Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-24T22:57:39Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29524200; atribusi sumber disertakan.

2026-08-24T22:20:19Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29524200; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Bilangan <math>e</math> adalah [[konstanta matematika]], bernilai sekitar 2,71828, yang merupakan basis [[logaritma alami]] dan [[fungsi eksponensial]]. Selain nama tersebut, bilangan ini juga disebut sebagai '''bilangan Euler''' yang namanya diambil dari [[Leonhard Euler]], seorang [[matematikawan]] [[Swiss]]. Walaupun demikian, hal tersebut dapat menimbulkan kebingungan dengan bilangan bernama mirip, seperti [[Bilangan Euler (bilangan bulat)|bilangan Euler (deret)]], dan [[Konstanta Euler–Mascheroni|konstanta Euler]] (dinotasikan <math>\gamma</math>). Di samping Euler, bilangan <math>e</math> juga disebut sebagai '''konstanta Napier''' yang namanya diambil dari [[John Napier]]. Bilangan tersebut sendiri pertama kali ditemukan oleh [[Jacob Bernoulli]] saat ia mempelajari [[Bunga majemuk (keuangan)|bunga majemuk]].

Bilangan adalah salah satu bilangan terpenting dalam matematika, bilangan lainnya, antara lain 0, 1, , dan . Kelima bilangan tersebut merupakan bagian [[identitas Euler]] dan memainkan peran penting serta sering muncul pada berbagai bidang matematika. Sama seperti konstanta , bilangan [[Bilangan irasional|irasional]] yang artinya hal tersebut tidak bisa dinyatakan sebagai pembagian antara dua [[bilangan bulat]]. Lebih lanjut, bilangan juga [[Bilangan transenden|transenden]] yang artinya hal tersebut bukan solusi (pembuat nol) sebuah [[polinomial]]. Nilai bilangan hingga desimal ke-30 adalah sebagai berikut:

== Definisi ==
Bilangan diungkapkan sebagai [[Limit (matematika)|limit]]
<math display= block>\lim_{n\to \infty}\left(1+\frac 1n\right)^n,</math>
ungkapan yang diperoleh saat menghitung [[Bunga majemuk (keuangan)|bunga majemuk]]

Selain itu, bilangan tersebut juga diungkapkan sebagai [[deret takhingga]]
<math display="block">e = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} = 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{1\cdot 2\cdot 3} + \cdots.</math>Bilangan tersebut adalah angka positif khusus yang menjadikan fungsi [[Kemiringan|bergradien]] 1 di titik .

Lebih lanjut, bilangan tersebut juga diungkapkan sebagai <math display="block">e=\exp(1),</math> dengan <math>\exp</math> [[Fungsi eksponensial|fungsi eksponesial]], fungsi yang [[turunan]]nya sama dengan dirinya sendiri dan memiliki nilai <math>\exp(0)=1.</math> Oleh karena fungsi eksponensial sering dituliskan dengan <math>x\mapsto e^x,</math> ungkapan tersebut ditulis ulang sebagai
<math display="block">e=e^1.</math>
Fungsi [[logaritma]] berbasis didefinisikan sebagai [[Fungsi invers|invers]] atas fungsi Sebagai contoh, persamaan memiliki invers <math>\log_b b= 1.</math> Dengan demikian, persamaan <math>e=e^1</math> mengartikan bahwa adalah basis logaritma natural.

Bilangan juga diungkapkan sebagai [[integral]]:
<math display="block">\int_1^e \frac {dx}x =1.</math>
Untuk bentuk lainnya, terdapat pada

==Sejarah==
Pembahasan mengenai bilangan <math>e</math> pertama kali diterbitkan pada tahun 1618 oleh [[John Napier]] dalam karyanya mengenai tabel lampiran logaritma. Namun, tabel tersebut tidak berisi bilangan itu sendiri, hanya daftar nilai logaritma berbasis <math>e</math>. Tabel tersebut sendiri dipercayai sebagai tulisan [[William Oughtred]].

Bilangan <math>e</math> pertama kali diperkenalkan oleh [[Jacob Bernoulli]] pada tahun 1683, yang mencoba mencari nilai dari ekspresi berikut (yang sama dengan <math>e</math>):

:<math>\lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n.</math>

Penggunaan konstanta yang diketahui pertama kali, diawali oleh huruf <math>b</math> adalah dalam korespondensi dari [[Gottfried Leibniz]] hingga [[Christiaan Huygens]] pada tahun 1690 dan 1691. [[Leonhard Euler]] memperkenalkan huruf <math>e</math> sebagai dasar untuk logaritma alami, ditulis dalam surat kepada [[Christian Goldbach]] pada tanggal 25 November 1731. Euler mulai menggunakan huruf <math>e</math> untuk konstanta ini pada tahun 1727 atau 1728, dalam sebuah makalah yang tidak diterbitkan tentang kekuatan ledakan dalam meriam, sedangkan perkenalan pertama <math>e</math> dalam sebuah publikasi adalah ''[[Mechanica]]'' Euler (1736). Meskipun beberapa peneliti menggunakan huruf <math>c</math> pada tahun-tahun berikutnya, huruf <math>e</math> lebih umum dan akhirnya menjadi standar.

Dalam matematika, standar penulisannya adalah mengatur konstanta sebagai "<math>e</math>" yang ditulis dalam huruf miring; standar [[ISO 80000-2]]:2019 merekomendasikan penulisan konstanta ini dengan pengaturan huruf dalam gaya tegak, tetapi ini belum divalidasikan oleh komunitas ilmiah.

==Aplikasi==

===Bunga majemuk===

[[Jacob Bernoulli]] menemukan konstanta ini pada tahun 1683, ketika mempelajari pertanyaan tentang bunga majemuk:

Jika bunga dikreditkan dua kali dalam setahun, tingkat bunga untuk setiap 6 bulan akan menjadi 50%, jadi $ 1 awal dikalikan 1,5 dua kali, menghasilkan di akhir tahun. Bunga hasil kuartalan , dan penggabungan hasil bunga bulanan Bila ada interval majemuk, bunga untuk setiap interval akan dan nilainya pada akhir tahun akan menjadi $1.00 × .

Bernoulli memperhatikan bahwa urutan ini mendekati batas ([[kekuatan minat]]) dengan nilai yang lebih besar dan, dengan demikian, interval penggabungan yang lebih kecil. Penggunaan bunga mingguan () menghasilkan $ 2,692597 ..., sementara penggunaan bunga uang harian () menghasilkan $ 2,714567 ... (sekitar dua sen lebih). Batasnya sebagai tumbuh besar adalah jumlah yang kemudian dikenal sebagai . Artinya, dengan penggabungan ''kontinu'', nilai akun akan mencapai $2.7182818...

Secara lebih umum, akun yang dimulai dari $ 1 dan menawarkan tingkat bunga tahunan sebesar , setelah itu tahun, hasil dari dolar dengan penambahan bunga terus-menerus.

(Perhatikan di sini karena adalah desimal yang setara dengan suku bunga yang dinyatakan sebagai ''persentase'', jadi untuk bunga 5%, .)

===Percobaan-percobaan Bernoulli===

Bilangan dari itu sendiri juga memiliki aplikasi dalam [[teori probabilitas]], dengan cara yang tidak jelas terkait dengan [[pertumbuhan eksponensial]]:

:<math>\binom{10^6}{k} \left(10^{-6}\right)^k\left(1 - 10^{-6}\right)^{10^6-k}.</math>

Secara khusus, kemungkinan hadil nol kali () adalah
:<math>\left(1 - \frac{1}{10^6}\right)^{10^6}.</math>

yang sangat mendekati batas
:<math>\lim_{n\to\infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n = \frac{1}{e}.</math>

===Distribusi normal standar===

[[Distribusi normal]] dengan rata-rata nol dan deviasi standar satuan dikenal sebagai ''distribusi normal standar'', diberikan oleh [[fungsi kepadatan probabilitas]]
:<math>\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} x^2}.</math>

Batasan varian unit (dan juga deviasi standar unit) menghasilkan dalam eksponen, dan batasan luas total unit di bawah kurva <math>\phi(x)</math> menghasilkan faktor <math>\textstyle 1/\sqrt{2\pi}</math>.<sup>[[Integral Gaussian|[bukti]]]</sup> Fungsi ini simetris , di mana ia mencapai nilai maksimumnya <math>\textstyle 1/\sqrt{2\pi}</math>, dan memiliki [[titik belok]] di .

===Kekacauan===
Aplikasi lain dari , juga ditemukan sebagian oleh Jacob Bernoulli bersama dengan [[Pierre Raymond de Montmort]], Ada dalam masalah [[kekacauan]], juga dikenal sebagai ''masalah cek topi'': tamu diundang ke pesta, dan di depan pintu, semua tamu memeriksa topi mereka dengan kepala pelayan, yang pada gilirannya menempatkan topi ke dalam kotak, masing-masing diberi label dengan nama satu tamu. Tapi kepala pelayan belum menanyakan identitas para tamu, jadi dia menempatkan topi ke dalam kotak yang dipilih secara acak. Masalah de Montmort adalah menemukan probabilitas bahwa tidak ada topi yang dimasukkan ke kotak yang tepat. Probabilitas ini, dilambangkan dengan <math>p_n\!</math>, didefinisikan sebagai:

:<math>p_n = 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \cdots + \frac{(-1)^n}{n!} = \sum_{k = 0}^n \frac{(-1)^k}{k!}.</math>

Dengan sebagai nilai jumlah tamu cenderung tak terbatas, nilai akan semakin mendekati . Selanjutnya, banyaknya cara penempatan topi ke dalam kotak sehingga tidak ada topi yang berada di kotak yang tepat adalah (dibulatkan ke bilangan bulat terdekat untuk setiap bilangan positif ).

===Masalah perencanaan yang optimal===
Nilai maksimum dari <math display="inline">\sqrt[x]{x}</math> dapat diperoleh saat <math display="inline">x = e</math>. Selain itu, untuk nilai basis <math display="inline">b>1</math>, nilai maksimum dari <math display="inline">\frac{1}{x} \log_b{x}</math> diperoleh saat <math display="inline">x=e</math> ([[Permasalahan Steiner]]).

Dalam permasalahan lain, sebatang blok dengan panjang dipecah menjadi bagian yang sama. Nilai dari yang memaksimalkan produk dari panjang adalah:
:<math>n = \left\lfloor \frac{L}{e} \right\rfloor</math> atau <math>\left\lfloor \frac{L}{e} \right\rfloor</math>

===Asimtotik===
Angka terjadi secara alami sehubungan dengan banyak masalah yang melibatkan asimtotik. Contohnya adalah [[Rumus Stirling]] untuk [[Analisis asimtotik|asimtotik]] dari [[fungsi faktorial]], di mana kedua bilangan tersebut dan [[pi|pi]] muncul:
:<math>n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n.</math>

Sebagai konsekuensi,
:<math>e = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}} .</math>

== Lihat pula ==
* [[Fungsi eksponensial]]
* [[Logaritma]]

== Referensi ==

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=E+%28konstanta+matematika%29&oldid=29524200 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29524200 (2026-08-04T10:48:35Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

E (konstanta matematika) - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29524200; atribusi sumber disertakan.