Ekspresi bentuk tertutup - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T09:03:34Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 09.03
Baris 2:		Baris 2:

	== Contoh: akar dari polinomial ==		== Contoh: akar dari polinomial ==

	Solusi dari setiap [[persamaan kuadrat]] dengan [[bilangan kompleks\|kompleks]] [[koefisien]] dapat diekspresikan dalam bentuk tertutup dalam [[penambahan]], [[pengurangan]], [[perkalian]], [[Pembagian (matematika)\|pembagian]], dan [[akar kuadrat]] ekstraksi, yang masing-masing merupakan [[fungsi dasar]]. Misalnya persamaan kuadrat		Solusi dari setiap [[persamaan kuadrat]] dengan [[bilangan kompleks\|kompleks]] [[koefisien]] dapat diekspresikan dalam bentuk tertutup dalam [[penambahan]], [[pengurangan]], [[perkalian]], [[Pembagian (matematika)\|pembagian]], dan [[akar kuadrat]] ekstraksi, yang masing-masing merupakan [[fungsi dasar]]. Misalnya persamaan kuadrat

Baris 16:		Baris 15:

	== Berurusan dengan ekspresi non-bentuk tertutup ==		== Berurusan dengan ekspresi non-bentuk tertutup ==

	=== Transformasi ke dalam ekspresi bentuk tertutup ===		=== Transformasi ke dalam ekspresi bentuk tertutup ===

	Ekspresi:		Ekspresi:

	:<math>f(x) = \sum_{i=0}^\infty {x \over 2^i}</math>		:<math>f(x) = \sum_{i=0}^\infty {x \over 2^i}</math>

	tidak dalam bentuk tertutup karena penjumlahan memerlukan jumlah operasi dasar yang tak terbatas. Namun, dengan menjumlahkan [[deret geometris]], ekspresi ini dapat diekspresikan dalam bentuk tertutup:		tidak dalam bentuk tertutup karena penjumlahan memerlukan jumlah operasi dasar yang tak terbatas. Namun, dengan menjumlahkan [[deret geometris]], ekspresi ini dapat diekspresikan dalam bentuk tertutup:<ref>Glyn Holton. [http://www.riskglossary.com/link/closed_form_solution.htm Numerical Solution, Closed-Form Solution].</ref>

	:<math>f(x) = 2x.</math>		:<math>f(x) = 2x.</math>

	=== Teori Diferensial Galois ===		=== Teori Diferensial Galois ===


	Integral dari ekspresi bentuk tertutup mungkin atau tidak dengan sendirinya dapat diekspresikan sebagai ekspresi bentuk tertutup. Kajian ini disebut sebagai [[teori Galois diferensial]], dengan analogi dengan aljabar Galois.		Integral dari ekspresi bentuk tertutup mungkin atau tidak dengan sendirinya dapat diekspresikan sebagai ekspresi bentuk tertutup. Kajian ini disebut sebagai [[teori Galois diferensial]], dengan analogi dengan aljabar Galois.

Baris 43:		Baris 38:

	=== Pemodelan matematika dan simulasi komputer ===		=== Pemodelan matematika dan simulasi komputer ===

	Persamaan atau sistem yang terlalu kompleks untuk solusi bentuk tertutup atau analitik sering kali dapat dianalisis dengan [[model matematika]] ling dan [[simulasi komputer]].		Persamaan atau sistem yang terlalu kompleks untuk solusi bentuk tertutup atau analitik sering kali dapat dianalisis dengan [[model matematika]] ling dan [[simulasi komputer]].

	== Nomor bentuk tertutup ==		== Nomor bentuk tertutup ==


	Tiga subbidang dari bilangan kompleks '''C''' telah disarankan sebagai pengkodean gagasan tentang "bilangan bentuk tertutup"; dalam meningkatkan ketertiban umum, ini adalah bilangan Liouville (jangan disamakan dengan [[bilangan Liouville]] dalam pengertian pendekatan rasional), [[bilangan EL]] dan [[nomor dasar]]. '''Bilangan Liouville''', dilambangkan '''L''', membentuk subbidang '' [[aljabar tertutup]] '' terkecil dari '''C''' closed di bawah eksponensiasi dan logaritma (secara formal, perpotongan dari semua subkolom semacam itu) —yaitu, angka yang melibatkan eksponen dan logaritma '' eksplisit '', tetapi memungkinkan polinom eksplisit dan '' implisit '' (akar dari polinomial); ini didefinisikan dalam . '''L''' pada awalnya disebut sebagai '''bilangan elementer''', tetapi istilah ini sekarang digunakan secara lebih luas untuk merujuk pada bilangan yang didefinisikan secara eksplisit atau implisit dalam istilah [[operasi aljabar]], eksponensial, dan logaritma. Definisi yang lebih sempit diusulkan dalam .		Tiga subbidang dari bilangan kompleks '''C''' telah disarankan sebagai pengkodean gagasan tentang "bilangan bentuk tertutup"; dalam meningkatkan ketertiban umum, ini adalah bilangan Liouville (jangan disamakan dengan [[bilangan Liouville]] dalam pengertian pendekatan rasional), [[bilangan EL]] dan [[nomor dasar]]. '''Bilangan Liouville''', dilambangkan '''L''', membentuk subbidang '' [[aljabar tertutup]] '' terkecil dari '''C''' closed di bawah eksponensiasi dan logaritma (secara formal, perpotongan dari semua subkolom semacam itu) —yaitu, angka yang melibatkan eksponen dan logaritma '' eksplisit '', tetapi memungkinkan polinom eksplisit dan '' implisit '' (akar dari polinomial); ini didefinisikan dalam . '''L''' pada awalnya disebut sebagai '''bilangan elementer''', tetapi istilah ini sekarang digunakan secara lebih luas untuk merujuk pada bilangan yang didefinisikan secara eksplisit atau implisit dalam istilah [[operasi aljabar]], eksponensial, dan logaritma. Definisi yang lebih sempit diusulkan dalam .

	== Numerikal numerik ==		== Numerikal numerik ==

	Untuk keperluan komputasi numerik, bentuk tertutup umumnya tidak diperlukan, karena banyak batasan dan integral dapat dihitung secara efisien.		Untuk keperluan komputasi numerik, bentuk tertutup umumnya tidak diperlukan, karena banyak batasan dan integral dapat dihitung secara efisien.

	== Konversi dari bentuk numerik ==		== Konversi dari bentuk numerik ==
			Ada [[perangkat lunak]] yang mencoba menemukan ekspresi bentuk tertutup untuk nilai numerik, termasuk RIES,<ref>Robert Munafo. [http://mrob.com/pub/ries/index.html RIES - Find Algebraic Equations, Given Their Solution].</ref> in [[Maple (software)\|Maple]]<ref>[http://www.maplesoft.com/support/help/Maple/view.aspx?path=identify identify]. ''Maple Online Help''. Maplesoft.</ref> and [[SymPy]],<ref>[http://docs.sympy.org/0.7.1/modules/mpmath/identification.html Number identification]. ''SymPy documentation''.</ref> Plouffe's Inverter,<ref>[http://pi.lacim.uqam.ca/eng/server_en.html Plouffe's Inverter].</ref> and the [[Inverse Symbolic Calculator]].<ref>[http://oldweb.cecm.sfu.ca/projects/ISC/ Inverse Symbolic Calculator].</ref>
	Ada [[perangkat lunak]] yang mencoba menemukan ekspresi bentuk tertutup untuk nilai numerik, termasuk RIES, in [[Maple (software)\|Maple]] and [[SymPy]], Plouffe's Inverter, and the [[Inverse Symbolic Calculator]].

	== Lihat pula ==		== Lihat pula ==
Baris 68:		Baris 58:
	* [[Fungsi Liouvillian]]		* [[Fungsi Liouvillian]]
	* [[Fungsi dasar]]		* [[Fungsi dasar]]

	~~== Referensi ==~~


	== Bacaan lebih lanjut ==		== Bacaan lebih lanjut ==
	*		*
	*		*
	*		*

	== Pranala luar ==		== Pranala luar ==
	*		*

			== Referensi ==
			<references />

	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Ekspresi+bentuk+tertutup&oldid=27724987 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27724987 (2025-08-24T06:18:59Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Ekspresi+bentuk+tertutup&oldid=27724987 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27724987 (2025-08-24T06:18:59Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 27724987; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T08:36:03Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 27724987; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[matematika]], '''Ekspresi bentuk-tertutup''' adalah [[ekspresi (matematika)|ekspresi matematika]] yang diekspresikan menggunakan [[himpunan hingga|hingga]] dari operasi standar. Ini mungkin berisi [[Konstanta (matematika)|konstanta]], [[Variabel (matematika)|variabel]], "terkenal" tertentu [[Operasi (matematika)|operasi]] (misalnya, + - × ÷), dan [[fungsi (matematika)|fungsi]] (misalnya, [[Ekspresi radikal|akar ke-'' ke-']], [[eksponen]], [[logaritma]] , [[fungsi trigonometri]], dan [[fungsi hiperbolik invers]]), tetapi biasanya tidak ada [[batas urutan|batas]], [[Turunan|diferensiasi]], atau [[Integral|integrasi]]. Himpunan operasi dan fungsi yang diterima dalam ekspresi bentuk tertutup mungkin berbeda dengan penulis dan konteks.

== Contoh: akar dari polinomial ==

Solusi dari setiap [[persamaan kuadrat]] dengan [[bilangan kompleks|kompleks]] [[koefisien]] dapat diekspresikan dalam bentuk tertutup dalam [[penambahan]], [[pengurangan]], [[perkalian]], [[Pembagian (matematika)|pembagian]], dan [[akar kuadrat]] ekstraksi, yang masing-masing merupakan [[fungsi dasar]]. Misalnya persamaan kuadrat

:<math>ax^2+bx+c=0,</math>

dapat ditelusuri karena solusinya dapat dinyatakan sebagai ekspresi bentuk tertutup, yaitu dalam istilah fungsi dasar:

:<math>x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.</math>

Demikian pula solusi persamaan kubik dan kuartik (derajat ketiga dan keempat) dapat diekspresikan menggunakan aritmetika, akar kuadrat, dan [[akar kubik]], atau sebagai alternatif menggunakan fu aritmetika dan trigonometri. Namun, ada [[persamaan kuintik]] tanpa solusi bentuk tertutup yang menggunakan fungsi elementer, seperti ''x''<sup>5</sup> − ''x'' + 1 = 0.

Suatu bidang studi dalam matematika yang disebut secara luas sebagai [[teori Galois]] melibatkan pembuktian bahwa tidak ada ekspresi bentuk tertutup dalam konteks tertentu, berdasarkan contoh pusat solusi bentuk tertutup untuk [[polinomial]].

== Berurusan dengan ekspresi non-bentuk tertutup ==

=== Transformasi ke dalam ekspresi bentuk tertutup ===

Ekspresi:

:<math>f(x) = \sum_{i=0}^\infty {x \over 2^i}</math>

tidak dalam bentuk tertutup karena penjumlahan memerlukan jumlah operasi dasar yang tak terbatas. Namun, dengan menjumlahkan [[deret geometris]], ekspresi ini dapat diekspresikan dalam bentuk tertutup:

:<math>f(x) = 2x.</math>

=== Teori Diferensial Galois ===

Integral dari ekspresi bentuk tertutup mungkin atau tidak dengan sendirinya dapat diekspresikan sebagai ekspresi bentuk tertutup. Kajian ini disebut sebagai [[teori Galois diferensial]], dengan analogi dengan aljabar Galois.

Teorema dasar teori diferensial Galois adalah karena [[Joseph Liouville]] pada tahun 1830-an dan 1840-an dan karenanya disebut sebagai '''[[Teorema Liouville (aljabar diferensial)|Teorema Liouville]]'''.

Contoh standar fungsi dasar yang antiturunannya tidak memiliki ekspresi bentuk tertutup adalah:

:<math>e^{-x^2},</math>

yang antiturunannya adalah ([[hingga]] konstanta perkalian) [[fungsi kesalahan]]:

:<math>\operatorname{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^x e^{-t^2}\,dt.</math>

=== Pemodelan matematika dan simulasi komputer ===

Persamaan atau sistem yang terlalu kompleks untuk solusi bentuk tertutup atau analitik sering kali dapat dianalisis dengan [[model matematika]] ling dan [[simulasi komputer]].

== Nomor bentuk tertutup ==

Tiga subbidang dari bilangan kompleks '''C''' telah disarankan sebagai pengkodean gagasan tentang "bilangan bentuk tertutup"; dalam meningkatkan ketertiban umum, ini adalah bilangan Liouville (jangan disamakan dengan [[bilangan Liouville]] dalam pengertian pendekatan rasional), [[bilangan EL]] dan [[nomor dasar]]. '''Bilangan Liouville''', dilambangkan '''L''', membentuk subbidang '' [[aljabar tertutup]] '' terkecil dari '''C''' closed di bawah eksponensiasi dan logaritma (secara formal, perpotongan dari semua subkolom semacam itu) —yaitu, angka yang melibatkan eksponen dan logaritma '' eksplisit '', tetapi memungkinkan polinom eksplisit dan '' implisit '' (akar dari polinomial); ini didefinisikan dalam . '''L''' pada awalnya disebut sebagai '''bilangan elementer''', tetapi istilah ini sekarang digunakan secara lebih luas untuk merujuk pada bilangan yang didefinisikan secara eksplisit atau implisit dalam istilah [[operasi aljabar]], eksponensial, dan logaritma. Definisi yang lebih sempit diusulkan dalam .

== Numerikal numerik ==

Untuk keperluan komputasi numerik, bentuk tertutup umumnya tidak diperlukan, karena banyak batasan dan integral dapat dihitung secara efisien.

== Konversi dari bentuk numerik ==

Ada [[perangkat lunak]] yang mencoba menemukan ekspresi bentuk tertutup untuk nilai numerik, termasuk RIES, in [[Maple (software)|Maple]] and [[SymPy]], Plouffe's Inverter, and the [[Inverse Symbolic Calculator]].

== Lihat pula ==
* [[Solusi aljabar]]
* [[Operasi finiter]]
* [[Solusi numerik]]
* [[Simulasi komputer]]
* [[Regresi simbolis]]
* [[Istilah (logika)]]
* [[Fungsi Liouvillian]]
* [[Fungsi dasar]]

== Referensi ==

== Bacaan lebih lanjut ==
*
*
*

== Pranala luar ==
*

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Ekspresi+bentuk+tertutup&oldid=27724987 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27724987 (2025-08-24T06:18:59Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.