Faktor persekutuan terbesar - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-24T22:59:41Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 24 Agustus 2026 22.59
Baris 1:		Baris 1:
			[[File:24x60.svg\|thumb\|right\|280px\|Lantai berukuran 24 kali 60, dapat dipotong menjadi persegi berukuran 12 kali 12. Secara umum, persegi panjang dengan ukuran a kali b dapat dibagi menjadi persegi-persegi dengan panjang sisi c jika c adalah faktor persekutuan dari a dan b]]

	Dalam [[matematika]], '''faktor persekutuan terbesar''' (FPB) dari dua [[bilangan bulat]] adalah bilangan bulat terbesar yang sama-sama [[Pembagi\|membagi habis]] kedua bilangan bulat tersebut. Sebagai contoh, faktor persekutuan terbesar 24 dan 60 adalah 12.		Dalam [[matematika]], '''faktor persekutuan terbesar''' (FPB) dari dua [[bilangan bulat]] adalah bilangan bulat terbesar yang sama-sama [[Pembagi\|membagi habis]] kedua bilangan bulat tersebut. Sebagai contoh, faktor persekutuan terbesar 24 dan 60 adalah 12.

Baris 8:		Baris 10:
	Suatu bilangan <math>c</math> disebut faktor persekutuan bilangan <math>a</math> dan <math>b</math> jika <math>c</math> habis membagi bilangan <math>a</math> dan <math>b</math> sekaligus.		Suatu bilangan <math>c</math> disebut faktor persekutuan bilangan <math>a</math> dan <math>b</math> jika <math>c</math> habis membagi bilangan <math>a</math> dan <math>b</math> sekaligus.

	Suatu bilangan <math>d</math> disebut faktor persekutuan terbesar bilangan jika:		Suatu bilangan <math>d</math> disebut faktor persekutuan terbesar bilangan jika:<ref>Sukirman. ''Teori Bilangan''. Universitas Terbuka. 2016. ISBN 978-602-392-047-1.</ref>

	* <math>d</math> faktor persekutuan bilangan <math>a</math> dan <math>b</math>; dan		* <math>d</math> faktor persekutuan bilangan <math>a</math> dan <math>b</math>; dan
	* jika <math>c</math> faktor persekutuan bilangan <math>a</math> dan <math>b</math> maka berlaku <math>c\leq d</math>		* jika <math>c</math> faktor persekutuan bilangan <math>a</math> dan <math>b</math> maka berlaku <math>c\leq d</math>

	bilangan <math>d</math> ditulis sebagai <math>FPB(a,b)</math> atau <math>(a,b)</math>.		bilangan <math>d</math> ditulis sebagai <math>FPB(a,b)</math><ref>''Kawan Tanding Olimpiade Matematika - A''. Tim KTO Matematika. 2023.</ref> atau <math>(a,b)</math>.<ref>Sukirman. ''Teori Bilangan''. Universitas Terbuka. 2016. ISBN 978-602-392-047-1.</ref>

	=== Peristilahan ===		=== Peristilahan ===
	Secara bahasa, kata "persekutuan" berarti hal bersama-sama dan kata "faktor" berarti 'pembagi'. Maka dari itu, sebagian penulis menggunakan istilah lain untuk FPB, seperti '''pembagi persekutuan terbesar,''' atau '''pembagi bersama terbesar''', dilambangkan dengan <math>\text{PBT}(a,b)</math>. Dalam penulisan matematika kadang dipakai juga notasi <math>\text{gcd}(a,b)</math>, berasal dari bahasa Inggris '''greatest common divisor'''.		Secara bahasa, kata "persekutuan" berarti hal bersama-sama dan kata "faktor" berarti 'pembagi'. Maka dari itu, sebagian penulis menggunakan istilah lain untuk FPB, seperti '''pembagi persekutuan terbesar,'''<ref>Achmad Arifin. ''Aljabar''. Penerbit ITB. 2000. ISBN 979-9299-13-6.</ref> atau '''pembagi bersama terbesar''',<ref>Wono Setya Budhi. ''Langkah Awal Menuju Olimpiade Matematika''. Ricardo. 2006. ISBN 979-98175-0-1.</ref> dilambangkan dengan <math>\text{PBT}(a,b)</math>. Dalam penulisan matematika kadang dipakai juga notasi <math>\text{gcd}(a,b)</math>, berasal dari bahasa Inggris '''greatest common divisor'''.<ref>Eka Susilowati. ''Teori Bilangan''. Matematika. 2017.</ref>

	== Contoh ==		== Contoh ==

	* Faktor dari <math>12</math> adalah <math>1, 2, 3, {\color{red}{4}}, 6, 12</math>		* Faktor dari <math>12</math> adalah <math>1, 2, 3, {\color{red}{4}}, 6, 12</math>
	* Faktor dari <math>20</math> adalah <math>1, 2, {\color{red}{4}}, 5, 10, 20</math>		* Faktor dari <math>20</math> adalah <math>1, 2, {\color{red}{4}}, 5, 10, 20</math>
Baris 26:		Baris 27:

	== Perhitungan FPB ==		== Perhitungan FPB ==

	=== Faktorisasi prima ===		=== Faktorisasi prima ===
	FPB dari beberapa bilangan dapat ditentukan dengan mencari [[faktorisasi prima]] bilangan-bilangan itu kemudian mengalikan faktor-faktor primanya yang sama dengan pangkat terkecil. Sebagai contoh, akan ditentukan FPB dari 24 dan 60. Dengan pohon faktor		FPB dari beberapa bilangan dapat ditentukan dengan mencari [[faktorisasi prima]] bilangan-bilangan itu kemudian mengalikan faktor-faktor primanya yang sama dengan pangkat terkecil. Sebagai contoh, akan ditentukan FPB dari 24 dan 60. Dengan pohon faktor


	diperoleh <math>60 = {\color{red}{2}}^2 \times {\color{red}{3}} \times 5</math> dan <math>24 = {\color{red}{2}}^3 \times {\color{red}{3}}</math>. Dengan mengambil faktor prima yang sama dengan pangkat maka, <math>\operatorname{FPB}(60,24) = 2^2 \times 3 = 12</math>.		diperoleh <math>60 = {\color{red}{2}}^2 \times {\color{red}{3}} \times 5</math> dan <math>24 = {\color{red}{2}}^3 \times {\color{red}{3}}</math>. Dengan mengambil faktor prima yang sama dengan pangkat maka, <math>\operatorname{FPB}(60,24) = 2^2 \times 3 = 12</math>.

	=== Algoritma Euklides ===		=== Algoritma Euklides ===

	Euclid menemukan sebuah algoritma untuk mencari FPB. Misalkan <math>a</math> dan '''<math>b</math>''' adalah 2 bilangan bulat yang tidak sama, maka FPB dua bilangan itu dapat dicari dengan algorirma sebagai berikut:<pre>		Euclid menemukan sebuah algoritma untuk mencari FPB. Misalkan <math>a</math> dan '''<math>b</math>''' adalah 2 bilangan bulat yang tidak sama, maka FPB dua bilangan itu dapat dicari dengan algorirma sebagai berikut:<pre>
	1. masukkan nilai a dan b;		1. masukkan nilai a dan b;
Baris 58:		Baris 56:

	== Koprima ==		== Koprima ==
			Dua buah bilangan dikatakan [[Koprima (bilangan)\|koprima]], atau [[relatif prima]], atau [[saling prima]] [[jika dan hanya jika]] faktor persekutuan terbesar dari kedua bilangan tersebut bernilai 1.<ref>Eric W. Weisstein. [https://mathworld.wolfram.com/GreatestCommonDivisor.html Greatest Common Divisor]. ''mathworld.wolfram.com''.</ref>
	Dua buah bilangan dikatakan [[Koprima (bilangan)\|koprima]], atau [[relatif prima]], atau [[saling prima]] [[jika dan hanya jika]] faktor persekutuan terbesar dari kedua bilangan tersebut bernilai 1.
	== Penerapan ==		== Penerapan ==
	=== Menyederhanakan pecahan ===		=== Menyederhanakan pecahan ===
	Salah satu penerapan terhadap faktor persekutuan terbesar adalah menyederhanakan pecahan. Sebagai contoh, pecahan <math>\frac{4}{8}</math> dapat disederhanakan dengan menggunakan faktor persekutuan terbesar. Faktor persekutuan terbesar dari <math>4</math> dan <math>8</math> adalah <math>\operatorname{FPB}(4,8) = 2</math>. Kita tuliskan sebagai		Salah satu penerapan terhadap faktor persekutuan terbesar adalah menyederhanakan pecahan.<ref>[https://www.mathsisfun.com/greatest-common-factor.html Greatest Common Factor]. ''www.mathsisfun.com''.</ref> Sebagai contoh, pecahan <math>\frac{4}{8}</math> dapat disederhanakan dengan menggunakan faktor persekutuan terbesar. Faktor persekutuan terbesar dari <math>4</math> dan <math>8</math> adalah <math>\operatorname{FPB}(4,8) = 2</math>. Kita tuliskan sebagai

	: <math>\frac{4}{8} = \frac{2 \times 2}{2 \times 4} = \frac{1}{2}</math>.		: <math>\frac{4}{8} = \frac{2 \times 2}{2 \times 4} = \frac{1}{2}</math>.

	=== Kelipatan persekutuan terkecil ===		=== Kelipatan persekutuan terkecil ===
			Selain digunakan untuk menyederhanakan sebuah pecahan, faktor persekutuan terbesar juga dapat diterapkan dalam kelipatan persekutuan terkecil, di mana hubungan keduanya berkaitan dengan rumus berikut.<blockquote><math>\operatorname{KPK}(a,b) = \frac{ab}{\operatorname{FPB}(a,b)}</math>.<ref>Eric W. Weisstein. [https://mathworld.wolfram.com/LeastCommonMultiple.html Least Common Multiple]. ''mathworld.wolfram.com''.</ref></blockquote>
	Selain digunakan untuk menyederhanakan sebuah pecahan, faktor persekutuan terbesar juga dapat diterapkan dalam kelipatan persekutuan terkecil, di mana hubungan keduanya berkaitan dengan rumus berikut.<blockquote><math>\operatorname{KPK}(a,b) = \frac{ab}{\operatorname{FPB}(a,b)}</math>.</blockquote>

	== Lihat pula ==		== Lihat pula ==
	* [[Kelipatan persekutuan terkecil]] (KPK)		* [[Kelipatan persekutuan terkecil]] (KPK)
	~~== Rujukan ==~~

			== Referensi ==
			<references />

			== Sumber dan atribusi ==

	== ~~Sumber~~ dan ~~atribusi ==~~		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Faktor+persekutuan+terbesar&oldid=27821384 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27821384 (2025-09-14T03:01:30Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

	~~Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Faktor+persekutuan+terbesar&oldid=27821384 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27821384 (2025~~-09-~~14T03:01:30Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi~~-~~BerbagiSerupa (CC BY~~-~~SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.~~		<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 27821384; atribusi sumber disertakan.

2026-08-24T22:25:01Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 27821384; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[matematika]], '''faktor persekutuan terbesar''' (FPB) dari dua [[bilangan bulat]] adalah bilangan bulat terbesar yang sama-sama [[Pembagi|membagi habis]] kedua bilangan bulat tersebut. Sebagai contoh, faktor persekutuan terbesar 24 dan 60 adalah 12.

Dua bilangan atau lebih disebut [[Koprima (bilangan)|saling prima]] jika FPB bilangan-bilangan tersebut sama dengan 1. Sebagai contoh, karena FPB bilangan 9 dan 28 sama dengan 1, maka bilangan 9 dan 28 adalah saling prima (walaupun masing-masingnya bukan [[bilangan prima]])

Faktor persekutuan terbesar (FPB) dan sekawannya, [[kelipatan persekutuan terkecil]] (KPK), menjadi pembahasan yang penting dalam [[aritmetika]] dan [[teori bilangan]].

== Definisi ==
Suatu bilangan <math>c</math> disebut faktor persekutuan bilangan <math>a</math> dan <math>b</math> jika <math>c</math> habis membagi bilangan <math>a</math> dan <math>b</math> sekaligus.

Suatu bilangan <math>d</math> disebut faktor persekutuan terbesar bilangan jika:

* <math>d</math> faktor persekutuan bilangan <math>a</math> dan <math>b</math>; dan
* jika <math>c</math> faktor persekutuan bilangan <math>a</math> dan <math>b</math> maka berlaku <math>c\leq d</math>

bilangan <math>d</math> ditulis sebagai <math>FPB(a,b)</math> atau <math>(a,b)</math>.

=== Peristilahan ===
Secara bahasa, kata "persekutuan" berarti hal bersama-sama dan kata "faktor" berarti 'pembagi'. Maka dari itu, sebagian penulis menggunakan istilah lain untuk FPB, seperti '''pembagi persekutuan terbesar,''' atau '''pembagi bersama terbesar''', dilambangkan dengan <math>\text{PBT}(a,b)</math>. Dalam penulisan matematika kadang dipakai juga notasi <math>\text{gcd}(a,b)</math>, berasal dari bahasa Inggris '''greatest common divisor'''.

== Contoh ==

* Faktor dari <math>12</math> adalah <math>1, 2, 3, {\color{red}{4}}, 6, 12</math>
* Faktor dari <math>20</math> adalah <math>1, 2, {\color{red}{4}}, 5, 10, 20</math>

Faktor persekutuan 12 dan 20 adalah 1, 2, 4. Karena 4 adalah bilangan terbesar di antara faktor persekutuan itu, maka disimpulkan <math>\operatorname{FPB}(12,20) = 4</math>.

== Perhitungan FPB ==

=== Faktorisasi prima ===
FPB dari beberapa bilangan dapat ditentukan dengan mencari [[faktorisasi prima]] bilangan-bilangan itu kemudian mengalikan faktor-faktor primanya yang sama dengan pangkat terkecil. Sebagai contoh, akan ditentukan FPB dari 24 dan 60. Dengan pohon faktor

diperoleh <math>60 = {\color{red}{2}}^2 \times {\color{red}{3}} \times 5</math> dan <math>24 = {\color{red}{2}}^3 \times {\color{red}{3}}</math>. Dengan mengambil faktor prima yang sama dengan pangkat maka, <math>\operatorname{FPB}(60,24) = 2^2 \times 3 = 12</math>.

=== Algoritma Euklides ===

Euclid menemukan sebuah algoritma untuk mencari FPB. Misalkan <math>a</math> dan '''<math>b</math>''' adalah 2 bilangan bulat yang tidak sama, maka FPB dua bilangan itu dapat dicari dengan algorirma sebagai berikut:<pre>
1. masukkan nilai a dan b;
2. misalkan u:=a dan v:=b;
3. selama u ≠ v, ulangi
u = maximum (u,v) - minimum (u,v)
v = minimum (u,v);
4. FPB(a,b)=u;
</pre>

== Sifat ==
Untuk sebarang bilangan bulat <math>a,b,c</math>, dengan <math>|a|</math> adalah [[Nilai absolut|nilai multak]] dari <math>a</math>, berlaku:

* [[Sifat komutatif]], yaitu <math>\operatorname{FPB}(a,b)=\operatorname{FPB}(b,a)</math>.
* [[Sifat asosiatif]], yaitu <math>\operatorname{FPB}(a,b,c)=\operatorname{FPB}(a,\operatorname{FPB}(b,c))=\operatorname{FPB}(\operatorname{FPB}(a,b),c)</math>.
* [[Sifat distributif]], yaitu <math>\operatorname{FPB}(ac,bc) = c \cdot \operatorname{FPB}(a,b)</math>
* Jika <math>c</math> faktor persekutuan <math>a</math> dan <math>b</math>, maka <math>c \mid \operatorname{FPB}(a,b)</math>, dan <math>\operatorname{FPB}\left(\frac{a}{c},\frac{b}{c}\right)=\frac{\operatorname{FPB}(a,b)}{c}</math>, sehingga jika <math>d=\operatorname{FPB}(a,b)</math> maka <math>\operatorname{FPB}\left(\frac{a}{d},\frac{b}{d}\right)=1</math>
* <math>\operatorname{FPB}(\pm a,\pm b)=\operatorname{FPB}(b,a)</math>
* <math>\operatorname{FPB}(a,b)=\operatorname{FPB}(a,b-a)=\operatorname{FPB}(a,b+a)=\operatorname{FPB}(a,b-ca)</math>
* <math>\operatorname{FPB}(a,0) = |a|</math>
* <math>\operatorname{FPB}(a,1) = 1</math>
* Untuk sebarang bilangan bulat positif <math>a,b</math>, <math>\operatorname{FPB}(a,b) = b</math> jika dan hanya jika '''<math>b</math>''' habis membagi <math>a</math>.

== Koprima ==

Dua buah bilangan dikatakan [[Koprima (bilangan)|koprima]], atau [[relatif prima]], atau [[saling prima]] [[jika dan hanya jika]] faktor persekutuan terbesar dari kedua bilangan tersebut bernilai 1.
== Penerapan ==
=== Menyederhanakan pecahan ===
Salah satu penerapan terhadap faktor persekutuan terbesar adalah menyederhanakan pecahan. Sebagai contoh, pecahan <math>\frac{4}{8}</math> dapat disederhanakan dengan menggunakan faktor persekutuan terbesar. Faktor persekutuan terbesar dari <math>4</math> dan <math>8</math> adalah <math>\operatorname{FPB}(4,8) = 2</math>. Kita tuliskan sebagai

: <math>\frac{4}{8} = \frac{2 \times 2}{2 \times 4} = \frac{1}{2}</math>.

=== Kelipatan persekutuan terkecil ===

Selain digunakan untuk menyederhanakan sebuah pecahan, faktor persekutuan terbesar juga dapat diterapkan dalam kelipatan persekutuan terkecil, di mana hubungan keduanya berkaitan dengan rumus berikut.<blockquote><math>\operatorname{KPK}(a,b) = \frac{ab}{\operatorname{FPB}(a,b)}</math>.</blockquote>

== Lihat pula ==
* [[Kelipatan persekutuan terkecil]] (KPK)
== Rujukan ==

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Faktor+persekutuan+terbesar&oldid=27821384 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27821384 (2025-09-14T03:01:30Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.