Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-24T23:04:37Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 24 Agustus 2026 23.04
Baris 1:		Baris 1:
	~~'''Bilangan tingkat''' atau '''bilangan ordinal''' dalam~~ [[~~teori himpunan]] adalah jenis tatanan dari suatu himpunan yang teratur baik~~. ~~Biasanya diidentifikasi dengan himpunan transitif hereditari~~. ~~Bilangan tingkat merupakan perluasan [[bilangan asli~~]]~~, berbeda dengan [[bilangan bulat]] dan dengan [[bilangan kardinal]]. Sebagaimana jenis bilangan lain, bilangan tingkat dapat dijumlahkan, dikalikan, dan dipangkatkan.~~		[[File:Omega-exp-omega-labeled.svg\|thumb\|right\|280px\|Representasi bilangan ordinal sampai ω ω . Tiap putaran spiral mewakili satu pangkat ω]]

	Bilangan tingkat ~~diperkenalkan oleh~~ [[~~Georg Cantor~~]] ~~pada tahun 1883 untuk mengakomodasi~~ [[~~urutan~~]] [[~~himpunan tak terhingga\|tak terhingga~~]] dan ~~untuk menggolongkan~~ [[~~Derived set (mathematics)\|himpunan turunan~~]], ~~yang sebelumnya telah disampaikannya pada tahun 1872 ketika mempelajari keunikan [[deret trigonometri]]~~.		'''Bilangan tingkat'''<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bilangan+tingkat&oldid=28587475 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref> atau '''bilangan ordinal''' dalam [[teori himpunan]] adalah jenis tatanan dari suatu himpunan yang teratur baik. Biasanya diidentifikasi dengan himpunan transitif hereditari. Bilangan tingkat merupakan perluasan [[bilangan asli]], berbeda dengan [[bilangan bulat]] dan dengan [[bilangan kardinal]]. Sebagaimana jenis bilangan lain, bilangan tingkat dapat dijumlahkan, dikalikan, dan dipangkatkan.

			Bilangan tingkat diperkenalkan oleh [[Georg Cantor]] pada tahun 1883<ref>Pengenalan menyeluruh diberikan oleh Levy (1979) dan Jech (2003).</ref> untuk mengakomodasi [[urutan]] [[himpunan tak terhingga\|tak terhingga]] dan untuk menggolongkan [[Derived set (mathematics)\|himpunan turunan]], yang sebelumnya telah disampaikannya pada tahun 1872 ketika mempelajari keunikan [[deret trigonometri]].<ref>Michael Hallett. ''Towards a theory of mathematical research programmes. I''. ''The British Journal for the Philosophy of Science''. 1979. Vol. 30 (1). hlm. 1–25. doi:10.1093/bjps/30.1.1.. See the footnote on p. 12.</ref>

	Contoh:		Contoh:
Baris 11:		Baris 12:
	== Lihat pula ==		== Lihat pula ==
	* [[Bilangan kardinal]]		* [[Bilangan kardinal]]

	~~== Referensi ==~~


	== Pustaka ==		== Pustaka ==
Baris 22:		Baris 20:
	* [[Akihiro Kanamori\|Kanamori, A.]], [http://math.bu.edu/people/aki/16.pdf ''Set Theory from Cantor to Cohen''], to appear in: Andrew Irvine and John H. Woods (editors), ''The Handbook of the Philosophy of Science'', volume 4, Mathematics, Cambridge University Press.		* [[Akihiro Kanamori\|Kanamori, A.]], [http://math.bu.edu/people/aki/16.pdf ''Set Theory from Cantor to Cohen''], to appear in: Andrew Irvine and John H. Woods (editors), ''The Handbook of the Philosophy of Science'', volume 4, Mathematics, Cambridge University Press.
	* Reprinted 2002, Dover. ISBN 0-486-42079-5		* Reprinted 2002, Dover. ISBN 0-486-42079-5
	*		*
	* Sierpiński, W. (1965). ''Cardinal and Ordinal Numbers'' (2nd ed.). Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe. Also defines ordinal operations in terms of the Cantor Normal Form.		* Sierpiński, W. (1965). ''Cardinal and Ordinal Numbers'' (2nd ed.). Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe. Also defines ordinal operations in terms of the Cantor Normal Form.
	* [[Patrick Suppes\|Suppes, P.]] (1960), ''Axiomatic Set Theory'', D.Van Nostrand Company Inc., ISBN 0-486-61630-4		* [[Patrick Suppes\|Suppes, P.]] (1960), ''Axiomatic Set Theory'', D.Van Nostrand Company Inc., ISBN 0-486-61630-4
	*		*
	* - English translation of .		* - English translation of .

	== Pranala luar ==		== Pranala luar ==
			*
	*		*
	*
	* [http://www.apronus.com/provenmath/ordinals.htm Ordinals at ProvenMath]		* [http://www.apronus.com/provenmath/ordinals.htm Ordinals at ProvenMath]
	* [http://www.springerlink.com/content/n3797702v6422612/ Beitraege zur Begruendung der transfiniten Mengenlehre] Cantor's original paper published in Mathematische Annalen 49(2), 1897		* [http://www.springerlink.com/content/n3797702v6422612/ Beitraege zur Begruendung der transfiniten Mengenlehre] Cantor's original paper published in Mathematische Annalen 49(2), 1897
	* [http://mtnmath.com/ord/index.html Ordinal calculator] [[GNU General Public License\|GPL'd]] free software for computing with ordinals and ordinal notations		* [http://mtnmath.com/ord/index.html Ordinal calculator] [[GNU General Public License\|GPL'd]] free software for computing with ordinals and ordinal notations

			== Referensi ==
			<references />

			== Sumber dan atribusi ==

	== ~~Sumber~~ dan ~~atribusi ==~~		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bilangan+tingkat&oldid=28587475 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28587475 (2025-11-21T12:17:20Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

	~~Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bilangan+tingkat&oldid=28587475 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28587475 (2025~~-11-~~21T12:17:20Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi~~-~~BerbagiSerupa (CC BY~~-~~SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.~~		<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28587475; atribusi sumber disertakan.

2026-08-24T22:36:21Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28587475; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

'''Bilangan tingkat''' atau '''bilangan ordinal''' dalam [[teori himpunan]] adalah jenis tatanan dari suatu himpunan yang teratur baik. Biasanya diidentifikasi dengan himpunan transitif hereditari. Bilangan tingkat merupakan perluasan [[bilangan asli]], berbeda dengan [[bilangan bulat]] dan dengan [[bilangan kardinal]]. Sebagaimana jenis bilangan lain, bilangan tingkat dapat dijumlahkan, dikalikan, dan dipangkatkan.

Bilangan tingkat diperkenalkan oleh [[Georg Cantor]] pada tahun 1883 untuk mengakomodasi [[urutan]] [[himpunan tak terhingga|tak terhingga]] dan untuk menggolongkan [[Derived set (mathematics)|himpunan turunan]], yang sebelumnya telah disampaikannya pada tahun 1872 ketika mempelajari keunikan [[deret trigonometri]].

Contoh:
* Himpunan bilangan tingkat kurang dari 3 adalah 3 = , bilangan tingkat terkecil tidak kurang dari 3.
* Himpunan bilangan tingkat terhingga adalah tak terhingga, bilangan ordinal tak terhingga terkecil: ω.
* Himpunan bilangan tingkat terhitung adalah tak terhitung, bilangan tingkat tak terhitung terkecil: ω<sub>1</sub>.

== Lihat pula ==
* [[Bilangan kardinal]]

== Referensi ==

== Pustaka ==
* [[Georg Cantor|Cantor, G.]], (1897), ''Beitrage zur Begrundung der transfiniten Mengenlehre. II'' (tr.: Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers II), Mathematische Annalen 49, 207-246 [http://www.archive.org/details/117770262 English translation].
* [[John Horton Conway|Conway, J. H.]] and [[Richard K. Guy|Guy, R. K.]] "Cantor's Ordinal Numbers." In ''The Book of Numbers''. New York: Springer-Verlag, pp. 266–267 and 274, 1996.
* Dauben, Joseph Warren, (1990), [http://books.google.com/books?id=-cpFeTPJXDIC&lpg=PA100&ots=-OcWWxn5se&dq=%22second%20number%20class%22&pg=PA95#v=onepage&q=&f=false Georg Cantor: his mathematics and philosophy of the infinite]. Chapter 5: The Mathematics of Cantor's ''Grundlagen''. ISBN 0-691-02447-2
* See Ch. 6, "Ordinal and cardinal numbers"
* [[Akihiro Kanamori|Kanamori, A.]], [http://math.bu.edu/people/aki/16.pdf ''Set Theory from Cantor to Cohen''], to appear in: Andrew Irvine and John H. Woods (editors), ''The Handbook of the Philosophy of Science'', volume 4, Mathematics, Cambridge University Press.
* Reprinted 2002, Dover. ISBN 0-486-42079-5
*
* Sierpiński, W. (1965). ''Cardinal and Ordinal Numbers'' (2nd ed.). Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe. Also defines ordinal operations in terms of the Cantor Normal Form.
* [[Patrick Suppes|Suppes, P.]] (1960), ''Axiomatic Set Theory'', D.Van Nostrand Company Inc., ISBN 0-486-61630-4
*
* - English translation of .

== Pranala luar ==

*
*
* [http://www.apronus.com/provenmath/ordinals.htm Ordinals at ProvenMath]
* [http://www.springerlink.com/content/n3797702v6422612/ Beitraege zur Begruendung der transfiniten Mengenlehre] Cantor's original paper published in Mathematische Annalen 49(2), 1897
* [http://mtnmath.com/ord/index.html Ordinal calculator] [[GNU General Public License|GPL'd]] free software for computing with ordinals and ordinal notations

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bilangan+tingkat&oldid=28587475 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28587475 (2025-11-21T12:17:20Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Bilangan tingkat - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28587475; atribusi sumber disertakan.