Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28656342; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T13:19:14Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28656342; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[kalkulus]], '''diferensial''' mewakili [[Bagian utama#Kalkulus|bagian utama]] dari perubahan dalam sebuah fungsi <math>y = f(x)</math> terhadap perubahan dalam variabel bebas. Diferensial <math>\mathrm{d}y</math> didefinisikan oleh

:<math>\mathrm{d}y = f'(x) \, \mathrm{d}x</math>

dimana <math>f'(x)</math> merupakan turunan <math>f</math> terhadap <math>x</math>, dan <math>\mathrm{d}x</math> merupakan sebuah [[Peubah (matematika)|peubah]] real tambahan (sehingga <math>\mathrm{d}y</math> merupakan sebuah fungsi dari <math>x</math> dan <math>\mathrm{d}x</math>). Notasinya sehingga persamaan

:<math>\mathrm{d}y = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \, \mathrm{d}x</math>

berlaku, dimana turunan diwakili dalam [[notasi Leibniz]] <math display="inline">\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}</math>, dan ini sesuai dengan mengenai turunan sebagai hasil bagi dari diferensial. Salah satunya juga menulis

:<math>\mathrm{d}f(x) = f'(x)\,\mathrm{d}x</math>

Arti yang tepat dari variabel <math>\mathrm{d}y</math> dan <math>\mathrm{d}x</math> bergantung pada konteks dari penerapan dan aras yang dibutuhkan dari ketelitian matematis. Ranah dari variabel ini dapat diambil pada sebuah arti penting geometris khusus jiak diferensial dianggap sebagai sebuah [[bentuk diferensial]] khusus, atau arti penting analitis jika diferensial dianggap sebagai sebuah [[aproksimasi linear]] ke riapan fungsi. Secara tradisional, variabel <math>\mathrm{d}x</math> dan <math>\mathrm{d}y</math> dianggap menjadi lebih kecil ([[infinitesimal]]), dan interpretasi ini dibuat teliti dalam [[analisis takstandar]].

== Sejarah dan penggunaan ==
Diferensial diperkenalkan pertama kali melalui sebuah intuitif atua definisi heuristik oleh [[Gottfried Wilhelm Leibniz]], yang berpikir mengenai diferensial <math>\mathrm{d}y</math> sebagai sebuah perubahan yang sangat kecil (atau [[infinitesimal]]) dalam nilai <math>y</math> dari fungsi, padanan ke sebuah perubahan yang sangat kecil <math>\mathrm{d}x</math> dalam argumen fungsi <math>x</math>. Untuk alasan tersebut, laju seketika dari perubahan <math>y</math> terhadap <math>x</math>, yang nilai dari [[turunan]] dari fungsi, dilambangkan oleh pecahan

:<math>\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}</math>

dalam apa yang disebut [[notasi Leibniz]] untuk turunan. Hasil bagi <math display="inline">\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}</math> sangat tidak kecil, daripadanya merupakan sebuah [[bilangan real]].

Penggunaan infintesimal dalam bentuk ini dikritik secara luas, sebagai contohnya oleh selebaran yang terkenal, [[The Analyst]] oleh Bishop Berkeley. [[Augustin-Louis Cauchy]] ([[#CITEREFCauchy1823|1823]]) mendefinisikan diferensial tanpa mengajukan banding dengan atomisme dari infinitesimal Leibniz. Malahan, Cauchy, mengikuti [[Jean le Rond d'Alembert|d'Alembert]], membalikkan urutan logis Leibniz dan penerusnya, turunan itu sendiri menjadi objek fundamental, didefinisikan sebagai sebuah [[limit]] hasil bagi beda, dan diferensialnya kemudian didefiniskan dalam istilah darinya. Yakni, salah satunya bebas ''mendefinisikan'' diferensial <math>\mathrm{d}y</math> dengan sebuah ekspresi

:<math>\mathrm{d}y = f'(x) \, \mathrm{d}x</math>

di mana <math>\mathrm{d}y</math> dan <math>\mathrm{d}x</math> merupakan variabel baru sederhana yang mengambil nilai real terhingga, bukan infintesimal tetap seperti yang dilakukan oleh Leibniz.

Menurut , pendekatan Cauchy merupakan sebuah penyempurnaan logis yang penting pada pendekatan infinitesimal Leibniz karena, melainkan memohon gagasan metafisik mengenai infinitesimal, kuantitas <math>\mathrm{d}y</math> dan <math>\mathrm{d}x</math> sekarang dapat dimanipulasi dalam cara yang persis seketika suatu kuantitas real lainnya dalam sebuah cara yang bermakna. Pengertian keseluruhan Cauchy mendekati diferensial menetapkan yang standar dalam pelakuan analitik, meskipun arti kata pada ketelitian, sebuah gagasan modern sepenuhnya dari limit, pada akhirnya dikarenakan [[Karl Weierstrass]].

Dalam perlakuan fisik, seperti penerapan tersebut ke teori [[termodinamika]], tampilan infinitesimal masih berlaku. mempertemukan penggunaan fisik diferensial infintesimal dengan ketidakmungkinan matematis dari mereka sebagai berikut. Diferensial mewakili nilai taknol terhingga yang lebih kecil daripada derajat ketepatan dibutuhkan untuk tujuan khusus yang mereka maksudkan. Demikian "infinitesimal fisik" tidak perlu mengajukan banding dengan sebuah padanan infinitesimal matematis dalam rangka untuk memiliki sebuah arti yang tepat.

Diikuti pengembangan abad keduapuluh dalam [[analisis matematis]] dan [[geometri diferensial]], ini menjadi jelas bahwa gagasan dari diferensial fungsi dapat diperluasw dalam berbagai cara. Dalam [[Analisis riil|analisis real]], ini lebih diinginkan yang secara langsung berhubungan dengan diferensial sebagai bagian utama dari riapan fungsi. Ini menuju langsung ke gagasan bahwa diferensial fungsi pada sebuah titik merupakan [[fungsional linear]] dari sebuah riapan <math>\Delta x</math>. Pendekatan ini memungkinkan diferensial (sebagai sebuah pemetaan linear) menjadi dikembangkan untuk beragam ruang-ruang canggih yang lebih banyak, pada akhirnya menimbulkan gagasan tersebut sebagai [[turunan Fréchet]] atau [[Turunan Gateaux|Gateaux]]. Demikian juga, dalam [[geometri diferensial]], diferensial dungsi pada sebuah titik merupakan fungsi linear dari sebuah [[vektor singgung]] (sebuah perpindahan yang sangat kecil), yang dapat sendirinya ditaruh pada sebuah pijakan ketelitian (lihat [[diferensial (infinitesimal)]]).

== Definisi ==

Diferensial didefinisikan dalam perlakuan modern [[kalkulus diferensial]] sebagai berikut. Diferensial fungsi <math>f(x)</math> dari sebuah peubah real tunggal <math>x</math> merupakan fungsi <math>\mathrm{d}f</math> dari dua peubah real bebas <math>x</math> dan <math>\Delta x</math> diberikan oleh

:<math>\mathrm{d}f(x, \Delta x) \stackrel{\mathrm{def}}{=} f'(x)\,\Delta x</math>

Satu atau dua dari argumen dapat ditekan, yaitu, salah satunya dapat melihat <math>\mathrm{d}f(x)</math> atau menyederhanakan <math>\mathrm{d}f</math>. Jika <math>y = f(x)</math>, diferensial juga dapat ditulis sebagai <math>\mathrm{d}y</math>. Karena <math>\mathrm{d}x(x,\Delta x) = \Delta x</math>, ini konvensional untuk menulis <math>\mathrm{d}x = \Delta x</math>, jadi bahwa persamaan berikut berlaku:

:<math>\mathrm{d}f(x) = f'(x) \, \mathrm{d}x</math>

Gagasan ini yang mengenai diferensial dapat diterapkan secara luas ketika sebuah [[aproksimasi linear]] untuk sebuah fungsi dicari, yang mana nilai dari riapan <math>\Delta x</math> cukup kecil. Lebih tepatnya, jika <math>f</math> merupakan sebuah [[fungsi terdiferensialkan]] pada <math>x</math>, maka bedanya dalam nilai-<math>y</math>

:<math>\Delta y \stackrel{\rm{def}}{=} f(x+\Delta x) - f(x)</math>

memenuhi

:<math>\Delta y = f'(x)\,\Delta x + \varepsilon = df(x) + \varepsilon</math>

dimana galat <math>\varepsilon</math> dalam aproksimasi memenuhi <math>\varepsilon/\Delta x \to 0</math> ketika <math>\Delta x \to 0</math>. Dengan kata lain, salah satunya memiliki identitas aproksimasi

:<math>\Delta y \approx \mathrm{d}y</math>

yang mana galatnya dapat dibuat sekecil yang diinginkan yang berkaitan dengan <math>\Delta x</math> dengan menghambat <math>\Delta x</math> menjadi cukup kecil, hal tersebut dikatakan,

:<math>\frac{\Delta y - \mathrm{d}y}{\Delta x} \to 0</math>

ketika <math>\Delta x \to 0</math>. Untuk alasan ini, diferensial fungsi dikenal sebagai [[Bagian utama|bagian (linear) utama]] dalam riapan fungsi: diferensial merupakan sebuah fungsi linear dari riapan <math>\Delta x</math>, dan meskipun galat <math>\varepsilon</math> dapat menjadi taklinear, ini cenderung ke nol dengan cepat ketika <math>\Delta x</math> cenderung ke nol.

== Diferensial dalam beberapa variabel ==

Diikuti , untuk fungsi yang lebih dari satu variabel bebas,

:<math>y = f(x_1,\dots,x_n)</math>

'''diferensial parsial''' <math>y</math> terhadap salah satu dari variabel <math>x_1</math> adalah bagian utama dari perubahan dalam <math>y</math> dihasilkan dari sebuah perubahan <math>\mathrm{d}x_1</math> dalam satu variabel tersebut. Diferensial parsial adalah

:<math>\frac{\partial y}{\partial x_1} \mathrm{d}x_1</math>

melibatkan [[turunan parsial]] <math>y</math> terhadap <math>x_1</math>. Jumlah dari diferensial parsial terhadap semua dari variabel beas merupakan '''diferensial total'''

:<math>\mathrm{d}y = \frac{\partial y}{\partial x_1} \mathrm{d}x_1 + \cdots + \frac{\partial y}{\partial x_n} \mathrm{d}x_n</math>

di mana bagian utama dari perubahan <math>y</math> dihasilkan dari perubahan dalam variabel bebas <math>x_i</math>.

Lebih tepatnya, dalam konteks kalkulus multipeubah, diikuti , jika <math>f</math> merupakan fungsi terdiferensialkan, maka oleh [[Turunan Fréchet|definisi dari keterdiferensialan]], riapan

:<math>\begin{align}
\Delta y &{}\stackrel{\mathrm{def}}{=} f(x_1+\Delta x_1, \dots, x_n+\Delta x_n) - f(x_1,\dots,x_n)\\
&{}= \frac{\partial y}{\partial x_1} \Delta x_1 + \cdots + \frac{\partial y}{\partial x_n} \Delta x_n + \varepsilon_1\Delta x_1 +\cdots+\varepsilon_n\Delta x_n
\end{align}</math>

dimana istilah galat <math>\varepsilon</math> cenderung ke nol sebagai riapan <math>\Delta x_i</math> bersama-sama cenderung ke nol. Diferensial total kemudian dengan teliti didefinisikan sebagai

:<math>\mathrm{d}y = \frac{\partial y}{\partial x_1} \Delta x_1 + \cdots + \frac{\partial y}{\partial x_n} \Delta x_n</math>

Karena, dengan definisi ini,

:<math>dx_i(\Delta x_1,\dots,\Delta x_n) = \Delta x_i</math>

salah satunya memiliki

:<math>\mathrm{d}y = \frac{\partial y}{\partial x_1}\,\mathrm{d} x_1 + \cdots + \frac{\partial y}{\partial x_n}\,\mathrm{d} x_n</math>

Seperti dalam kasus satu variabel, identitas hampirannya berlaku

:<math>\mathrm{d}y \approx \Delta y</math>

yang mana galat total dapat dibuat sekecil mungkin berkaitan dengan <math>\sqrt{\Delta x_1 ^2 + \dots + \Delta x_n^2}</math> dengan membatasi perhatian untuk riapan kecil yang cukup.

=== Penerapan dari diferensial total untuk pendugaan galat ===
Dalam pengukuran, diferensial total digunakan dalam [[Analisis ketaktentuan percobaan|pendugaan galat]] <math>\Delta f</math> fungsi <math>f</math> berdasarkan galat <math>\Delta x, \Delta y, \dots</math> dari parameter <math>x,y,\dots</math>. Asumsi bahwa selangnya cukup pendek untuk perubahan menjadi hampir linear

:<math>\Delta f = f'(x) \cdot \Delta x</math>

dan bahwa semua peubah adalah bebas, maka untuk semua peubah,

:<math>\Delta f = f_x \Delta x + f_y \Delta y + \cdots</math>

Ini dikarenakan turunan <math>f_x</math> terhadap parameter khusus <math>x</math> memberikan kepekaan dari fungsi <math>f</math> untuk sebuah perubahan dalam <math>x</math>, khususnya galat <math>\Delta x</math>. Karena mereka diasumsikan menjadi bebas, analisisnya menjelaskan skenario terburuk. Nilai mutlak dari galat komponen digunakan, karena setelah penghitungan yang sederhana, turunan dapat memiliki sebuah tanda negatif. Dari prinsip ini, kaidah galat penjumlahan, perkalian, dst. diturunkan, yakni:

* Misalkan <math>f(a,b) = a \cdot b</math>;
* <math>\Delta f = f_a \Delta a + f_b \Delta b</math>; mengevaluasi turunan
* <math>\Delta f = b \cdot \Delta a + a \cdot \Delta b</math>; membagi dengan <math>f</math>, yang mana <math>a \cdot b</math>
* <math>\frac{\Delta f}{f} = \frac{\Delta a}{a} + \frac{\Delta b}{b}</math>

Itu dikatakan, dalam perkalian, [[galat nisbi]] total merupakan jumlah dari galat nisbi dari parameter.

Untuk mengilustrasikan bagaimana ini bergantung pada fungsi yang dianggap, anggap kasusnya dimana fungsinya adalah <math>f(a,b) = a \cdot \ln b</math> sebagai gantinya. Maka, ini dapat dihitung bahwa penduga galatnya adalah

<math display="block">\frac{\Delta f}{f} = \frac{\Delta a}{a} + \frac{\Delta b}{b \cdot \ln b}</math>

dengan sebuah faktor "<math>\ln b</math>" tambahan tidak ditemukan dalam kasus darab sederhana. Faktor tambahan ini cenderung membuat galat menjadi lebih kecil, karena <math>\ln b</math> tidak sebesar

== Diferensial tingkat tinggi ==
Diferensial fungsi tingkat tinggi <math>y = f(x) </math> dari sebuah peubah <math>x</math> dapat didefinisikan melalui:

<math display="block">\mathrm{d}^2y = \mathrm{d}(\mathrm{d}y) = \mathrm{d}(f'(x)\mathrm{d}x) = (\mathrm{d}f'(x))\mathrm{d}x = f''(x)\,(\mathrm{d}x)^2</math>

dan, umumnya,

:<math>\mathrm{d}^ny = f^{(n)}(x)\,(\mathrm{d}x)^n</math>

Secara informal, ini memotivasi notasi Leibniz untuk turunan tingkat tinggi

:<math>f^{(n)}(x) = \frac{\mathrm{d}^n f}{\mathrm{d}x^n}</math>

Ketika peubah bebas <math>x </math> itu sendiri boleh bergantung pada peubah lainnya, maka ekspresinya menjadi lebih rumit, karena ini juga harus termasuk diferensial tingkat tinggi di <math>x</math> itu sendiri. Demikian, sebagai contohnya,

:<math>\begin{align}
\mathrm{d}^2 y &= f''(x)\,(\mathrm{d}x)^2 + f'(x)\mathrm{d}^2x\\
\mathrm{d}^3 y &= f'''(x)\, (\mathrm{d}x)^3 + 3f''(x)\mathrm{d}x\,\mathrm{d}^2x + f'(x)\mathrm{d}^3x
\end{align}</math>

dan seterusnya.

Anggapan yang serupa berlaku untuk mendefinisikan diferensial fungsi tingkat tinggi beberapa peubah. Contohnya, jika <math>f </math> merupakan sebuah fungsi dua variabel <math>x </math> dan <math>y </math>, maka

:<math>\mathrm{d}^nf = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{\partial^n f}{\partial x^k \partial y^{n-k}}(\mathrm{d})^k(\mathrm{d}y)^{n-k}</math>

dimana <math>\binom{n}{k}</math> merupakan sebuah [[koefisien binomial]]. Dalam variabel yang lebih banyak, sebuah ekspresi yang sepadan berlaku, tetapi dengan sebuah ekspansi [[Koefisien UEFA|multinomial]] daripada ekspansi binomial.

Diferensial tingkat tinggi dalam beberapa peubah juga menjadi lebih rumit ketika peubah bebasnya sendiri dimungkinkan untuk bergantung pada peubah lain. Sebagai contoh, untuk sebuah fungsi <math>f </math> dari <math>x </math> dan <math>y </math> yang dimungkinkan untuk bergantung pada peubah bantu, salah satunya memiliki

:<math>\mathrm{d}^2f = \left(\frac{\partial^2f}{\partial x^2}(\mathrm{d}x)^2+2\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y + \frac{\partial^2f}{\partial y^2}(\mathrm{d}y)^2\right) + \frac{\partial f}{\partial x}\mathrm{d}^2x + \frac{\partial f}{\partial y}\mathrm{d}^2y</math>

Karena ketidakpatutan notasional ini, penggunaan diferensial tingkat tinggi dikritisi terus terang oleh , yang menyimpulkan:

Yang artinya: ''Akhirnya, apakah yang dimaksudkan, atau diwakili, oleh persamaan [...]? Menurut pendapatku, tidak ada sama sekali''. Meski ketidakpercayaan ini, diferensial tingkat tinggi muncul sebagai sebuah alat yang penting dalam analisis.

Dalam konteks-konteks ini, diferensial order ke-<math>n</math> dari fungsi <math>f </math> berlaku dengan sebuah riapan <math>\Delta x </math> didefinisikan oleh

:<math>\mathrm{d}^nf(x,\Delta x) = \left.\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}t^n} f(x+t\Delta x)\right|_{t=0}</math>

atau sebuah ekspresi yang setara, seperti

:<math>\lim_{t\to 0}\frac{\Delta^n_{t\Delta x} f}{t^n}</math>

dimana <math>\Delta^n_{t \Delta x} f</math> merupakan sebuah [[beda maju]] ke-<math>n</math> dengan riapan <math>t\Delta x</math>.

Definisi ini masuk akal juga jika <math>f </math> merupakan sebuah fungsi dari beberapa peubah (untuk kesederhanaan diambil disini sebagai sebuah argumen vektor). Kemudian diferensial ke-<math>n</math> didefinisikan dalam hal ini merupakan sebuah [[fungsi homogen]] derajat <math>n</math> dalam riapan vektor <math>\Delta x </math>. Lebih lanjut, [[deret Taylor]] dari <math>f </math> pada titik <math> x</math> diberikan oleh

:<math>f(x+\Delta x)\sim f(x) + \mathrm{d}f(x,\Delta x) + \frac{1}{2}\mathrm{d}^2f(x,\Delta x) + \cdots + \frac{1}{n!}\mathrm{d}^nf(x,\Delta x) + \cdots</math>

[[Turunan Gateaux]] tingkat tinggi merampat anggapan-anggapan ini untuk ruang dimensi takhingga.

== Sifat-sifat ==
Jumlah sifat-sifat dari diferensial berikut dalam sebuah cara yang mudah dari sifat-sifat yang berpadanan dari turunan, turunan parsial, dan turunan total. Ini termasuk:

* [[Kelinearan]]: Untuk tetapan <math>a</math> dan <math>b</math> dan fungsi terdiferensialkan <math>f </math> dan <math>g</math>,

<math display="block">\mathrm{d}(af+bg) = a\,\mathrm{d}f + b\,\mathrm{d}g</math>

* [[Kaidah darab]]: Untuk dua fungsi terdiferensialkan <math>f </math> dan <math>g</math>,

:<math>\mathrm{d}(fg) = f\,\mathrm{d}g+g\,\mathrm{d}f</math>

Sebuah operasi <math>\mathrm{d}</math> dengan dua sifat-sifat ini dikenal dalam [[aljabar abstrak]] sebagai sebuah [[Penurunan (aljabar abstrak)|penurunan]]. Mereka menyiratkan kaidah pangkat

:<math>\mathrm{d}(f^n) = n f^{n-1} \mathrm{d}f </math>

Sebagai tambahan, berbagai bentuk dari [[kaidah rantai]] berlaku, dalam meningkatkan aras keumuman.

* Jika <math>y = f(u)</math> merupakan sebuah fungsi terdiferensialkan dari peubah <math>u</math> dan <math>u = g(x)</math> merupakan sebuah fungsi terdiferensialkan dari peubah, maka

:<math>\mathrm{d}y = f'(u)\,\mathrm{d}u = f'(g(x))g'(x)\,\mathrm{d}x</math>

* Jika <math>y = f(x_1,\dots,x_n)</math> dan semua dari peubah <math>x_1,\dots,x_n</math> bergantung pada peubah lain <math>t</math>, maka oleh kaidah rantai untuk turunan parsial, salah satunya memiliki

:<math>\begin{align}
\mathrm{d}y &= \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}t \\
&= \frac{\partial y}{\partial x_1} \mathrm{d}x_1 + \cdots + \frac{\partial y}{\partial x_n} \mathrm{d}x_n\\
&= \frac{\partial y}{\partial x_1} \frac{\mathrm{d}x_1}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}t + \cdots + \frac{\partial y}{\partial x_n} \frac{\mathrm{d}x_n}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}t
\end{align}</math>

Secara heuristik, kaidah rantai untuk beberapa peubah dapat diri sendiri menjadi dipahamai dengan membagi melalui kedua ruas mengenai persamaan ini oleh kuantitas sangat kecil <math>\mathrm{d}t</math>.

* Lebih umum ekspresi sejalan berlaku; di mana peubah antara <math>x_i </math> bergantung pada lebih dari satu peubah.

== Perumusan umum ==
Sebuah gagasan konsisten mengenai diferensial dapat dikembangkan untuk sebuah fungsi <math>f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m</math> di antara dua [[Ruang Euklides|ruang Euclides]]. Misalkan <math>\mathbf{x}, \Delta \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n</math> menjadi sebuah pasangan [[vektor Euclides]]. Riapan dalam fungsi <math>f </math> adalah

:<math>\Delta f = f(\mathbf{x} + \Delta \mathbf{x}) - f(\mathbf{x})</math>

Jika terdapat sebuah [[Matriks (matematika)|matriks]] <math>A</math> dengan ukuran <math>m \times n</math> sehingga

:<math>\Delta f = A\Delta\mathbf{x} + \|\Delta\mathbf{x}\|\boldsymbol{\varepsilon}</math>

di mana vektor <math>\boldsymbol{\varepsilon} \to 0</math> sebagai <math>\Delta \mathbf{x} \to 0</math>, maka <math>f </math> oleh definisi terdiferensialkan pada titik <math>\mathbf{x}</math>. Matriks <math>A</math> terkadang dikenal sebagia [[matriks Jacobi]], dan [[transformasi linear]] yang mengaitkan ke riapan <math>\Delta \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n</math>, vektor <math>A \Delta \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n</math>, dalam pengaturan umum, dikenal sebagai diferensial <math>\mathrm{d}f(x) </math> dari <math>f </math> pada titik <math>x </math>. Ini tepatnya [[turunan Fréchet]], dan konstruksi yang sama dapat dibuat bekerja untuk sebuah fungsi di antara suatu [[ruang Banach]].

Sudut pandang bermanfaat lainnya adalah mendefinisikan diferensial secara langsung sebagai sebuah jenis mengenai [[turunan berarah]]:

:<math>\mathrm{d}f(\mathbf{x},\mathbf{h}) = \lim_{t\to 0}\frac{f(\mathbf{x}+t\mathbf{h})-f(\mathbf{x})}{t} = \left.\frac{\mathrm d}{\mathrm d t}f(\mathbf{x}+t\mathbf{h})\right|_{t=0} </math>

yang mana pendekatannya sudah diambil untuk mendefinisikan diferensial tingkat tinggi (dan hampir semua definisi yang ditetapkan oleh Cauchy). Jika <math>t </math> mewakili waktu dan <math>\mathbf{x} </math> posisi, maka <math>\mathbf{h}</math> mewakili sebuah kecepatan sebagai ganti sebuah perpindahan seperti yang kita miliki sampai sekarang dianggapnya. Ini menghasilkan perbaikan lagi dari gagasan mengenai diferensial; yang seharusnya menjadi sebuah fungsi linear kecepatan kinematik. Himpunan semua kecepatan melalui sebuah titik ruang yang diberikan dikenal sebagai sebuah [[ruang garis singgung]]; dan juga <math> \mathrm{d}f</math> memberikan sebuah fungsi linear pada ruang garis singgung: sebuah [[bentuk diferensial]]. Dengan interpretasi ini, diferensial dari <math>f </math> dikenal sebagai [[turunan luar]], dan memiliki penerapan yang luas dalam [[geometri diferensial]] karena gagasan mengenai kecepatan dan ruang garis singgung masuk akal pada suatu [[manifold terdiferensialkan]]. Jika, sebagai tambahan, nilai keluaran dari <math> \mathrm{d}f</math> harus sebuah kecepatan. Jika salah satunya memperlakukan diferensial dalam perilaku ini, maka ini dikenal sebagai [[Pushforward (diferensial)|''pushforward'']] ([[Pushforward (differential)|en]]) karena ini "mendorong" kecepatan dari sebuah ruang sumber menjadi kecepatan dalam sebuah ruang sasaran.

== Penerapan lainnya ==
Meskipun gagasannya memiliki sebuah riapan infinitesimal <math> \mathrm{d}x</math> tidak dirumuskan dengan baik dalam [[analisis matematis]] modern, sebuah beragam mengenai teknik-teknik ada untuk mendefinisikan [[Diferensial (infinitesimal)|diferensial infinitesimal]] sehingga diferensial fungsi dapat ditangani dalam cara yang tidak bertentangan dengan [[notasi Leibniz]]. Ini termasuk:

* Mendefinisikan diferensial sebagai sebuah jenis [[bentuk diferensial]], khususnya [[turunan luar]] fungsi. Riapan infinitesimal kemudian diidentifikasikan dengan vektor dalam [[ruang garis singgung]] pada sebuah titik. Pendekatan ini terkenal dalam [[geometri diferensial]] dan medan yang berkaitan, karena ini segera merampat untuk memetakan antara [[manifold terdiferensialkan]].
* Diferensial sebagai unsur [[nilpoten]] mengenai [[gelanggang komutatif]]. Pendekatan ini terkenal dalam [[geometri aljabar]].
* Diferensial dalam model yang mulus mengenai [[teori himpunan]]. Pendekatan ini dikenal sebagai [[geometri diferensial sintetik]] atau [[analisis infinitesimal mulus]] dan berkaitan erat dengan pendekatan geometrik aljabar, kecuali bahwa gagasan dari [[teori topos]] digunakan untuk ''menyembunyikan'' mekanisme dimana infintesimal nilpoten diperkenalkan.
* Diferensial sebagai infintesimal dalam sistem [[bilangan hiperreal]], yang mana perluasan dari bilangan real yang berisi infinitesimal terbalikkan dan bilangan yang sangat besar. Ini merupakan pendekatan [[analisis takstandar]] dirintis oleh [[Abraham Robinson]].

== Contoh dan penerapannya ==
Diferensial dapat menjadi secara efektif digunakan dalam [[analisis numerik]] untuk mempelajari perambatan mengenai galat percobaan dalam sebuah perhitungan, dan demikian [[kestabilan numeris]] secara keseluruhan dari sebuah masalah . Andaikan bahwa peubah <math> x </math> mewakili hasil percobaan dan <math> y</math> merupakan hasil komputasi numeris yang berlaku dengan <math> x </math>. Pertanyaannya adalah dengan apakah galat luasnya dalam pengukuran <math> x </math> memengaruhi nilai dari komputasi <math> y</math>. Jika <math> x </math> dikenal oleh <math> \Delta x</math> dari nilai kebenarannya, maka [[teorema Taylor]] memberikan dugaan pada galat <math> \Delta y</math> dalam komputasi <math> y</math>:

:<math>\Delta y = f'(x)\Delta x + \frac{(\Delta x)^2}{2}f''(\xi)</math>

dimana <math>\xi = x + \theta \Delta x</math> untuk suatu <math>0 < \theta < 1</math>. Jika <math> \Delta x</math> kecil, maka suku orde kedua diabaikan, sehingga <math> \Delta y</math>, untuk tujuan praktis, perkiraan oleh <math>\mathrm{d}y = f'(x) \, \Delta x</math>.

Diferensial sering kali berguna untuk menulis ulang sebuah [[persamaan diferensial]].

:<math>\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = g(x)</math>

dalam bentuk

:<math>\mathrm{d}y = g(x) \, \mathrm{d}x</math>

..., khususnya ketika salah satunya untuk [[Pemisahan variabel|memisahkan peubah]].

== Catatan ==

== Referensi ==

*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*

== Pranala luar ==

* [http://demonstrations.wolfram.com/DifferentialOfAFunction/ Differential Of A Function] di Wolfram Demonstrations Project

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Diferensial+fungsi&oldid=28656342 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28656342 (2025-12-03T05:27:06Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Diferensial fungsi - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28656342; atribusi sumber disertakan.