Deret Taylor - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-24T23:06:46Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 24 Agustus 2026 23.06
Baris 1:		Baris 1:
			[[File:Sintay.svg\|thumb\|right\|280px\|Seiring dengan meningkatnya orde, polinomial Taylor mendekati fungsi yang dihampirinya. Gambar ini menunjukkan \sin x (in black) and hampiran Taylor, polinomial orde 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 and 13]]

	'''Deret Taylor''' dalam [[matematika]] adalah representasi [[fungsi matematika]] sebagai [[deret (matematika)\|jumlahan tak hingga]] dari suku-suku yang nilainya dihitung dari [[turunan]] fungsi tersebut di suatu titik. Deret ini dapat dianggap sebagai [[limit]] [[polinomial Taylor]]. Deret Taylor mendapat nama dari [[matematikawan]] [[Inggris]] [[Brook Taylor]]. Bila deret tersebut terpusat di titik nol, deret tersebut dinamakan sebagai '''deret Maclaurin''', dari nama matematikawan [[Skotlandia]] [[Colin Maclaurin]]		'''Deret Taylor''' dalam [[matematika]] adalah representasi [[fungsi matematika]] sebagai [[deret (matematika)\|jumlahan tak hingga]] dari suku-suku yang nilainya dihitung dari [[turunan]] fungsi tersebut di suatu titik. Deret ini dapat dianggap sebagai [[limit]] [[polinomial Taylor]]. Deret Taylor mendapat nama dari [[matematikawan]] [[Inggris]] [[Brook Taylor]]. Bila deret tersebut terpusat di titik nol, deret tersebut dinamakan sebagai '''deret Maclaurin''', dari nama matematikawan [[Skotlandia]] [[Colin Maclaurin]]

Baris 15:		Baris 17:

	==Kesalahan perkiraan dan konvergensi==		==Kesalahan perkiraan dan konvergensi==
			[[Gambar:Taylorsine.svg\|300px\|thumb\|right\|Fungsi sinus (biru) sangat dekat dengan polinomial Taylor derajat 7 (merah muda) untuk periode penuh yang berpusat pada titik asal.]]
			[[Gambar:LogTay.svg\|300px\|thumb\|right\|Polinomial Taylor untuk hanya memberikan perkiraan yang akurat dalam rentang tersebut . Untuk , Polinomial Taylor dengan derajat yang lebih tinggi memberikan perkiraan yang lebih buruk.]]
			[[Gambar:Logarithm GIF.gif\|300px\|thumb\|right\|Perkiraan Taylor untuk (black). Untuk , perkiraannya berbeda.]]

	Gambar di sebelah kanan adalah perkiraan yang akurat dari sekitar intinya . Kurva merah muda adalah polinomial derajat tujuh:		Gambar di sebelah kanan adalah perkiraan yang akurat dari sekitar intinya . Kurva merah muda adalah polinomial derajat tujuh:
Baris 35:		Baris 39:
	</math>		</math>

			Secara lebih umum, setiap urutan bilangan real atau kompleks dapat muncul sebagai [[koefisien]] dalam deret Taylor dari fungsi yang dapat terdiferensiasi tak terbatas yang ditentukan pada garis nyata, konsekuensi dari [[lemma Borel]]. Akibatnya, [[radius konvergensi]] deret Taylor bisa menjadi nilai nol. Bahkan ada fungsi yang dapat terdiferensiasi tak terbatas yang ditentukan pada garis nyata yang deret Taylor-nya memiliki radius konvergensi 0 di mana-mana.<ref>Walter Rudin. ''Analisis Nyata dan Kompleks''. McGraw-Hill. 1980. hlm. 418, Exercise 13. ISBN 0-07-099557-5.</ref>
	Secara lebih umum, setiap urutan bilangan real atau kompleks dapat muncul sebagai [[koefisien]] dalam deret Taylor dari fungsi yang dapat terdiferensiasi tak terbatas yang ditentukan pada garis nyata, konsekuensi dari [[lemma Borel]]. Akibatnya, [[radius konvergensi]] deret Taylor bisa menjadi nilai nol. Bahkan ada fungsi yang dapat terdiferensiasi tak terbatas yang ditentukan pada garis nyata yang deret Taylor-nya memiliki radius konvergensi 0 di mana-mana.


	==Generalisasi==		==Generalisasi==
	Namun demikian, ada generalisasi dari deret Taylor yang konvergen ke nilai fungsi itu sendiri untuk setiap [[fungsi terikat\|terikat]] dari [[fungsi kontinu]] pada nilai , menggunakan kalkulus [[beda hingga]]. Secara khusus, seseorang memiliki teorema berikut, karena [[Einar Hille]], bahwa untuk apa saja ,		Namun demikian, ada generalisasi<ref>William Feller. ''Pengantar teori probabilitas dan aplikasinya, Volume 2''. Wiley. 1971. hlm. 230–232..</ref><ref>Einar Hille. ''Analisis fungsional dan semi-kelompok''. American Mathematical Society. 1957. Vol. 31. hlm. 300–327..</ref> dari deret Taylor yang konvergen ke nilai fungsi itu sendiri untuk setiap [[fungsi terikat\|terikat]] dari [[fungsi kontinu]] pada nilai , menggunakan kalkulus [[beda hingga]]. Secara khusus, seseorang memiliki teorema berikut, karena [[Einar Hille]], bahwa untuk apa saja ,
	:<math>\lim_{h\to 0^+}\sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!}\frac{\Delta_h^nf(a)}{h^n} = f(a+t).</math>		:<math>\lim_{h\to 0^+}\sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!}\frac{\Delta_h^nf(a)}{h^n} = f(a+t).</math>
	Darimana nilai adalah Pada operator perbedaan hingga dengan ukuran langkah . Deret tersebut persis seperti deret Taylor, kecuali perbedaan yang terbagi muncul sebagai pengganti diferensiasi: deret ini secara formal mirip dengan [[deret Newton]]. Saat fungsinya bersifat analitik di , istilah dalam deret bertemu dengan istilah deret Taylor, dan dalam pengertian ini menggeneralisasi deret Taylor biasa.		Darimana nilai adalah Pada operator perbedaan hingga dengan ukuran langkah . Deret tersebut persis seperti deret Taylor, kecuali perbedaan yang terbagi muncul sebagai pengganti diferensiasi: deret ini secara formal mirip dengan [[deret Newton]]. Saat fungsinya bersifat analitik di , istilah dalam deret bertemu dengan istilah deret Taylor, dan dalam pengertian ini menggeneralisasi deret Taylor biasa.
Baris 49:		Baris 51:
	:<math>f(a+t) = \lim_{h\to 0^+} e^{-\frac{t}{h}}\sum_{j=0}^\infty f(a+jh) \frac{\left(\frac{t}{h}\right)^j}{j!}.</math>		:<math>f(a+t) = \lim_{h\to 0^+} e^{-\frac{t}{h}}\sum_{j=0}^\infty f(a+jh) \frac{\left(\frac{t}{h}\right)^j}{j!}.</math>

	[[Hukum jumlah besar]] menyiratkan bahwa identitas memegang.		[[Hukum jumlah besar]] menyiratkan bahwa identitas memegang.<ref>William Feller. ''Pengantar probabilitas theory dan aplikasinya''. 1970. Vol. 2. hlm. 231.</ref>

	==Daftar seri Maclaurin dari beberapa fungsi umum==		==Daftar seri Maclaurin dari beberapa fungsi umum==
			Beberapa ekspansi penting seri Maclaurin menyusul.<ref>Sebagian besar dapat ditemukan di .</ref> Semua perluasan tersebut valid untuk argumen yang kompleks .
	Beberapa ekspansi penting seri Maclaurin menyusul. Semua perluasan tersebut valid untuk argumen yang kompleks .

	=== Fungsi eksponensial ===		=== Fungsi eksponensial ===

	[[Fungsi eksponensial]] pada <math>e^x</math> (dengan basis [[e (matematika)\|e]]) memiliki deret Maclaurin		[[Fungsi eksponensial]] pada <math>e^x</math> (dengan basis [[e (matematika)\|e]]) memiliki deret Maclaurin
	:<math>e^{x} = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots </math>.		:<math>e^{x} = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots </math>.
Baris 67:		Baris 67:
	\ln(1+x) &= \sum^\infty_{n=1} (-1)^{n+1}\frac{x^n}n = x - \frac{x^2}2 + \frac{x^3}3 - \cdots .		\ln(1+x) &= \sum^\infty_{n=1} (-1)^{n+1}\frac{x^n}n = x - \frac{x^2}2 + \frac{x^3}3 - \cdots .
	\end{align}</math>		\end{align}</math>


	=== Deret geometris ===		=== Deret geometris ===

	[[Deret geometris]] dan turunannya memiliki deret Maclaurin		[[Deret geometris]] dan turunannya memiliki deret Maclaurin

Baris 81:		Baris 79:

	== Deret Binomial ==		== Deret Binomial ==

	[[Deret Binomial]] adalah deret pangkat		[[Deret Binomial]] adalah deret pangkat

Baris 129:		Baris 126:

	==Deret Taylor sebagai definisi==		==Deret Taylor sebagai definisi==

	Secara klasik, [[fungsi aljabar]] s didefinisikan oleh persamaan aljabar, dan [[fungsi transendental]] s (termasuk yang dibahas di atas) ditentukan oleh beberapa properti yang mendukungnya, seperti [[persamaan diferensial]]. Misalnya, [[fungsi eksponensial]] adalah fungsi yang sama dengan turunannya sendiri di mana-mana, dan mengasumsikan nilai 1 di asalnya. Namun, seseorang dapat mendefinisikan [[fungsi analitik]] dengan deret Taylor-nya.		Secara klasik, [[fungsi aljabar]] s didefinisikan oleh persamaan aljabar, dan [[fungsi transendental]] s (termasuk yang dibahas di atas) ditentukan oleh beberapa properti yang mendukungnya, seperti [[persamaan diferensial]]. Misalnya, [[fungsi eksponensial]] adalah fungsi yang sama dengan turunannya sendiri di mana-mana, dan mengasumsikan nilai 1 di asalnya. Namun, seseorang dapat mendefinisikan [[fungsi analitik]] dengan deret Taylor-nya.


	==Deret Taylor dalam beberapa variabel==		==Deret Taylor dalam beberapa variabel==
			Deret Taylor juga dapat digeneralisasikan ke fungsi lebih dari satu variabel dengan<ref>Lars Hörmander. ''Analisis operator diferensial parsial, volume 1''. Springer. 1990.</ref><ref>Duistermaat. ''Distribusi: Teori dan aplikasi''. Birkhauser. 2010.</ref>
	Deret Taylor juga dapat digeneralisasikan ke fungsi lebih dari satu variabel dengan

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
Baris 160:		Baris 154:

	=== Contoh ===		=== Contoh ===
			[[Gambar:Second Order Taylor.svg\|200px\|thumb\|right\|Pendekatan deret Taylor orde dua (berwarna oranye) dari suatu fungsi di sekitar asalnya.]]
	Untuk menghitung ekspansi deret Taylor orde dua di sekitar titik dari fungsi tersebut		Untuk menghitung ekspansi deret Taylor orde dua di sekitar titik dari fungsi tersebut
	:<math>f(x,y)=e^x\ln(1+y),</math>		:<math>f(x,y)=e^x\ln(1+y),</math>
Baris 231:		Baris 225:
	* [[Deret pangkat]]		* [[Deret pangkat]]
	* [[Teorema nilai purata]]		* [[Teorema nilai purata]]

	~~== Referensi ==~~

	*
	*
	*

	== Pranala luar ==		== Pranala luar ==
	*		*
	* [http://math.fullerton.edu/mathews/c2003/TaylorSeriesMod.html Taylor Series Representation Module by John H. Mathews]		* [http://math.fullerton.edu/mathews/c2003/TaylorSeriesMod.html Taylor Series Representation Module by John H. Mathews]
	* "[http://csma31.csm.jmu.edu/physics/rudmin/ParkerSochacki.htm Discussion of the Parker-Sochacki Method] "		* "[http://csma31.csm.jmu.edu/physics/rudmin/ParkerSochacki.htm Discussion of the Parker-Sochacki Method] "
Baris 245:		Baris 233:
	* [http://stud3.tuwien.ac.at/~e0004876/taylor/Taylor_en.html Another Taylor visualisation] - where you can choose the point of the approximation and the number of derivatives		* [http://stud3.tuwien.ac.at/~e0004876/taylor/Taylor_en.html Another Taylor visualisation] - where you can choose the point of the approximation and the number of derivatives
	* [http://numericalmethods.eng.usf.edu/topics/taylor_series.html Taylor series revisited for numerical methods] pada [http://numericalmethods.eng.usf.edu Numerical Methods for the STEM Undergraduate]		* [http://numericalmethods.eng.usf.edu/topics/taylor_series.html Taylor series revisited for numerical methods] pada [http://numericalmethods.eng.usf.edu Numerical Methods for the STEM Undergraduate]


	[[pl:Wzór Taylora#Szereg Taylora]]		[[pl:Wzór Taylora#Szereg Taylora]]

			== Referensi ==
			<references />

			== Sumber dan atribusi ==

	== ~~Sumber~~ dan ~~atribusi ==~~		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Deret+Taylor&oldid=28588092 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28588092 (2025-11-21T13:09:26Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

	~~Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Deret+Taylor&oldid=28588092 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28588092 (2025~~-11-~~21T13:09:26Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi~~-~~BerbagiSerupa (CC BY~~-~~SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.~~		<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28588092; atribusi sumber disertakan.

2026-08-24T22:40:17Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28588092; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

'''Deret Taylor''' dalam [[matematika]] adalah representasi [[fungsi matematika]] sebagai [[deret (matematika)|jumlahan tak hingga]] dari suku-suku yang nilainya dihitung dari [[turunan]] fungsi tersebut di suatu titik. Deret ini dapat dianggap sebagai [[limit]] [[polinomial Taylor]]. Deret Taylor mendapat nama dari [[matematikawan]] [[Inggris]] [[Brook Taylor]]. Bila deret tersebut terpusat di titik nol, deret tersebut dinamakan sebagai '''deret Maclaurin''', dari nama matematikawan [[Skotlandia]] [[Colin Maclaurin]]

== Definisi ==
Deret Taylor dari sebuah [[fungsi riil]] atau [[fungsi kompleks]] ''f''(''x'') yang [[fungsi terdiferensialkan takhingga|terdiferensialkan takhingga]] dalam sebuah [[pemetaan]] sebuah [[bilangan riil]] atau [[bilangan kompleks|kompleks]] ''a'' adalah [[deret pangkat]]

:<math>f(a)+\frac {f'(a)}{1!} (x-a)+ \frac{f''(a)}{2!} (x-a)^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+ \cdots </math>

yang dalam bentuk lebih ringkas dapat dituliskan sebagai

:<math> \sum_{n=0} ^ {\infin } \frac {f^{(n)}(a)}{n!} \, (x-a)^{n}</math>

dengan ''n''! melambangkan [[faktorial]] ''n'' dan ''f'' (''n'')(''a'') melambangkan nilai dari turunan ke-''n'' dari ''f'' pada titik ''a''. Turunan kenol dari ''f'' didefinisikan sebagai ''f'' itu sendiri, dan dan 0! didefinisikan sebagai 1.

Dalam kasus khusus di mana ''a'' = 0, deret ini disebut juga sebagai '''Deret Maclaurin'''.

==Kesalahan perkiraan dan konvergensi==

Gambar di sebelah kanan adalah perkiraan yang akurat dari sekitar intinya . Kurva merah muda adalah polinomial derajat tujuh:

:<math>\sin\left( x \right) \approx x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}.\!</math>

Kesalahan dalam perkiraan tersebut tidak lebih dari nilai . Secara khusus, untuk nilai , kesalahannya kurang dari 0.000003.

Sebaliknya, ditampilkan juga gambar dari fungsi logaritma natural pada nilai dan beberapa [[polinomial Taylor]] di sekitar nilai . Perkiraan tersebut menyatu dengan fungsi dari ; di luar wilayah tersebut polinomial Taylor derajat yang lebih tinggi berada ''lebih buruk'' perkiraan untuk fungsi tersebut. Hal tersebut mirip dengan [[Fenomena anak tangga]].

''Masalah'' yang terjadi saat mendekati fungsi dengan nilai Pada Polinomial Taylor dari derajat disebut ''sisa'' atau ''[[Residual (analisis numerik)|residual]]'' dan dilambangkan dengan fungsinya . [[Teorema Taylor]] dapat digunakan untuk mendapatkan batasan ukuran sisanya.

Secara umum, deret Taylor sama sekali tidak perlu [[deret konvergen|menggunakan konvergen]]. Dan sebenarnya himpunan fungsi dengan deret Taylor konvergen adalah [[himpunan kecil]] di [[ruang Fréchet]] dari [[fungsi mulus]]. Dan bahkan jika deret Taylor memiliki fungsi konvergen, batasnya secara umum tidak perlu sama dengan nilai fungsinya . Misalnya Fungsi
:<math>
f(x) = \begin{cases}
e^{-\frac{1}{x^2}}&\text{if } x\neq0\\
0&\text{if } x=0
\end{cases}
</math>

Secara lebih umum, setiap urutan bilangan real atau kompleks dapat muncul sebagai [[koefisien]] dalam deret Taylor dari fungsi yang dapat terdiferensiasi tak terbatas yang ditentukan pada garis nyata, konsekuensi dari [[lemma Borel]]. Akibatnya, [[radius konvergensi]] deret Taylor bisa menjadi nilai nol. Bahkan ada fungsi yang dapat terdiferensiasi tak terbatas yang ditentukan pada garis nyata yang deret Taylor-nya memiliki radius konvergensi 0 di mana-mana.

==Generalisasi==
Namun demikian, ada generalisasi dari deret Taylor yang konvergen ke nilai fungsi itu sendiri untuk setiap [[fungsi terikat|terikat]] dari [[fungsi kontinu]] pada nilai , menggunakan kalkulus [[beda hingga]]. Secara khusus, seseorang memiliki teorema berikut, karena [[Einar Hille]], bahwa untuk apa saja ,
:<math>\lim_{h\to 0^+}\sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!}\frac{\Delta_h^nf(a)}{h^n} = f(a+t).</math>
Darimana nilai adalah Pada operator perbedaan hingga dengan ukuran langkah . Deret tersebut persis seperti deret Taylor, kecuali perbedaan yang terbagi muncul sebagai pengganti diferensiasi: deret ini secara formal mirip dengan [[deret Newton]]. Saat fungsinya bersifat analitik di , istilah dalam deret bertemu dengan istilah deret Taylor, dan dalam pengertian ini menggeneralisasi deret Taylor biasa.

Secara umum, untuk urutan tak terbatas apa pun , identitas deret pangkat berikut berlaku:
:<math>\sum_{n=0}^\infty\frac{u^n}{n!}\Delta^na_i = e^{-u}\sum_{j=0}^\infty\frac{u^j}{j!}a_{i+j}.</math>
Jadi secara khusus,
:<math>f(a+t) = \lim_{h\to 0^+} e^{-\frac{t}{h}}\sum_{j=0}^\infty f(a+jh) \frac{\left(\frac{t}{h}\right)^j}{j!}.</math>

[[Hukum jumlah besar]] menyiratkan bahwa identitas memegang.

==Daftar seri Maclaurin dari beberapa fungsi umum==

Beberapa ekspansi penting seri Maclaurin menyusul. Semua perluasan tersebut valid untuk argumen yang kompleks .

=== Fungsi eksponensial ===

[[Fungsi eksponensial]] pada <math>e^x</math> (dengan basis [[e (matematika)|e]]) memiliki deret Maclaurin
:<math>e^{x} = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots </math>.
Hal tersebut menyatu untuk nilai .

=== Logaritma natural ===
[[Logaritma natural]] (dengan basis [[e (matematika)|e]]) memiliki deret Maclaurin
:<math>\begin{align}
\ln(1-x) &= - \sum^{\infty}_{n=1} \frac{x^n}n = -x - \frac{x^2}2 - \frac{x^3}3 - \cdots , \\
\ln(1+x) &= \sum^\infty_{n=1} (-1)^{n+1}\frac{x^n}n = x - \frac{x^2}2 + \frac{x^3}3 - \cdots .
\end{align}</math>

=== Deret geometris ===

[[Deret geometris]] dan turunannya memiliki deret Maclaurin

:<math>\begin{align}
\frac{1}{1-x} &= \sum^\infty_{n=0} x^n \\
\frac{1}{(1-x)^2} &= \sum^\infty_{n=1} nx^{n-1}\\
\frac{1}{(1-x)^3} &= \sum^\infty_{n=2} \frac{(n-1)n}{2} x^{n-2}.
\end{align}</math>
Semuanya konvergen untuk <math>|x| < 1</math>. Ini adalah kasus khusus dari of [[#Binomial series|binomial series]] diberikan di bagian selanjutnya.

== Deret Binomial ==

[[Deret Binomial]] adalah deret pangkat

:<math>(1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^\infty \binom{\alpha}{n} x^n</math>

yang koefisiennya adalah [[koefisien binomial]] umum

: <math>\binom{\alpha}{n} = \prod_{k=1}^n \frac{\alpha-k+1}k = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}.</math>

(Jika , produk ini adalah [[produk kosong]] dan memiliki nilai 1.) Menyatu <math>|x| < 1</math> untuk bilangan real atau kompleks apa pun .

Darimana nilai , ini pada dasarnya adalah deret geometri tak hingga yang disebutkan di bagian sebelumnya. Kasus khusus dan berikan fungsi [[akar kuadrat]] dan [[pembalikan perkalian|pembalikan]]:

:<math>\begin{align}
(1+x)^\frac12 &= 1 + \tfrac{1}{2}x - \tfrac{1}{8}x^2 + \tfrac{1}{16}x^3 - \tfrac{5}{128}x^4 + \tfrac{7}{256}x^5 - \ldots, \\
(1+x)^{-\frac12} &= 1 -\tfrac{1}{2}x + \tfrac{3}{8}x^2 - \tfrac{5}{16}x^3 + \tfrac{35}{128}x^4 - \tfrac{63}{256}x^5 + \ldots.
\end{align}</math>

Jika hanya [[pendekatan linier|suku linier]] yang dipertahankan, ini disederhanakan menjadi [[perkiraan binomial]].

== Perkiraan dalam fungsi ==
=== Fungsi trigonometri ===
[[Fungsi trigonometri]] biasa dan inversnya memiliki deret Maclaurin berikut:
:<math>\begin{align}
\sin x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} &&= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots && \text{for all } x\\[6pt]
\cos x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} &&= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots && \text{for all } x\\[6pt]
\tan x &= \sum^{\infty}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n \left(1-4^n\right)}{(2n)!} x^{2n-1} &&= x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \cdots && \text{for }|x| < \frac{\pi}{2}\\[6pt]
\sec x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n} &&=1+\frac{x^2}{2}+\frac{5x^4}{24}+\cdots && \text{for }|x| < \frac{\pi}{2}\\[6pt]
\arcsin x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} &&=x+\frac{x^3}{6}+\frac{3x^5}{40}+\cdots && \text{for }|x| \le 1\\[6pt]
\arccos x &=\frac{\pi}{2}-\arcsin x\\&=\frac{\pi}{2}- \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}&&=\frac{\pi}{2}-x-\frac{x^3}{6}-\frac{3x^5}{40}-\cdots&& \text{for }|x| \le 1\\[6pt]
\arctan x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1} &&=x-\frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5}-\cdots && \text{for }|x| \le 1,\ x\neq\pm i
\end{align}</math>

Semua sudut diekspresikan dalam [[radian]]. Angka-angka muncul dalam perluasan adalah [[angka Bernoulli]]. Hal itu dalam perluasan adalah [[nomor Euler]].

=== Fungsi hiperbolik ===
[[Fungsi hiperbolik]] memiliki deret Maclaurin yang terkait erat dengan deret untuk fungsi trigonometri yang sesuai:
:<math>\begin{align}
\sinh x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} &&= x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots && \text{for all } x\\[6pt]
\cosh x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^{2n}}{(2n)!} &&= 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots && \text{for all } x\\[6pt]
\tanh x &= \sum^{\infty}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n \left(4^n-1\right)}{(2n)!} x^{2n-1} &&= x-\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}-\frac{17x^7}{315}+\cdots && \text{for }|x| < \frac{\pi}{2}\\[6pt]
\operatorname{arsinh} x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} && && \text{for }|x| \le 1\\[6pt]
\operatorname{artanh} x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} && && \text{for }|x| \le 1,\ x\neq\pm 1
\end{align}</math>

Angka-angka muncul di seri untuk adalah [[angka Bernoulli]].

==Deret Taylor sebagai definisi==

Secara klasik, [[fungsi aljabar]] s didefinisikan oleh persamaan aljabar, dan [[fungsi transendental]] s (termasuk yang dibahas di atas) ditentukan oleh beberapa properti yang mendukungnya, seperti [[persamaan diferensial]]. Misalnya, [[fungsi eksponensial]] adalah fungsi yang sama dengan turunannya sendiri di mana-mana, dan mengasumsikan nilai 1 di asalnya. Namun, seseorang dapat mendefinisikan [[fungsi analitik]] dengan deret Taylor-nya.

==Deret Taylor dalam beberapa variabel==

Deret Taylor juga dapat digeneralisasikan ke fungsi lebih dari satu variabel dengan

:<math>\begin{align}
T(x_1,\ldots,x_d) &= \sum_{n_1=0}^\infty \cdots \sum_{n_d = 0}^\infty \frac{(x_1-a_1)^{n_1}\cdots (x_d-a_d)^{n_d}}{n_1!\cdots n_d!}\,\left(\frac{\partial^{n_1 + \cdots + n_d}f}{\partial x_1^{n_1}\cdots \partial x_d^{n_d}}\right)(a_1,\ldots,a_d) \\
&= f(a_1, \ldots,a_d) + \sum_{j=1}^d \frac{\partial f(a_1, \ldots,a_d)}{\partial x_j} (x_j - a_j) + \frac{1}{2!} \sum_{j=1}^d \sum_{k=1}^d \frac{\partial^2 f(a_1, \ldots,a_d)}{\partial x_j \partial x_k} (x_j - a_j)(x_k - a_k) \\
& \qquad \qquad + \frac{1}{3!} \sum_{j=1}^d\sum_{k=1}^d\sum_{l=1}^d \frac{\partial^3 f(a_1, \ldots,a_d)}{\partial x_j \partial x_k \partial x_l} (x_j - a_j)(x_k - a_k)(x_l - a_l) + \cdots
\end{align}</math>

Dari contoh di atas, untuk suatu fungsi <math>f(x,y)</math> yang bergantung pada dua variabel, dan , seri Taylor ke urutan kedua tentang intinya adalah

:<math>f(a,b) +(x-a) f_x(a,b) +(y-b) f_y(a,b) + \frac{1}{2!}\Big( (x-a)^2 f_{xx}(a,b) + 2(x-a)(y-b) f_{xy}(a,b) +(y-b)^2 f_{yy}(a,b) \Big)</math>

di mana subskrip menunjukkan masing-masing [[turunan parsial]].

Ekspansi deret Taylor orde dua dari fungsi nilai skalar lebih dari satu variabel dapat ditulis secara kompak sebagai

:<math>T(\mathbf{x}) = f(\mathbf{a}) + (\mathbf{x} - \mathbf{a})^\mathsf{T} D f(\mathbf{a}) + \frac{1}{2!} (\mathbf{x} - \mathbf{a})^\mathsf{T} \left \{D^2 f(\mathbf{a}) \right \} (\mathbf{x} - \mathbf{a}) + \cdots,</math>

Darimana adalah [[gradien]] dari nilai dievaluasi pada dan adalah [[matriks Hessian]]. Menerapkan [[notasi multi-indeks]] deret Taylor untuk beberapa variabel menjadi

:<math>T(\mathbf{x}) = \sum_{|\alpha| \geq 0}\frac{(\mathbf{x}-\mathbf{a})^\alpha}{\alpha !} \left({\mathrm{\partial}^{\alpha}}f\right)(\mathbf{a}),</math>

yang harus dipahami sebagai versi [[multi-indeks]] yang masih lebih disingkat dari persamaan pertama paragraf ini, dengan analogi penuh untuk kasus variabel tunggal.

=== Contoh ===

Untuk menghitung ekspansi deret Taylor orde dua di sekitar titik dari fungsi tersebut
:<math>f(x,y)=e^x\ln(1+y),</math>

yang pertama menghitung semua turunan parsial yang diperlukan:

:<math>\begin{align}
f_x &= e^x\ln(1+y) \\[6pt]
f_y &= \frac{e^x}{1+y} \\[6pt]
f_{xx} &= e^x\ln(1+y) \\[6pt]
f_{yy} &= - \frac{e^x}{(1+y)^2} \\[6pt]
f_{xy} &=f_{yx} = \frac{e^x}{1+y} .
\end{align}</math>

Mengevaluasi turunan ini di asalnya akan menghasilkan koefisien Taylor

:<math>\begin{align}
f_x(0,0) &= 0 \\
f_y(0,0) &=1 \\
f_{xx}(0,0) &=0 \\
f_{yy}(0,0) &=-1 \\
f_{xy}(0,0) &=f_{yx}(0,0)=1.
\end{align}</math>

Mengganti nilai-nilai ini ke dalam rumus umum

:<math>T(x,y) = f(a,b) +(x-a) f_x(a,b) +(y-b) f_y(a,b) +\frac{1}{2!}\Big( (x-a)^2f_{xx}(a,b) + 2(x-a)(y-b)f_{xy}(a,b) +(y-b)^2 f_{yy}(a,b) \Big)+ \cdots</math>

menghasilkan

:<math>\begin{align}
T(x,y) &= 0 + 0(x-0) + 1(y-0) + \frac{1}{2}\Big( 0(x-0)^2 + 2(x-0)(y-0) + (-1)(y-0)^2 \Big) + \cdots \\
&= y + xy - \frac{y^2}{2} + \cdots
\end{align}</math>

Setelah bersifat analitik , kita punya
:<math>e^x\ln(1+y)= y + xy - \frac{y^2}{2} + \cdots, \qquad |y| < 1.</math>

== Contoh ==
Deret Maclaurin untuk setiap [[polinomial]] adalah polinomial itu sendiri.

Deret Maclaurin untuk merupakan [[deret geometri]]

:<math>1+x+x^2+x^3+\cdots\!</math>

maka deret Taylor untuk ''x''−1 pada adalah

:<math>1-(x-1)+(x-1)^2-(x-1)^3+\cdots.\!</math>

Dengan melakukan [[integral|integrasi]] deret Maclaurin di atas, dapat dihitung deret Maclaurin untuk , di mana log melambangkan [[logaritma natural]]:

:<math>-x-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4-\cdots\!</math>

dan deret Taylor yang bersangkutan untuk log(''x'') pada adalah

:<math>(x-1)-\frac{1}{2}(x-1)^2+\frac{1}{3}(x-1)^3-\frac{1}{4}(x-1)^4+\cdots,\!</math>

dan lebih umum, deret Taylor yang bersangkutan untuk log(''x'') pada suatu ''a'' = ''x''0 adalah:

: <math> \log ( x_0 ) + \frac{1}{x_0} ( x - x_0 ) - \frac{1}{x_0^2}\frac{( x - x_0 )^2}{2} + \cdots.</math>

Deret Taylor untuk [[fungsi eksponensial]] e''x'' pada ''a'' = 0 adalah

:<math>1 + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!}+ \cdots = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \frac{x^5}{120} + \cdots\! = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}.</math>

Ekspansi di atas berlaku karena derivatif e''x'' terhadap x juga adalah e''x'' dan e0 sama dengan 1. Ini menyisakan elemen pada numerator dan ''n''<nowiki>!</nowiki> pada denominator untuk setiap elemen dalam jumlah tak terhingga.

== Lihat pula ==
* [[Teorema Taylor]]
* [[Deret pangkat]]
* [[Teorema nilai purata]]

== Referensi ==

*
*
*

== Pranala luar ==
*
* [http://math.fullerton.edu/mathews/c2003/TaylorSeriesMod.html Taylor Series Representation Module by John H. Mathews]
* "[http://csma31.csm.jmu.edu/physics/rudmin/ParkerSochacki.htm Discussion of the Parker-Sochacki Method] "
* [[minea.org]]
* [http://stud3.tuwien.ac.at/~e0004876/taylor/Taylor_en.html Another Taylor visualisation] - where you can choose the point of the approximation and the number of derivatives
* [http://numericalmethods.eng.usf.edu/topics/taylor_series.html Taylor series revisited for numerical methods] pada [http://numericalmethods.eng.usf.edu Numerical Methods for the STEM Undergraduate]

[[pl:Wzór Taylora#Szereg Taylora]]

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Deret+Taylor&oldid=28588092 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28588092 (2025-11-21T13:09:26Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.