Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-24T22:57:36Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29463523; atribusi sumber disertakan.

2026-08-24T22:20:16Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29463523; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[matematika]], '''Faktorial''' dari [[bilangan bulat]] positif dari yang dilambangkan dengan , adalah [[Produk (matematika)|produk]] dari semua bilangan bulat positif yang kurang dari atau sama dengan :
:<math>n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times (n-3) \times \cdots \times 3 \times 2 \times 1 \,. </math>
Sebagai contoh,
:<math>5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \,. </math>

Nilai 0! adalah 1, menurut konvensi untuk [[produk kosong]].

Operasi faktorial digunakan sebagai bidang matematika, terutama di [[kombinatorik]], [[aljabar]], dan [[analisis matematika]]. Penggunaannya yang paling dasar menghitung kemungkinan [[urutan]] dan [[permutasi]] dari
yang berada di objek yang berbeda.

Faktorial pada [[Fungsi (matematika)|fungsi]] juga dapat berupa [[Faktorial#Faktorial nilai bukan bilangan bulat|nilai ke argumen non-bilangan bulat]] sambil mempertahankan properti terpentingnya dengan cara mendefinisikan , di mana adalah [[fungsi gamma]]; ini tidak ditentukan saat adalah bilangan bulat negatif.

== Sejarah ==

Faktorial digunakan untuk menghitung permutasi setidaknya sejak abad ke-12, oleh para sarjana [[Matematika India]]. Pada tahun 1677, [[Fabian Stedman]] mendeskripsikan faktorial yang diterapkan pada [[mengubah dering]], seni musik yang melibatkan dering dari banyak lonceng yang disetel. Setelah menggambarkan pendekatan rekursif, Stedman memberikan pernyataan faktorial (menggunakan bahasa aslinya):

[[Notasi matematika|notasi]] dari diperkenalkan oleh matematikawan asal [[Prancis]] bernama [[Christian Kramp]] pada tahun 1808.

== Pengertian ==

Fungsi faktorial didefinisikan sebagai:

:<math>n!=\prod_{k=1}^n k\qquad\mbox{untuk semua }n\ge1.</math>

Selain definisi tersebut, terdapat juga definisi secara rekursif, yang didefinisikan untuk <math>n \ge 0</math>
:<math>n! = \begin{cases} n \cdot (n-1)!, & \mbox{untuk } n \ge 1 \\ 1, & \mbox{untuk } n = 0. \end{cases}</math>

Untuk ''n'' yang sangat besar, akan terlalu melelahkan untuk menghitung ''n!'' menggunakan kedua definisi tersebut. Jika presisi tidak terlalu penting, pendekatan dari ''n!'' bisa dihitung menggunakan rumus [[Stirling]]:
:<math>n! \approx \sqrt{2\pi n}\, \frac{n^n}{e^n}.</math>

Juga terdapat definisi analitik untuk faktorial, yaitu menggunakan [[fungsi gamma]]:
:<math> \Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t}\,\mathrm{d}t </math>
:<math>n! = \Gamma(n+1)</math>

== Definisi ==
Fungsi faktorial ditentukan oleh produk, yaitu:

:<math>n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-2) \cdot (n-1) \cdot n,</math>

diatas merupakan bilangan bulat dari . Ini dapat ditulis dalam [[Perkalian#Notasi huruf besar pi|notasi perkalian pi]] sebagai:

:<math>n! = \prod_{i = 1}^n i.</math>

Hal tersebut mengarah menuju [[relasi pengulangan]]:

:<math> n! = n \cdot (n-1)! .</math>

Sebagai contoh,
: <math>\begin{align}
5! &= 5 \cdot 4! \\
6! &= 6 \cdot 5! \\
50! &= 50 \cdot 49!
\end{align}</math>
dan seterusnya.

=== Faktorial nol ===
Faktorial dari adalah , atau dalam simbol, .

Ada beberapa motivasi untuk definisi ini:
* Untuk nilai , definisi dari sebagai perkalian melibatkan hasil kali tanpa bilangan sama sekali, dan begitu juga contoh dari konvensi yang lebih luas bahwa produk dari tidak ada faktor yang sama dengan identitas perkalian (lihat [[Produk kosong]]).
* Hanya ada satu permutasi dari nol objek (tanpa ada yang diubah, satu-satunya penataan ulang adalah tidak melakukan apa-apa).
* Karena membuat banyak identitas di [[kombinatorik]] berlaku untuk semua ukuran yang berlaku. Banyaknya cara untuk memilih 0 elemen dari [[himpunan kosong]] diberikan oleh [[koefisien binomial]]
::<math>\binom{0}{0} = \frac{0!}{0!0!} = 1. </math>
: Secara lebih umum, jumlah cara untuk memilih semua elemen di antara himpunan adalah
::<math>\binom{n}{n} = \frac{n!}{n!0!} = 1. </math>
* Hal ini memungkinkan untuk ekspresi ringkas dari banyak rumus, seperti [[fungsi eksponensial]], sebagai deret pangkat:
:: <math> e^x = \sum_{n = 0}^\infty \frac{x^n}{n!}.</math>
* Hal ini dapat memperluas hubungan pengulangan ke 0.

== Aplikasi ==
Meskipun fungsi faktorial berakar pada [[kombinatorik]], rumus yang melibatkan faktorial terjadi di banyak bidang matematika.
* Terdapat nilai dengan cara yang berbeda untuk menyusun objek yang berbeda menjadi sebuah urutan, [[permutasi]] dari objek tersebut.
* Sering kali faktorial muncul di penyebut rumus untuk menjelaskan fakta bahwa pengurutan harus diabaikan. Contoh klasik menghitung nilai [[kombinasi]] ([[himpunan bagian]] dari elemen nilai ) dari himpunan dengan elemen . Seseorang bisa mendapatkan kombinasi seperti itu dengan memilih sebagai permutasi: secara berturut-turut memilih dan menghapus satu elemen himpunan, kali, dengan total
::<math>(n-0)(n-1)(n-2)\cdots\left(n-(k-1)\right) = \frac{n!}{(n-k)!} = n^{\underline k}</math>
:Namun, hal ini menghasilkan kombinasi dalam urutan tertentu yang ingin dinyalakan; karena setiap - kombinasi diperoleh dengan cara yang berbeda, jumlah yang benar dari kombinasi adalah
::<math>\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 1} = \frac{n^{\underline k}}{k!}= \frac{n!}{(n-k)!k!} = \binom {n}{k}.</math>
:Nomor ini diketahui sebagai [[koefisien binomial]], karena ia juga merupakan koefisien dari pada . Syarat <math>n^{\underline k}</math> sering disebut [[:en:Falling_and_rising_factorials|faktorial jatuh]] (dilafalkan "''n'' menjadi penurunan ''k''").
* Faktorial terjadi di [[aljabar]] karena berbagai alasan, seperti melalui koefisien yang telah disebutkan dari [[Binomial (polinomial)|rumus binomial]], atau melalui [[rata-rata]] lebih dari [[permutasi]] untuk [[simetri]] operasi tertentu.
* Faktorial juga muncul di [[kalkulus]]; misalnya, mereka muncul di penyebut suku-suku [[Deret Taylor|rumus Taylor]], di mana mereka digunakan sebagai persyaratan kompensasi karena [[turunan]] dari setara dengan .
* Faktorial juga digunakan secara ekstensif di [[teori probabilitas]] dan [[teori bilangan]] ([[Faktorial#Teori bilangan|lihat di bawah]]).
* Faktorial dapat berguna untuk memfasilitasi manipulasi ekspresi. Misalnya jumlah permutasi dari dapat ditulis sebagai
::<math>n^{\underline k}=\frac{n!}{(n-k)!}\,;</math>
:meskipun ini tidak efisien sebagai cara untuk menghitung bilangan itu, ini dapat berfungsi untuk membuktikan sifat simetri dari koefisien binomial:
::<math>\binom nk=\frac{n^{\underline k}}{k!}=\frac{n!}{(n-k)!k!} = \frac{n^{\underline{n-k}}}{(n-k)!} = \binom n{n-k}\,.</math>
* Fungsi faktorial dapat ditampilkan, menggunakan [[aturan pangkat]], sebagai
::<math>n! = D^n\,x^n = \frac{d^n}{dx^n}\,x^n</math>
:dimana adalah [[Notasi untuk diferensiasi#Notasi Euler.27s|Notasi Euler]] untuk [[turunan]] dari .

== Tingkat pertumbuhan dan perkiraan untuk yang besar '''' ==

Seiring bertambahnya , faktorial Meningkat lebih cepat daripada semua [[polinomial]] dan [[pertumbuhan eksponensial|fungsi eksponensial]] (tetapi lebih lambat dari <math>n^n</math> dan [[fungsi eksponensial ganda]]) masuk .

Sebagian besar perkiraan untuk ''n''! didasarkan pada perkiraan [[logaritma natural]]
:<math>\ln n! = \sum_{x=1}^n \ln x \,.</math>

Grafik fungsi ditunjukkan pada gambar di sebelah kanan. Ini terlihat kira-kira [[fungsi linear|linear]] untuk semua nilai wajar dari , tetapi intuisi ini salah. Kami mendapatkan salah satu perkiraan paling sederhana untuk dengan membatasi jumlah dengan [[integral]] dari atas dan bawah sebagai berikut:

:<math> \int_1^n \ln x \, dx \leq \sum_{x=1}^n \ln x \leq \int_0^n \ln (x+1) \, dx</math>

yang memberi kami perkiraan

:<math> n\ln\left(\frac{n}{e}\right)+1 \leq \ln n! \leq (n+1)\ln\left( \frac{n+1}{e} \right) + 1 \,.</math>

Karenanya (lihat [[Notasi Big O#Keluarga Bachmann–Notasi Landau|Notasi Big ]]). Hasil ini memainkan peran kunci dalam analisis [[teori kompleksitas komputasi|kompleksitas komputasi]] dari [[Algoritma penyortiran|algoritma pengurutan]] (lihat [[jenis perbandingan]]). Dari batas disimpulkan di atas kita mendapatkan

:<math>\left(\frac ne\right)^n e \leq n! \leq \left(\frac{n+1}e\right)^{n+1} e \,.</math>

Terkadang praktis untuk menggunakan perkiraan yang lebih lemah tetapi lebih sederhana. Menggunakan rumus di atas, dengan mudah ditunjukkan bahwa untuk semua kita punya , dan untuk semua kita punya .

Untuk besar kita mendapatkan perkiraan yang lebih baik untuk bilangan Menggunakan [[pendekatan Stirling]]:

:<math>n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\,.</math>

Ini sebenarnya berasal dari deret asimtotik untuk logaritma, dan faktorial terletak di antara pendekatan ini dan pendekatan berikutnya:

:<math>\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n<n!<\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^ne^{1/(12n)} \,.</math>

Perkiraan lain untuk Diberikan oleh [[Srinivasa Ramanujan]]

:<math>\begin{align}
\ln n! &\approx n\ln n - n + \frac {\ln\Bigl(n\bigl(1+4n(1+2n)\bigr)\Bigr)}{6} + \frac {\ln\pi}{2} \\[6px]
\Longrightarrow \; n!&\approx\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\left(1 +\frac 1{2n} +\frac 1{8n^2}\right)^{1/6} \,.
\end{align}</math>

Baik pendekatan ini maupun perkiraan Stirling memberikan kesalahan relatif pada urutan , tapi Ramanujan sekitar empat kali lebih akurat. Namun, jika kita menggunakan istilah koreksi ''dua'' dalam pendekatan tipe Stirling, seperti dengan pendekatan Ramanujan, kesalahan relatifnya akan teratur. :

:<math>n!\approx\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\exp\left({\frac 1{12n}-\frac 1{360n^3}}\right) \,.</math>

== Teori bilangan ==
Faktorial memiliki banyak penerapan dalam teori bilangan. Secara khusus, Harus habis dibagi semua [[bilangan prima]] hingga dan termasuk . Sebagai konsekuensi, adalah [[bilangan komposit]] [[jika dan hanya jika]]
:<math>(n-1)! \equiv 0 \pmod n.</math>

Hasil yang lebih kuat adalah [[Teorema Wilson]], yang menyatakan bahwa
:<math>(p-1)! \equiv -1 \pmod p</math>
if and only if is prime.

[[Rumus Legendre]] memberikan kelipatan bilangan prima yang terjadi dalam [[faktorisasi prima]] dari Sebagai
:<math>\sum_{i=1}^\infty \left \lfloor \frac n {p^i} \right \rfloor</math>
or, equivalently,
:<math>\frac{n - s_p(n)}{p - 1},</math>
di mana menunjukkan jumlah dari basis standar digit .

Menambahkan 1 ke faktorial Menghasilkan bilangan yang hanya habis dibagi oleh bilangan prima yang lebih besar dari . Fakta ini dapat digunakan untuk membuktikan [[Teorema Euklides]] bahwa bilangan prima tidak terbatas. Bentuk prima disebut [[prima faktorial]].

==Serangkaian timbal balik==
[[Pembalikan perkalian|kebalikan]] dari faktorial menghasilkan [[deret konvergen]] yang jumlahnya [[e (konstanta matematika)|basis eksponensial ]]:
:<math>\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} = \frac{1}{1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{120} + \cdots = e\,.</math>
Meskipun jumlah deret ini adalah [[bilangan irasional]], kita bisa mengalikan faktorial dengan bilangan bulat positif untuk menghasilkan deret konvergen dengan jumlah yang rasional:
:<math>\sum_{n=0}^\infty \frac 1 {(n+2)n!} = \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{8} + \frac{1}{30} + \frac{1}{144} + \cdots=1\,.</math>
Konvergensi deret ini ke 1 dapat dilihat dari fakta bahwa [[jumlah parsial]] adalah <math>\frac{k!-1}{k!}</math>.
Oleh karena itu, faktorial tidak membentuk [[urutan irasionalitas]].

== Lihat pula ==
*[[Faktorion]]
* [[Ledakan Kombinatorial]]
* [[Pendekatan Stirling]]
* [[Fungsi Gamma]]
* [[Notasi panah hiperfaktorial]]
* [[Faktoradik]]
* [[Permutasi]]
* [[Kombinasi]]

== Referensi ==

== Pranala luar ==
* [http://factorielle.free.fr/index_en.html "factorielle.free.fr"]
* [http://www.elektro-energetika.cz/new/calculations/faktorial.php?language=id Online kalkulator faktorial]

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Faktorial&oldid=29463523 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29463523 (2026-07-16T02:33:28Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Faktorial - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29463523; atribusi sumber disertakan.