' + ''bi'' merupakan spesifikasi unik yang berdasarkan sepasang bilangan riil (''a'', ''b''), bilangan kompleks mempunyai hubungan korespondensi satu-satu dengan titik-titik pada satu bidang yang dinamakan [[bidang kompleks]].

Bilangan riil ''a'' dapat disebut juga dengan bilangan kompleks (''a'', 0), dan dengan cara ini, himpunan bilangan riil '''R''' menjadi bagian dari himpunan bilangan kompleks '''C'''.

Dalam '''C''', berlaku sebagai berikut:
* identitas penjumlahan ("nol"): (0, 0)
* identitas perkalian ("satu"): (1, 0)
* invers penjumlahan (''a'',''b''): (−''a'', −''b'')
* [[invers perkalian]] (reciprocal) bukan nol (''a'', ''b''): <math>\left({a\over a^2+b^2},{-b\over a^2+b^2}\right).</math>

== Notasi ==
=== Bentuk Penjumlahan ===
Bilangan kompleks pada umumnya dinyatakan sebagai penjumlahan dua suku, dengan suku pertama adalah [[bilangan riil]], dan suku kedua adalah bilangan imajiner.
:<math>a + b i</math>

=== Bentuk Polar ===
Dengan menganggap bahwa:
:<math>r = \sqrt {a^2 + b^2}</math>
dan
:<math>\theta = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)</math>
maka
:<math>a + b i = r (\cos \theta + i \sin \theta) </math>

Untuk mempersingkat penulisan, bentuk <math>r (\cos \theta + i \sin \theta)</math> juga sering ditulis sebagai <math>r \, cis \theta</math>.

=== Bentuk Eksponen ===
Bentuk lain adalah bentuk eksponen, yaitu:
:<math>r e^{i \theta} = r (\cos \theta + i \sin \theta)</math>

== Bidang kompleks ==

Bilangan kompleks dapat divisualisasikan sebagai titik atau vektor posisi pada sistem koordinat dua dimensi yang dinamakan '''[[bidang kompleks]]''' atau '''Diagram Argand'''.

[[Sistem koordinat Kartesius|Koordinat Kartesius]] bilangan kompleks adalah bagian riil ''x'' dan bagian imajiner ''y'', sedangkan koordinat sirkulernya adalah ''r'' = |''z''|, yang disebut [[modulus]], dan φ = arg(''z''), yang disebut juga ''argumen kompleks'' dari ''z'' (Format ini disebut format mod-arg). Dikombinasikan dengan [[Rumus Euler]], dapat diperoleh:
:<math> z = x + iy = r (\cos \phi + i\sin \phi ) = r e^{i \phi}. \,</math>

Kadang-kadang, notasi ''r'' cis φ dapat juga ditemui.

Perlu diperhatikan bahwa argumen kompleks adalah unik [[modulo]] 2π, jadi, jika terdapat dua nilai argumen kompleks yang berbeda sebanyak kelipatan [[bilangan bulat]] dari 2π, kedua argumen kompleks tersebut adalah sama (ekivalen).

Dengan menggunakan [[identitas trigonometri]] dasar,
dapat diperoleh:

:<math>r_1 e^{i\phi_1} \cdot r_2 e^{i\phi_2}
= r_1 r_2 e^{i(\phi_1 + \phi_2)} \,</math>
dan
:<math>\frac{r_1 e^{i\phi_1}}
{r_2 e^{i\phi_2}}
= \frac{r_1}{r_2} e^{i (\phi_1 - \phi_2)}. \,</math>

Penjumlahan dua bilangan kompleks sama seperti [[penjumlahan vektor]] dari dua vektor, dan perkalian dengan bilangan kompleks dapat divisualisasikan sebagai rotasi dan pemanjangan secara bersamaan.

Perkalian dengan i adalah rotasi 90 derajat berlawanan dengan arah jarum jam (<math>\pi/2</math> [[radian]]). Secara geometris, persamaan ''i''2 = −1 adalah dua kali rotasi 90 derajat yang sama dengan rotasi 180 derajat (<math>\pi</math> radian).

== Konstruksi formal ==
=== Konstruksi sebagai tatanan ===
[[William Rowan Hamilton]] memperkenalkan pendekatan untuk mendefinisikan himpunan dari bilangan kompleks sebagai himpunan dari bilangan real, di mana aturan penjumlahan dan perkalian berikut diterapkan:

: <math>\begin{align}
(a, b) + (c, d) &= (a + c, b + d)\\
(a, b) \cdot (c, d) &= (ac - bd, bc + ad).
\end{align}</math>

Kemudian hanya masalah notasi untuk diungkapkan sebagai .

=== Konstruksi sebagai medan hasil bagi ===
Meskipun konstruksi tingkat rendah ini secara akurat mendeskripsikan struktur bilangan kompleks, definisi ekuivalen berikut mengungkapkan sifat aljabar lebih segera. Karakterisasi ini bergantung pada pengertian bidang dan polinomial. Bidang adalah himpunan yang diberkahi dengan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian yang berperilaku seperti yang biasa dari, katakanlah, bilangan rasional. Contohnya, [[hukum distributif]]
:<math>(x+y) z = xz + yz</math>
harus memegang untuk tiga elemen , dan dari sebuah lapangan. Himpunan bilangan real memang membentuk bidang. Polinomial dengan [[koefisien]] nyata adalah ekspresi dari bentuk
:<math>a_nX^n+\dotsb+a_1X+a_0,</math>
Dimana adalah bilangan real. Penambahan dan perkalian polinomial biasa memberikan himpunan dari semua polinomial dengan struktur [[Gelanggang (matematika)|gelanggang]]. Gelanggang ini disebut [[gelanggang polinomial]] di atas bilangan riil.

Kumpulan bilangan kompleks ditentukan sebagai [[gelanggang hasil bagi]] . Bidang ekstensi ini berisi dua akar kuadrat dari , yaitu ([[coset]] dari) dan , masing-masing. (Koset dari) dan membentuk dasar dari sebagai [[ruang vektor]] nyata, yang berarti bahwa setiap elemen bidang ekstensi dapat ditulis secara unik sebagai [[kombinasi linier]] di kedua elemen ini. Dengan kata lain, elemen bidang ekstensi dapat ditulis sebagai pasangan berurutan dari bilangan real. Cincin hasil bagi adalah bidang, karena adalah [[Polinomial tak tersederhanakan|tak tersederhanakan]] berakhir , sehingga ideal yang dihasilkan adalah [[Ideal maksimal|maksimal]].

Rumus penjumlahan dan perkalian di ring , modulo the relation , sesuai dengan rumus untuk penjumlahan dan perkalian bilangan kompleks yang didefinisikan sebagai pasangan berurutan.

=== Wakilan matriks dari bilangan kompleks ===
Bilangan kompleks bisa juga diwakili oleh [[matriks (matematika)|matriks]] yang memiliki bentuk sebagai berikut:
:<math>
\begin{pmatrix}
a & -b \\
b & \;\; a
\end{pmatrix}
</math>
Di sini entri dan adalah bilangan riil. Jumlah dan produk dari dua matriks tersebut lagi-lagi dalam bentuk ini, dan jumlah dan hasil kali bilangan kompleks sesuai dengan jumlah dan [[perkalian matriks|perkalian]] dari matriks-matriks tersebut, hasil perkaliannya adalah:
:<math>
\begin{pmatrix}
a & -b \\
b & \;\; a
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
c & -d \\
d & \;\; c
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
ac-bd & -ad-bc \\
bc+ad & \;\; -bd+ac
\end{pmatrix}
</math>

Deskripsi geometris dari perkalian bilangan kompleks juga dapat diekspresikan dalam [[matriks rotasi]] dengan menggunakan korespondensi antara bilangan kompleks dan sejenisnya. Selain itu, kuadrat dari nilai absolut dari bilangan kompleks yang dinyatakan sebagai matriks sama dengan [[determinan]] matriks tersebut:
:<math> |z|^2 =
\begin{vmatrix}
a & -b \\
b & a
\end{vmatrix}
= a^2 + b^2.
</math>
Konjugasi <math>\overline z</math> sesuai dengan [[transpos]] dari matriks.

Meskipun representasi bilangan kompleks dengan matriks ini adalah yang paling umum, banyak representasi lain yang muncul dari matriks '' selain '' <math>\bigl(\begin{smallmatrix}0 & -1 \\1 & 0 \end{smallmatrix}\bigr)</math> kuadrat itu ke negatif dari [[matriks identitas]]. Lihat artikel tentang [[2 × 2 matriks riil]] untuk representasi lain dari bilangan kompleks.

== Geometri ==
=== Bentuk ===
Tiga poin [[collinearity|non-collinear]] <math>u, v, w</math> di pesawat tentukan '' 'bentuk' '' segitiga <math>\{u, v, w\}</math>. Menemukan titik-titik dalam bidang kompleks, bentuk segitiga ini dapat diekspresikan dengan aritmetika kompleks sebagai
:<math>S(u, v, w) = \frac {u - w}{u - v}. </math>
Bentuk <math>S</math> sebuah segitiga akan tetap sama, ketika bidang kompleks diubah oleh translasi atau dilasi (dengan [[transformasi affin]]), sesuai dengan pengertian intuitif tentang bentuk, dan mendeskripsikan [[kesamaan (geometri)|kesamaan]]. Demikianlah setiap segitiga <math>\{u, v, w\}</math> berada dalam [[bentuk#kelas kesamaan|kelas kesamaan]] segitiga dengan bentuk yang sama.

=== Geometri fraktal ===

[[Himpunan Mandelbrot]] adalah contoh populer dari fraktal yang terbentuk pada bidang kompleks. Ini didefinisikan dengan memplot setiap lokasi <math> c </math> tempat melakukan iterasi urutan <math>f_c(z)=z^2+c</math> tidak [[menyimpang (teori stabilitas)|menyimpang]] ketika [[iterasi]] tanpa batas. Demikian pula, [[himpunan Julia]] memiliki aturan yang sama, kecuali di mana <math>c</math> tetap konstan.

=== Segitiga ===
Setiap segitiga memiliki [[Steiner inellipse]] unik sebuah [[elips]] di dalam segitiga dan bersinggungan dengan titik tengah ketiga sisi segitiga. [[Fokus (geometri)|fokus]] dari segitiga inellipse Steiner dapat ditemukan sebagai berikut, menurut [[teorema Marden]]: Nyatakan simpul segitiga pada bidang kompleks sebagai , , and . Tulis [[persamaan kubik]] <math>\scriptstyle (x-a)(x-b)(x-c)=0</math>, ambil turunannya, dan samakan turunan (kuadratik) menjadi nol. [[Teorema Marden]] mengatakan bahwa solusi dari persamaan ini adalah bilangan kompleks yang menunjukkan lokasi dari dua fokus.

== Lihat pula ==

* [[Bilangan asli]]
* [[Bilangan bulat]]
* [[Bilangan cacah]]
* [[Bilangan imajiner]]
* [[Bilangan riil]]
* [[Bilangan rasional]]
* [[Bilangan irasional]]
* [[Bilangan prima]]
* [[Bilangan komposit]]
* [[Pecahan]]
* [[Permukaan aljabar]]
* [[Gerakan melingkar#Menggunakan bilangan kompleks|Gerakan melingkar menggunakan bilangan kompleks]]
* [[Sistem basis kompleks]]
* [[Geometri kompleks]]
* [[Bilangan kompleks ganda]]
* [[Bilangan bulat Eisenstein]]
* [[Identitas Euler]]
* [[Aljabar geometri#Satuan pseudoskalar|Aljabar geometri]] (yang menyertakan bidang kompleks sebagai subruang 2-dimensi [[Spinor#Dua dimensi|spinor]] <math>\mathcal{G}_2^+</math>)
* [[Akar persatuan]]
* [[Bilangan kompleks satuan]]

== Catatan ==

== Referensi ==

=== Kutipan ===
*
*
*

== Bacaan lebih lanjut ==

*
*
*

=== Matematika ===
*
*
*
*
*
*

=== Sejarah ===
*
*
*
*
*: A gentle introduction to the history of complex numbers and the beginnings of complex analysis.
*
*: An advanced perspective on the historical development of the concept of number.

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bilangan+kompleks&oldid=27724962 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27724962 (2025-08-24T06:18:30Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.