Elemen invers - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T09:03:03Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 09.03
Baris 4:		Baris 4:

	== Definisi formal ==		== Definisi formal ==

	=== Dalam magma unital ===		=== Dalam magma unital ===
	Maka <math>S</math> menjadi [[Himpunan (matematika)\|himpunan]] [[Penutupan (matematika)\|tertutup]] di bawah [[operasi biner]] <math></math> (yaitu, [[Magma (aljabar)\|magma]]). Jika <math>e</math> adalah [[elemen identitas]] dari <math>(S,)</math> (yaitu, ''S'' adalah magma unital) dan <math>a*b=e</math>, lalu <math>a</math> disebut '''inversi kiri''' dari <math>b</math> dan <math>b</math> disebut '''invers kanan''' dari <math>a</math>. Jika sebuah elemen <math>x</math> merupakan invers kiri dan invers kanan <math>y</math>, maka <math>x</math> disebut '''dua sisi invers''', atau hanya sebuah '''invers''', dari <math>y</math>. Elemen dengan inversi dua sisi di <math>S</math> disebut '''invertibel''' pada <math>S</math>. Sebuah elemen dengan elemen invers hanya di satu sisi adalah '''invers kiri''' atau '''invers kanan'''. Magma unital di mana semua elemen dapat dibalik disebut [[putaran (matematika)\|putaran]]. Sebuah loop yang operasi binernya memenuhi [[hukum asosiatif]] adalah [[grup (matematika)\|grup]].		Maka <math>S</math> menjadi [[Himpunan (matematika)\|himpunan]] [[Penutupan (matematika)\|tertutup]] di bawah [[operasi biner]] <math></math> (yaitu, [[Magma (aljabar)\|magma]]). Jika <math>e</math> adalah [[elemen identitas]] dari <math>(S,)</math> (yaitu, ''S'' adalah magma unital) dan <math>a*b=e</math>, lalu <math>a</math> disebut '''inversi kiri''' dari <math>b</math> dan <math>b</math> disebut '''invers kanan''' dari <math>a</math>. Jika sebuah elemen <math>x</math> merupakan invers kiri dan invers kanan <math>y</math>, maka <math>x</math> disebut '''dua sisi invers''', atau hanya sebuah '''invers''', dari <math>y</math>. Elemen dengan inversi dua sisi di <math>S</math> disebut '''invertibel''' pada <math>S</math>. Sebuah elemen dengan elemen invers hanya di satu sisi adalah '''invers kiri''' atau '''invers kanan'''. Magma unital di mana semua elemen dapat dibalik disebut [[putaran (matematika)\|putaran]]. Sebuah loop yang operasi binernya memenuhi [[hukum asosiatif]] adalah [[grup (matematika)\|grup]].
Baris 13:		Baris 12:

	Sebuah elemen pembalik kiri adalah kiri, [[sifat pembatalan\|pembatalan]], dan analog untuk kanan dan dua sisi.		Sebuah elemen pembalik kiri adalah kiri, [[sifat pembatalan\|pembatalan]], dan analog untuk kanan dan dua sisi.


	=== Dering dan Semigelanggang ===		=== Dering dan Semigelanggang ===


	== Contoh ==		== Contoh ==
	Semua contoh di bagian ini melibatkan operator asosiatif, sehingga kita akan menggunakan istilah kiri / kanan invers untuk definisi berbasis magma unital, dan kuasi-invers untuk ver yang lebih umum.		Semua contoh di bagian ini melibatkan operator asosiatif, sehingga kita akan menggunakan istilah kiri / kanan invers untuk definisi berbasis magma unital, dan kuasi-invers untuk ver yang lebih umum.
Baris 35:		Baris 31:
	Lebih umum lagi, matriks persegi di atas [[gelanggang komutatif]] <math> R </math> dapat dibalik [[jika dan hanya jika]] determinannya dapat dibalik <math>R</math>.		Lebih umum lagi, matriks persegi di atas [[gelanggang komutatif]] <math> R </math> dapat dibalik [[jika dan hanya jika]] determinannya dapat dibalik <math>R</math>.

	Matriks non-kuadrat [[peringkat penuh]] memiliki beberapa invers satu sisi:		Matriks non-kuadrat [[peringkat penuh]] memiliki beberapa invers satu sisi:<ref>[http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Mathematics/18-06Spring-2005/VideoLectures/detail/lecture33.htm MIT Professor Gilbert Strang Linear Algebra Lecture #33 – Left and Right Inverses; Pseudoinverse].</ref>
	* Untuk <math>A:m\times n \mid m>n</math> kita telah meninggalkan invers, yaitu: <math>\underbrace{ \left(A^\text{T}A\right)^{-1}A^\text{T} }_{ A^{-1}_\text{kiri} } A = I_n</math>		* Untuk <math>A:m\times n \mid m>n</math> kita telah meninggalkan invers, yaitu: <math>\underbrace{ \left(A^\text{T}A\right)^{-1}A^\text{T} }_{ A^{-1}_\text{kiri} } A = I_n</math>
	* Untuk <math>A:m\times n \mid m<n</math> kita memiliki invers yang benar, misalnya: <math>A \underbrace{ A^\text{T}\left(AA^\text{T}\right)^{-1} }_{ A^{-1}_\text{kanan} } = I_m</math>		* Untuk <math>A:m\times n \mid m<n</math> kita memiliki invers yang benar, misalnya: <math>A \underbrace{ A^\text{T}\left(AA^\text{T}\right)^{-1} }_{ A^{-1}_\text{kanan} } = I_m</math>
Baris 63:		Baris 59:
	2 & 5\\		2 & 5\\
	3 & 6		3 & 6
	\end{bmatrix} =		\end{bmatrix} =
	\begin{bmatrix}		\begin{bmatrix}
	14 & 32\\		14 & 32\\
Baris 113:		Baris 109:

	yang merupakan [[matriks tunggal]], dan tidak dapat dibalik.		yang merupakan [[matriks tunggal]], dan tidak dapat dibalik.

	~~== Referensi ==~~


	== Daftar pustaka ==		== Daftar pustaka ==
Baris 124:		Baris 117:
	Nordahl, T.E., and H.E. Scheiblich, Regular Semigroups, [[Semigroup Forum]], 16(1978), 369–377.		Nordahl, T.E., and H.E. Scheiblich, Regular Semigroups, [[Semigroup Forum]], 16(1978), 369–377.

			== Referensi ==
			<references />

	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Elemen+invers&oldid=24985407 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 24985407 (2023-12-11T12:52:18Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Elemen+invers&oldid=24985407 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 24985407 (2023-12-11T12:52:18Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 24985407; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T08:34:12Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 24985407; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[aljabar abstrak]], gagasan tentang '''elemen invers''' atau '''unsur kebalikan''' adalah menggeneralisasi konsep [[invers aditif|negasi (invers tanda)]] (dalam kaitannya dengan [[penambahan]]) dan [[Invers perkalian|perkalian]]). Intuisi adalah elemen yang dapat 'membatalkan' efek kombinasi dengan elemen tertentu lainnya. Sementara definisi yang tepat dari elemen invers bervariasi tergantung pada [[struktur aljabar]] yang terlibat, definisi ini bertepatan dalam [[Grup (matematika)|grup]].

Kata 'inverse' berasal dari itu berarti 'terbalik'.

== Definisi formal ==

=== Dalam magma unital ===
Maka <math>S</math> menjadi [[Himpunan (matematika)|himpunan]] [[Penutupan (matematika)|tertutup]] di bawah [[operasi biner]] <math>*</math> (yaitu, [[Magma (aljabar)|magma]]). Jika <math>e</math> adalah [[elemen identitas]] dari <math>(S,*)</math> (yaitu, ''S'' adalah magma unital) dan <math>a*b=e</math>, lalu <math>a</math> disebut '''inversi kiri''' dari <math>b</math> dan <math>b</math> disebut '''invers kanan''' dari <math>a</math>. Jika sebuah elemen <math>x</math> merupakan invers kiri dan invers kanan <math>y</math>, maka <math>x</math> disebut '''dua sisi invers''', atau hanya sebuah '''invers''', dari <math>y</math>. Elemen dengan inversi dua sisi di <math>S</math> disebut '''invertibel''' pada <math>S</math>. Sebuah elemen dengan elemen invers hanya di satu sisi adalah '''invers kiri''' atau '''invers kanan'''. Magma unital di mana semua elemen dapat dibalik disebut [[putaran (matematika)|putaran]]. Sebuah loop yang operasi binernya memenuhi [[hukum asosiatif]] adalah [[grup (matematika)|grup]].

Seperti <math>(S,*)</math> dapat memiliki beberapa identitas kiri atau beberapa identitas kanan, hal ini dimungkinkan untuk elemen memiliki beberapa invers kiri atau beberapa invers kanan (tetapi perhatikan bahwa definisi mereka di atas menggunakan identitas ''dua sisi'' <math>e</math>). Ia bahkan dapat memiliki beberapa inversi kiri ''dan'' beberapa invers kanan.

Jika operasi <math> * </math> adalah [[asosiatif]] maka jika sebuah elemen memiliki invers kiri dan invers kanan, keduanya sama. Dengan kata lain, dalam [[monoid]] (magma unital asosiatif) setiap elemen memiliki paling banyak satu invers (seperti yang didefinisikan di bagian ini). Dalam monoid, himpunan elemen pembalik (kiri dan kanan) adalah [[grup (matematika)|grup]], yang disebut [[satuan grup]] dari <math> S </math>, dan dilambangkan dengan <math> U(S) </math> atau ''H''<sub>1</sub>.

Sebuah elemen pembalik kiri adalah kiri, [[sifat pembatalan|pembatalan]], dan analog untuk kanan dan dua sisi.

=== Dering dan Semigelanggang ===

== Contoh ==
Semua contoh di bagian ini melibatkan operator asosiatif, sehingga kita akan menggunakan istilah kiri / kanan invers untuk definisi berbasis magma unital, dan kuasi-invers untuk ver yang lebih umum.

=== Bilangan riil ===
Setiap [[bilangan riil]] <math>x</math> memiliki [[pembalikan aditif]] (yaitu, kebalikan terhadap [[penambahan]]) yang diberikan oleh <math>-x</math>. Setiap bilangan riil bukan nol <math> x </math> memiliki [[invers perkalian]] (yaitu, inversi terhadap [[perkalian]]) yang diberikan oleh <math>\frac 1{x}</math> (atau <math>x^{-1}</math>). Sebaliknya, [[0 (angka)|nol]] tidak memiliki pembalikan perkalian, tetapi memiliki kuasi-inversi yang unik, "<math> 0 </math>" itu sendiri.

=== Fungsi dan fungsi parsial ===
Sebuah fungsi <math> g </math> adalah kiri (resp. Kanan) [[fungsi invers|invers dari suatu fungsi]] <math>f</math> (untuk [[komposisi fungsi]]), jika dan hanya jika <math>g \circ f</math> (<math>f \circ g</math>) adalah [[fungsi identitas]] di [[domain fungsi|domain]] (resp. [[Kodomain]]) dari <math>f</math>. Kebalikan dari sebuah fungsi <math>f</math> sering kali ditulis <math>f^{-1}</math>, tetapi [[fungsi invers#Catatan tentang notasi|notasi ini terkadang ambigu]]. Hanya [[bijeksi]] yang memiliki invers dua sisi, tetapi fungsi ''apapun'' memiliki kuasi-inversi, yaitu [[transformasi penuh]]. Monoid dari [[fungsi parsial]] juga teratur, sedangkan [[semigroup invers simetris|monoid transformasi parsial injeksi]] adalah [[semigrup]] invers prototipe.

=== Koneksi Galois ===
Adjoin bawah dan atas dalam a (monoton) [[Galois connection]], '' L '' dan '' G '' adalah quasi-invers satu sama lain, yaitu '' LGL '' = '' L '' dan ' 'GLG' '=' 'G' 'dan satu yang unik lain. Namun mereka tidak berbanding terbalik satu sama lain.

=== Matriks ===
Sebuah [[matriks persegi]] <math> M </math> dengan entri dalam sebuah [[bidang (matematika)|bidang]] <math> K </math> dapat dibalik (dalam himpunan semua matriks persegi yang sama ukuran, di bawah [[perkalian matriks]]) jika dan hanya jika [[determinan]] -nya berbeda dari nol. Jika determinan dari <math> M </math> adalah nol, tidak mungkin untuk memiliki invers satu sisi; oleh karena itu invers kiri atau invers kanan menyiratkan keberadaan yang lain. Lihat [[matriks invers]] untuk informasi lebih lanjut.

Lebih umum lagi, matriks persegi di atas [[gelanggang komutatif]] <math> R </math> dapat dibalik [[jika dan hanya jika]] determinannya dapat dibalik <math>R</math>.

Matriks non-kuadrat [[peringkat penuh]] memiliki beberapa invers satu sisi:
* Untuk <math>A:m\times n \mid m>n</math> kita telah meninggalkan invers, yaitu: <math>\underbrace{ \left(A^\text{T}A\right)^{-1}A^\text{T} }_{ A^{-1}_\text{kiri} } A = I_n</math>
* Untuk <math>A:m\times n \mid m<n</math> kita memiliki invers yang benar, misalnya: <math>A \underbrace{ A^\text{T}\left(AA^\text{T}\right)^{-1} }_{ A^{-1}_\text{kanan} } = I_m</math>

Pembalikan kiri dapat digunakan untuk menentukan solusi norma terkecil dari <math>Ax = b</math>, yang juga merupakan rumus [[kuadrat terkecil]] untuk [[analisis regresi|regresi]] dan diberikan oleh <math>x = \left(A^\text{T}A\right)^{-1}A^\text{T}b.</math>

Tidak ada matriks [[kekurangan peringkat]] yang memiliki invers (bahkan satu sisi). Namun, [[invers Moore-Penrose]] ada untuk semua matriks, dan bertepatan dengan kiri atau kanan (atau benar) terbalik jika ada.

Sebagai contoh invers matriks, pertimbangkan:

: <math>A:2 \times 3 =
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{bmatrix}
</math>

Begitu pula ''m'' < ''n'', kami memiliki kebalikan yang benar, <math>A^{-1}_\text{kanan} = A^\text{T}\left(AA^\text{T}\right)^{-1}.</math> Dengan komponen itu dihitung sebagai

: <math>\begin{align}
AA^\text{T} &= \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{bmatrix}\cdot
\begin{bmatrix}
1 & 4\\
2 & 5\\
3 & 6
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
14 & 32\\
32 & 77
\end{bmatrix} \\[3pt]
\left(AA^\text{T}\right)^{-1} &= \begin{bmatrix}
14 & 32\\
32 & 77
\end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{54}
\begin{bmatrix}
77 & -32\\
-32 & 14
\end{bmatrix} \\[3pt]
A^\text{T}\left(AA^\text{T}\right)^{-1} &= \frac{1}{54}
\begin{bmatrix}
1 & 4\\
2 & 5\\
3 & 6
\end{bmatrix}\cdot
\begin{bmatrix}
77 & -32\\
-32 & 14
\end{bmatrix} = \frac{1}{18}
\begin{bmatrix}
-17 & 8\\
-2 & 2\\
13 & -4
\end{bmatrix} = A^{-1}_\text{right}
\end{align}</math>

Pembalikan kiri tidak ada, karena

: <math>
A^\text{T}A = \begin{bmatrix}
1 & 4\\
2 & 5\\
3 & 6
\end{bmatrix} \cdot
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
17 & 22 & 27 \\
22 & 29 & 36\\
27 & 36 & 45
\end{bmatrix}
</math>

yang merupakan [[matriks tunggal]], dan tidak dapat dibalik.

== Referensi ==

== Daftar pustaka ==
* M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev, ''Monoids, Acts and Categories with Applications to Wreath Products and Graphs'', De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, , p. 15 (def in unital magma) and p. 33 (def in semigroup)
* contains all of the semigroup material herein except *-regular semigroups.
* Drazin, M.P., ''Regular semigroups with involution'', Proc. Symp. on Regular Semigroups (DeKalb, 1979), 29–46
* Miyuki Yamada, ''P-systems in regular semigroups'', [[Semigroup Forum]], 24(1), December 1982, pp. 173–187
*Nordahl, T.E., and H.E. Scheiblich, Regular * Semigroups, [[Semigroup Forum]], 16(1978), 369–377.

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Elemen+invers&oldid=24985407 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 24985407 (2023-12-11T12:52:18Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.