Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T18:11:23Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28669713; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T17:53:20Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28669713; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[matematika]], '''Fungsi Lambert ''', juga disebut '''fungsi omega''' atau '''logaritma produk''', adalah [[multinilai fungsi]], yaitu [[Titik cabang|cabang]] dari [[hubungan terbalik]] fungsi , dengan adalah salah satu [[bilangan kompleks]] dan adalah [[fungsi eksponensial]].

Untuk setiap bilangan bulat ada satu cabang, dilambangkan dengan , yang merupakan fungsi bernilai kompleks dari satu argumen kompleks. dikenal sebagai [[cabang utama]]. Fungsi-fungsi ini memiliki properti berikut: jika dan adalah bilangan kompleks, maka
:<math>w e^{w} = z</math>

memegang jika dan hanya jika

:<math>w=W_k(z) \ \ \text{ untuk beberapa bilangan bulat } k.</math>

Saat berhadapan dengan [[Bilangan riil|bilangan real]] saja, kedua cabang tersebut dan cukup: untuk bilangan real dan persamaan
:<math>y e^{y} = x</math>
bisa diselesaikan untuk hanya jika ; kita mendapatkan jika dan dua nilai dan jika .

Relasi Lambert tidak bisa diekspresikan dalam istilah [[fungsi dasar]]. Ini berguna dalam [[kombinatorik]], misalnya, dalam pencacahan [[grafik pohon|pohon]]. Ini dapat digunakan untuk menyelesaikan berbagai persamaan yang melibatkan eksponensial (misalnya maksimum dari [[hukum Planck|Planck]], [[Distribusi Bose–Einstein|Bose–Einstein]], dan [[Distribusi Fermi-Dirac]]) dan juga terjadi dalam larutan [[penundaan diferensial]], seperti . Dalam [[biokimia]], dan khususnya [[kinetika enzim]], solusi bentuk terbuka untuk analisis kinetika waktu-kursus dari [[kinetika Michaelis–Menten]] dijelaskan dalam istilah fungsi Lambert .

:

== Istilah ==
Fungsi Lambert dinamai [[Johann Heinrich Lambert]]. Cabang utama dilambangkan dengan di [[Perpustakaan Digital Fungsi Matematika]], dan cabangnya dilambangkan dengan di sana.

Konvensi notasi yang dipilih di sini (dengan dan ) mengikuti referensi kanonis pada fungsi Lambert oleh Corless, Gonnet, Hare, Jeffrey dan [[Donald Knuth|Knuth]].

Nama "logaritma produk" dapat dipahami sebagai berikut: Karena [[fungsi invers]] dari disebut [[logaritma]], masuk akal untuk memanggil fungsi invers dari [[Produk (matematika)|produk]] sebagai "logaritma produk". Ini terkait dengan [[Konstanta Omega]], yang sama dengan .

== Sejarah ==

Lambert pertama kali mempertimbangkan ''Persamaan Transendental Lambert'' terkait pada 1758, yang mengarah ke artikel oleh [[Leonhard Euler]] pada tahun 1783 yang membahas kasus khusus .

Fungsi yang dianggap Lambert adalah
: <math>x = x^m + q.</math>

Euler mengubah persamaan ini menjadi bentuk
: <math>x^a - x^b = (a - b) c x^{a + b}.</math>

Kedua penulis mendapatkan solusi seri untuk persamaan mereka.

Setelah Euler menyelesaikan persamaan ini, dia mempertimbangkan kasusnya . Mengambil batasan dia menurunkan persamaan
: <math>\ln x = c x^a.</math>

Dia kemudian meletakkan dan memperoleh solusi deret konvergen untuk persamaan yang dihasilkan, mengekspresikan '' x '' dalam suku-suku '' c ''.

Setelah mengambil turunan sehubungan dengan dan beberapa manipulasi, diperoleh bentuk standar dari fungsi Lambert.

Pada tahun 1993, ketika dilaporkan bahwa fungsi Lambert memberikan solusi yang tepat untuk kuantum-mekanik [[Potensial delta#Potensi delta ganda|model fungsi delta sumur Dirac]] untuk muatan yang sama—masalah mendasar dalam fisika — Tanpa biji dan pengembang sistem aljabar komputer [[Perangkat lunak Maple|Maple]] melakukan pencarian perpustakaan dan menemukan bahwa fungsi ini ada di mana-mana.

Contoh lain di mana fungsi ini ditemukan adalah di [[kinetika Michael–Menten]].

Meskipun sudah menjadi pengetahuan cerita rakyat bahwa fungsi Lambert tidak dapat diekspresikan dalam istilah fungsi dasar (Liouvillian), bukti terbitan pertama tidak muncul hingga 2008.

== Sifat dasar, cabang dan jangkauan ==

Ada banyak sekali cabang dari fungsi , dilambangkan dengan , untuk bilangan bulat ; menjadi cabang utama (atau kepala sekolah). didefinisikan untuk semua bilangan kompleks '' z '' sementara dengan didefinisikan untuk semua bukan nol '' z ''. Kita punya dan untuk semua .

Titik cabang untuk cabang utama ada di , dengan potongan cabang yang meluas ke sepanjang sumbu negatif nyata. Potongan cabang ini memisahkan cabang utama dari dua cabang dan . Di semua cabang dengan , ada titik bercabang di dan sebuah cabang dipotong di sepanjang sumbu nyata negatif.

Fungsi semuanya [[Fungsi (matematika)#Fungsi injektif|injektif]] dan rentangnya terputus-putus. Rentang dari seluruh fungsi multinilai adalah bidang kompleks. Bayangan dari sumbu nyata adalah gabungan dari sumbu nyata dan [[kuadratrik dari Hippias]], kurva parametrik .

=== Invers ===

Plot rentang di atas juga menggambarkan daerah dalam bidang kompleks tempat hubungan inbers sederhana ' adalah benar. ''f''=''zez'' menyiratkan bahwa ada '' n '' seperti itu , di mana '' n '' akan bergantung pada nilai '' z ''. Nilai bilangan bulat '' n '' akan berubah secara tiba-tiba saat ''zez'' berada di potongan cabang yang berarti itu , kecuali untuk di mana tempatnya .

Menetapkan di mana '' x '' dan '' y ''. Mengekspresikan '' e z '' dalam koordinat polar, terlihat bahwa:

:<math>
\begin{align}
ze^z & = (x+i y)e^x(\cos(y)+i \sin(y)) \\
& = e^x (x \cos(y)-y \sin(y)) + i e^x (x \sin(y)+y \cos(y)) \\
\end{align}
</math>

Untuk <math>n \neq 0</math>, cabang dipotong untuk akan menjadi sumbu nyata non-positif sehingga:
:<math>x \sin(y)+y \cos(y)=0 \Rightarrow x=-y/\tan(y) </math>
dan
:<math>(x \cos(y)-y \sin(y))e^x \leq 0</math>
Untuk <math>n = 0</math>, cabang dipotong untuk akan menjadi sumbu nyata dengan <math>-\infty < z \leq -1/e</math> sehingga ketimpangan menjadi:
:<math>(x \cos(y)-y \sin(y))e^x \leq -1/e</math>

Di dalam wilayah yang dibatasi oleh hal di atas, tidak akan ada perubahan yang terputus-putus dan wilayah tersebut akan menentukan di mana fungsi '' W '' dapat dibalik: yaitu .

== Kalkulus ==

=== Turunan ===
Dengan [[diferensiasi implisit]], seseorang dapat menunjukkan bahwa semua cabang dari memenuhi [[persamaan diferensial biasa|persamaan diferensial]]

:<math>z(1 + W) \frac{dW}{dz} = W \quad \text{untuk } z \neq -\frac{1}{e}.</math>

( bukan [[Fungsi yang dapat dibedakan|dapat dibedakan]] untuk .) Akibatnya, kami mendapatkan rumus berikut untuk turunan dari ''W'':

:<math>\frac{dW}{dz} = \frac{W(z)}{z(1 + W(z))} \quad \text{untuk } z \not\in \left\{0, -\frac{1}{e}\right\}.</math>

Menggunakan identitas , kami mendapatkan rumus setara berikut:
:<math>\frac{dW}{dz} = \frac{1}{z + e^{W(z)}} \quad \text{untuk } z \neq -\frac{1}{e}.</math>

Di asalnya kita punya
:<math>W'_0(0)=1.</math>

=== Antiturunan ===
Fungsi , dan banyak ekspresi yang melibatkan , bisa [[integral|terintegrasi]] menggunakan [[aturan substitusi|substitusi]] , yaitu :

:<math> \begin{align}
\int W(x)\,dx &= x W(x) - x + e^{W(x)} + C\\
& = x \left( W(x) - 1 + \frac{1}{W(x)} \right) + C.
\end{align}</math>
(Persamaan terakhir lebih umum dalam literatur tetapi tidak berlaku pada ). Salah satu konsekuensi dari ini (menggunakan fakta bahwa ) adalah identitas
:<math>\int_{0}^{e} W_0(x)\,dx = e - 1.</math>

== Ekspansi asimtotik ==
[[Deret Taylor]] dari sekitar 0 dapat ditemukan menggunakan [[Teorema inversi Lagrange]] dan diberikan oleh

:<math>W_0(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-n)^{n-1}}{n!}x^n =x-x^2+\tfrac{3}{2}x^3-\tfrac{8}{3}x^4+\tfrac{125}{24}x^5-\cdots.</math>

[[Radius konvergensi]] adalah , seperti yang dapat dilihat oleh [[uji rasio]]. Fungsi yang ditentukan oleh deret ini dapat diperluas menjadi [[fungsi holomorfik]] yang ditentukan pada semua bilangan kompleks dengan [[potongan cabang]] sepanjang [[interval (matematika)|interval]] ; fungsi holomorfik ini mendefinisikan [[cabang utama]] dari fungsi Lambert .

Untuk nilai besar dari , asimtotik dengan
:<math>\begin{align}
W_0(x) &= L_1 - L_2 + \frac{L_2}{L_1} + \frac{L_2\left(-2 + L_2\right)}{2L_1^2} + \frac{L_2\left(6 - 9L_2 + 2L_2^2\right)}{6L_1^3} + \frac{L_2\left(-12 + 36L_2 - 22L_2^2 + 3L_2^3\right)}{12L_1^4} + \cdots \\[5pt]
&= L_1 - L_2 + \sum_{l=0}^\infty \sum_{m=1}^\infty \frac{(-1)^l \left[ \begin{smallmatrix} l + m \\ l + 1 \end{smallmatrix} \right]}{m!} L_1^{-l-m} L_2^m,
\end{align}</math>
di mana , , dan adalah sebuah [[Bilangan Stirling dari jenis pertama]] non-negatif. Mempertahankan hanya dua istilah pertama dari ekspansi,
:<math>W_0(x) = \ln x - \ln \ln x + o(1).</math>

Cabang real lainnya, , didefinisikan dalam interval ,memiliki pendekatan dalam bentuk yang sama ketika ''x'' mendekati nol, dengan dalam kasus ini dan .

Itu menunjukkan yang dipegang oleh batas berikut (batas atas hanya untuk ''x'' ≥ ''e''):
:<math>\ln x -\ln \ln x + \frac{\ln \ln x}{2\ln x} \le W_0(x) \le \ln x - \ln\ln x + \frac{e}{e - 1} \frac{\ln \ln x}{\ln x}.</math>

Pada tahun 2013, itu sudah dibuktikan bahwa cabang bisa dibatasi sebagai berikut:
:<math>-1 - \sqrt{2u} - u < W_{-1}\left(-e^{-u-1}\right) < -1 - \sqrt{2u} - \tfrac{2}{3}u \quad \text{for } u > 0.</math>

=== Bilangan bulat pangkat dan kompleks ===
[[Bilangan bulat]] pangkat dari juga mengakui ekspansi deret [[Deret Taylor|Taylor]] (atau [[Deret Laurent|Laurent]]) sederhana:

:<math>
W_0(x)^2 = \sum_{n=2}^\infty \frac{-2\left(-n\right)^{n-3}}{(n - 2)!} x^n = x^2 - 2x^3 + 4x^4 - \tfrac{25}{3}x^5 + 18x^6 - \cdots.
</math>

Secara lebih umum, untuk , [[Deret pangkat formal#Rumus inversi Lagrange|Rumus inversi Lagrange]] diberikan

:<math>
W_0(x)^r = \sum_{n=r}^\infty \frac{-r\left(-n\right)^{n - r - 1}}{(n - r)!} x^n,
</math>
yang, secara umum, merupakan rangkaian urutan Laurent . Dengan kata lain, yang terakhir dapat ditulis dalam bentuk perluasan kekuatan Taylor :

:<math>
\left(\frac{W_0(x)}{x}\right)^r = e^{-r W_0(x)} = \sum_{n=0}^\infty \frac{r\left(n + r\right)^{n - 1}}{n!} \left(-x\right)^n,
</math>
yang berlaku untuk semua <math>r \in \Complex</math> dan <math>\left|x\right|< \frac{1}{e}</math>.

== Identitas ==

Beberapa identitas mengikuti dari definisi tersebut:
:<math>\begin{align}
W_0(x e^x) &= x & \text{for } x &\geq -1,\\
W_{-1}(x e^x) &= x & \text{for } x &\leq -1.
\end{align}</math>
Perhatikan itu, karena tidak [[injeksi]], tidak selalu begitu , mirip dengan [[fungsi trigonometri terbalik]]. Untuk diperbaiki dan , persamaan memiliki dua solusi di , salah satunya tentu saja . Kemudian, untuk dan , serta untuk dan , adalah solusi lainnya.

Beberapa identitas lainnya:
:<math>
\begin{align}
& W(x) \cdot e^{W(x)} = x, \quad\text{karena itu:}\\[5pt]
& e^{W(x)} = \frac{x}{W(x)}, \qquad e^{-W(x)} = \frac{W(x)}{x}, \qquad e^{n W(x)} = \left(\frac{x}{W(x)}\right)^n.
\end{align}
</math>

:<math>\ln W_0(x) = \ln x - W_0(x) \quad \text{untuk } x > 0.</math>

: <math>W_0\left(x \ln x\right) = \ln x \quad\text{dan}\quad e^{W_0\left(x \ln x\right)} = x \quad \text{untuk } x \geq \frac1e . </math>
: <math>W_{-1}\left(x \ln x\right) = \ln x \quad\text{dan}\quad e^{W_{-1}\left(x \ln x\right)} = x \quad \text{untuk } x \leq \frac1e . </math>

:<math>
\begin{align}
& W(x) = \ln \frac{x}{W(x)} &&\text{untuk } x \geq -\frac1e, \\[5pt]
& W\left( \frac{nx^n}{W\left(x\right)^{n-1}} \right) = n W(x) &&\text{untuk } n, x > 0
\end{align}
</math>

::(yang dapat diperpanjang ke dan lainnya jika cabang yang benar dipilih).

:<math>W(x) + W(y) = W\left(x y \left(\frac{1}{W(x)} + \frac{1}{W(y)}\right)\right) \quad \text{untuk } x, y > 0.</math>

Mengganti dalam definisi:
:<math>\begin{align}
W_0\left(-\frac{\ln x}{x}\right) &= -\ln x &\text{for } 0 &< x \leq e,\\[5pt]
W_{-1}\left(-\frac{\ln x}{x}\right) &= -\ln x &\text{for } x &> e.
\end{align}</math>

Dengan eksponensial [[iterasi]] Euler :
:<math>\begin{align}h(x) & = e^{-W(-\ln x)}\\
& = \frac{W(-\ln x)}{-\ln x} \quad \text{untuk } x \neq 1.
\end{align}</math>

== Nilai khusus ==
Untuk sembarang [[bilangan aljabar]] bukan nol , adalah [[Bilangan Transenden|bilangan transendental]]. Memang, jika adalah nol, maka harus nol juga, dan jika bukan nol dan aljabar, lalu menurut [[teorema Lindemann–Weierstrass]], harus transendental, menyiratkan itu juga harus transendental.

Berikut ini adalah nilai khusus dari cabang utama:

:<math>W\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{i\pi}{2}.</math>

:<math>W\left(-\frac{1}{e}\right) = -1.</math>

:<math>W\left(-\frac{\ln a}{a}\right)= -\ln a \quad \left(\frac{1}{e}\le a\le e\right).</math>

:<math>W\left(2 \ln 2 \right) = \ln 2.</math>

:<math>W(0) = 0.</math>

:<math>W(1) = \Omega = \left(\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dt}{\left(e^t-t\right)^2 + \pi^2}\right)^{-1} - 1\approx 0.56714329\ldots</math> ([[konstanta Omega]]).

:<math>W(1) = e^{-W(1)} = \ln\left(\frac{1}{W(1)}\right) = -\ln W(1).</math>

:<math>W(e) = 1.</math>

:<math>W\left(e^{1+e}\right) = e.</math>

:<math>W(-1) \approx -0.31813+1.33723i.</math>

== Representasi ==

Cabang utama dari fungsi Lambert dapat diwakili oleh integral yang tepat, karena Poisson:
:<math>-\frac{\pi}{2}W(-x)=\int_0^\pi\frac{\sin\left(\tfrac32 t\right)-xe^{\cos t}\sin\left(\tfrac52 t-\sin t\right)}{1-2xe^{\cos t}\cos(t-\sin t)+x^2e^{2\cos t}}\sin\left(\tfrac12 t\right)\,dt \quad \text{untuk } |x| < \frac1{e}.
</math>

Di domain yang lebih luas , representasi yang jauh lebih sederhana ditemukan oleh Mező:
:<math>
W(x) = \frac{1}{\pi} \operatorname{Re} \int_0^\pi \ln\left(\frac{e^{e^{it}} - xe^{-it}}{e^{e^{it}} - xe^{it}}\right) \,dt.
</math>

Representasi [[pecahan berlanjut]] berikut juga berlaku untuk cabang utama:
:<math>
W(x) = \cfrac{x}{1+\cfrac{x}{1+\cfrac{x}{2+\cfrac{5x}{3+\cfrac{17x}{10+\cfrac{133x}{17+\cfrac{1927x}{190+\cfrac{13582711x}{94423+\ddots}}}}}}}}.
</math>
Juga, jika <math>\left|W(z) \right|<1</math>:
:<math>
W(x) = \cfrac{x}{\exp \cfrac{x}{\exp \cfrac{x}{\ddots}}}.
</math>
Gantinya, jika <math>\left| W(z) \right| > e </math>, maka
:<math>
W(x) = \ln \cfrac{x}{\ln \cfrac{x}{\ln \cfrac{x}{\ddots}}}.
</math>

== Plot ==

== Lihat pula ==
* [[Fungsi Wright Omega]]
* [[Persamaan trinomial]] Lambert
* [[Teorema inversi lagrange#Fungsi Lambert W|Teorema inversi Lagrange]]
* [[Matematika eksperimental]]
* [[Metode Holstein–Herring]]
* [[R=T model| model]]
* [[Ross π lemma|Ross' lemma]]

== Catatan ==

== Referensi ==
*
*
* (Lambert function is used to solve delay-differential dynamics in human disease.)
*
*
*
* [https://arxiv.org/abs/1003.1628 Veberic, D., "Having Fun with Lambert ''W''(''x'') Function" arXiv:1003.1628 (2010)] ;
*

== Pranala luar ==

* [http://dlmf.nist.gov/4.13 National Institute of Science and Technology Digital Library – Lambert ]
* [http://mathworld.wolfram.com/LambertW-Function.html MathWorld – Lambert -Function]
* [https://web.archive.org/web/20060824060948/http://www.whim.org/nebula/math/lambertw.html Computing the Lambert function]
* [http://www.apmaths.uwo.ca/~rcorless/frames/PAPERS/LambertW/ Corless et al. Notes about Lambert research]
* GPL [https://github.com/DarkoVeberic/LambertW C++ implementation] with Halley's and Fritsch's iteration.
* [https://www.gnu.org/software/gsl/manual/html_node/Special-Functions.html Special Functions] of the [https://www.gnu.org/software/gsl/ GNU Scientific Library] – GSL

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Fungsi+Lambert+W&oldid=28669713 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28669713 (2025-12-06T16:23:39Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Fungsi Lambert W - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28669713; atribusi sumber disertakan.