Deret pangkat - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-24T22:58:13Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 24 Agustus 2026 22.58
Baris 1:		Baris 1:
			[[File:Exp_series.gif\|thumb\|right\|280px\|Exp series]]

	'''Deret pangkat''' atau '''Deret kuasa''' (satu variabel) dalam [[matematika]] adalah [[deret tak terhingga]] dalam bentuk		'''Deret pangkat''' atau '''Deret kuasa''' (satu variabel) dalam [[matematika]] adalah [[deret tak terhingga]] dalam bentuk

Baris 12:		Baris 14:

	Deret pangkat biasanya ditemukan dalam [[analisis matematika]], tetapi juga dapat ditemukan pada [[kombinatorika]] (dengan nama [[fungsi pembangkit]]), dan pada [[teknik elektro]] (dengan nama [[transformasi Z]]).		Deret pangkat biasanya ditemukan dalam [[analisis matematika]], tetapi juga dapat ditemukan pada [[kombinatorika]] (dengan nama [[fungsi pembangkit]]), dan pada [[teknik elektro]] (dengan nama [[transformasi Z]]).


	== Contoh ==		== Contoh ==
Baris 19:		Baris 20:
	atau sekitar pusat <math>c=1</math> sebagai		atau sekitar pusat <math>c=1</math> sebagai
	::<math>f(x) = 6 + 4 (x-1) + 1(x-1)^2</math><math> + 0(x-1)^3 + 0(x-1)^4 + \cdots \,</math>		::<math>f(x) = 6 + 4 (x-1) + 1(x-1)^2</math><math> + 0(x-1)^3 + 0(x-1)^4 + \cdots \,</math>
	atau sesungguhnya sekitar pusat ''c'' manapun. Deret pangkat dapat dipandang seperti "polinomials dengan derajat tak terhingga," meskipun deret pangkat bukanlah polinomial.		atau sesungguhnya sekitar pusat ''c'' manapun.<ref>Howard Levi. [http://books.google.com/books?id=AcI-AAAAIAAJ Polynomials, Power Series, and Calculus]. Van Nostrand. 1967. hlm. 24.</ref> Deret pangkat dapat dipandang seperti "polinomials dengan derajat tak terhingga," meskipun deret pangkat bukanlah polinomial.

	Rumus [[deret geometri]]		Rumus [[deret geometri]]
Baris 46:		Baris 47:
	:<math>\begin{aligned} L &= \left\| x-3\right\| \times \lim_{n \to \infty} \left\| \frac{n}{n+1} \right\| \\ &= \left\| x-3\right\| \times 1 \\ &= \left\| x-3\right\|. \end{aligned}</math>		:<math>\begin{aligned} L &= \left\| x-3\right\| \times \lim_{n \to \infty} \left\| \frac{n}{n+1} \right\| \\ &= \left\| x-3\right\| \times 1 \\ &= \left\| x-3\right\|. \end{aligned}</math>

	Mengingat bahwa <math>L < 1</math>		Mengingat bahwa <math>L < 1</math>
	agar rangkaian dapat bertemu, haruslah seperti itu <math>\left\| x-3 \right\| < 1 </math> saat menyatu. Ketika Anda memiliki ekspresi bentuk <math>\left\| x + a \right\| < r</math> dengan <math>a \in \mathbb{R}a</math> Jari-jari konvergensi adalah nilai ''r''. Jadi, radius konvergensi pada contoh tersebut adalah 1.		agar rangkaian dapat bertemu, haruslah seperti itu <math>\left\| x-3 \right\| < 1 </math> saat menyatu. Ketika Anda memiliki ekspresi bentuk <math>\left\| x + a \right\| < r</math> dengan <math>a \in \mathbb{R}a</math> Jari-jari konvergensi adalah nilai ''r''. Jadi, radius konvergensi pada contoh tersebut adalah 1.

Baris 64:		Baris 65:

	== Jari-jari konvergensi ==		== Jari-jari konvergensi ==

	Deret pangkat akan bersifat konvergen untuk sejumlah nilai variabel ''x'' dan dapat bersifat divergen untuk yang lain. Semua deret pangkat ''f''(''x'') dalam pangkat (''x''-''c'') akan bersifat konvergen pada ''x'' = ''c''. (Nilai yang benar ''f''(''c'') = ''a''<sub>0</sub> membutuhkan penafsiran ekspresi 0<sup>0</sup> sama dengan 1.) Jika ''c'' bukan satu-satunya titik konvergen, maka pasti ada satu bilangan ''r'' di mana 0 < ''r'' ≤ ∞ sedemikian sehingga deret itu menjadi konvergen kapan saja \|''x'' − ''c''\| < ''r'' dan divergen bilamana \|''x'' − ''c''\| > ''r''. Bilangan ''r'' disebut [[radius of convergence\|"'''jari-jari konvergensi'''" ("''radius of convergence''")]] suatu deret pangkat; secara umum dihitung sebagai:		Deret pangkat akan bersifat konvergen untuk sejumlah nilai variabel ''x'' dan dapat bersifat divergen untuk yang lain. Semua deret pangkat ''f''(''x'') dalam pangkat (''x''-''c'') akan bersifat konvergen pada ''x'' = ''c''. (Nilai yang benar ''f''(''c'') = ''a''<sub>0</sub> membutuhkan penafsiran ekspresi 0<sup>0</sup> sama dengan 1.) Jika ''c'' bukan satu-satunya titik konvergen, maka pasti ada satu bilangan ''r'' di mana 0 < ''r'' ≤ ∞ sedemikian sehingga deret itu menjadi konvergen kapan saja \|''x'' − ''c''\| < ''r'' dan divergen bilamana \|''x'' − ''c''\| > ''r''. Bilangan ''r'' disebut [[radius of convergence\|"'''jari-jari konvergensi'''" ("''radius of convergence''")]] suatu deret pangkat; secara umum dihitung sebagai:

Baris 73:		Baris 73:

	== Operasi pada deret pangkat ==		== Operasi pada deret pangkat ==

	=== Penjumlahan dan pengurangan ===		=== Penjumlahan dan pengurangan ===
	Bilamana dua fungsi ''f'' dan ''g'' didekomposisi menjadi deret pangkat sekitar pusat ''c'' yang sama, deret pangkat dari jumlah atau selisih kedua fungsi itu dapat dihitung masing-masing dengan penjumlahan atau pengurangan. Yaitu, jika:		Bilamana dua fungsi ''f'' dan ''g'' didekomposisi menjadi deret pangkat sekitar pusat ''c'' yang sama, deret pangkat dari jumlah atau selisih kedua fungsi itu dapat dihitung masing-masing dengan penjumlahan atau pengurangan. Yaitu, jika:
Baris 114:		Baris 113:

	== Fungsi analitik ==		== Fungsi analitik ==

	Sebuah fungsi ''f'' didefinisikan pada sejumlah [[open set\|subset terbuka]] ''U'' dari '''R''' atau '''C''' disebut '''analitik''' jika secara lokal dihitung sebagai deret pangkat konvergen. Ini berarti bahwa setiap ''a'' ∈ ''U'' mempunyai [[neighborhood (topology)\|''neighborhood'']] terbuka ''V'' ⊆ ''U'', sedemikian sehingga ada suatu deret pangkat dengan pusat ''a'' yang konvergen ke ''f''(''x'') untuk setiap ''x'' ∈ ''V''.		Sebuah fungsi ''f'' didefinisikan pada sejumlah [[open set\|subset terbuka]] ''U'' dari '''R''' atau '''C''' disebut '''analitik''' jika secara lokal dihitung sebagai deret pangkat konvergen. Ini berarti bahwa setiap ''a'' ∈ ''U'' mempunyai [[neighborhood (topology)\|''neighborhood'']] terbuka ''V'' ⊆ ''U'', sedemikian sehingga ada suatu deret pangkat dengan pusat ''a'' yang konvergen ke ''f''(''x'') untuk setiap ''x'' ∈ ''V''.

	== Deret pangkat formal ==		== Deret pangkat formal ==

	Dalam [[abstract algebra\|aljabar abstrak]], diupayakan untuk menangkap makna deret pangkat tanpa dibatasi pada [[field (mathematics)\|bidang]] bilangan real dan kompleks, serta tanpa membutuhkan pembicaraan mengenai konvergensi. Ini mengarah kepada konsep [[formal power series\|deret pangkat formal]], suatu konsep yang sangat bermanfaat dalam [[algebraic combinatorics\|kombinatorika aljabar]].		Dalam [[abstract algebra\|aljabar abstrak]], diupayakan untuk menangkap makna deret pangkat tanpa dibatasi pada [[field (mathematics)\|bidang]] bilangan real dan kompleks, serta tanpa membutuhkan pembicaraan mengenai konvergensi. Ini mengarah kepada konsep [[formal power series\|deret pangkat formal]], suatu konsep yang sangat bermanfaat dalam [[algebraic combinatorics\|kombinatorika aljabar]].

	== Deret pangkat dalam beberapa variabel ==		== Deret pangkat dalam beberapa variabel ==

	Suatu kepanjangan teori ini dibutuhkan untuk tujuan [[multivariable calculus\|kalkulus multivariabel]]. '''Deret pangkat''' di sini didefinisikan sebagai suatu deret tak terhingga dengan bentuk		Suatu kepanjangan teori ini dibutuhkan untuk tujuan [[multivariable calculus\|kalkulus multivariabel]]. '''Deret pangkat''' di sini didefinisikan sebagai suatu deret tak terhingga dengan bentuk

Baris 141:		Baris 137:
	* [[Deret (matematika)]]		* [[Deret (matematika)]]
	* [[Deret Taylor]]		* [[Deret Taylor]]


	~~== Referensi ==~~


	== Pranala luar ==		== Pranala luar ==
	*		*
	*		*
	*		*
	* [http://math.fullerton.edu/mathews/c2003/ComplexPowerSeriesMod.html Modul deret pangkat kompleks oleh John H. Mathews]		* [http://math.fullerton.edu/mathews/c2003/ComplexPowerSeriesMod.html Modul deret pangkat kompleks oleh John H. Mathews]
	* [http://demonstrations.wolfram.com/PowersOfComplexNumbers/ Pangkat bilangan kompleks] oleh Michael Schreiber, [[Wolfram Demonstrations Project]].		* [http://demonstrations.wolfram.com/PowersOfComplexNumbers/ Pangkat bilangan kompleks] oleh Michael Schreiber, [[Wolfram Demonstrations Project]].

			== Referensi ==
			<references />

			== Sumber dan atribusi ==

	== ~~Sumber~~ dan ~~atribusi ==~~		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Deret+pangkat&oldid=29150261 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29150261 (2026-04-21T16:58:07Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

	~~Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Deret+pangkat&oldid=29150261 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29150261 (2026~~-04-~~21T16:58:07Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi~~-~~BerbagiSerupa (CC BY~~-~~SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.~~		<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29150261; atribusi sumber disertakan.

2026-08-24T22:21:25Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29150261; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

'''Deret pangkat''' atau '''Deret kuasa''' (satu variabel) dalam [[matematika]] adalah [[deret tak terhingga]] dalam bentuk

:<math>f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-c \right)^n = a_0 + a_1 (x-c)^1 + a_2 (x-c)^2 + a_3 (x-c)^3 + \cdots</math>

dengan ''an'' melambangkan koefisien suku ke-''n'', ''c'' adalah konstanta dan ''x'' berubah-ubah di sekitar ''c'' (karena alasan ini kadang-kadang deret seperti ini dikatakan ''berpusat'' di ''c''). Deret ini biasanya berupa [[deret Taylor]] dari suatu [[Fungsi (matematika)|fungsi]].

Pada banyak keadaan ''c'' sama dengan nol, contohnya pada [[Maclaurin series|deret Maclaurin]]. Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana:

::<math>
f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \ldots.
</math>

Deret pangkat biasanya ditemukan dalam [[analisis matematika]], tetapi juga dapat ditemukan pada [[kombinatorika]] (dengan nama [[fungsi pembangkit]]), dan pada [[teknik elektro]] (dengan nama [[transformasi Z]]).

== Contoh ==
Setiap [[polinomial]] dapat diekspresikan dengan mudah sebagai sebuah deret pangkat di sekitar pusat ''c'', meskipun kebanyakan koefisien akan sama dengan nol karena suatu deret pangkat mempunyai elemen yang tak terhingga banyaknya menurut definisi. Misalnya, polinomial <math>f(x) = x^2 + 2x + 3</math> dapat ditulis sebagai suatu deret pangkat sekitar pusat <math>c=0</math> sebagai
::<math>f(x) = 3 + 2 x + 1 x^2 + 0 x^3 + 0 x^4 + \cdots \,</math>
atau sekitar pusat <math>c=1</math> sebagai
::<math>f(x) = 6 + 4 (x-1) + 1(x-1)^2</math><math> + 0(x-1)^3 + 0(x-1)^4 + \cdots \,</math>
atau sesungguhnya sekitar pusat ''c'' manapun. Deret pangkat dapat dipandang seperti "polinomials dengan derajat tak terhingga," meskipun deret pangkat bukanlah polinomial.

Rumus [[deret geometri]]
::<math> \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots,</math>
valid untuk <math>|x|<1</math>, merupakan salah satu contoh paling penting untuk deret pangkat, sebagaimana rumus fungsi eksponensial
::<math> e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots,</math>
dan rumus [[sinus]]
::<math> \sin(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}+\cdots,</math>
valid untuk semua [[bilangan real]] x.

Semua deret pangkat ini juga merupakan contoh untuk [[deret Taylor]].

Pangkat negatif tidak diizinkan dalam deret pangkat, misalnya <math>1 + x^{-1} + x^{-2} + \cdots</math>
tidak dianggap sebagai suatu deret pangkat (meskipun merupakan suatu [[Laurent series|deret Laurent]]). Demikian pula, pangkat pecahan seperti <math>x^{1/2}</math> tidak diizinkan (tetapi lihat [[Puiseux series|deret Puiseux]]). Koefisien-koefisien <math>a_n</math> tidak diizinkan untuk bergantung kepada <math>x</math>, jadi misalnya:
:<math>\sin(x) x + \sin(2x) x^2 + \sin(3x) x^3 + \cdots \,</math> bukan suatu deret pangkat.

=== Contoh 1 ===
Cari jari jari konvergensi dan interval konvergensi deret pangkat
<math>\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-4)^n}{n}</math>.
----
Pertama, lakukan uji rasio pada fungsi tersebut.

:<math>\begin{aligned} L &= \lim_{n \to \infty} \left| \frac{f(n+1)}{f(n)} \right| \\ &= \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(x-4)^{n+1}}{n+1} \div \frac{(x-4)^n}{n} \right| \\ &= \lim_{n \to \infty} \left| \frac{n(x-4)}{n+1} \right|. \end{aligned}</math>

Untuk mengisolasi fungsi <math>x</math>, kita dapat dengan mudah menghapusnya dari limit, karena tidak bergantung pada <math>n</math>:
:<math>\begin{aligned} L &= \left| x-3\right| \times \lim_{n \to \infty} \left| \frac{n}{n+1} \right| \\ &= \left| x-3\right| \times 1 \\ &= \left| x-3\right|. \end{aligned}</math>

Mengingat bahwa <math>L < 1</math>
agar rangkaian dapat bertemu, haruslah seperti itu <math>\left| x-3 \right| < 1 </math> saat menyatu. Ketika Anda memiliki ekspresi bentuk <math>\left| x + a \right| < r</math> dengan <math>a \in \mathbb{R}a</math> Jari-jari konvergensi adalah nilai ''r''. Jadi, radius konvergensi pada contoh tersebut adalah 1.

Interval konvergensi, di sisi lain, adalah himpunan dari semua nilai ''x'' yang rangkaiannya konvergen. Menggunakan ketidaksetaraan di atas, pasti begitu

:<math>\begin{aligned} \left| x-4 \right| &< 1\\ -1 < x-4 &< 1\\ 3 < x &< 5. \end{aligned}</math>

Namun, ini tidak sesederhana yang terlihat pada pandangan pertama. Kita juga perlu memeriksa nilai batas interval untuk memeriksa apakah rangkaian tersebut menyatu untuk nilai-nilai ini. Sehingga untuk nilai <math>x=3</math>, yaitu

:<math>\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(3-4)^n}{n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n},</math>

yang, menggunakan uji seri bolak-balik, menyatu. Sekarang untuk <math>x=5</math>,

:<math>\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(5-4)^n}{n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1^n}{n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n},</math>

yang, sebagai hasil standar, tidak bertemu. Demikianlah Interval konvergensi untuk <math>\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-4)^n}{n}</math> adalah <math>3 \leq x < 5</math>

== Jari-jari konvergensi ==

Deret pangkat akan bersifat konvergen untuk sejumlah nilai variabel ''x'' dan dapat bersifat divergen untuk yang lain. Semua deret pangkat ''f''(''x'') dalam pangkat (''x''-''c'') akan bersifat konvergen pada ''x'' = ''c''. (Nilai yang benar ''f''(''c'') = ''a''0 membutuhkan penafsiran ekspresi 00 sama dengan 1.) Jika ''c'' bukan satu-satunya titik konvergen, maka pasti ada satu bilangan ''r'' di mana 0 < ''r'' ≤ ∞ sedemikian sehingga deret itu menjadi konvergen kapan saja |''x'' − ''c''| < ''r'' dan divergen bilamana |''x'' − ''c''| > ''r''. Bilangan ''r'' disebut [[radius of convergence|"'''jari-jari konvergensi'''" ("''radius of convergence''")]] suatu deret pangkat; secara umum dihitung sebagai:

:<math>r=\liminf_{n\to\infty} \left|a_n\right|^{-\frac{1}{n}}</math>
atau, secara ekuivalen,

<math>r^{-1}=\limsup_{n\to\infty} \left|a_n\right|^{\frac{1}{n}}</math>

== Operasi pada deret pangkat ==

=== Penjumlahan dan pengurangan ===
Bilamana dua fungsi ''f'' dan ''g'' didekomposisi menjadi deret pangkat sekitar pusat ''c'' yang sama, deret pangkat dari jumlah atau selisih kedua fungsi itu dapat dihitung masing-masing dengan penjumlahan atau pengurangan. Yaitu, jika:
:<math>f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n</math>
:<math>g(x) = \sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n</math>
maka
:<math>f(x)\pm g(x) = \sum_{n=0}^\infty (a_n \pm b_n) (x-c)^n.</math>

=== Perkalian dan pembagian ===
Dengan definisi yang sama seperti di atas, hasil kali dan hasil bagi deret pangkat dari kedua fungsi itu dapat diperoleh sebagai berikut:

:<math> f(x)g(x) = \left(\sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n\right)</math>

:<math> = \sum_{i=0}^\infty \sum_{j=0}^\infty a_i b_j (x-c)^{i+j}</math>

:<math> = \sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}\right) (x-c)^n.</math>

Urutan <math>m_n = \sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}</math> dikenal sebagai [[convolution|konvolusi]] urutan <math>a_n</math> dan <math>b_n</math>.

Untuk pembagian, perhatikan:

:<math> {f(x)\over g(x)} = {\sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n\over\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n} = \sum_{n=0}^\infty d_n (x-c)^n</math>

:<math> f(x) = \left(\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty d_n (x-c)^n\right)</math>

dan kemudian gunakan koefisien-koefisien pembanding di atas.

=== Diferensiasi dan integrasi ===
Bilamana suatu fungsi dinyatakan sebagai deret pangkat, maka fungsi itu [[derivatif|dapat dihitung diferensialnya]] pada [[interior (topology)|interior]] ranah konvergensi. Dapat dihitung [[derivatif|diferensial]] dan [[integral]] dengan mudah dengan mengerjakan setiap elemen secara terpisah:

::<math>
f^\prime (x) = \sum_{n=1}^\infty a_n n \left( x-c \right)^{n-1}= \sum_{n=0}^\infty a_{n+1} \left(n+1 \right) \left( x-c \right)^{n}
</math>

::<math>
\int f(x)\,dx = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n \left( x-c \right)^{n+1}} {n+1} + k = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_{n-1} \left( x-c \right)^{n}} {n} + k.
</math>

Kedua deret ini memiliki jari-jari konvergensi yang sama dengan deret asalnya.

== Fungsi analitik ==

Sebuah fungsi ''f'' didefinisikan pada sejumlah [[open set|subset terbuka]] ''U'' dari '''R''' atau '''C''' disebut '''analitik''' jika secara lokal dihitung sebagai deret pangkat konvergen. Ini berarti bahwa setiap ''a'' ∈ ''U'' mempunyai [[neighborhood (topology)|''neighborhood'']] terbuka ''V'' ⊆ ''U'', sedemikian sehingga ada suatu deret pangkat dengan pusat ''a'' yang konvergen ke ''f''(''x'') untuk setiap ''x'' ∈ ''V''.

== Deret pangkat formal ==

Dalam [[abstract algebra|aljabar abstrak]], diupayakan untuk menangkap makna deret pangkat tanpa dibatasi pada [[field (mathematics)|bidang]] bilangan real dan kompleks, serta tanpa membutuhkan pembicaraan mengenai konvergensi. Ini mengarah kepada konsep [[formal power series|deret pangkat formal]], suatu konsep yang sangat bermanfaat dalam [[algebraic combinatorics|kombinatorika aljabar]].

== Deret pangkat dalam beberapa variabel ==

Suatu kepanjangan teori ini dibutuhkan untuk tujuan [[multivariable calculus|kalkulus multivariabel]]. '''Deret pangkat''' di sini didefinisikan sebagai suatu deret tak terhingga dengan bentuk

::<math>
f(x_1,\dots,x_n) = \sum_{j_1,\dots,j_n = 0}^{\infty}a_{j_1,\dots,j_n} \prod_{k=1}^n \left(x_k - c_k \right)^{j_k},
</math>

di mana ''j'' = (''j''1, ..., ''j''''n'') adalah vektor bilangan asli; koefisien ''a''(''j1,...,jn'') biasanya adalah bilangan real atau kompleks, dan pusat ''c'' = (''c''1, ..., ''c''''n'') serta argumen ''x'' = (''x''1, ..., ''x''''n'') biasanya adalah vektor real atau kompleks. Notasi [[multi-index]] yang lebih sederhana dapat ditulis

::<math>
f(x) = \sum_{\alpha \in \mathbb{N}^n} a_{\alpha} \left(x - c \right)^{\alpha}.
</math>

== Tingkatan deret pangkat ==
Misalkan α adalah suatu multi-indeks untuk deret pangkat''f''(''x''1, ''x''2, …, ''x''''n''). '''Tingkatan''' (''order'') dari deret pangkat ''f'' didefinisikan sebagai nilai terkecil |α| sedemikian sehingga ''a''α ≠ 0, atau 0 jika ''f'' ≡ 0. Khususnya, untuk deret pangkat ''f''(''x'') dalam variabel tunggal ''x'', tingkatan ''f'' adalah pangkat terkecil dari ''x'' dengan koefisien bukan-nol. Definisi ini mudah dikembangkan ke [[Laurent series|deret Laurent]].

== Lihat pula ==
* [[Deret (matematika)]]
* [[Deret Taylor]]

== Referensi ==

== Pranala luar ==
*
*
*
* [http://math.fullerton.edu/mathews/c2003/ComplexPowerSeriesMod.html Modul deret pangkat kompleks oleh John H. Mathews]
* [http://demonstrations.wolfram.com/PowersOfComplexNumbers/ Pangkat bilangan kompleks] oleh Michael Schreiber, [[Wolfram Demonstrations Project]].

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Deret+pangkat&oldid=29150261 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29150261 (2026-04-21T16:58:07Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.