Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T14:02:32Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28365542; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T13:29:25Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28365542; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

'''Faktoradik''' adalah sebuah [[sistem bilangan]] yang setiap posisi [[angka]] memiliki basis sesuai dengan [[faktorial]] dari posisinya. Sistem bilangan ini memungkinkan untuk membangkitkan permutasi dalam urutan [[leksikografik]].

Faktoradik memiliki bentuk deretan bilangan
''a''n...''a''4''a''3''a''2''a''1''a''0, dengan setiap bilangan ''a''i bersifat:

:<math>a_i \in \mathbb{N}</math>

dan

:<math>0 \leq a_i \leq i</math>

== Nilai faktoradik ==
Nilai sebuah faktoradik ''a''n...''a''4''a''3''a''2''a''1''a''0 dapat dengan mudah didapat menggunakan formula:

:<math>\sum_{i=0}^n a_i.i! </math>

Sebagai contoh, bilangan 2,1,1,1,0

Posisi setiap bilangan, sama seperti pada sistem bilangan posisional lainnya, dinomori mulai dari 0 dari sebelah kanan.
:

Sehingga nilainya adalah sebesar:
2×4! + 1×3! + 1×2! + 1×1! + 0×0! = 57

Di bawah ini adalah daftar 24 faktoradik pertama beserta nilainya:
:

== Mendapatkan Faktoradik dari Sembarang Bilangan ==
Suatu faktoradik bisa diperoleh dari sembarang bilangan <math>n</math> dengan algoritma sebagai berikut:

# Cari <math>i !</math> terbesar di mana <math>i ! < n</math>
# Bagi <math>n</math> dengan <math>i !</math>, akan didapatkan hasil bagi <math>d</math> dan sisa bagi <math>m</math>.
# <math>d</math> adalah digit faktoradik ke-<math>i</math>, yaitu <math>a_i</math>
# Ulangi dari langkah kedua, dengan <math>m</math>(sisa bagi) menggantikan <math>n</math>, dan <math>i - 1</math> menggantikan <math>i</math>.
# Algoritma selesai jika <math>i</math> sudah mencapai 0.

Ketika berakhir, algoritma ini akan menghasilkan deretan faktoradik ''a''n...''a''4''a''3''a''2''a''1''a''0.

== Permutasi ==
=== Membentuk Permutasi berdasarkan Faktoradik ===
Pertama-tama kita harus membuat kesepakatan mengenai indeks. Indeks untuk untai dimulai dengan indeks 0 dari kiri.
:
Disediakan sebuah untai <math>s</math>, dan sebuah faktoradik <math>f</math>, maka algoritma untuk menghasilkan sebuah permutasi dari <math>s</math> adalah:
# Sediakan satu tempat, yaitu <math>s'</math> untuk menampung untai hasil permutasi
# Mulai dari digit <math>f</math> paling kiri (digit dengan indeks posisi paling besar):
#* Ambil huruf dari <math>s</math> di posisi <math>f_i</math>, pindahkan ke <math>s'</math>
# Ulangi hingga tidak ada lagi huruf pada untai <math>s</math>
Ketika algoritma ini selesai, <math>s'</math> akan merupakan permutasi dari <math>s</math> yang sesuai dengan <math>f</math>

Sebagai contoh, untuk menghasilkan permutasi dari '''abcdefg''', dengan indeks faktoradik 5341200 dengan algoritma tersebut, diberikan:

:<math>s = \mathbf{abcdefg}</math>
dan
:<math>f = (5, 3, 4, 1, 2, 0, 0)</math>

Disediakan <math>s' = \epsilon</math> (masih kosong).

:

Pertama, mulai dari <math>f_6</math>, yaitu 5. Kemudian pindahkan huruf ke-5 (indeks 5) pada untai <math>s</math> ke untai <math>s'</math>, yaitu huruf '''f'''. Kondisi <math>s</math> dan <math>s'</math> sekarang menjadi <math>s = \mathbf{abcdeg}</math> dan <math>s' = \mathbf{f}</math>

Dengan <math>s</math> sekarang menjadi:

:

Bilangan kedua dari <math>f</math>, yaitu <math>f_5</math> adalah 3, maka pindahkan huruf ke-3 pada untai <math>s</math> ke untai <math>s'</math>. Maka kondisinya menjadi <math>s = \mathbf{abceg}</math> dan <math>s' = \mathbf{fd}</math>

:

Dan seterusnya, yang jika dituliskan sekaligus adalah seperti ini:
:

== Kode-kode program ==
=== Kode program untuk membangkitkan faktoradik ===
==== Pascal ====

FMax:= CariFaktorialTerbesar(Bilangan);
Sisa:= Bilangan;
'''for''' i:= FMax '''downto''' 0 '''do'''
'''begin'''
f:= Faktorial(i);
A[i]:= Sisa '''div''' f;
Sisa:= Sisa '''mod''' f;
'''end''';

=== Kode untuk membangkitkan permutasi dari faktoradik ===
==== Pascal ====

'''function''' Permutasi(Untai: STRING; Faktoradik: '''array of''' INTEGER): STRING;
'''var'''
Hasil: STRING;
i, Indeks: INTEGER;
'''begin'''
Hasil:='';

'''for''' i:=Low(Faktoradik) '''to''' High(Faktoradik) '''do'''
'''begin'''
Indeks:=Faktoradik[i] + 1; // ''Indeks ditambah 1 karena indeks array berawal dari 0''
Hasil:=Hasil + Untai[ Indeks ];
Delete(Untai, Indeks, 1);
'''end''';

Permutasi:=Hasil;
'''end''';

== Lihat pula ==
* [[Kombinadik]]
* [[Permutasi]]
* [[Bilangan Inversi]]
* [[Sistem bilangan]]

== Pranala luar ==
[http://msdn2.microsoft.com/en-us/library/aa302371.aspx Using Permutations in .NET for Improved Systems Security]

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Faktoradik&oldid=28365542 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28365542 (2025-11-07T03:51:53Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Faktoradik - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28365542; atribusi sumber disertakan.