Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-24T23:01:27Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 24 Agustus 2026 23.01
Baris 1:		Baris 1:
	Dalam matematika, khususnya dalam bidang [[aljabar]] dan [[teori kategori]], suatu diagram dikatakan sebagai '''diagram komutatif''' jika untuk suatu objek <math> A </math> dan <math> B </math>, setiap lintasan yang berawal di <math> A </math> dan berakhir di <math> B </math> sama. Diagram komutatif adalah alat yang banyak digunakan dalam studi [[teori kategori]] untuk meninjau suatu identitas berlaku dalam komposisi morfisma		Dalam matematika, khususnya dalam bidang [[aljabar]] dan [[teori kategori]], suatu diagram dikatakan sebagai '''diagram komutatif''' jika untuk suatu objek <math> A </math> dan <math> B </math>, setiap lintasan yang berawal di <math> A </math> dan berakhir di <math> B </math> sama.<ref>Tom Leinster. ''Basic Category Theory''. 2016. ISBN 978-1-107-04424-1. Versi daring tersedia di arXiv pada arXiv:1612.09375v1</ref> Diagram komutatif adalah alat yang banyak digunakan dalam studi [[teori kategori]] untuk meninjau suatu identitas berlaku dalam komposisi morfisma <ref>Peter Smith. ''Category Theory A Gentle Introduction''. 2016. Versi daring tersedia di [https://www.logicmatters.net/resources/pdfs/GentleIntro.pdf sini]</ref>

	== Definisi ==		== Definisi ==
Baris 19:		Baris 19:

	== Contoh ==		== Contoh ==
	Dalam [[teori grup]], misalkan <math> G,H </math> suatu grup dengan operasi <math>\circ_G</math>dan <math> \circ_H </math> serta <math>f : G \rightarrow H</math> suatu pemetaan antara himpunan untuk grup <math>G</math> dan <math>H</math>. Andaikan <math>f</math> adalah suatu [[homomorfisma grup]], diagram berikut komutatif:		Dalam [[teori grup]], misalkan <math> G,H </math> suatu grup dengan operasi <math>\circ_G</math>dan <math> \circ_H </math> serta <math>f : G \rightarrow H</math> suatu pemetaan antara himpunan untuk grup <math>G</math> dan <math>H</math>. Andaikan <math>f</math> adalah suatu [[homomorfisma grup]], diagram berikut komutatif:<ref>Paolo Aluffi. ''Algebra: Chapter 0''. 2009. ISBN 978-0-8218-4781-7.</ref>


	dengan pemetaan <math>f \times f</math> didefinisikan secara per-komponen sebagai		dengan pemetaan <math>f \times f</math> didefinisikan secara per-komponen sebagai
Baris 27:		Baris 26:

	Contoh lainnya adalah pada [[Lemma Snake]]. Pada suatu [[kategori abel]] dengan diagram komutatif		Contoh lainnya adalah pada [[Lemma Snake]]. Pada suatu [[kategori abel]] dengan diagram komutatif


	yang memiliki [[barisan eksak]] di tiap barisnya serta 0 adalah objek nol (objek inisial sekaligus objek terminal pada suatu kategori), terdapat barisan eksak		yang memiliki [[barisan eksak]] di tiap barisnya serta 0 adalah objek nol (objek inisial sekaligus objek terminal pada suatu kategori), terdapat barisan eksak
	:<math>\ker a ~{\color{Gray}\longrightarrow}~ \ker b ~{\color{Gray}\longrightarrow}~ \ker c ~\overset{d}{\longrightarrow}~ \operatorname{coker}a ~{\color{Gray}\longrightarrow}~ \operatorname{coker}b ~{\color{Gray}\longrightarrow}~ \operatorname{coker}c</math>		:<math>\ker a ~{\color{Gray}\longrightarrow}~ \ker b ~{\color{Gray}\longrightarrow}~ \ker c ~\overset{d}{\longrightarrow}~ \operatorname{coker}a ~{\color{Gray}\longrightarrow}~ \operatorname{coker}b ~{\color{Gray}\longrightarrow}~ \operatorname{coker}c</math>
	sehingga diagram berikut komutatif:		sehingga diagram berikut komutatif:


	== Diagram Sebagai Fungtor ==		== Diagram Sebagai Fungtor ==
Baris 38:		Baris 35:

	Sebaliknya, untuk sebarang diagram komutatif, dapat dikonstruksi suatu kategori dengan setiap objek pada diagram menjadi objek dari kategorinya, adanya morfisma antara dua objek yang didefinisikan dari eksistensi lintasan antara dua objek, serta morfismanya ada secara tunggal (berdasarkan fakta bahwa diagram tersebut komutatif).		Sebaliknya, untuk sebarang diagram komutatif, dapat dikonstruksi suatu kategori dengan setiap objek pada diagram menjadi objek dari kategorinya, adanya morfisma antara dua objek yang didefinisikan dari eksistensi lintasan antara dua objek, serta morfismanya ada secara tunggal (berdasarkan fakta bahwa diagram tersebut komutatif).
	~~== Referensi ==~~


	== Pranala luar ==		== Pranala luar ==
	* [https://ncatlab.org/nlab/show/commutative+diagram Commutative Diagram] di nLab		* [https://ncatlab.org/nlab/show/commutative+diagram Commutative Diagram] di nLab

			== Referensi ==
			<references />

	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Diagram+komutatif&oldid=18619260 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 18619260 (2021-07-06T05:36:55Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Diagram+komutatif&oldid=18619260 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 18619260 (2021-07-06T05:36:55Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 18619260; atribusi sumber disertakan.

2026-08-24T22:29:14Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 18619260; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam matematika, khususnya dalam bidang [[aljabar]] dan [[teori kategori]], suatu diagram dikatakan sebagai '''diagram komutatif''' jika untuk suatu objek <math> A </math> dan <math> B </math>, setiap lintasan yang berawal di <math> A </math> dan berakhir di <math> B </math> sama. Diagram komutatif adalah alat yang banyak digunakan dalam studi [[teori kategori]] untuk meninjau suatu identitas berlaku dalam komposisi morfisma

== Definisi ==
Suatu diagram komutatif terdiri atas:
* Objek
* Morfisma (atau panah)
* Lintasan atau komposisi morfisma

Dalam berbagai referensi aljabar, umum digunakan notasi berikut untuk panah:
* [[Monomorfisma]] dengan <math> \hookrightarrow </math>
* [[Epimorfisma]] dengan <math> \twoheadrightarrow </math>
* [[Isomorfisma]] dengan <math>\overset{\sim}{\rightarrow}</math>
* Jika panah yang digunakan digambar dengan garis putus-putus, umumnya panah tersebut melambangkan suatu morfisma yang diklaim ada (misalnya dalam suatu teorema); panah tersebut sering kali diberi label <math> \exist </math> untuk menekankan eksistensinya
** Jika morfisma yang diklaim tersebut tunggal, umumnya diberi label <math> \exist ! </math>

Morfisma atau panah dalam diagram komutatif juga dapat didefinisikan antar panah, seperti yang umum dilakukan dalam [[teori kategori]]
== Istilah ==
Dalam buku-buku matematika, umumnya digunakan ungkapan "diagram berikut komutatif"

== Contoh ==
Dalam [[teori grup]], misalkan <math> G,H </math> suatu grup dengan operasi <math>\circ_G</math>dan <math> \circ_H </math> serta <math>f : G \rightarrow H</math> suatu pemetaan antara himpunan untuk grup <math>G</math> dan <math>H</math>. Andaikan <math>f</math> adalah suatu [[homomorfisma grup]], diagram berikut komutatif:

dengan pemetaan <math>f \times f</math> didefinisikan secara per-komponen sebagai
:<math>f \times f: (a,b) \mapsto (f(a),f(b))</math>
untuk sebarang <math>a,b \in G</math>. Dengan kata lain, jika diagram tersebut komutatif berlaku <math>f(a \circ_G b) = f(a) \circ_H f(b)</math>, yang mana sesuai dengan definisi homomorfisma grup pada umumnya.

Contoh lainnya adalah pada [[Lemma Snake]]. Pada suatu [[kategori abel]] dengan diagram komutatif

yang memiliki [[barisan eksak]] di tiap barisnya serta 0 adalah objek nol (objek inisial sekaligus objek terminal pada suatu kategori), terdapat barisan eksak
:<math>\ker a ~{\color{Gray}\longrightarrow}~ \ker b ~{\color{Gray}\longrightarrow}~ \ker c ~\overset{d}{\longrightarrow}~ \operatorname{coker}a ~{\color{Gray}\longrightarrow}~ \operatorname{coker}b ~{\color{Gray}\longrightarrow}~ \operatorname{coker}c</math>
sehingga diagram berikut komutatif:

== Diagram Sebagai Fungtor ==
Misalkan <math> \mathcal{I}, \mathcal{C} </math> suatu kategori dan <math>F : \mathcal{I} \rightarrow \mathcal{C}</math> suatu [[fungtor]] dari kategori <math>\mathcal{I} </math> ke kategori <math>\mathcal{C} </math>. Suatu diagram komutatif dapat dipandang sebagai fungtor <math>F</math> dan kategori <math> \mathcal{I}</math> disebut sebagai kategori indeks.

Sebaliknya, untuk sebarang diagram komutatif, dapat dikonstruksi suatu kategori dengan setiap objek pada diagram menjadi objek dari kategorinya, adanya morfisma antara dua objek yang didefinisikan dari eksistensi lintasan antara dua objek, serta morfismanya ada secara tunggal (berdasarkan fakta bahwa diagram tersebut komutatif).
== Referensi ==

== Pranala luar ==
* [https://ncatlab.org/nlab/show/commutative+diagram Commutative Diagram] di nLab

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Diagram+komutatif&oldid=18619260 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 18619260 (2021-07-06T05:36:55Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Diagram komutatif - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 18619260; atribusi sumber disertakan.