Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T18:11:47Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 27018066; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T17:54:15Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 27018066; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

\ </math>
| type = density
| cdf = <math display="block">\begin{matrix}
\ \frac{\ 1\ }{ 2 } + x\ \Gamma \left( \frac{\ \nu+1\ }{ 2 } \right) \times \\[0.5em]
\frac{\ { {}_{2}F_1 }\!\left(\ \frac{\ 1\ }{ 2 },\ \frac{\ \nu+1\ }{ 2 };\ \frac{ 3 }{\ 2\ };\
-\frac{~ x^2\ }{ \nu }\ \right)\ }
{\ \sqrt{\pi\nu}\ \Gamma \left(\frac{\ \nu\ }{ 2 }\right)\ }\ ,
\end{matrix}</math><br/>
dengan <math>\ {}_{2}F_1\!(\ ,\ ;\ ;\ )\ </math> adalah [[fungsi hipergeometris]]
| mean = <math>\ 0\ </math> untuk <math>\ \nu > 1\ ,</math> lainnya [[Bentuk tak tentu|tak terdefinisi]]
| median = <math>\ 0\ </math>
| mode = <math>\ 0\ </math>
| variance = <math>\textstyle\ \frac{ \nu }{\ \nu-2\ }\ </math> untuk <math>\ \nu > 2\ ,</math> untuk <math>\ 1 < \nu \le 2\ ,</math><br/> lainnya [[Bentuk tak tentu|tak terdefinisi]]
| skewness = <math>\ 0\ </math> for <math>\ \nu > 3\ ,</math> lainnya [[Bentuk tak tentu|tak terdefinisi]]
| kurtosis =<math>\textstyle\ \frac{ 6 }{\ \nu-4\ }</math> for <math>\ \nu > 4\ ,</math> ∞ for <math>\ 2 < \nu \le 4\ ,</math><br/> otherwise [[indeterminate form|undefined]]
| entropy = <math>\ \begin{matrix}
\frac{\ \nu+1\ }{ 2 } \left[\ \psi \left( \frac{\ \nu+1\ }{ 2 } \right)
- \psi \left(\frac{\ \nu\ }{ 2 } \right)\ \right] \\[0.5em]
+ \ln \left[ \sqrt{\nu\ }\ {\mathrm B} \left(\ \frac{\ \nu\ }{ 2 },\ \frac{\ 1\ }{ 2 }\ \right)\right]\ {\scriptstyle\text{(nats)}}\
\end{matrix}</math><br/> dengan
: <math> \psi( )\ </math> adalah [[fungsi digamma]],
: <math>\ {\mathrm B}(\ ,\ )\ </math> adalah [[fungsi beta]].
| mgf = tidak terdefinisi
| char = <math>\textstyle\frac{\ \left(\ \sqrt{\nu\ }\ |t|\ \right)^{\nu/2}\ K_{\nu/2}\left(\ \sqrt{\nu\ }\ |t|\ \right)\ }{\ \Gamma(\nu/2)\ 2^{\nu/2 - 1}\ }\ </math> for <math>\ \nu > 0\ </math>
* <math>\ K_\nu(x)\ </math> adalah [[Fungsi Bessel|adalah bentuk kedua dari fungsi Bessel yang dimodifikasi]]
| ES = <math>\ \mu + s\ \left(\ \frac{\ \left(\ \nu + (T^{-1}(1-p))^2 \right)\ \ \times\ \tau\left( T^{-1}(1-p) \right)\ }{\ (\nu-1)(1-p)\ }\ \right)\ </math>
dengan <math>\ T^{-1}(\ )\ </math> adalah invers dari bentuk standar [[Fungsi distribusi kumulatif|CDF]]  Student, dan <math>\ \tau(\ )\ </math> adalah bentuk standar dari [[Fungsi kerapatan probabilitas|PDF]] Student.
}}

Pada teori [[Peluang (matematika)|peluang]] dan [[statistika]], '''distribusi ''t'' Student''' (atau lebih sederhana '''distribusi ''t''''') adalah [[Sebaran probabilitas|sebaran peluang]] yang menggeneralisasikan [[Distribusi normal|distribusi normal standar]]. Seperti distribusi normal, distribusi simetris di sekitar nol dan memiliki bentuk bel.

Namun, distribusi memiliki ekor yang lebih berat, dengan massa ekor bergantung pada parameter derajat kebebasan . Untuk , distribusi Student menjadi [[distribusi Cauchy]] standar, dengan ekor yang sangat "gemuk". Sementara itu, untuk , distribusi menjadi distribusi normal standar yang memiliki ekor yang "tipis".

Distribusi Students memainkan peran penting pada banyak analisis statistika, termasuk [[Uji t Student|uji Student]] untuk menguji [[signifikansi statistika]] dari perbedaan antara dua [[Rata-rata|rerata]] sampel, pembangunan [[selang kepercayaan]] untuk perbedaan antara dua rerata populasi, dan pada [[analisis regresi]] linear.

Pada bentuk ''skala lokalisasi distribusi '' , distribusi ini menggeneralisasi distribusi normal dan juga muncul pada [[analisis Bayes]] pada data dari keluarga keika dimarjinalkan oleh parameter variasi.

== Definisi ==

=== Fungsi kepekatan probabilitas ===
'''Distribusi ''' '''Student''' memiliki [[fungsi kepekatan probabilitas]] (''probability density function''; PDF) sebagai berikut:<blockquote><math> f(t)\ =\ \frac{ 1 }{\ \sqrt{\nu\ }\ {\mathrm B}\!\left( \frac{\ 1\ }{ 2 },\ \frac{\ \nu\ }{ 2 }\right)\ } \; \left(\ 1 + \frac{\ t^2\ }{ \nu }\ \right)^{-(\nu+1)/2}\ ,</math></blockquote>dengan adalah jumlah [[Derajat kebebasan (statistika)|derajat kebebasan]] dan adalah [[fungsi gamma]]. Definisi ini juga dapat ditulis sebagai berikut:<blockquote><math>\ \frac{\ \Gamma\!\left( \frac{\ \nu+1\ }{ 2 }\right)\ }{\ \sqrt{\pi\ \nu\ }\; \Gamma\!\left( \frac{\ \nu\ }{ 2 }\right)\ }\ =\ \frac{ 1 }{\ 2 \sqrt{\nu\ }\ }\ \cdot\ \frac{\ (\nu - 1)\cdot(\nu -3)\cdots 5 \cdot 3\ }{\ (\nu -2)\cdot(\nu -4) \cdots 4 \cdot 2\ } ~.</math></blockquote>dengan adalah [[fungsi beta]]. Pada beberapa nilai bilangan bulat derajat kebebasan , kita dapat:

Untuk dan genap,<blockquote><math>\ \frac{\ \Gamma\!\left( \frac{\ \nu+1\ }{ 2 } \right)\ }{\ \sqrt{\pi\ \nu\ }\ \Gamma\!\left( \frac{\ \nu\ }{ 2 } \right)}\ =\ \frac{ 1 }{\ \pi \sqrt{\nu\ }\ }\ \cdot\ \frac{(\nu -1)\cdot(\nu -3)\cdots 4 \cdot 2\ }{\ (\nu -2)\cdot(\nu -4)\cdots 5 \cdot 3\ } ~.</math></blockquote>Untuk dan ganjil,<blockquote><math>\int_{-\infty}^t f(u)\ \operatorname{d}u ~=~ \frac{1}{2} + t\ \frac{\ \Gamma\!\left( \frac{\ \nu+1\ }{ 2 } \right)\ }{\ \sqrt{\pi\ \nu\ }\ \Gamma\!\left( \frac{ \nu }{\ 2\ }\right)\ } \ {}_{2}F_1\!\left(\ \frac{1}{2}, \frac{\ \nu+1\ }{2}\ ; \frac{ 3 }{\ 2\ }\ ;\ -\frac{~ t^2\ }{ \nu }\ \right)\ ,</math></blockquote>Fungsi kerapatan probabilitas bernilai [[Distribusi simetris|simetris]] dan bentuknya terlihat seperti bel selayaknya variabel yang terdistribusi normal dengan rerata 0 dan variasi 1, tetapi dengan bentuk yang sedikit lebih rendah dan lebar. Ketika nilai derajat kebabsannya meningkat, distribusi mendekati distribusi normal dengan rerata 0 dan variasi 1. Untuk alasan ini, parameter juga disebut sebagai parameter normalisasi.

Gambar berikut memperlihatkan kerapatan dari distribusi ketika nilai meningkat. Distribusi normal diperlihatkan dengan warna biru sebagai perbandingan. Catat bahwa distribusi (garis merah) menjadi lebih dekat dengan distribusi normal saat nilai meningkat.

=== Fungsi distribusi kumulatif ===
[[Fungsi distribusi kumulatif]] (''cumulative distribution function''; CDF) dapat dituliskan dalam bentuk , bentuk fungsi beta tidak lengkap. Untuk ,<blockquote><math>F(t) = \int_{-\infty}^t\ f(u)\ \operatorname{d}u ~=~ 1 - \frac{1}{2} I_{x(t)}\!\left( \frac{\ \nu\ }{ 2 },\ \frac{\ 1\ }{ 2 } \right)\ ,</math></blockquote>dengan<blockquote><math>x(t) = \frac{ \nu }{\ t^2+\nu\ } ~.</math></blockquote>Nilai lain dapat dihitung dengan simetris. Persamaan alternatif, berlaku untuk , adalah<blockquote><math> f(t)\ =\ \frac{\ \Gamma\!\left(\frac{\ \nu+1\ }{ 2 }\right)\ }{\ \sqrt{\pi\ \nu\ }\; \Gamma\!\left(\frac{\nu}{2}\right)} \; \left(\ 1 + \frac{~ t^2\ }{ \nu }\ \right)^{-(\nu+1)/2}\ ,</math></blockquote>dengan adalah salah satu contoh dari [[fungsi hipergeometris]].

Untuk informasi lebih lanjut tentang fungsi distribusi kumulatif invers, lihat

=== Kasus khusus ===
Beberapa nilai memberikan bentuk sederhana dari distribusi Students.

==Catatan kaki==

==Referensi==
*
*
*
*

==Pranala luar==
*
*[http://jeff560.tripod.com/s.html Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (S)] ''(Remarks on the history of the term "Student's distribution")''
* First Students on page 112.
*[https://flexbooks.ck12.org/cbook/ck-12-interactive-algebra-2-for-ccss/section/6.6/related/lesson/students-t-distribution-adv-pst/ Student's t-Distribution],

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Distribusi+t+Student&oldid=27018066 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27018066 (2025-03-10T15:14:16Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Distribusi t Student - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 27018066; atribusi sumber disertakan.