Bilangan segitiga kuadrat - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-24T23:09:44Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 24 Agustus 2026 23.09
Baris 1:		Baris 1:
			[[File:Nicomachus_theorem_3D.svg\|thumb\|right\|280px\|Persegi yang panjang sisinya adalah bilangan segitiga dapat dipartisi menjadi persegi dan setengah persegi, yang luasnya bertambah menjadi jumlah bilangan pangkat tiga]]

	Dalam [[Teori bilangan\|teorema bilangan]], jumlah <math>n </math> [[pangkat tiga]] pertama adalah kuadrat dari bilangan [[Bilangan segitiga\|segitiga]] ke-<math>n </math>. Jumlah tersebut dirumuskan sebagai<math display="block">1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3 = \left(1+2+3+\cdots+n\right)^2.</math>Dengan menggunakan [[notasi Sigma]], persamaan tersebut dapat ditulis<math display="block">\sum_{k=1}^n k^3 = \bigg(\sum_{k=1}^n k\bigg)^2.</math>		Dalam [[Teori bilangan\|teorema bilangan]], jumlah <math>n </math> [[pangkat tiga]] pertama adalah kuadrat dari bilangan [[Bilangan segitiga\|segitiga]] ke-<math>n </math>. Jumlah tersebut dirumuskan sebagai<math display="block">1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3 = \left(1+2+3+\cdots+n\right)^2.</math>Dengan menggunakan [[notasi Sigma]], persamaan tersebut dapat ditulis<math display="block">\sum_{k=1}^n k^3 = \bigg(\sum_{k=1}^n k\bigg)^2.</math>

Baris 9:		Baris 11:

	== Nilai numerik; pandangan geometris dan probabilistik ==		== Nilai numerik; pandangan geometris dan probabilistik ==

	Barisan bilangan segitiga kuadrat adalah:		Barisan bilangan segitiga kuadrat adalah:

Baris 29:		Baris 30:
	&= (1 + 2 + \cdots + n)^2 \\		&= (1 + 2 + \cdots + n)^2 \\
	&= \bigg(\sum_{k=1}^n k\bigg)^2.		&= \bigg(\sum_{k=1}^n k\bigg)^2.
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	mendapatkan bukti lain dengan menjumlahkan bilangan-bilangan dalam suatu [[tabel perkalian]] persegi dengan dua cara berbeda. Jumlah dari baris ke-<math>i</math> adalah <math>i</math> dikalikan dengan bilangan segitiga, yang berarit bahwa jumlah dari semua baris adalah kuadrat dari bilangan segitiga. Cara lainnya adalah seseorang dapat menguraikan tabel menjadi barisan [[gnomon]] bersarang, yang masing-masing bilangan terdiri dari hasil kali yang lebih besar dari dua suku memberikan suatu nilai konstan. Jumlah dalam setiap gnomon adalah bilangan pangkat tiga, dan demikian bahwa jumlah seluruh tabel adalah jumlah bilangan pangkat tiga.		mendapatkan bukti lain dengan menjumlahkan bilangan-bilangan dalam suatu [[tabel perkalian]] persegi dengan dua cara berbeda. Jumlah dari baris ke-<math>i</math> adalah <math>i</math> dikalikan dengan bilangan segitiga, yang berarit bahwa jumlah dari semua baris adalah kuadrat dari bilangan segitiga. Cara lainnya adalah seseorang dapat menguraikan tabel menjadi barisan [[gnomon]] bersarang, yang masing-masing bilangan terdiri dari hasil kali yang lebih besar dari dua suku memberikan suatu nilai konstan. Jumlah dalam setiap gnomon adalah bilangan pangkat tiga, dan demikian bahwa jumlah seluruh tabel adalah jumlah bilangan pangkat tiga.


	Dalam literatur matematika yang baru-baru ini, memberikan bukti dari jumlah bilangan segitiga kuadrat dengan menggunakan [[penjumlahan bagian-demi-bagian]]. menggunakan pandangan perhitungan persegi panjang dari bilangan-bilangan tersebut agar membentuk bukti geometris dari identitas (lihat pula ); ia mengamati bahwa pandangan tersebut juga dapat dibuktikan dengan mudah (tetapi tidak informatif) memlalui induksi, dan menyatakan bahwa memberikan "bukti Arab kuno yang menarik". memberikan bukti visual murni, memberikan dua bukti tambahan, dan memberikan tujuh bukti geometris.		Dalam literatur matematika yang baru-baru ini, memberikan bukti dari jumlah bilangan segitiga kuadrat dengan menggunakan [[penjumlahan bagian-demi-bagian]]. menggunakan pandangan perhitungan persegi panjang dari bilangan-bilangan tersebut agar membentuk bukti geometris dari identitas (lihat pula ); ia mengamati bahwa pandangan tersebut juga dapat dibuktikan dengan mudah (tetapi tidak informatif) memlalui induksi, dan menyatakan bahwa memberikan "bukti Arab kuno yang menarik". memberikan bukti visual murni, memberikan dua bukti tambahan, dan memberikan tujuh bukti geometris.
	== Perumuman ==		== Perumuman ==
	Terdapat hasil yang mirip dengan teorema Nicomachus, dan hasil tersebut berlaku untuk semua [[Rumus Faulhaber\|jumlah pangkat]]: jumlah pangkat ganjil sama dengan polinomial dalam bilangan segitiga. Hasil pernyataan itu disebut [[Formula Faulhaber\|polinomial Faulhaber]], suatu polinomial dengan jumlah bilangan pangkat tiga yang merupakan contoh paling sederhana dan paling elegan. Namun, tidak ada kasus lain yang memiliki satu jumlah pangkat kuadrat dari yang lain.		Terdapat hasil yang mirip dengan teorema Nicomachus, dan hasil tersebut berlaku untuk semua [[Rumus Faulhaber\|jumlah pangkat]]: jumlah pangkat ganjil sama dengan polinomial dalam bilangan segitiga. Hasil pernyataan itu disebut [[Formula Faulhaber\|polinomial Faulhaber]], suatu polinomial dengan jumlah bilangan pangkat tiga yang merupakan contoh paling sederhana dan paling elegan. Namun, tidak ada kasus lain yang memiliki satu jumlah pangkat kuadrat dari yang lain.<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bilangan+segitiga+kuadrat&oldid=28597436 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref>

	mempelajari syarat-syarat yang lebih umum, dengan jumlah barisan bilangan kubus berurutan membentuk suatu bilangan kuadrat. dan mempelajari polinomial dari rumus bilangan segitiga kuadrat, dengan deret pada polinomial bertambah menjadi kuadrat dari polinomial lain.		mempelajari syarat-syarat yang lebih umum, dengan jumlah barisan bilangan kubus berurutan membentuk suatu bilangan kuadrat. dan mempelajari polinomial dari rumus bilangan segitiga kuadrat, dengan deret pada polinomial bertambah menjadi kuadrat dari polinomial lain.

	~~== Referensi ==~~

	*.
	*.
	*.
	*
	*.
	*.
	*.
	*.
	*.
	*.
	*.
	*.
	*.
	*.
	*.


	== Pranala luar ==		== Pranala luar ==
			*
	*
	* [http://users.tru.eastlink.ca/~brsears/math/oldprob.htm#s32 A visual proof of Nicomachus's theorem]		* [http://users.tru.eastlink.ca/~brsears/math/oldprob.htm#s32 A visual proof of Nicomachus's theorem]

			== Referensi ==
			<references />

			== Sumber dan atribusi ==

	== ~~Sumber~~ dan ~~atribusi ==~~		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bilangan+segitiga+kuadrat&oldid=28597436 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28597436 (2025-11-22T02:22:51Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

	~~Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bilangan+segitiga+kuadrat&oldid=28597436 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28597436 (2025~~-11-~~22T02:22:51Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi~~-~~BerbagiSerupa (CC BY~~-~~SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.~~		<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28597436; atribusi sumber disertakan.

2026-08-24T22:46:18Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28597436; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[Teori bilangan|teorema bilangan]], jumlah <math>n </math> [[pangkat tiga]] pertama adalah kuadrat dari bilangan [[Bilangan segitiga|segitiga]] ke-<math>n </math>. Jumlah tersebut dirumuskan sebagai<math display="block">1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3 = \left(1+2+3+\cdots+n\right)^2.</math>Dengan menggunakan [[notasi Sigma]], persamaan tersebut dapat ditulis<math display="block">\sum_{k=1}^n k^3 = \bigg(\sum_{k=1}^n k\bigg)^2.</math>

[[Identitas (matematika)|Identitas]] tersebut terkadang disebut juga '''teorema Nicomachus''', yang dinamai dari [[Nicomachus|Nicomachus dari Geresa]].

== Sejarah ==
Dalam bagian akhir Bab 20, di buku ''Introduction to Arithmetic'', Nicomachus menunjukkan bahwa jika ditulis daftar bilangan ganjil, yang pertama adalah <math>1^3</math>, maka jumlah kedua berikutnya adalah <math>2^3</math>, jumlah ketiga berikutnya adalah <math>3^3</math>, dan begitupula seterusnya. Nichomacus tidak menjelaskannya lebih lanjut, tetapi pernyataan tersebut dapat disimpulkan bahwa jumlah dari <math>n^3</math> pertama sama dengan jumlah dari bilangan ganjil <math display="inline">n(n+1)/2 </math> yang pertama, dalam artian bahwa bilangan ganjil yang berawal dari 1 sampai <math>n(n+1)-1</math>. Rata-rata dari bilangan tersebut adalah <math display="inline">n(n+1)/2 </math>. dan terdapat <math display="inline">n(n+1)/2 </math> bilangan tersebut, sehingga jumlahnya adalah <math display="inline">\left(n(n+1)/2\right)^2</math>.

Banyak matematikawan pada awalnya telah mempelajari dan memberikan bukti teorema Nicomachus. mengatakan bahwa "setiap siswa yang mempelajari teori bilangan ini, tentunya akan kagum dengan fakta ajaib ini". menemukan sumber untuk identitas yang tidak hanya dalam karya [[Nicomachus]] di [[Yordania|Jordan]] pada abad pertama M. Sumber identitas tersebut juga ditemukan dalam karya [[Aryabhata]] di [[India]] pada abad kelima, dan karya [[Al-Karaji]] sekitar 1000 di [[Iran|Persia]]. menyebutkan beberapa karya matematika pada rumus ini ditambahkan oleh [[Al-Qabisi]] di Arab pada abad kesepuluh, [[Lewi ben Gerson|Gersonides]] di Prancis sekitar tahun 1300, dan [[Nilakantha Somayaji]] di India sekitar 1500; ia menyalin kembali bukti visual Nilakantha.

== Nilai numerik; pandangan geometris dan probabilistik ==

Barisan bilangan segitiga kuadrat adalah:

: [[0]],[[1]], [[9]], [[36]], [[100]], 225, 441, 784, 1296, 225, 3025, 4356, 084, 8281, .... .

Bilangan segitiga kuadrat tersebut dapat dipandang sebagai [[bilangan figurasi]], suatu perumuman hiperpiramidal empat dimensi dari [[bilangan segitiga]] dan [[bilangan piramidal persegi]].

mengamati bahwa bilangan segitiga kuadrat juga menghitung jumlah [[persegi panjang]] dengan sisi horizontal dan vertikal dibentuk dalam sebuah <math>n \times n </math> [[Kisi persegi|kisi]]. Sebagai contoh, titik-titik dari <math>4\times4</math> kisi (atau persegi yang terdiri dari tiga persegi kecil di samping) dapat membentuk 36 persegi panjang yang berbeda. Dengan cara yang serupa, jumlah bilangan kuadrat dalam kisi persegi tersebut dihitung dengan bilangan piramidal kuadrat.

Identitas tersebut juga mengatakan pandangan probabilistik sebagai berikut: Misalkan <math>W, X, Y, Z </math> menyatakan [[bilangan bulat]] yang dipilih secara independen dan seragam di sebarang bilangan di antara <math>1</math> dan <math>n </math>. Maka, probabilitas mengatakan bahwa <math>W </math> adalah bilangan bulat terbesar dari keempat bilangan yang sama dengan probabilitas yang mengatakan <math>Y </math> setidaknya sebesar <math>X </math>, dan <math>W </math> setidaknya sebesar <math>Z </math><math display="block">\mathbf{P}({\max(X,Y,Z) \leq W}) = \mathbf{P}(\{X \leq Y\} \cap \{Z \leq W\}). </math>Probabilitas masing-masing adalah ruas kiri dan ruas kanan pada identitas Nichomacus, yang dinormalisasi untuk membuat probabilitas dengan membagi kedua ruas oleh <math>n^4</math>.

== Pembuktian ==
memberikan pembuktian yang sangat sederhana, dengan memperluas setiap bilangan kubik dalam penjumlahan menjadi suatu himpunan dari bilangan ganjil yang berurutan. Wheatstone memulainya dengan memberikan identitas<math display="block">n^3 = \underbrace{\left(n^2-n+1\right) + \left(n^2-n+1+2\right) + \left(n^2-n+1+4\right)+ \cdots + \left(n^2+n-1\right)}_{n\text{ bilangan ganjil berurutan }}.</math>
Identitas tersebut berkaitan dengan [[bilangan segitiga]] <math>T_n</math> yang disederhankan sebagai:<math display="block">n^3 =\sum _{k=T_{n-1}+1}^{T_{n}} (2 k-1).</math>Dengan demikian, tinambah di atas akan membentuk <math>n^3 </math> setelah semua bilangan segitiga membentuk nilai sebelumnya yang dimulai dari <math>1^3 </math> sampai <math>(n-1)^3</math> . Dengan menerapkan sifat tersebut, bersama dengan identitas terkenal lainnya:<math display="block">n^2 = \sum_{k=1}^n (2k-1),</math>maka akan menghasilkan bentuk berikut:<math display="block">
\begin{align}
\sum_{k=1}^n k^3 &= 1 + 8 + 27 + 64 + \cdots + n^3 \\
&= \underbrace{1}_{1^3} + \underbrace{3+5}_{2^3} + \underbrace{7 + 9 + 11}_{3^3} + \underbrace{13 + 15 + 17 + 19}_{4^3} + \cdots + \underbrace{\left(n^2-n+1\right) + \cdots + \left(n^2+n-1\right)}_{n^3} \\
&= \underbrace{\underbrace{\underbrace{\underbrace{1}_{1^2} + 3}_{2^2} + 5}_{3^2} + \cdots + \left(n^2 + n - 1\right)}_{\left( \frac{n^{2}+n}{2} \right)^{2}} \\
&= (1 + 2 + \cdots + n)^2 \\
&= \bigg(\sum_{k=1}^n k\bigg)^2.
\end{align}</math>

mendapatkan bukti lain dengan menjumlahkan bilangan-bilangan dalam suatu [[tabel perkalian]] persegi dengan dua cara berbeda. Jumlah dari baris ke-<math>i</math> adalah <math>i</math> dikalikan dengan bilangan segitiga, yang berarit bahwa jumlah dari semua baris adalah kuadrat dari bilangan segitiga. Cara lainnya adalah seseorang dapat menguraikan tabel menjadi barisan [[gnomon]] bersarang, yang masing-masing bilangan terdiri dari hasil kali yang lebih besar dari dua suku memberikan suatu nilai konstan. Jumlah dalam setiap gnomon adalah bilangan pangkat tiga, dan demikian bahwa jumlah seluruh tabel adalah jumlah bilangan pangkat tiga.

Dalam literatur matematika yang baru-baru ini, memberikan bukti dari jumlah bilangan segitiga kuadrat dengan menggunakan [[penjumlahan bagian-demi-bagian]]. menggunakan pandangan perhitungan persegi panjang dari bilangan-bilangan tersebut agar membentuk bukti geometris dari identitas (lihat pula ); ia mengamati bahwa pandangan tersebut juga dapat dibuktikan dengan mudah (tetapi tidak informatif) memlalui induksi, dan menyatakan bahwa memberikan "bukti Arab kuno yang menarik". memberikan bukti visual murni, memberikan dua bukti tambahan, dan memberikan tujuh bukti geometris.
== Perumuman ==
Terdapat hasil yang mirip dengan teorema Nicomachus, dan hasil tersebut berlaku untuk semua [[Rumus Faulhaber|jumlah pangkat]]: jumlah pangkat ganjil sama dengan polinomial dalam bilangan segitiga. Hasil pernyataan itu disebut [[Formula Faulhaber|polinomial Faulhaber]], suatu polinomial dengan jumlah bilangan pangkat tiga yang merupakan contoh paling sederhana dan paling elegan. Namun, tidak ada kasus lain yang memiliki satu jumlah pangkat kuadrat dari yang lain.

mempelajari syarat-syarat yang lebih umum, dengan jumlah barisan bilangan kubus berurutan membentuk suatu bilangan kuadrat. dan mempelajari polinomial dari rumus bilangan segitiga kuadrat, dengan deret pada polinomial bertambah menjadi kuadrat dari polinomial lain.

== Referensi ==

*.
*.
*.
*
*.
*.
*.
*.
*.
*.
*.
*.
*.
*.
*.

== Pranala luar ==

*
* [http://users.tru.eastlink.ca/~brsears/math/oldprob.htm#s32 A visual proof of Nicomachus's theorem]

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bilangan+segitiga+kuadrat&oldid=28597436 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28597436 (2025-11-22T02:22:51Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.