Ekstensi grup - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T04:00:31Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 04.00
Baris 3:		Baris 3:
	:<math>1\to N\;\overset{\iota}{\to}\;G\;\overset{\pi}{\to}\;Q \to 1.</math>		:<math>1\to N\;\overset{\iota}{\to}\;G\;\overset{\pi}{\to}\;Q \to 1.</math>

	Jika '' G '' adalah perpanjangan dari '' Q '' oleh '' N '', maka '' G '' adalah grup, <math>\iota(N)</math> adalah [[subgrup normal]] dari '' G '' dan [[grup hasil bagi]] <math>G/\iota(N)</math> adalah [[isomorfik]] ke grup '' Q ''. Ekstensi grup muncul dalam konteks '''masalah ekstensi''', di mana grup '' Q '' dan '' N '' diketahui dan properti dari '' G '' harus ditentukan. Perhatikan bahwa frasa "'' G '' merupakan perpanjangan dari '' N '' oleh '' Q ''" juga digunakan oleh beberapa orang.		Jika '' G '' adalah perpanjangan dari '' Q '' oleh '' N '', maka '' G '' adalah grup, <math>\iota(N)</math> adalah [[subgrup normal]] dari '' G '' dan [[grup hasil bagi]] <math>G/\iota(N)</math> adalah [[isomorfik]] ke grup '' Q ''. Ekstensi grup muncul dalam konteks '''masalah ekstensi''', di mana grup '' Q '' dan '' N '' diketahui dan properti dari '' G '' harus ditentukan. Perhatikan bahwa frasa "'' G '' merupakan perpanjangan dari '' N '' oleh '' Q ''" juga digunakan oleh beberapa orang.<ref>Remark 2.2.</ref>

	Karena [[grup hingga]] '' G '' memiliki maksimal [[subgrup normal]] '' N '' dengan grup faktor sederhana ''G''/''N'', semua grup hingga dapat dibangun sebagai serangkaian ekstensi dengan [[grup sederhana]] hingga. Fakta ini menjadi motivasi untuk menyelesaikan [[klasifikasi grup sederhana hingga]].		Karena [[grup hingga]] '' G '' memiliki maksimal [[subgrup normal]] '' N '' dengan grup faktor sederhana ''G''/''N'', semua grup hingga dapat dibangun sebagai serangkaian ekstensi dengan [[grup sederhana]] hingga. Fakta ini menjadi motivasi untuk menyelesaikan [[klasifikasi grup sederhana hingga]].
Baris 10:		Baris 10:

	== Ekstensi secara umum ==		== Ekstensi secara umum ==
			Satu ekstensi, [[produk langsung dari grup\|produk langsung]], langsung terlihat. Jika seseorang membutuhkan '' G '' dan '' Q '' menjadi [[grup abelian]], maka himpunan kelas [[isomorfisme]] dari ekstensi '' Q '' oleh grup (abelian) '' N '' sebenarnya adalah grup [[isomorfik]] pada
	Satu ekstensi, [[produk langsung dari grup\|produk langsung]], langsung terlihat. Jika seseorang membutuhkan '' G '' dan '' Q '' menjadi [[grup abelian]], maka himpunan kelas [[isomorfisme]] dari ekstensi '' Q '' oleh grup (abelian) '' N '' sebenarnya adalah grup [[isomorfik]] pada
	:<math>\operatorname{Ext}^1_{\mathbb Z}(Q,N);</math>		:<math>\operatorname{Ext}^1_{\mathbb Z}(Q,N);</math>

Baris 19:		Baris 18:

	=== Masalah ekstensi ===		=== Masalah ekstensi ===

	Pertanyaan tentang grup apa '' G '' yang merupakan perpanjangan dari '' H '' oleh '' N '' disebut '''masalah perluasan''', dan telah dipelajari secara mendalam sejak akhir abad kesembilan belas. Mengenai motivasinya, pertimbangkan bahwa [[rangkaian komposisi]] dari suatu grup terbatas adalah urutan subkelompok yang terbatas {''A''<sub>''i''</sub>}, di mana ''A''<sub>''i''+1</sub> merupakan perpanjangan dari ''A''<sub>''i''</sub> oleh beberapa [[grup sederhana]]. [[Klasifikasi grup sederhana hingga]] memberi kita daftar lengkap grup sederhana hingga; jadi solusi untuk masalah ekstensi akan memberi kita informasi yang cukup untuk membangun dan mengklasifikasikan semua grup hingga secara umum.		Pertanyaan tentang grup apa '' G '' yang merupakan perpanjangan dari '' H '' oleh '' N '' disebut '''masalah perluasan''', dan telah dipelajari secara mendalam sejak akhir abad kesembilan belas. Mengenai motivasinya, pertimbangkan bahwa [[rangkaian komposisi]] dari suatu grup terbatas adalah urutan subkelompok yang terbatas {''A''<sub>''i''</sub>}, di mana ''A''<sub>''i''+1</sub> merupakan perpanjangan dari ''A''<sub>''i''</sub> oleh beberapa [[grup sederhana]]. [[Klasifikasi grup sederhana hingga]] memberi kita daftar lengkap grup sederhana hingga; jadi solusi untuk masalah ekstensi akan memberi kita informasi yang cukup untuk membangun dan mengklasifikasikan semua grup hingga secara umum.

	=== Mengklasifikasikan ekstensi ===		=== Mengklasifikasikan ekstensi ===

	Memecahkan masalah ekstensi sama dengan mengklasifikasikan semua ekstensi '' H '' oleh '' K ''; atau lebih praktis, dengan mengekspresikan semua ekstensi tersebut dalam istilah objek matematika yang lebih mudah untuk dipahami dan dihitung. Secara umum, masalah ini sangat sulit, dan semua hasil yang paling berguna mengklasifikasikan ekstensi yang memenuhi beberapa kondisi tambahan.		Memecahkan masalah ekstensi sama dengan mengklasifikasikan semua ekstensi '' H '' oleh '' K ''; atau lebih praktis, dengan mengekspresikan semua ekstensi tersebut dalam istilah objek matematika yang lebih mudah untuk dipahami dan dihitung. Secara umum, masalah ini sangat sulit, dan semua hasil yang paling berguna mengklasifikasikan ekstensi yang memenuhi beberapa kondisi tambahan.

	Penting untuk mengetahui kapan dua ekstensi ekuivalen atau kongruen. Kami mengatakan bahwa ekstensi		Penting untuk mengetahui kapan dua ekstensi ekuivalen atau kongruen. Kami mengatakan bahwa ekstensi
	:<math>1 \to K\stackrel{i} G\stackrel{\pi} H\to 1</math>		:<math>1 \to K\stackrel{i} G\stackrel{\pi} H\to 1</math>
	dan		dan
	:<math>1\to K\stackrel{i'} G'\stackrel{\pi'} H\to 1</math>		:<math>1\to K\stackrel{i'} G'\stackrel{\pi'} H\to 1</math>
	adalah '''ekuivalen''' (atau kongruen) jika terdapat isomorfisme grup <math>T: G\to G'</math> membuat komutatif diagram Gambar 1.		adalah '''ekuivalen''' (atau kongruen) jika terdapat isomorfisme grup <math>T: G\to G'</math> membuat komutatif diagram Gambar 1.
	Sebenarnya sudah cukup untuk memiliki [[Kehomomorfan grup\|homomorfisme grup]]; karena asumsi komutatifitas diagram, peta <math> T </math> dipaksa menjadi isomorfisme oleh [[short five lemma]].		Sebenarnya sudah cukup untuk memiliki [[Kehomomorfan grup\|homomorfisme grup]]; karena asumsi komutatifitas diagram, peta <math> T </math> dipaksa menjadi isomorfisme oleh [[short five lemma]].


	==== Peringatan ====		==== Peringatan ====
			Mungkin saja ekstensi <math>1\to K\to G\to H\to 1</math> dan <math>1\to K\to G^\prime\to H\to 1</math> tidak sama tetapi '' G '' dan '' G ''' isomorfik sebagai grup. Misalnya, ada <math> 8 </math> ekstensi yang tidak sama dari [[Klein empat grup]] oleh <math>\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}</math>,<ref>page no. 830, Dummit, David S., Foote, Richard M., ''Abstract algebra'' (Third edition), John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, NJ (2004).</ref> tetapi ada, hingga grup isomorfisme, hanya empat grup order <math> 8 </math> yang berisi subgrup normal order <math> 2 </math> dengan grup hasil bagi isomorfik pada [[Klein empat gruo]].
	Mungkin saja ekstensi <math>1\to K\to G\to H\to 1</math> dan <math>1\to K\to G^\prime\to H\to 1</math> tidak sama tetapi '' G '' dan '' G ''' isomorfik sebagai grup. Misalnya, ada <math> 8 </math> ekstensi yang tidak sama dari [[Klein empat grup]] oleh <math>\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}</math>, tetapi ada, hingga grup isomorfisme, hanya empat grup order <math> 8 </math> yang berisi subgrup normal order <math> 2 </math> dengan grup hasil bagi isomorfik pada [[Klein empat gruo]].

	==== Ekstensi trivial ====		==== Ekstensi trivial ====
Baris 50:		Baris 45:

	==== Mengklasifikasikan ekstensi terpisah ====		==== Mengklasifikasikan ekstensi terpisah ====

	'''Perpecahan ekstensi''' adalah perpanjangan		'''Perpecahan ekstensi''' adalah perpanjangan

Baris 60:		Baris 54:

	==== Peringatan ====		==== Peringatan ====

	Secara umum dalam matematika, perpanjangan struktur '' K '' biasanya dianggap sebagai struktur '' L '' di mana '' K '' adalah substruktur. Lihat misalnya [[ekstensi bidang]]. Namun, dalam teori grup terminologi yang berlawanan telah merayap masuk, sebagian karena notasi <math>\operatorname{Ext}(Q,N)</math>, yang terbaca dengan mudah sebagai ekstensi dari '' Q '' oleh '' N '', dan fokusnya ada pada grup '' Q ''.		Secara umum dalam matematika, perpanjangan struktur '' K '' biasanya dianggap sebagai struktur '' L '' di mana '' K '' adalah substruktur. Lihat misalnya [[ekstensi bidang]]. Namun, dalam teori grup terminologi yang berlawanan telah merayap masuk, sebagian karena notasi <math>\operatorname{Ext}(Q,N)</math>, yang terbaca dengan mudah sebagai ekstensi dari '' Q '' oleh '' N '', dan fokusnya ada pada grup '' Q ''.

Baris 66:		Baris 59:

	== Perpanjangan pusat ==		== Perpanjangan pusat ==

	'''Ekstensi pusat''' dari grup '' G '' adalah [[urutan tepat]] singkat dari grup		'''Ekstensi pusat''' dari grup '' G '' adalah [[urutan tepat]] singkat dari grup
	:<math>1\to A\to E\to G\to 1</math>		:<math>1\to A\to E\to G\to 1</math>
Baris 82:		Baris 74:

	=== Generalisasi untuk ekstensi umum ===		=== Generalisasi untuk ekstensi umum ===

	Makalah tentang Ekstensi Grup dan ''<math>H^3</math>'' diberikan di bawah ini memberikan klasifikasi serupa dari semua ekstensi '' G '' oleh '' A '' dalam hal homomorfisme dari <math>G\to\operatorname{Out}(A)</math>, kondisi keberadaan yang membosankan tetapi dapat diperiksa secara eksplisit yang melibatkan dan grup cohomology .		Makalah tentang Ekstensi Grup dan ''<math>H^3</math>'' diberikan di bawah ini memberikan klasifikasi serupa dari semua ekstensi '' G '' oleh '' A '' dalam hal homomorfisme dari <math>G\to\operatorname{Out}(A)</math>, kondisi keberadaan yang membosankan tetapi dapat diperiksa secara eksplisit yang melibatkan dan grup cohomology .

	=== Grup Lie ===		=== Grup Lie ===

	Dalam teori [[grup lie]], ekstensi pusat muncul sehubungan dengan [[topologi aljabar]]. Secara kasar, perluasan pusat grup Lie oleh grup diskrit sama dengan [[grup penutup]]. Lebih tepatnya, [[ruang terhubung\|terhubung]] [[ruang tertutup]] dari grup Lie yang terhubung secara alami merupakan perluasan pusat dari , sedemikian rupa sehingga proyeksi		Dalam teori [[grup lie]], ekstensi pusat muncul sehubungan dengan [[topologi aljabar]]. Secara kasar, perluasan pusat grup Lie oleh grup diskrit sama dengan [[grup penutup]]. Lebih tepatnya, [[ruang terhubung\|terhubung]] [[ruang tertutup]] dari grup Lie yang terhubung secara alami merupakan perluasan pusat dari , sedemikian rupa sehingga proyeksi

Baris 102:		Baris 92:

	== Referensi ==		== Referensi ==
			<references />
	*
	* R.L. Taylor, Covering groups of non connected topological groups, ''Proceedings of the American Mathematical Society'', vol. 5 (1954), 753–768.
	* R. Brown and O. Mucuk, Covering groups of non-connected topological groups revisited, ''Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society'', vol. 115 (1994), 97–110.
	* R. Brown and T. Porter, On the Schreier theory of non-abelian extensions: generalisations and computations, ''Proceedings of the Royal Irish Academy'', vol. 96A (1996), 213–227.
	* G. Janelidze and G. M. Kelly, [http://www.tac.mta.ca/tac/volumes/7/n10/7-10abs.html Central extensions in Malt'sev varieties], ''Theory and Applications of Categories'', vol. 7 (2000), 219–226.
	* P. J. Morandi, [http://sierra.nmsu.edu/morandi/notes/GroupExtensions.pdf Group Extensions and ''H''<sup>3</~~sup~~>~~] . From his collection of short mathematical notes.~~



	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Ekstensi+grup&oldid=28428311 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28428311 (2025-11-12T11:09:19Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Ekstensi+grup&oldid=28428311 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28428311 (2025-11-12T11:09:19Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28428311; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T03:23:00Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28428311; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[matematika]], '''ekstensi grup''' adalah cara umum untuk mendeskripsikan [[grup (matematika)|grup]] dalam istilah [[subgrup normal]] dan [[grup hasil bagi]] tertentu. Jika '' Q '' dan '' N '' adalah dua grup, maka '' G '' adalah '''ekstensi''' dari '' Q '' oleh '' N '' jika ada [[barisan eksak pendek]].

:<math>1\to N\;\overset{\iota}{\to}\;G\;\overset{\pi}{\to}\;Q \to 1.</math>

Jika '' G '' adalah perpanjangan dari '' Q '' oleh '' N '', maka '' G '' adalah grup, <math>\iota(N)</math> adalah [[subgrup normal]] dari '' G '' dan [[grup hasil bagi]] <math>G/\iota(N)</math> adalah [[isomorfik]] ke grup '' Q ''. Ekstensi grup muncul dalam konteks '''masalah ekstensi''', di mana grup '' Q '' dan '' N '' diketahui dan properti dari '' G '' harus ditentukan. Perhatikan bahwa frasa "'' G '' merupakan perpanjangan dari '' N '' oleh '' Q ''" juga digunakan oleh beberapa orang.

Karena [[grup hingga]] '' G '' memiliki maksimal [[subgrup normal]] '' N '' dengan grup faktor sederhana ''G''/''N'', semua grup hingga dapat dibangun sebagai serangkaian ekstensi dengan [[grup sederhana]] hingga. Fakta ini menjadi motivasi untuk menyelesaikan [[klasifikasi grup sederhana hingga]].

Sebuah ekstensi disebut '''ekstensi pusat''' jika subgrup '' N '' terletak di [[pusat grup|pusat]] dari ''G''.

== Ekstensi secara umum ==

Satu ekstensi, [[produk langsung dari grup|produk langsung]], langsung terlihat. Jika seseorang membutuhkan '' G '' dan '' Q '' menjadi [[grup abelian]], maka himpunan kelas [[isomorfisme]] dari ekstensi '' Q '' oleh grup (abelian) '' N '' sebenarnya adalah grup [[isomorfik]] pada
:<math>\operatorname{Ext}^1_{\mathbb Z}(Q,N);</math>

cf. [[Ext funktor]]. Beberapa kelas ekstensi umum lainnya diketahui tetapi tidak ada teori yang memperlakukan semua ekstensi yang mungkin pada satu waktu. Perpanjangan grup biasanya digambarkan sebagai masalah yang sulit; itu disebut '''masalah ekstensi'''.

Untuk mempertimbangkan beberapa contoh, jika , lalu '' G '' adalah perpanjangan dari '' H '' dan '' K ''. Secara lebih umum, jika '' G '' adalah [[produk setengah langsung]] dari '' K '' dan '' H '', ditulis sebagai <math>G=K\rtimes H</math>, lalu '' G '' adalah perpanjangan dari '' H '' oleh '' K '', sehingga produk seperti [[produk karangan bunga]] memberikan contoh ekstensi lebih lanjut.

=== Masalah ekstensi ===

Pertanyaan tentang grup apa '' G '' yang merupakan perpanjangan dari '' H '' oleh '' N '' disebut '''masalah perluasan''', dan telah dipelajari secara mendalam sejak akhir abad kesembilan belas. Mengenai motivasinya, pertimbangkan bahwa [[rangkaian komposisi]] dari suatu grup terbatas adalah urutan subkelompok yang terbatas {''A''''i''}, di mana ''A''''i''+1 merupakan perpanjangan dari ''A''''i'' oleh beberapa [[grup sederhana]]. [[Klasifikasi grup sederhana hingga]] memberi kita daftar lengkap grup sederhana hingga; jadi solusi untuk masalah ekstensi akan memberi kita informasi yang cukup untuk membangun dan mengklasifikasikan semua grup hingga secara umum.

=== Mengklasifikasikan ekstensi ===

Memecahkan masalah ekstensi sama dengan mengklasifikasikan semua ekstensi '' H '' oleh '' K ''; atau lebih praktis, dengan mengekspresikan semua ekstensi tersebut dalam istilah objek matematika yang lebih mudah untuk dipahami dan dihitung. Secara umum, masalah ini sangat sulit, dan semua hasil yang paling berguna mengklasifikasikan ekstensi yang memenuhi beberapa kondisi tambahan.

Penting untuk mengetahui kapan dua ekstensi ekuivalen atau kongruen. Kami mengatakan bahwa ekstensi
:<math>1 \to K\stackrel{i} G\stackrel{\pi} H\to 1</math>
dan
:<math>1\to K\stackrel{i'} G'\stackrel{\pi'} H\to 1</math>
adalah '''ekuivalen''' (atau kongruen) jika terdapat isomorfisme grup <math>T: G\to G'</math> membuat komutatif diagram Gambar 1.
Sebenarnya sudah cukup untuk memiliki [[Kehomomorfan grup|homomorfisme grup]]; karena asumsi komutatifitas diagram, peta <math> T </math> dipaksa menjadi isomorfisme oleh [[short five lemma]].

==== Peringatan ====

Mungkin saja ekstensi <math>1\to K\to G\to H\to 1</math> dan <math>1\to K\to G^\prime\to H\to 1</math> tidak sama tetapi '' G '' dan '' G ''' isomorfik sebagai grup. Misalnya, ada <math> 8 </math> ekstensi yang tidak sama dari [[Klein empat grup]] oleh <math>\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}</math>, tetapi ada, hingga grup isomorfisme, hanya empat grup order <math> 8 </math> yang berisi subgrup normal order <math> 2 </math> dengan grup hasil bagi isomorfik pada [[Klein empat gruo]].

==== Ekstensi trivial ====
'''ekstensi trivial''' adalah sebuah ekstensi

:<math>1\to K\to G\to H\to 1</math>

yang setara dengan ekstensi

:<math>1\to K\to K\times H\to H\to 1</math>

di mana panah kiri dan kanan masing-masing merupakan penyertaan dan proyeksi dari masing-masing faktor <math>K\times H</math>.

==== Mengklasifikasikan ekstensi terpisah ====

'''Perpecahan ekstensi''' adalah perpanjangan

:<math>1\to K\to G\to H\to 1</math>

dengan [[homomorphism]] <math>s\colon H \to G</math> sedemikian rupa sehingga pergi dari '' H '' ke '' G '' oleh '' s '' dan kemudian kembali ke '' H '' dengan peta hasil bagi dari urutan yang tepat pendek menginduksi [[fungsi identitas|peta identitas]] pada '' H '' yaitu, <math>\pi \circ s=\mathrm{id}_H</math>. Dalam situasi ini, biasanya dikatakan bahwa '''membagi''' di atas [[urutan yang tepat]].

Perpecahan ekstensi sangat mudah untuk diklasifikasikan, karena ekstensi dipisahkan [[jika dan hanya jika]] grup '' G '' adalah [[produk semidirect]] dari '' K '' dan '' H ''. Produk semidirect sendiri mudah untuk diklasifikasikan, karena dalam korespondensi one-to-one dengan homomorfisme dari <math>H\to\operatorname{Aut}(K)</math>, di mana Aut(''K'') adalah grup [[automorphism]] dari '' K ''. Untuk diskusi lengkap tentang mengapa ini benar, lihat [[produk setengah langsung]].

==== Peringatan ====

Secara umum dalam matematika, perpanjangan struktur '' K '' biasanya dianggap sebagai struktur '' L '' di mana '' K '' adalah substruktur. Lihat misalnya [[ekstensi bidang]]. Namun, dalam teori grup terminologi yang berlawanan telah merayap masuk, sebagian karena notasi <math>\operatorname{Ext}(Q,N)</math>, yang terbaca dengan mudah sebagai ekstensi dari '' Q '' oleh '' N '', dan fokusnya ada pada grup '' Q ''.

Makalah Brown dan Porter (1996) tentang [[Otto Schreier|Schreier]] teori ekstensi nonabelian (dikutip di bawah) menggunakan terminologi bahwa perpanjangan dari '' K '' memberikan struktur yang lebih besar.

== Perpanjangan pusat ==

'''Ekstensi pusat''' dari grup '' G '' adalah [[urutan tepat]] singkat dari grup
:<math>1\to A\to E\to G\to 1</math>
sedemikian rupa sehingga '' A '' pada Z(''E''), yang [[pusat grup|pusat]] dari grup E. Himpunan kelas isomorfisme ekstensi pusat '' G '' oleh '' A '' (di mana '' G '' bertindak sepele pada '' A '') dalam korespondensi satu-ke-satu dengan grup [[Kohomologi grup|kohomologi]].

Contoh ekstensi pusat dapat dibuat dengan mengambil grup '' G '' dan [[grup abelian]] '' A '', dan menyetel '' E '' menjadi . Contoh '' membagi '' semacam ini sesuai dengan elemen '' 0 '' di di bawah korespondensi di atas. Contoh yang lebih serius ditemukan dalam teori [[representasi proyektif]], dalam kasus di mana representasi proyektif tidak dapat diangkat ke [[representasi linear]] biasa.

Dalam kasus kelompok sempurna hingga, terdapat [[perluasan pusat sempurna universal]].

Demikian pula, ekstensi pusat dari [[aljabar Lie]] <math>\mathfrak{g}</math> adalah urutan yang tepat
:<math>0\rightarrow \mathfrak{a}\rightarrow\mathfrak{e}\rightarrow\mathfrak{g}\rightarrow 0</math>
sehingga <math>\mathfrak{a}</math> berada di tengah <math>\mathfrak{e}</math>.

Ada teori umum tentang perluasan pusat dalam [[varietas Maltsev]], lihat makalah oleh Janelidze dan Kelly yang tercantum di bawah ini.

=== Generalisasi untuk ekstensi umum ===

Makalah tentang Ekstensi Grup dan ''<math>H^3</math>'' diberikan di bawah ini memberikan klasifikasi serupa dari semua ekstensi '' G '' oleh '' A '' dalam hal homomorfisme dari <math>G\to\operatorname{Out}(A)</math>, kondisi keberadaan yang membosankan tetapi dapat diperiksa secara eksplisit yang melibatkan dan grup cohomology .

=== Grup Lie ===

Dalam teori [[grup lie]], ekstensi pusat muncul sehubungan dengan [[topologi aljabar]]. Secara kasar, perluasan pusat grup Lie oleh grup diskrit sama dengan [[grup penutup]]. Lebih tepatnya, [[ruang terhubung|terhubung]] [[ruang tertutup]] dari grup Lie yang terhubung secara alami merupakan perluasan pusat dari , sedemikian rupa sehingga proyeksi

:<math>\pi\colon G^* \to G</math>

adalah homomorfisme kelompok, dan dugaan. (Struktur grup di tergantung pada pilihan pemetaan elemen identitas untuk identitas pada .) Misalnya, saat adalah [[sampul universal]] dari , kernel dari π adalah [[kelompok fundamental]] dari , yang dikenal jadilah abelian (lihat [[Ruang-H]]). Sebaliknya, diberi grup Lie dan subgrup pusat diskrit , hasil bagi adalah grup Lie dan adalah ruang penutupnya.

== Lihat pula ==
* [[ekstensi aljabar Lie]]
* [[Ekstensi gelanggang]]
* [[Aljabar Virasoro]]
* [[Ekstensi HNN]]
* [[Kontraksi grup]]
* [[Ekstensi grup topologi]]

== Referensi ==

*
* R.L. Taylor, Covering groups of non connected topological groups, ''Proceedings of the American Mathematical Society'', vol. 5 (1954), 753–768.
* R. Brown and O. Mucuk, Covering groups of non-connected topological groups revisited, ''Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society'', vol. 115 (1994), 97–110.
* R. Brown and T. Porter, On the Schreier theory of non-abelian extensions: generalisations and computations, ''Proceedings of the Royal Irish Academy'', vol. 96A (1996), 213–227.
* G. Janelidze and G. M. Kelly, [http://www.tac.mta.ca/tac/volumes/7/n10/7-10abs.html Central extensions in Malt'sev varieties], ''Theory and Applications of Categories'', vol. 7 (2000), 219–226.
* P. J. Morandi, [http://sierra.nmsu.edu/morandi/notes/GroupExtensions.pdf Group Extensions and ''H''3] . From his collection of short mathematical notes.

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Ekstensi+grup&oldid=28428311 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28428311 (2025-11-12T11:09:19Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.