Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-24T23:05:20Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 27998466; atribusi sumber disertakan.

2026-08-24T22:38:02Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 27998466; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

'''Deret Fourier''' () merupakan bentuk penguraian [[fungsi periodik]] berupa [[deret (matematika)|penjumlahan]] nilai gelombang [[sin]] dan [[cos]]. [[Frekuensi]] dari setiap gelombang dalam operasi penjumlahan (atau yang dikenal sebagai [[harmonisa]]) merupakan [[kelipatan (matematika)|kelipatan]] interger terhadap [[frekuensi fundamental]] dari fungsi periodik. Setiap [[fase (gelombang)|fase]] harmonisa dapat ditentukan dengan [[analisis harmonisa]]. Deret Fourier memiliki kemungkinan untuk memuat harmonisa dengan jumlah [[penjumlahan tak terhingga|tak terhingga]]. Hasil penjumlahan bagian harmonisa dari deretan tersebut tidak selalu menghasilkan nilai pendekatan terhadap fungsi tersebut. Sebagai contoh, menggunakan beberapa harmonisa awal dari deret Fourier terhadap [[gelombang persegi]] akan menghasilkan nilai pendekatan dari gelombang persegi.

Hampir semua fungsi periodik dapat diuraikan menjadi deret Fourier yang dapat [[Konvergensi deret Fourier|berkonvergensi]]. Proses [[konvergensi deret Fourier]] berarti bahwa makin banyak harmonisa dari deret tersebut dijumlahkan, maka hasil dari operasi penjumlahan akan menghasilkan [[aproksiman (matematika)|nilai pendekatan]] dari fungsi tersebut, dan akan memiliki nilai yang setara dengan fungsi tersebut ketika banyak dari harmonisanya [[tak terhingga potensial|tak terhingga]].

Deret Fourier hanya dapat menguraikan fungsi periodikal. Akan tetapi, fungsi non periodik dapat juga diuraikan menggunakan ekstensi dari deret Fourier yang dikenal sebagai [[transformasi Fourier]], operasi tersebut akan menguraikan fungsi non-periodik dengan periode tak terhingga. Kemudian, [[transformasi integral|transformasi]] tersebut akan menghasilkan uraian [[domain frekuensi]] dari fungsi non-periodik dan fungsi periodik, hal tersebut akan memungkinkan bentuk gelombang untuk dikonversi di antara representasi [[domain waktu]] dan representasi domain frekuensinya.

Sejak zaman [[Joseph Fourier|Fourier]], banyak operasi nilai pendekatan berbeda untuk mendefinisikan dan memahami konsep deret Fourier telah ditemukan, semua dari operasi tersebut memiliki konsistensi terhadap operasi lainnua, tetapi masing-masing menekankan aspek topik yang berbeda. Beberapa pendekatan yang lebih kuat dan elegan didasarkan pada ide-ide dan alat-alat matematika yang tidak tersedia pada masa Fourier. Fourier pada awalnya mendefinisikan deret Fourier untuk fungsi bernilai [[Bilangan rill|rill]] dari argumen rill, dan menggunakan [[Sinus dan kosinus|fungsi sinus dan kosinus]] sebagai sebuah [[basis (aljabar linier)|kumpulan basis]] untuk operasi dekomposisi. Banyak [[Daftar transformasi deret Fourier|metode transformasi Fourier]] telah didefinisikan, memperluas gagasan awal ke banyak pengaplikasian dan melahirkan sebuah cabang [[cangkupan matematika|matematika]] baru yang dikenal sebagai [[analisis Fourier]] .

==Definisi==
=== Bagian pertama ===
Pertimbangkan fungsi bernilai nyata, <math>s(x)</math>, yang [[integral Riemann|integrable]] dalam interval dengan panjang <math>P</math>, yang akan menjadi periode deret Fourier. Contoh umum interval analisis adalah:
:<math>x \in [0,1],</math> dan <math>P=1.</math>
:<math>x \in [-\pi,\pi],</math> dan <math>P=2\pi.</math>

'''Analisis''' proses menentukan bobot, diindeks dengan integer <math>n</math>, yang merupakan jumlah siklus nilai <math>n^\text{th}</math> harmonik dalam interval analisis. Oleh karena itu, panjang suatu siklus, dalam satuan <math>x</math>, ialah <math>P/n</math>. Dan frekuensi harmonik yang sesuai adalah <math>n/P</math>. <math>n^{th}</math> harmonik nilai <math>\sin\left(2\pi x \tfrac{n}{P}\right)</math> dan <math>\cos\left(2\pi x \tfrac{n}{P}\right)</math>, dan amplitudo (bobot) mereka ditemukan dengan integrasi selama interval panjang <math>P</math>:

:*Jika nilai <math>s(x)</math> ialah nilai <math>P</math> dari nilai periodik, maka setiap interval dengan panjang tersebut sudah cukup.
:*Nilai <math>a_0</math> dan <math>b_0</math> dapat direduksi menjadi nilai <math>a_0 = \frac{2}{P} \int_P s(x) \, dx</math> dan <math>b_0 = 0</math>.
:*Banyaknya teks memilih nilai <math>P=2\pi</math> untuk menyederhanakan argumen dari fungsi sinusoid.

=== Bagian kedua ===
Proses '''sintesis''' (Deret Fourier sebenarnya) adalah:

Secara umum, integer pada nilai <math>N</math> secara teoritis tidak terbatas. Meski begitu, deretan tersebut mungkin tidak konvergen atau persis sama <math>s(x)</math> di semua nilai <math>x</math> (seperti diskontinuitas satu titik) dalam interval analisis. Untuk fungsi "berperilaku baik" yang khas dari proses fisik, kesetaraan biasanya diasumsikan.

Menggunakan identitas [[trigonometri]]:

:<math>A_n\cdot \cos\left(\tfrac{2\pi nx}{P}-\varphi_n\right) \ \equiv \ \underbrace{A_n \cos(\varphi_n)}_{a_n}\cdot \cos\left(\tfrac{2\pi nx}{P}\right) + \underbrace{A_n \sin(\varphi_n)}_{b_n}\cdot \sin\left(\tfrac{2\pi nx}{P}\right),</math>

dan definisi nilai <math>A_n \triangleq \sqrt{a_n^2+b_n^2}</math> dan <math>\varphi_n \triangleq \operatorname{arctan2}(b_n,a_n)</math>,
pasangan sinus dan kosinus dapat dinyatakan sebagai sinusoid tunggal dengan offset fase, analog dengan konversi antara koordinat ortogonal (Kartesius) dan polar:

Bentuk kebiasaan untuk menggeneralisasi menjadi bernilai kompleks <math>s(x)</math> (bagian selanjutnya) diperoleh dengan menggunakan [[rumus Euler]] untuk membagi fungsi kosinus menjadi eksponensial kompleks. Di sini, [[konjugasi kompleks]] dilambangkan dengan tanda bintang:

:<math>
\begin{array}{lll}
\cos\left( \tfrac{2\pi nx}{P} - \varphi_n \right) &{}\equiv \tfrac{1}{2}e^{ i \left(\tfrac{2\pi nx}{P} - \varphi_n \right)} & {} + \tfrac{1}{2}e^{-i \left(\tfrac{2\pi nx}{P} - \varphi_n \right)}\\
&=\left(\tfrac{1}{2} e^{-i \varphi_n}\right) \cdot e^{i \tfrac{2\pi (+n)x}{P}} &{}+\left(\tfrac{1}{2} e^{-i \varphi_n}\right)^* \cdot e^{i \tfrac{2\pi (-n)x}{P}}.
\end{array}
</math>

Oleh karena itu, dengan definisi:
:<math>c_n \triangleq \left\{
\begin{array}{lll}
A_0/2 &= a_0/2, \quad & n = 0\\
\tfrac{A_n}{2} e^{-i \varphi_n} &= \tfrac{1}{2}(a_n -i b_n), \quad & n > 0\\
c_^*, \quad && n < 0
\end{array}\right\}\quad =\quad \frac{1}{P}\int_P s(x)\cdot e^{-i \tfrac{2\pi nx}{P}}\ dx,
</math>

hasil akhirnya adalah:

|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}

==Konvergensi==

Dalam aplikasi [[rekayasa]], deret Fourier umumnya dianggap berkumpul hampir di semua tempat (pengecualian berada pada diskontinuitas diskrit) karena fungsi yang ditemui dalam teknik berperilaku lebih baik daripada fungsi yang dapat diberikan oleh ahli matematika sebagai contoh tandingan untuk pres ini. Secara khusus, jika <math>s</math> kontinu dan turunan dari <math>s(x)</math> (yang mungkin tidak ada di semua tempat) adalah integratif persegi, kemudian deret Fourier <math>s</math> menyatu secara mutlak dan seragam ke nilai <math>s(x)</math>. Jika suatu fungsi adalah [[Fungsi terintegrasi persegi|integral-persegi]] pada interval <math>[x_0,x_0+P]</math>, kemudian deret Fourier [[Teorema Carleson|menyatu dengan fungsi di hampir setiap titik]]. Konvergensi deret Fourier juga bergantung pada jumlah hingga maksimal dan minimal dalam suatu fungsi yang dikenal sebagai salah satu [[Kondisi dirichlet|Kondisi dirichlet untuk deret Fourier]]. Lihat [[Konvergensi seri Fourier]]. Koefisien Fourier dapat didefinisikan untuk fungsi atau distribusi yang lebih umum, dalam kasus seperti itu konvergensi dalam norma atau [[Konvergensi lemah (ruang Hilbert)|konvergensi lemah]] biasanya berupa inte.

Animasi interaktif dapat dilihat [http://bl.ocks.org/jinroh/7524988 lihat.]

=== Contoh ===
==== Contoh 1: Deret Fourier sederhana ====

Kami sekarang menggunakan rumus di atas untuk memberikan perluasan deret Fourier dari fungsi yang sangat sederhana. Pertimbangkan gelombang gigi gergaji
:<math>s(x) = \frac{x}{\pi}, \quad \mathrm{for } -\pi < x < \pi,</math>
:<math>s(x + 2\pi k) = s(x), \quad \mathrm{for } -\pi < x < \pi \text{ and } k \in \mathbb{Z} .</math>
Dalam hal ini, koefisien Fourier diberikan oleh
:<math>\begin{align}
a_n & = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}s(x) \cos(nx)\,dx = 0, \quad n \ge 0. \\[4pt]
b_n & = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}s(x) \sin(nx)\, dx\\[4pt]
&= -\frac{2}{\pi n}\cos(n\pi) + \frac{2}{\pi^2 n^2}\sin(n\pi)\\[4pt]
&= \frac{2\,(-1)^{n+1}}{\pi n}, \quad n \ge 1.\end{align}</math>
Terbukti bahwa seri Fourier konvergen <math>s(x)</math> di setiap titik <math>x</math> dari mana <math>s</math> dapat dibedakan, dan karenanya:
{n} \sin(nx), \quad \mathrm{for} \quad x - \pi \notin 2 \pi \mathbb{Z}.
\end{align}</math>

Kapan nilai <math>x=\pi</math>, deret Fourier bertemu dengan 0, yang merupakan penjumlahan separuh dari batas kiri dan kanan ''s'' pada nilai <math>x=\pi</math>. Ini adalah contoh khusus dari [[Konvergensi deret Fourier#Konvergensi pada titik tertentu|Teorema Dirichlet]] untuk deret Fourier.

Contoh ini mengarahkan kita ke solusi untuk [[Masalah Basel]].

==== Contoh 2: Motivasi Fourier ====
Perluasan deret Fourier dari fungsi kita pada Contoh 1 terlihat lebih rumit daripada rumus sederhana pada nilai <math>s(x)=x/ \pi</math>, jadi tidak segera jelas mengapa seseorang membutuhkan seri Fourier. Meskipun ada banyak penerapan, motivasi Fourier adalah dalam memecahkan [[persamaan panas]]. Misalnya, perhatikan pelat logam berbentuk persegi yang sisinya berukuran <math>\pi</math> meter, dengan koordinat <math>(x,y) \in [0,\pi] \times [0,\pi]</math>. Jika tidak ada sumber panas di dalam pelat, dan jika tiga dari empat sisi ditahan pada 0 derajat Celcius, sedangkan sisi keempat, diberikan oleh nilai <math>y=\pi</math>, dipertahankan pada gradien suhu <math>T(x,\pi)=x</math> derajat Celsius, untuk <math>x</math> pada nilai <math>(0,\pi)</math>, maka seseorang dapat menunjukkan bahwa distribusi panas stasioner (atau distribusi panas setelah periode waktu yang lama telah berlalu) diberikan oleh
: <math>T(x,y) = 2\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx) {\sinh(ny) \over \sinh(n\pi)}.</math>
Di sini, <math>\sinh</math> adalah sebuah [[fungsi hiperbolik]]. Solusi persamaan panas tersebut diperoleh dengan cara mengalikan   menurut nilai <math>\sinh(ny)/\sinh(n\pi)</math>.

== Konvergen ==

=== Teorema ===
Misalkan <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math> adalah fungsi yang periodik dengan periode <math>2\pi</math>, kontinu dan mulus bagian demi bagian.
Maka, deret Fourier dari <math>f</math> konvergen mutlak dan secara seragam pada <math>\mathbb{R}</math>.

=== Aplikasi lain ===
Aplikasi lain dari deret Fourier yaitu untuk menyelesaikan [[Masalah Basel]] dengan menggunakan [[Teorema Parseval]]. Contoh tersebut menggeneralisasi dan seseorang dapat menghitung [[Fungsi Riemann zeta|ζ]](2''n''), untuk [[Bilangan asli|bilangan bulat positif]] apa pun nilai ''n''.

== Properti ==
=== Tabel properti dasar ===
Tabel ini menunjukkan beberapa operasi matematika dalam domain waktu dan efek yang sesuai dalam koefisien deret Fourier. Notasi:
* <math>z^{*}</math> adalah [[konjugasi kompleks]] dari fungsi <math>z</math>.
* <math>f(x),g(x)</math> menunjuk <math> P </math> -fungsi periodik yang ditentukan dari fungsi <math>0 < x \le P </math>.
* <math>F[n], G[n]</math> tentukan koefisien deret Fourier (bentuk eksponensial) dari fungsi <math>f</math> dan <math>g</math> seperti yang didefinisikan dalam persamaan .

=== Properti simetri ===
Ketika bagian nyata dan imajiner dari fungsi kompleks didekomposisi menjadi [[Fungsi genap dan ganjil#Genap–ganjil|bagian genap dan ganjil]], ada empat komponen, di bawah ini dilambangkan dengan [[subskrip]] RE, RO, IE, dan IO. Dan ada pemetaan satu-ke-satu antara empat komponen fungsi waktu kompleks dan empat komponen transformasi frekuensi kompleksnya:

:<math>
\begin{array}{rccccccccc}
\text{Domain waktu} & f & = & f_{_{\text{RE}}} & + & f_{_{\text{RO}}} & + & i f_{_{\text{IE}}} & + &\underbrace{i\ f_{_{\text{IO}}}} \\
&\Bigg\Updownarrow\mathcal{F} & &\Bigg\Updownarrow\mathcal{F} & &\ \ \Bigg\Updownarrow\mathcal{F} & &\ \ \Bigg\Updownarrow\mathcal{F} & &\ \ \Bigg\Updownarrow\mathcal{F}\\
\text{Domain frekuensi} & F & = & F_{RE} & + & \overbrace{i\ F_{IO}} & + &i\ F_{IE} & + & F_{RO}
\end{array}
</math>

== Lemma Riemann–Lebesgue ==
Kalau <math>f</math> adalah [[integrable]] dari nilai <math>\lim_{|n|\rightarrow \infty}\hat{f}(n)=0</math>, <math>\lim_{n\rightarrow +\infty}a_n=0</math> and <math>\lim_{n\rightarrow +\infty}b_n=0.</math> Hasil ini dikenal sebagai [[Riemann–Lebesgue lemma]].

== Properti turunan ==

== [[Teorema Parseval]] ==
Jika <math>f</math> Milik <math>L^2([-\pi,\pi])</math>, setelah itu <math>\sum_{n=-\infty}^\infty |\hat{f}(n)|^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^2 \, dx</math>.

== [[Teorema Plancherel]] ==
Jika nilai <math>c_0,\, c_{\pm 1},\, c_{\pm 2},\ldots</math> adalah koefisien dan <math>\sum_{n=-\infty}^\infty |c_n|^2 < \infty</math> lalu ada fungsi unik <math>f\in L^2([-\pi,\pi])</math> seperti yang <math>\hat{f}(n) = c_n</math> untuk setiap nilai <math>n</math>.

== Teorema konvolusi ==

== Grup kompak ==

==Fungsi bernilai kompleks==
Jika nilai <math>s(x)</math> adalah fungsi bernilai kompleks dari variabel nyata <math>x,</math> kedua komponen (bagian nyata dan imajiner) adalah fungsi bernilai nyata yang dapat direpresentasikan oleh deret Fourier. Kedua kumpulan koefisien dan jumlah parsial diberikan oleh:

:<math>c_{_{Rn}} = \frac{1}{P}\int_P \operatorname{Re}\{s(x)\}\cdot e^{-i \tfrac{2\pi nx}{P}}\ dx</math>     and     <math>c_{_{In}} = \frac{1}{P}\int_P \operatorname{Im}\{s(x)\}\cdot e^{-i \tfrac{2\pi nx}{P}}\ dx</math>

:<math>
s_N(x) = \sum_{n=-N}^N c_{_{Rn}}\cdot e^{i \tfrac{2\pi nx}{P}} + i\cdot \sum_{n=-N}^N c_{_{In}}\cdot e^{i \tfrac{2\pi nx}{P}} =\sum_{n=-N}^N \left(c_{_{Rn}}+i\cdot c_{_{In}}\right) \cdot e^{ i \tfrac{2\pi nx}{P}}.
</math>

Mendefinisikan nilai <math>c_n \triangleq c_{_{Rn}}+i\cdot c_{_{In}}</math> menghasilkan:

|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}

Hal tersebut identik dengan selain nilai <math>c_n</math> dan <math>c_{-n}</math> bukan lagi konjugasi kompleks. Rumus untuk nilai <math>c_n</math> juga tidak berubah:

:<math>
\begin{align}
c_n &= \frac{1}{P}\int_{P} \operatorname{Re}\{s(x)\}\cdot e^{-i \tfrac{2\pi nx}{P}}\ dx + i\cdot \frac{1}{P} \int_{P} \operatorname{Im}\{s(x)\}\cdot e^{-i \tfrac{2\pi nx}{P}}\ dx\\[4pt]
&= \frac{1}{P} \int_{P} \left(\operatorname{Re}\{s(x)\} +i\cdot \operatorname{Im}\{s(x)\}\right)\cdot e^{-i \tfrac{2\pi nx}{P}}\ dx \ = \ \frac{1}{P}\int_{P} s(x)\cdot e^{-i \tfrac{2\pi nx}{P}}\ dx.
\end{align}
</math>

== Notasi umum lainnya ==
Notasi pada nilai <math>c_n</math> tidak memadai untuk membahas koefisien Fourier dari beberapa fungsi yang berbeda. Oleh karena itu, biasanya diganti dengan bentuk fungsi yang dimodifikasi (<math>s</math>, dalam kasus ini), seperti <math>\hat{s}(n)</math> atau <math>S[n]</math>, dan notasi fungsional sering menggantikan langganan:

:<math>\begin{align}
s_\infty(x) &= \sum_{n=-\infty}^\infty \hat{s}(n)\cdot e^{i\,2\pi nx/P} \\[6pt]
&= \sum_{n=-\infty}^\infty S[n]\cdot e^{j\,2\pi nx/P} && \scriptstyle \mathsf{common\ engineering\ notation}
\end{align}</math>

Representasi domain frekuensi lain yang umum digunakan menggunakan koefisien deret Fourier untuk memodulasi [[sisir Dirac]]:
:<math>S(f) \ \triangleq \ \sum_{n=-\infty}^\infty S[n]\cdot \delta \left(f-\frac{n}{P}\right),</math>

dari mana <math>f</math> mewakili domain frekuensi kontinu. Ketika variabel <math>x</math> memiliki satuan detik, <math>f</math> memiliki satuan [[hertz]]. "Gigi" sisir diberi jarak pada kelipatan (yaitu [[harmonik]]) dari nilai <math>1/P</math>, yang disebut [[frekuensi dasar]].  <math>s_{\infty}(x)</math>  dapat dipulihkan dari representasi ini dengan [[Teorema inversi Fourier|transformasi Fourier terbalik]]:

:<math>\begin{align}
\mathcal{F}^{-1}\{S(f)\} &= \int_{-\infty}^\infty \left( \sum_{n=-\infty}^\infty S[n]\cdot \delta \left(f-\frac{n}{P}\right)\right) e^{i 2 \pi f x}\,df, \\[6pt]
&= \sum_{n=-\infty}^\infty S[n]\cdot \int_{-\infty}^\infty \delta\left(f-\frac{n}{P}\right) e^{i 2 \pi f x}\,df, \\[6pt]
&= \sum_{n=-\infty}^\infty S[n]\cdot e^{i\,2\pi nx/P} \ \ \triangleq \ s_\infty(x).
\end{align}</math>

Fungsi yang dibangun pada nilai <math>S(f)</math> oleh karena itu biasanya disebut sebagai '''Transformasi Fourier''', meskipun integral Fourier dari fungsi periodik tidak konvergen pada frekuensi harmonisa.

== Referensi ==

== Pranala luar ==
* [http://www.fourier-series.com/fourierseries2/fourier_series_tutorial.html Tutorial flash interaktif untuk deret Fourier]
* [http://www.jhu.edu/~signals/phasorapplet2/phasorappletindex.htm Phasor Phactory] Allows custom control of the harmonic amplitudes for arbitrary terms
* [http://www.falstad.com/fourier/ Java applet] Ekspansi deret Fourier untuk fungsi sembarang
* [http://www.exampleproblems.com/wiki/index.php/Fourier_Series Example problems] - Contoh perhitungan deret Fourier
* [http://www.e-dsp.com/8/ Fourier series explanation] - pendekatan nonmatematis sederhana
*
* [http://math.fullerton.edu/mathews/c2003/FourierSeriesComplexMod.html Modul deret Fourier oleh John H. Mathews]
* [http://www.shsu.edu/~icc_cmf/bio/fourier.html Joseph Fourier] - Situs web tentang riwayat Fourier historical section of this article
* [http://www.sfu.ca/sonic-studio/handbook/Fourier_Theorem.html SFU.ca] - 'Teorema Fourier'
* In the bottom of this [http://www.boutichesaid.cv.dz/FourierSeries/F_Series.htm interactive lecture] , animasi Java yang menunjukkan bagaimana pengaruh terhadap deret Fourier bila suku orde ke-n+1 ditambahkan ke suku ke-n

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Deret+Fourier&oldid=27998466 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27998466 (2025-10-16T03:46:00Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Deret Fourier - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 27998466; atribusi sumber disertakan.