Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29438631; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T03:16:16Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29438631; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[matematika]], '''bilangan transendental''' adalah [[bilangan riil]] atau [[bilangan kompleks|kompleks]] yang bukan merupakan [[bilangan aljabar]]. Dengan kata lain, bilangan transendental adalah bilangan yang bukan merupakan [[Akar fungsi|akar]] dari [[polinomial]] tak nol dengan koefisien [[bilangan bulat]] (atau secara ekuivalen, [[bilangan rasional]]). Contoh terkenal dari bilangan transendental adalah [[Pi|Pi]] dan .

Meskipun hanya sedikit golongan bilangan transendental yang diketahui (salah satu alasannya adalah sulitnya proses pembuktian bahwa suatu bilangan tertentu merupakan bilangan transendental), bilangan transendental tidaklah langka: [[hampir semua]] bilangan real dan kompleks merupakan bilangan transendental, sebab [[himpunan]] semua bilangan aljabar merupakan [[himpunan terhitung]], sementara himpunan [[bilangan riil]] <math>\mathbb{R}</math> dan himpunan [[bilangan kompleks]] <math>\mathbb{C}</math> sama-sama merupakan [[himpunan takterhitung]], dan oleh karena itu, lebih besar dari himpunan terhitung manapun.

Semua bilangan transendental merupakan [[bilangan irasional]], sebab semua bilangan rasional merupakan bilangan aljabar. Akan tetapi, [[Konvers (logika)|konvers]] dari pernyataan tersebut tidaklah benar: Tidak semua bilangan irasional merupakan bilangan transendental. Akibatnya, himpunan bilangan riil terdiri dari tiga [[Himpunan saling lepas|himpunan yang saling lepas]], yaitu himpunan bilangan rasional, himpunan bilangan [[Bilangan irasional#Aljabar|irasional aljabar]], dan himpunan bilangan riil transendental. Sebagai contoh, [[akar kuadrat dari 2]] merupakan bilangan irasional, tetapi bukan transendental, sebab bilangan tersebut merupakan akar dari persamaan polinomial <math>x^2 - 2 = 0</math>. [[Rasio emas]] (disimbolkan dengan <math>\varphi</math> atau <math>\phi</math>) adalah contoh lain dari bilangan irasional yang bukan transendental, sebab ia merupakan akar dari persamaan <math>x^2 - x - 1 = 0</math>.

== Sejarah ==
Nama "transendental" berasal , dan pertama kali digunakan untuk konsep matematika pada paper dari [[Gottfried Leibniz|Leibniz]] pada tahun 1682 dimana beliau membuktikan bahwa <math>\sin (x)</math> bukanlah [[fungsi aljabar]] dari <math>x</math>.

[[Johann Heinrich Lambert]] memberikan [[konjektur]] bahwa dan [[Pi|Pi]] keduanya merupakan bilangan transendental pada paper bukti bahwa <math>\pi</math> [[bilangan irasional|irasional]] miliknya di tahun 1768, dan mengajukan sketsa bukti tentatif bahwa <math>\pi</math> transendental.

[[Joseph Liouville]] adalah orang pertama yang membuktikan kewujudan bilangan transendental pada tahun 1844, dan pada tahun 1851, beliau memberikan contoh pertama dalam bilangan desimal, seperti [[Bilangan Liouville|konstanta Liouville]]

<math display="block">\begin{align}
L &= \sum_{n \, = \, 1}^{\infty} 10^{- n!} \\
&= 10^{-1} + 10^{-2} + 10^{-6} + 10^{-24} + 10^{-120} + 10^{-720} + 10^{5040} + \ldots \\
&= 0,\underline{1}\underline{1}000\underline{1}00000000000000000\underline{1}00000000000000000000000000000000000000000000000000000\ \ldots
\end{align}</math>

dimana digit ke-<math>n</math> setelah [[Pemisah Desimal|koma desimal]] adalah 1 jika <math>n = k!</math> (<math>k</math> [[faktorial]]) untuk suatu [[bilangan asli]] <math>k</math>, dan 0 untuk digit-digit lainnya. Dengan kata lain, digit ke-<math>n</math> dari bilangan ini ialah 1 hanya jika <math>n</math> adalah <math>1!, \, 2!, \, 3!, \, 4!</math>, dst. Liouville berhasil menunjukkan bahwa bilangan ini termasuk ke dalam golongan bilangan yang dapat dihampiri dengan lebih dekat oleh [[bilangan rasional]] dibandingkan dengan bilangan irasional aljabar manapun, dan golongan bilangan ini disebut sebagai [[bilangan Liouville]]. Liouville berhasil menunjukkan bahwa semua bilangan Liouville merupakan bilangan transendental.

Bilangan pertama yang terbukti transendental tanpa dikonstruksikan secara spesifik dengan tujuan untuk membuktikan kewujudan bilangan transendental ialah oleh [[Charles Hermite]] pada tahun 1873.

Pada tahun 1874, [[Georg Cantor]] membuktikan bahwa himpunan semua bilangan aljabar merupakan himpunan terhitung dan himpunan bilangan riil merupakan himpunan takterhitung. Beliau juga memberikan [[Artikel teori himpunan pertama Cantor|metode baru untuk mengonstruksikan bilangan transendental]]. Walaupun hal ini sudah diakibatkan dari bukti miliknya mengenai keterhitungan himpunan bilangan aljabar, Cantor juga menerbitkan konstruksi yang membuktikan bahwa bilangan transendental sama banyaknya dengan bilangan riil.

Pada tahun 1882, [[Ferdinand von Lindemann]] menerbitkan bukti pertama bahwa <math>\pi</math> transendental.
# Beliau membuktikan bahwa <math>e^z</math> merupakan bilangan transendental jika <math>z</math> merupakan bilangan aljabar tak nol.
# Oleh karena <math>e^{i \pi}</math> merupakan bilangan aljabar (lihat [[identitas Euler]]), maka <math>i \pi</math> haruslah transendental.
# Mengingat bahwa <math>i</math> merupakan bilangan aljabar, maka <math>\pi</math> haruslah bilangan transendental.
Pendekatan ini kemudian diperumum oleh [[Karl Weierstrass]] menjadi apa yang dikenal sekarang sebagai [[teorema Lindemann–Weierstrass]]. Ketransendentalan <math>\pi</math> mengakibatkan bahwa konstruksi geometris yang hanya melibatkan [[lukisan jangka dan mistar]] tidak dapat menghasilkan hasil tertentu, seperti [[mempersegikan lingkaran]].

Pada tahun 1900, [[David Hilbert]] mengajukan pertanyaan mengenai bilangan transendental, yang dikenal sebagai [[masalah ke-7 Hilbert]]: Jika <math>a</math> merupakan [[bilangan aljabar]] selain 0 maupun 1, dan <math>b</math> merupakan bilangan aljabar irasional, apakah <math>a^b</math> merupakan bilangan transendental? Jawaban afirmatif diberikan pada tahun 1934 oleh [[teorema Gelfond–Schneider]].

== Sifat-sifat ==
* Setiap [[bilangan rasional]] merupakan bilangan aljabar (sebab bilangan <math>x = \tfrac{a}{b}</math> merupakan akar dari persamaan polinomial <math>ax - b = 0</math>). Akibatnya, setiap bilangan transendental merupakan [[bilangan irasional]], dengan menggunakan [[kontraposisi]].
* Himpunan semua polinomial dengan koefisien rasional merupakan [[himpunan terhitung]] dan banyak akar dari setiap polinomial tersebut adalah berhingga. Akibatnya, himpunn semua [[bilangan aljabar]] juga merupakan himpunan terhitung. Akan tetapi, [[argumen diagonal Cantor]] membuktikan bahwa himpunan semua [[bilangan riil]] (dan oleh sebab itu, himpunan semua [[bilangan kompleks]]) merupakan [[himpunan takterhitung]]. Oleh karena himpunan bilangan riil merupakan [[Gabungan (teori himpunan)|gabungan]] dari himpunan bilangan aljabar dan himpunan bilangan transendental, maka mustahil bagi kedua [[himpunan bagian]] tersebut untuk sama-sama berstatus sebagai himpunan terhitung. Hal ini mengakibatkan bahwa himpunan bilangan transendental merupakan himpunan takterhitung.
* Menyubstitusikan suatu nilai transendental ke [[fungsi aljabar]] dengan [[Peubah (matematika)|variabel]] tunggal akan menghasilkan nilai yang transendental. Misalnya, berdasarkan informasi bahwa <math>\pi</math> merupakan bilangan transendental, maka dapat disimpulkan bahwa <math>8 \pi</math>, <math>11 - 3 \pi</math>, <math>\tfrac{\pi - 12}{\sqrt{7}}</math>, <math>(\sqrt{\pi} - \sqrt{3})^{8}</math>, dan <math>\sqrt[4]{7 + \pi^5}</math> juga merupakan bilangan transendental.
** Akan tetapi, [[fungsi aljabar]] dengan multivariabel mungkin saja menghasilkan bilangan aljabar saat variabelnya bernilai transendental dan tidak [[kebebasan aljabar|bebas aljabar]]. Misalnya, bilangan <math>\pi</math> dan <math>1 - \pi</math> sama-sama merupakan bilangan aljabar, tetapi <math>\pi + (1 - \pi)</math> jelas tidak.
* Semua [[bilangan Liouville]] merupakan bilangan transendental, namun tidak sebaliknya.

== Bilangan yang terbukti transendental ==
Terdapat beberapa bilangan yang terbukti sebagai bilangan transendental, diantaranya yaitu:
* [[Pi|<math>\pi</math>]] (dibuktikan melalui [[teorema Lindemann–Weierstrass]])
* <math>e^z</math> dengan <math>z</math> adalah [[bilangan aljabar]] tak nol (dibuktikan melalui [[teorema Lindemann–Weierstrass]])
** termasuk [[E (konstanta matematika)|bilangan Euler]] <math>e</math>
* <math>e^{\pi \sqrt{n}}</math> dengan <math>n</math> adalah bilangan asli (dibuktikan melalui [[teorema Gelfond–Schneider]])
** termasuk [[konstanta Gelfond]] <math>e^\pi</math>
* <math>a^b</math> dengan <math>a</math> merupakan bilangan aljabar selain 0 maupun 1, dan <math>b</math> merupakan bilangan irasional (dibuktikan melalui [[teorema Gelfond–Schneider]])
** termasuk [[konstanta Gelfond–Schneider]] <math>2^{\sqrt{2}}</math>
* [[Logaritma alami]] <math>\ln (a)</math> jika <math>a</math> merupakan bilangan aljabar selain 0 maupun 1 (dibuktikan melalui [[teorema Lindemann–Weierstrass]])
* <math>^a \! \log b</math> jika <math>a</math> dan <math>b</math> merupakan bilangan asli yang bukan merupakan perpangkatan dari suatu bilangan bulat yang sama, serta <math>a \neq 1</math> (dibuktikan melalui [[teorema Gelfond–Schneider]])
* [[Fungsi trigonometri]] <math>\sin (x)</math>, <math>\cos (x)</math>, beserta [[Fungsi hiperbolik|versi hiperboliknya]], untuk setiap bilangan aljabar tak nol <math>x</math> dalam satuan [[radian]] (dibuktikan melalui [[teorema Lindemann–Weierstrass]])
* Hasil-hasil tak nol dari [[fungsi invers trigonometri]] <math>\arcsin (x)</math>, <math>\arccos (x)</math>, beserta [[Fungsi hiperbolik invers|versi hiperboliknya]], untuk setiap bilangan aljabar <math>x</math> (dibuktikan melalui [[teorema Lindemann–Weierstrass]])
* <math>\tfrac{\arctan(x)}{\pi}</math>, dengan <math>x \in \mathbb{Q} \setminus \left\{ -1, \, 0, \, 1 \right\}</math>
* [[Titik tetap (matematika)|Titik tetap]] dari fungsi kosinus (yang dikenal juga dengan [[bilangan Dottie]] <math>d</math>), yaitu penyelesaian riil tunggal dari persamaan <math>\cos (x) = x</math>, dengan <math>x</math> dalam satuan [[radian]] (dibuktikan melalui [[teorema Lindemann–Weierstrass]])
* [[Fungsi W Lambert]] <math>W(a)</math>, dengan <math>a</math> merupakan bilangan aljabar tak nol (dibuktikan melalui [[teorema Lindemann–Weierstrass]])
** Termasuk [[konstanta omega]] <math>\Omega</math>.
* Setiap [[bilangan Liouville]]
** Termasuk konstanta Liouville <math>\displaystyle \sum_{k \, = \, 1}^{\infty} \dfrac{1}{10^{k!}}</math>
* [[Konstanta Prouhet–Thue–Morse]] dan konstanta kelinci yang berkaitan.
* [[Konstanta Komornik–Loreti]]
* Nilai-nilai dari [[pecahan berlanjut Rogers–Ramanujan]] <math>R(q)</math>, dengan <math>q</math> merupakan bilangan kompleks aljabar yang memenuhi pertidaksamaan <math>0 < \left| q \right| < 1</math>.
** Nilai lemniskatik dari [[fungsi theta]] <math>\sum_{n \, = \, - \infty}^{\infty} q^{n^2}</math> (nilai <math>q</math> memenuhi persyaratan yang sama seperti sebelumnya) juga merupakan bilangan transendental.

== Konjektur bilangan transendental ==
* Banyak kombinasi yang tak trivial dari dua (atau lebih) bilangan transendental yang belum diketahui transendental atau bahkan irasional: <math>e \pi</math>, <math>e + \pi</math>, <math>\pi^{\pi}</math>, <math>e^e</math>, <math>\pi^e</math>, <math>\pi^{\sqrt{2}}</math>, <math>e^{\pi^2}</math>. Kebenaran atas [[konjektur Schanuel]] akan mengakibatkan semua bilangan di atas bersifat transendental dan [[kebebasan aljabar|bebas aljabar]].
* [[Konstanta Euler–Mascheroni]] <math>\gamma</math>: Pada tahun 2010, telah ditunjukkan bahwa daftar takhingga dari [[konstanta Euler|konstanta Euler–Lehmer]] (termasuk <math>\gamma/4</math>) memuat paling banyak satu bilangan aljabar. Pada tahun 2012, telah ditunjukkan bahwa setidaknya salah satu dari <math>\gamma</math> dan [[konstanta Gompertz]] <math>\delta</math> merupakan bilangan transendental.
* Nilai dari [[fungsi zeta Riemann]] <math>\zeta (n)</math> untuk bilangan ganjil <math>n \geq 3</math>
** Termasuk [[konstanta Apéry]] <math>\zeta (3)</math>, yang diketahui merupakan bilangan irasional. Untuk bilangan lain <math>\zeta (5)</math>, <math>\zeta (7)</math>, <math>\zeta (7)</math>, <math>\zeta (9)</math>, <math>\cdots</math> informasi keirasionalannya bahkan belum diketahui.
* Nilai dari [[fungsi beta Dirichlet]] <math>\beta (n)</math> untuk bilangan genap <math>n \geq 2</math>
** Termasuk [[konstanta Catalan]] <math>\beta (2)</math>
* Nilai dari [[fungsi Gamma]] <math>\Gamma \! \left( \tfrac{1}{n} \right)</math> untuk <math>n = 5</math> dan bilangan asli <math>n \geq 7</math> belum diketahui irasional, apalagi transendental.

== Bukti untuk bilangan spesifik ==
=== Bukti bahwa transendental ===
Bukti pertama yang menyatakan bahwa [[bilangan pokok|basis]] dari [[logaritma alami]] (yaitu [[E (konstanta matematika|<math>e</math>]]) merupakan bilangan transendental berasal dari tahun 1873. Dalam artikel ini, akan digunakan strategi dari [[David Hilbert]] (1862–1943) yang menyederhanakan bukti orisinal dari [[Charles Hermite]]. Gagasannya ialah sebagai berikut:

Asumsikan bahwa <math>e</math> merupakan bilangan aljabar, dengan tujuan untuk [[Pembuktian melalui kontradiksi|mencari kontradiksi]]. Artinya, <math>e</math> merupakan akar dari suatu [[polinomial minimal (teori lapangan)|polinomial minimal]] <math>P</math> yang berderajat <math>n</math>. Secara simbolis, maka terdapat suatu <math>a_0, \, a_1, \, a_2, \, \ldots, \, a_n \in \mathbb{Z}</math> sedemikian sehingga
<math display="block">P(e) = a_0 + a_1 e + a_2 e^2 + \ldots + a_n e^n = 0</math>
dengan <math>a_n \neq 0</math>.

Informasi bilangan bulat dari koefisien-koefisien ini sulit untuk dimanfaatkan ketika dikalikan dengan perpangkatan dari [[bukti bahwa e irasional|bilangan irasional <math>e</math>]], namun perpangkatan tersebut dapat diserap ke dalam suatu integral yang “sebagian besar” merupakan bilangan bulat. Untuk suatu bilangan bulat <math>k</math>, didefinisikan polinomial
<math display="block">p_k (x) = (x - 1)^{k + 1} (x - 2)^{k + 1} (x - 3)^{k + 1} \cdots (x - n)^{k + 1}</math>
sehingga diperoleh
<math display="block">\begin{align}
a_0 + a_1 e + a_2 e^2 + \ldots + a_n e^n &= 0 \\
\left( \int_0^{\infty} x^k p_k (x) e^{-x} \, \text{d}x \right) \left( a_0 + a_1 e + a_2 e^2 + \ldots + a_n e^n \right) &= 0 \cdot \left( \int_0^{\infty} x^k p_k (x) e^{-x} \, \text{d}x \right) \\
a_0 \int_0^{\infty} x^k p_k (x) e^{-x} \, \text{d}x + a_1 e \int_0^{\infty} x^k p_k (x) e^{-x} \, \text{d}x + &\phantom{=} \\
a_2 e^2 \int_0^{\infty} x^k p_k (x) e^{-x} \, \text{d}x + \ldots + a_n e^n \int_0^{\infty} x^k p_k (x) e^{-x} \, \text{d}x &= 0
\end{align}</math>
Perhatikan bahwa persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk
<math display="block">I_1 + I_2 = 0</math>
dengan
<math display="block">\begin{align}
I_1 &= a_0 \int_0^0 x^k p_k (x) e^{-x} \, \text{d}x + a_1 e \int_0^1 x^k p_k (x) e^{-x} \, \text{d}x + a_2 e^2 \int_0^2 x^k p_k (x) e^{-x} \, \text{d}x \\
&\phantom{=} + a_3 e^3 \int_0^3 x^k p_k (x) e^{-x} \, \text{d}x + \ldots + a_n e^n \int_0^n x^k p_k (x) e^{-x} \, \text{d}x \\
I_2 &= a_0 \int_0^{\infty} x^k p_k (x) e^{-x} \, \text{d}x + a_1 e \int_1^{\infty} x^k p_k (x) e^{-x} \, \text{d}x + a_2 e^2 \int_2^{\infty} x^k p_k (x) e^{-x} \, \text{d}x \\
&\phantom{=} + a_3 e^3 \int_3^{\infty} x^k p_k (x) e^{-x} \, \text{d}x + \ldots + a_n e^n \int_n^{\infty} x^k p_k (x) e^{-x} \, \text{d}x
\end{align}</math>

\left. + a_3 (t + 3)^k p_k (t + 3) + \ldots + a_n (t + n)^k p_k (t + n) \right) e^{-t} \, \text{d}t \\
&= \int_0^{\infty} q_k (t) e^{-t} \, \text{d}t
\end{align}</math>

Perhatikan bahwa <math>q_k (t)</math> merupakan polinomial dengan koefisien bilangan bulat. Dengan kata lain, <math>q_k (t)</math> merupakan [[kombinasi linier]] dari perpangkatan <math>t^i</math> dengan koefisien bilangan bulat. Akibatnya, bilangan <math>I_2</math> merupakan kombinasi linier (dengan koefisien bilangan bulat yang sama) dari <math>i!</math>, sehingga <math>I_2</math> merupakan bilangan bulat.

Berdasarkan definisi dari <math>p_k (t)</math>, maka
<math display="block">\begin{align}
p_k (x) &= (x - 1)^{k + 1} (x - 2)^{k + 1} (x - 3)^{k + 1} \cdots (x - n)^{k + 1} \\
p_k (t + 1) &= t^{k + 1} (t - 1)^{k + 1} (t - 2)^{k + 1} \cdots (t + 1 - n)^{k + 1} \\
&= t^{k + 1} \cdot q_1 (t) \\
p_k (t + 2) &= (t + 1)^{k + 1} t^{k + 1} (t - 1)^{k + 1} \cdots (t + 2 - n)^{k + 1} \\
&= t^{k + 1} \cdot q_2 (t) \\
p_k (t + 3) &= (t + 2)^{k + 1} (t + 1)^{k + 1} t^{k + 1} \cdots (t + 3 - n)^{k + 1} \\
&= t^{k + 1} \cdot q_3 (t) \\
&\vdots \\
p_k (t + n) &= (t + n - 1)^{k + 1} (t + n - 2)^{k + 1} (t + n - 3)^{k + 1} \cdots t^{k + 1} \\
&= t^{k + 1} \cdot q_n (t)
\end{align}</math>
sehingga didapatkan
<math display="block">\begin{align}
I_2 &= \int_0^{\infty} \left( a_0 t^k p_k (t) + a_1 (t + 1)^k p_k (t + 1) + a_2 (t + 2)^k p_k (t + 2) + a_3 (t + 3)^k p_k (t + 3) + \ldots + a_n (t + n)^k p_k (t + n) \right) e^{-t} \, \text{d}t \\
&= \int_0^{\infty} \left( a_0 t^k p_k (t) + a_1 (t + 1)^k t^{k + 1} \cdot q_1 (t) + a_2 (t + 2)^k t^{k + 1} \cdot q_2 (t) + a_3 (t + 3)^k t^{k + 1} \cdot q_3 (t) + \ldots + a_n (t + n)^k t^{k + 1} \cdot q_n (t) \right) e^{-t} \, \text{d}t \\
&= \int_0^{\infty} t^k \cdot a_0 p_k (t) e^{-t} \, \text{d}t + \int_0^{\infty} t^{k + 1} \left( a_1 (t + 1)^k \cdot q_1 (t) + a_2 (t + 2)^k \cdot q_2 (t) + a_3 (t + 3)^k \cdot q_3 (t) + \ldots + a_n (t + n)^k \cdot q_n (t) \right) e^{-t} \, \text{d}t \\
&= \int_0^{\infty} t^k \cdot r_1 (t) e^{-t} \, \text{d}t + \int_0^{\infty} t^{k + 1} \cdot r_2 (t) e^{-t} \, \text{d}t \\
\end{align}</math>

Jelas bahwa <math>p_k (t)</math>, <math>q_i (t)</math>, dan <math>(t + i)^k</math> merupakan polinomial dalam variabel <math>t</math>, sehingga <math>r_1 (t)</math> dan <math>r_2 (t)</math> juga merupakan polinomial dalam variabel <math>t</math>. Perhatikan bahwa
# suku dengan pangkat terendah dari <math>t^k \cdot r_1 (t)</math> ialah <math>\alpha t^k</math> (untuk suatu bilangan bulat <math>\alpha</math>). Akibatnya, <math>{\displaystyle \int_0^{\infty} t^k \cdot r_1 (t) e^{-t} \, \text{d}t}</math> merupakan kelipatan dari <math>k!</math>
# suku dengan pangkat terendah dari <math>t^{k + 1} \cdot r_2 (t)</math> ialah <math>\beta t^{k + 1}</math> (untuk suatu bilangan bulat <math>\beta</math>). Akibatnya, <math>{\displaystyle \int_0^{\infty} t^{k + 1} \cdot r_2 (t) e^{-t} \, \text{d}t}</math> merupakan kelipatan dari <math>(k + 1)!</math>
Oleh karena <math>k!</math> habis membagi semua faktorial di atasnya (yaitu <math>(k + 1)!</math>, <math>(k + 2)!</math>, dst.), maka <math>I_2</math> merupakan kelipatan dari <math>k!</math>. Dengan kata lain, terbukti bahwa <math>\tfrac{I_2}{k!}</math> merupakan bilangan bulat.

Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa <math>I_2</math> bukan merupakan kelipatan dari <math>k + 1</math>. Untuk sembarang bilangan asli <math>n</math>, pilih <math>k + 1</math> sebagai sembarang [[bilangan prima]] yang lebih dari <math>n</math> dan lebih dari <math>\left| a_0 \right|</math>. Telah dibuktikan sebelumnya bahwa <math>\textstyle \int_0^{\infty} t^{k + 1} \cdot r_2 (t) e^{-t} \, \text{d}t</math> merupakan kelipatan dari <math>(k + 1)!</math>. Akibatnya,
<math display="block">\int_0^{\infty} t^{k + 1} \cdot r_2 (t) e^{-t} \, \text{d}t \equiv 0 \pmod{(k + 1)}</math>
sehingga berlaku
<math display="block">\begin{align}
I_2 &\equiv a_0 \int_0^{\infty} t^k p_k (t) e^{-t} \, \text{d}t + \int_0^{\infty} t^{k + 1} \cdot r_2 (t) e^{-t} \, \text{d}t \pmod{(k + 1)} \\
&\equiv \left( a_0 \int_0^{\infty} t^k p_k (t) e^{-t} \, \text{d}t \pmod{(k + 1)} \right) + \left( \int_0^{\infty} t^{k + 1} \cdot r_2 (t) e^{-t} \, \text{d}t \pmod{(k + 1)} \right) \\
&\equiv \left( a_0 \int_0^{\infty} t^k (t - 1)^{k + 1} (t - 2)^{k + 1} (t - 3)^{k + 1} \cdots (t - n)^{k + 1} e^{-t} \, \text{d}t \pmod{(k + 1)} \right) + 0 \\
&\equiv a_0 \int_0^{\infty} t^k \left( (t - 1) (t - 2) (t - 3) \cdots (t - n) \right)^{k + 1} e^{-t} \, \text{d}t \pmod{(k + 1)} \\
&\equiv a_0 \int_0^{\infty} \left( \left( (-1)^n \cdot n! \right)^{k + 1} t^k + R(t) \right) e^{-t} \, \text{d}t \pmod{(k + 1)} \\
&\equiv \left( a_0 \int_0^{\infty} \left( (-1)^n \cdot n! \right)^{k + 1} t^k e^{-t} \, \text{d}t \pmod{(k + 1)} \right) + \left( a_0 \int_0^{\infty} R(t) e^{-t} \, \text{d}t \pmod{(k + 1)} \right) \\
&\equiv \left( a_0 \left( (-1)^n \cdot n! \right)^{k + 1} k! \pmod{(k + 1)} \right) + \left( a_0 \int_0^{\infty} R(t) e^{-t} \, \text{d}t \pmod{(k + 1)} \right) \\
&\equiv \left[ I_3 \pmod{(k + 1)} \right] + \left[ I_4 \pmod{(k + 1)} \right]
\end{align}</math>

Perhatikan bahwa
# semua faktor dari <math>I_3 = a_0 \left( (-1)^n \cdot n! \right)^{k + 1} k!</math> merupakan bilangan bulat tak nol yang kurang dari bilangan prima <math>k + 1</math>. Akibatnya, <math>I_3</math> bukanlah kelipatan dari <math>k + 1</math>.
# suku dengan derajat terendah dari polinomial <math>R(t)</math> ialah <math>b t^{k + 1}</math> (untuk suatu bilangan bulat <math>b</math>), sehingga <math>I_4</math> merupakan kelipatan dari <math>(k + 1)!</math>. Dengan kata lain, <math>I_4 \equiv 0 \pmod{(k + 1)}</math>.
Berdasarkan kedua informasi di atas, maka nilai dari <math>I_2</math> bukan merupakan kelipatan dari <math>(k + 1)</math>, sehingga <math>I_2</math> jelas tidak mungkin [[0 (angka)|nol]].}}

Dengan memilih nilai <math>k</math> yang memenuhi Lema 2 dan Lema 3, maka bilangan super kecil <math>\tfrac{I_1}{k!}</math> ditambah dengan bilangan bulat tak nol <math>\tfrac{I_2}{k!}</math> akan sama dengan nol, dan jelas bahwa hal tersebut tidak mungkin terjadi. Oleh karena terjadi kontradiksi, maka asumsi di awal (bahwasanya <math>e</math> merupakan pembuat nol dari suatu polinomial <math>P</math> dengan koefisien bilangan bulat) bernilai salah, sehingga dapat disimpulkan bahwa <math>e</math> bukan [[bilangan aljabar]]. Dengan kata lain, terbukti bahwa <math>e</math> transendental.

=== Bukti bahwa transendental ===
Strategi serupa (yang berbeda dari pendekatan orisinal dari [[Ferdinand von Lindemann|Lindemann]]) dapat digunakaan untuk menunjukkan bahwa [[Pi|bilangan ]] merupakan bilangan transendental. Selain [[fungsi gamma]] dan beberapa estimasi seperti pada bukti untuk <math>e</math>, fakta mengenai [[polinomial simetris]] memiliki peran penting dalam pembuktiannya.

Untuk informasi lebih lanjut mengenai bukti Ketransendentalan <math>\pi</math> dan <math>e</math>, lihat bagian [[Bilangan transendental#Referensi|referensi]] dan [[Bilangan transendental#Pranala luar|pranala luar]].

== Lihat juga ==

* [[Teori bilangan transendental]], teori yang mengkaji masalah yang berkaitan dengan bilangan transendental.
* [[Elemen transendental]], perumuman dari bilangan transendental pada aljabar abstrak.
* [[teorema Gelfond–Schneider]]
* [[Penghampiran Diophantus]]
* [[Period (geometri aljabar)|Period]], himpunan terhitung dari bilangan-bilangan (termasuk semua bilangan aljabar dan beberapa bilangan transendental) yang dapat didefinisikan melalui persamaan integral.
* [[Konjektur Hartmanis–Stearns]], konjektur mengenai kriteria transendental berdasarkan kompleksitas perhitungan dari ekspansi suatu bilangan.

== Catatan ==

== Referensi ==

== Sumber ==

*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*

== Pranala luar ==

*
*
*
*
*
* — Bukti bahwa <math>e</math> transendental, dalam bahasa Jerman.
*

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bilangan+transendental&oldid=29438631 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29438631 (2026-07-10T06:21:50Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Bilangan transendental - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29438631; atribusi sumber disertakan.