Fungsi Lipschitz - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-24T23:00:18Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 24 Agustus 2026 23.00
Baris 1:		Baris 1:
	~~Dalam~~ [[~~analisis matematika]], '''fungsi Lipschitz''' adalah fungsi yang memenuhi sifat '''kekontinuan Lipschitz''';~~ sebuah ~~bentuk tegas sifat [[kekontinuan seragam]] untuk~~ fungsi~~. Fungsi dan sifat kekontinuan ini dinamai dengan nama matematikawan Jerman [[Rudolf~~ Lipschitz~~]]. Secara intuitif~~, ~~[[fungsi kontinu]] Lipschitz memiliki batasan seberapa cepat nilainya dapat berubah:~~ ada ~~sebuah [[bilangan real]] sehingga untuk setiap garis~~ yang ~~dibentuk dari sembarang dua titik di [[~~grafik fungsi]], ~~[[nilai mutlak]] dari besar kemiringan garis tersebut tidak~~ akan ~~melebihi bilangan real~~ tersebut~~. Sebagai contoh, setiap fungsi yang [[turunan~~]] ~~pertamanya terbatas termasuk fungsi kontinu Lipschitz. Bilangan real terkecil yang memenuhi sifat kekontinuan Lipschitz disebut dengan ''konstanta Lipschitz'' dari fungsi.~~		[[File:Lipschitz_Visualisierung.gif\|thumb\|right\|280px\|Untuk sebuah fungsi kontinu Lipschitz, akan ada suatu kerucut ganda (berwarna putih) yang pusatnya dapat bergerak sepanjang grafik fungsi, dan seluruh grafik fungsi akan selalu berada diluar kerucut ganda tersebut]]

	Dalam teori [[persamaan diferensial]], kekontinuan Lipschitz adalah kondisi penting pada teorema [[Picard–Lindelöf]] yang menyatakan keberadaan dan keunikan solusi [[masalah nilai awal]]. Bentuk khusus dari kekontinuan Lipschitz, yang disebut [[Pemetaan kontraksi\|kontraksi]], digunakan dalam [[Teorema titik tetap Banach\|teorema titik-tetap Banach]].		Dalam [[analisis matematika]], '''fungsi Lipschitz''' adalah fungsi yang memenuhi sifat '''kekontinuan Lipschitz'''; sebuah bentuk tegas sifat [[kekontinuan seragam]] untuk fungsi. Fungsi dan sifat kekontinuan ini dinamai dengan nama matematikawan Jerman [[Rudolf Lipschitz]]. Secara intuitif, [[fungsi kontinu]] Lipschitz memiliki batasan seberapa cepat nilainya dapat berubah: ada sebuah [[bilangan real]] sehingga untuk setiap garis yang dibentuk dari sembarang dua titik di [[grafik fungsi]], [[nilai mutlak]] dari besar kemiringan garis tersebut tidak akan melebihi bilangan real tersebut. Sebagai contoh, setiap fungsi yang [[turunan]] pertamanya terbatas termasuk fungsi kontinu Lipschitz.<ref>H. H. Sohrab. [https://www.google.com/books/edition/_/gBPI_oYZoMMC?hl=en&gbpv=1&pg=PA142 Basic Real Analysis]. Birkhäuser. 2003. Vol. 231. hlm. 142. ISBN 0-8176-4211-0.</ref> Bilangan real terkecil yang memenuhi sifat kekontinuan Lipschitz disebut dengan ''konstanta Lipschitz'' dari fungsi.

			Dalam teori [[persamaan diferensial]], kekontinuan Lipschitz adalah kondisi penting pada teorema [[Picard–Lindelöf]] yang menyatakan keberadaan dan keunikan solusi [[masalah nilai awal]]. Bentuk khusus dari kekontinuan Lipschitz, yang disebut [[Pemetaan kontraksi\|kontraksi]], digunakan dalam [[Teorema titik tetap Banach\|teorema titik-tetap Banach]].<ref>Brian S. Thomson. [https://www.google.com/books/edition/Elementary_Real_Analysis/6l_E9OTFaK0C?hl=en&gbpv=1&pg=PA623 Elementary Real Analysis]. Prentice-Hall. 2001. hlm. 623.</ref>

	Berikut adalah rantai [[subset]] untuk fungsi atas interval tertutup dan terbatas (dan tidak trivial) pada garis bilangan:		Berikut adalah rantai [[subset]] untuk fungsi atas interval tertutup dan terbatas (dan tidak trivial) pada garis bilangan:
Baris 14:		Baris 16:
	Untuk dua [[ruang metrik]] <math>(X,\,d_X)</math> dan <math>(Y,\,d_Y)</math>, dengan <math>d_X</math> menyatakan [[Metrik (matematika)\|metrik]] pada himpunan <math>X</math> dan <math>d_Y</math> menyatakan metrik pada himpunan <math>Y</math>, sebuah fungsi <math>f:X\to Y</math> dikatakan kontinu Lipschitz jika ada konstanta real <math>K\geq 0</math> sedemikian sehingga, untuk semua <math>x_1</math> dan <math>x_2</math> di <math>X</math> akan berlaku		Untuk dua [[ruang metrik]] <math>(X,\,d_X)</math> dan <math>(Y,\,d_Y)</math>, dengan <math>d_X</math> menyatakan [[Metrik (matematika)\|metrik]] pada himpunan <math>X</math> dan <math>d_Y</math> menyatakan metrik pada himpunan <math>Y</math>, sebuah fungsi <math>f:X\to Y</math> dikatakan kontinu Lipschitz jika ada konstanta real <math>K\geq 0</math> sedemikian sehingga, untuk semua <math>x_1</math> dan <math>x_2</math> di <math>X</math> akan berlaku

	: <math> d_Y(f(x_1), f(x_2)) \le K d_X(x_1, x_2).</math>		: <math> d_Y(f(x_1), f(x_2)) \le K d_X(x_1, x_2).</math><ref>Mícheál Ó Searcóid. [https://www.google.com/books/edition/_/aP37I4QWFRcC?hl=en&gbpv=1&pg=PA154 Metric Spaces]. Springer-Verlag. 2006. ISBN 978-1-84628-369-7.</ref>

	Setiap <math>K</math> yang memenuhi pernyataan di atas disebut sebagai ''konstanta Lipschitz'' untuk fungsi <math>f</math>, walau terkadang istilah ini merujuk pada nilai <math>K</math> yang terkecil. Fungsi <math>f</math> terkadang juga disebut fungsi '''Lipschitz-<math>K</math>'''. Secara khusus, sebuah fungsi bernilai real <math>f:\R\to\R</math> disebut kontinu Lipschitz jika ada bilangan real positif <math>K</math> sehingga untuk setiap real <math>x_1</math> dan <math>x_2</math>, berlaku		Setiap <math>K</math> yang memenuhi pernyataan di atas disebut sebagai ''konstanta Lipschitz'' untuk fungsi <math>f</math>, walau terkadang istilah ini merujuk pada nilai <math>K</math> yang terkecil. Fungsi <math>f</math> terkadang juga disebut fungsi '''Lipschitz-<math>K</math>'''. Secara khusus, sebuah fungsi bernilai real <math>f:\R\to\R</math> disebut kontinu Lipschitz jika ada bilangan real positif <math>K</math> sehingga untuk setiap real <math>x_1</math> dan <math>x_2</math>, berlaku
Baris 43:		Baris 45:

	== Referensi ==		== Referensi ==
			<references />

			== Sumber dan atribusi ==

			Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Fungsi+Lipschitz&oldid=26718409 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 26718409 (2025-01-01T01:16:06Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

	~~== Sumber dan atribusi ==~~		<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

	~~Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Fungsi+Lipschitz&oldid=26718409 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 26718409 (2025~~-01-~~01T01:16:06Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi~~-~~BerbagiSerupa (CC BY~~-~~SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.~~

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 26718409; atribusi sumber disertakan.

2026-08-24T22:26:09Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 26718409; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[analisis matematika]], '''fungsi Lipschitz''' adalah fungsi yang memenuhi sifat '''kekontinuan Lipschitz'''; sebuah bentuk tegas sifat [[kekontinuan seragam]] untuk fungsi. Fungsi dan sifat kekontinuan ini dinamai dengan nama matematikawan Jerman [[Rudolf Lipschitz]]. Secara intuitif, [[fungsi kontinu]] Lipschitz memiliki batasan seberapa cepat nilainya dapat berubah: ada sebuah [[bilangan real]] sehingga untuk setiap garis yang dibentuk dari sembarang dua titik di [[grafik fungsi]], [[nilai mutlak]] dari besar kemiringan garis tersebut tidak akan melebihi bilangan real tersebut. Sebagai contoh, setiap fungsi yang [[turunan]] pertamanya terbatas termasuk fungsi kontinu Lipschitz. Bilangan real terkecil yang memenuhi sifat kekontinuan Lipschitz disebut dengan ''konstanta Lipschitz'' dari fungsi.

Dalam teori [[persamaan diferensial]], kekontinuan Lipschitz adalah kondisi penting pada teorema [[Picard–Lindelöf]] yang menyatakan keberadaan dan keunikan solusi [[masalah nilai awal]]. Bentuk khusus dari kekontinuan Lipschitz, yang disebut [[Pemetaan kontraksi|kontraksi]], digunakan dalam [[Teorema titik tetap Banach|teorema titik-tetap Banach]].

Berikut adalah rantai [[subset]] untuk fungsi atas interval tertutup dan terbatas (dan tidak trivial) pada garis bilangan:

: [[Fungsi terdiferensialkan|'''Terdiferensialkan seragam''']] ⊂ '''kontinu''' '''Lipschitz''' ⊂ [[Kondisi Hölder|'''kontinu Hölder''']]'''-''α'''''

dengan 0 < ''α'' ≤ 1. Selain itu, juga terdapat hubungan

: '''Kontinu Lipschitz''' ⊂ '''[[kontinu absolut]]'''.

== Definisi ==
Untuk dua [[ruang metrik]] <math>(X,\,d_X)</math> dan <math>(Y,\,d_Y)</math>, dengan <math>d_X</math> menyatakan [[Metrik (matematika)|metrik]] pada himpunan <math>X</math> dan <math>d_Y</math> menyatakan metrik pada himpunan <math>Y</math>, sebuah fungsi <math>f:X\to Y</math> dikatakan kontinu Lipschitz jika ada konstanta real <math>K\geq 0</math> sedemikian sehingga, untuk semua <math>x_1</math> dan <math>x_2</math> di <math>X</math> akan berlaku

: <math> d_Y(f(x_1), f(x_2)) \le K d_X(x_1, x_2).</math>

Setiap <math>K</math> yang memenuhi pernyataan di atas disebut sebagai ''konstanta Lipschitz'' untuk fungsi <math>f</math>, walau terkadang istilah ini merujuk pada nilai <math>K</math> yang terkecil. Fungsi <math>f</math> terkadang juga disebut fungsi '''Lipschitz-<math>K</math>'''. Secara khusus, sebuah fungsi bernilai real <math>f:\R\to\R</math> disebut kontinu Lipschitz jika ada bilangan real positif <math>K</math> sehingga untuk setiap real <math>x_1</math> dan <math>x_2</math>, berlaku

: <math> |f(x_1) - f(x_2)| \le K |x_1 - x_2|.</math>

Dalam kasus ini <math>Y</math> adalah himpunan [[bilangan real]] <math>\R</math> dengan metrik standar <math>d_Y(y_1, y_2) =|y_1-y_2|</math>, dan <math>X</math> adalah subset dari <math>\R</math>.

Secara umum, [[pertidaksamaan]] (secara trivial) terpenuhi ketika <math>x_1 = x_2</math>. Selain kasus itu, fungsi kontinu Lipschitz dapat didefinisikan dengan keberadaan konstanta <math>K\geq 0</math> sehingga untuk semua <math>x_1 \neq x_2</math>,

: <math>\frac{d_Y(f(x_1),f(x_2))}{d_X(x_1,x_2)}\le K.</math>

Untuk fungsi multivariabel bernilai real, definisi terpenuhi [[jika dan hanya jika]] semua nilai mutlak kemiringan [[garis sekan]] pada fungsi terbatas oleh <math>K</math>. Himpunan semua garis sekan pada fungsi dapat digunakan untuk membentuk kerucut ganda (lihat gambar), dan sebuah fungsi dikatakn Lipschitz jika dan hanya jika keseluruhan fungsi terletak di luar kerucut ganda ini.

Sebuah fungsi dikatakan ''kontinu Lipschitz [secara] lokal'' jika untuk setiap <math>x\in X</math> ada sebuah [[Persekitaran (matematika)|lingkungan]] <math>U</math> dari <math>x</math> sehingga <math>f</math> kontinu Lipschitz di <math>U</math>.

Secara lebih umum, sebuah fungsi <math>f</math> yang terdefinisi pada <math>X</math> dikatakan ''kontinu Hölder'' atau memenuhi ''[[kondisi Hölder]]'' pangkat (orde) <math>\alpha >0</math> pada <math>X</math>, jika ada sebuah konstanta <math>M\geq0</math> sedemikian sehingga

: <math>d_Y(f(x), f(y)) \leq M d_X(x, y)^{\alpha}</math>

untuk semua <math>x</math> dan <math>y</math> di <math>X</math>. Terkadang kondisi Hölder pangkat α juga disebut sebagai ''kondisi Lipschitz seragam pangkat'' <math>\alpha >0</math>.

Jika terdapat <math>K\geq 1</math> dengan

: <math>\frac{1}{K}d_X(x_1,x_2) \le d_Y(f(x_1), f(x_2)) \le K d_X(x_1, x_2)</math>

maka <math>f</math> dikatakan ''bilipschitz'' atau ''bi-Lipschitz''. Pemetaan bilipschitz bersifat [[Fungsi injektif|injektif]], dan faktanya sebuah [[homeomorfisme]] ke citranya. Sebuah fungsi bilipschitz sama dengan fungsi Lipschitz injektif yang [[Fungsi invers|fungsi inversnya]] juga merupakan fungsi Lipschitz.

== Referensi ==

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Fungsi+Lipschitz&oldid=26718409 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 26718409 (2025-01-01T01:16:06Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.