Fungsi aljabar - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-24T23:10:15Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 24 Agustus 2026 23.10
Baris 65:		Baris 65:
	Dari perspektif aljabar, bilangan kompleks masuk secara alami ke dalam studi fungsi aljabar. Pertama-tama, menurut [[teorema fundamental aljabar]], bilangan kompleks adalah [[bidang tertutup aljabar]]. Karenanya setiap hubungan polinomial ''p''(''y'', ''x'') = 0 dijamin memiliki setidaknya satu solusi (dan secara umum sejumlah solusi tidak melebihi derajat '' p '' dalam '' y '') untuk '' y '' di setiap titik '' x '', asalkan kita mengizinkan '' y '' untuk mengasumsikan kompleks serta nilai [[bilangan real\|nyata]]. Dengan demikian, masalah yang berkaitan dengan [[domain suatu fungsi\|domain]] dari suatu fungsi aljabar dapat diminimalkan dengan aman.		Dari perspektif aljabar, bilangan kompleks masuk secara alami ke dalam studi fungsi aljabar. Pertama-tama, menurut [[teorema fundamental aljabar]], bilangan kompleks adalah [[bidang tertutup aljabar]]. Karenanya setiap hubungan polinomial ''p''(''y'', ''x'') = 0 dijamin memiliki setidaknya satu solusi (dan secara umum sejumlah solusi tidak melebihi derajat '' p '' dalam '' y '') untuk '' y '' di setiap titik '' x '', asalkan kita mengizinkan '' y '' untuk mengasumsikan kompleks serta nilai [[bilangan real\|nyata]]. Dengan demikian, masalah yang berkaitan dengan [[domain suatu fungsi\|domain]] dari suatu fungsi aljabar dapat diminimalkan dengan aman.

			[[Gambar:y^3-xy+1=0.png\|thumb\|Grafik tiga cabang fungsi aljabar '' y '', di mana ''y''<sup>3</sup> − ''xy'' + 1 = 0, di atas domain 3/2<sup>2/3</sup> < ''x'' < 50.]]
	Lebih jauh, bahkan jika seseorang pada akhirnya tertarik pada fungsi aljabar yang sebenarnya, mungkin tidak ada cara untuk menyatakan fungsi tersebut dalam istilah penjumlahan, perkalian, pembagian dan pengambilan akar '' n '' tanpa menggunakan bilangan kompleks (lihat [[casus irreducibilis]]). Misalnya, perhatikan fungsi aljabar yang ditentukan oleh persamaan		Lebih jauh, bahkan jika seseorang pada akhirnya tertarik pada fungsi aljabar yang sebenarnya, mungkin tidak ada cara untuk menyatakan fungsi tersebut dalam istilah penjumlahan, perkalian, pembagian dan pengambilan akar '' n '' tanpa menggunakan bilangan kompleks (lihat [[casus irreducibilis]]). Misalnya, perhatikan fungsi aljabar yang ditentukan oleh persamaan

Baris 94:		Baris 94:

	== Sejarah ==		== Sejarah ==

	Gagasan seputar fungsi aljabar kembali setidaknya sejauh [[René Descartes]]. Diskusi pertama tentang fungsi aljabar tampaknya terjadi di [[Edward Waring]] tahun 1794 '' An Essay on the Principles of Human Knowledge '' di mana dia menulis:		Gagasan seputar fungsi aljabar kembali setidaknya sejauh [[René Descartes]]. Diskusi pertama tentang fungsi aljabar tampaknya terjadi di [[Edward Waring]] tahun 1794 '' An Essay on the Principles of Human Knowledge '' di mana dia menulis:
	:jik kuantitas yang menunjukkan ordinat, menjadi fungsi aljabar dari absis '' x '', dengan metode umum pembagian dan ekstraksi akar, menguranginya menjadi deret tak berhingga menaik atau menurun menurut dimensi '' x '', kemudian mencari integral dari masing-masing yang dihasilkan.		:jik kuantitas yang menunjukkan ordinat, menjadi fungsi aljabar dari absis '' x '', dengan metode umum pembagian dan ekstraksi akar, menguranginya menjadi deret tak berhingga menaik atau menurun menurut dimensi '' x '', kemudian mencari integral dari masing-masing yang dihasilkan.
Baris 111:		Baris 110:
	* [[Fungsi khusus]]		* [[Fungsi khusus]]
	* [[Fungsi transendental]]		* [[Fungsi transendental]]

	~~== Referensi ==~~
	*
	*

	== Pranala luar ==		== Pranala luar ==
			*[https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Algebraic_function Definition of "Algebraic function" in the Encyclopedia of Math]
	*[https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Algebraic_function Definition of "Algebraic function" in the Encyclopedia of Math]
	*		*
	*		*
	*[http://www.daviddarling.info/encyclopedia/A/algebraic_function.html Definition of "Algebraic function"] in [[David J. Darling]]'s Internet Encyclopedia of Science		*[http://www.daviddarling.info/encyclopedia/A/algebraic_function.html Definition of "Algebraic function"] in [[David J. Darling]]'s Internet Encyclopedia of Science



	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Fungsi+aljabar&oldid=28378320 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28378320 (2025-11-08T00:24:41Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Fungsi+aljabar&oldid=28378320 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28378320 (2025-11-08T00:24:41Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28378320; atribusi sumber disertakan.

2026-08-24T22:47:25Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28378320; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[matematika]], '''fungsi aljabar''' adalah [[Fungsi (matematika)|fungsi]] yang bisa didefinisikan sebagai akar dari sebuah [[persamaan aljabar]]. Fungsi aljabar merupakan [[ekspresi aljabar]] menggunakan sejumlah suku terbatas, yang melibatkan [[operasi aljabar]] seperti penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan peningkatan menjadi pangkat pecahan. Contoh dari fungsi tersebut adalah:
* <math>f(x) = 1/x</math>
* <math>f(x) = \sqrt{x}</math>
* <math>f(x) = \frac{\sqrt{1 + x^3}}{x^{3/7} - \sqrt{7} x^{1/3}}</math>

Beberapa fungsi aljabar, tidak dapat diekspresikan oleh ekspresi berhingga ([[Teorema Abel–Ruffin]])). Misalnya, fungsi [[fungsi implisit|secara implisit]] yang dapat didefinisikan oleh:

: <math>f(x)^5+f(x)+x = 0</math>.

Dalam istilah yang lebih tepat, fungsi aljabar derajat dalam satu variabel adalah sebuah fungsi <math>y = f(x),</math> yaitu [[Fungsi kontinu|kontinu]] dalam [[domain fungsi|domain]] dan memenuhi [[persamaan aljabar]]

: <math>a_n(x)y^n+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots+a_0(x)=0</math>

dimana [[koefisien]] adalah [[fungsi polinomial]] dari , dengan koefisien integer. Dapat ditunjukkan bahwa fungsi yang sama diperoleh jika [[bilangan aljabar]] diterima untuk koefisien . Jika [[bilangan transendental]] muncul dalam koefisien, fungsinya secara umum bukan aljabar, tetapi ini adalah "aljabar di atas [[Medan (matematika)|bidang]] '' yang dihasilkan oleh koefisien ini.

Nilai fungsi aljabar pada [[bilangan rasional]], dan lebih umum lagi, pada [[bilangan aljabar]] selalu berupa bilangan aljabar.
Terkadang, koefisien <math>a_i(x)</math> pada [[polinomial]] di atas [[Gelanggang (matematika)|gelanggang]] dianggap, dan kemudian berbicara tentang "fungsi aljabar di atas ".

Sebuah fungsi yang bukan aljabar disebut [[fungsi transendental]], seperti pada contoh kasus <math>\exp(x), \tan(x), \ln(x), \Gamma(x)</math>. Komposisi fungsi transendental dapat memberikan fungsi aljabar: <math>f(x)=\cos (\arcsin(x)) = \sqrt{1-x^2}</math>.

Karena persamaan polinomial [[Derajat polinomial|derajat]] '' n '' memiliki hingga akar '' n '' (dan tepat '' n '' akar di atas bidang tertutup aljabar, seperti [[bilangan kompleks]]), persamaan [[polinomial]] tidak secara implisit mendefinisikan fungsi tunggal, tetapi hingga '' n ''
fungsi, terkadang juga disebut cabang. Pertimbangkan misalnya persamaan dari satuan [[lingkaran]]:
<math>y^2+x^2=1.\,</math>
Ini menentukan ''y'', kecuali sampai tanda keseluruhan; karenanya, ia mempunyai 2 cabang:

<math>y=\pm \sqrt{1-x^2}.\,</math>

'''Fungsi aljabar dalam variabel ''m''''' juga didefinisikan sebagai fungsi <math>y=f(x_1,\dots ,x_m)</math> yang memecahkan persamaan [[polinomial]] dalam [[Variabel (matematika)|variabel]] ''m'' + 1:

:<math>p(y,x_1,x_2,\dots,x_m) = 0.</math>

Biasanya diasumsikan bahwa '' p '' harus berupa polinomial tak tersederhanakan. Keberadaan fungsi aljabar kemudian dijamin oleh teorema fungsi implisit.

Secara umum, fungsi aljabar dalam variabel '' m '' di atas bidang '' K '' adalah elemen dari penutupan aljabar dari bidang [[fungsi rasional]] ''K''(''x''1, ..., ''x''''m'').

== Pendahuluan dan gambaran umum ==
Definisi informal dari fungsi aljabar memberikan sejumlah petunjuk tentang propertinya. Untuk memperoleh pemahaman intuitif, mungkin berguna untuk menganggap fungsi aljabar sebagai fungsi yang dapat dibentuk oleh [[operasi aljabar]] biasa: [[penjumlahan]], [[perkalian]], [[Pembagian]], dan [[ekspresi radikal]]. Ini adalah penyederhanaan yang berlebihan; karena [[teorema fundamental teori Galois]], fungsi aljabar tidak perlu dinyatakan dengan akar.

Pertama, perhatikan bahwa [[fungsi polinomial]] <math>y = p(x)</math> adalah fungsi aljabar, karena ini hanyalah solusi '' y '' dari persamaan

:<math> y-p(x) = 0.\,</math>

Secara lebih umum, [[fungsi rasional]] <math>y=\frac{p(x)}{q(x)}</math> adalah aljabar, menjadi solusi untuk

:<math>q(x)y-p(x)=0.</math>

Selain itu, ekspresi radikal dari polinomial apa pun <math>y=\sqrt[n]{p(x)}</math> adalah fungsi aljabar, menyelesaikan persamaan

:<math>y^n-p(x)=0.</math>

Anehnya, [[fungsi invers]] dari suatu fungsi aljabar adalah fungsi aljabar. Untuk mengandaikan bahwa '' y '' adalah solusi untuk

:<math>a_n(x)y^n+\cdots+a_0(x)=0,</math>

untuk setiap nilai '' x '', maka '' x '' juga merupakan solusi dari persamaan ini untuk setiap nilai '' y ''. Memang, menukar peran '' x '' dan '' y '' dan mengumpulkan istilah,

:<math>b_m(y)x^m+b_{m-1}(y)x^{m-1}+\cdots+b_0(y)=0.</math>

Menulis '' x '' sebagai fungsi dari '' y '' menghasilkan fungsi invers, juga fungsi aljabar.

Namun, tidak setiap fungsi memiliki kebalikan. Sebagai contoh, ''y'' = ''x''2 gagal [[uji garis horizontal]] hasilnya tidak berhasil pada [[fungsi satu-ke-satu|satu-ke-satu]]. Kebalikannya adalah "fungsi" aljabar <math>x = \pm\sqrt{y}</math>.
Cara lain untuk memahami ini, adalah bahwa [[Himpunan (matematika)|himpunan]] dari cabang persamaan polinomial yang mendefinisikan fungsi aljabar kita adalah grafik [[kurva aljabar]].

== Peran bilangan kompleks ==
Dari perspektif aljabar, bilangan kompleks masuk secara alami ke dalam studi fungsi aljabar. Pertama-tama, menurut [[teorema fundamental aljabar]], bilangan kompleks adalah [[bidang tertutup aljabar]]. Karenanya setiap hubungan polinomial ''p''(''y'', ''x'') = 0 dijamin memiliki setidaknya satu solusi (dan secara umum sejumlah solusi tidak melebihi derajat '' p '' dalam '' y '') untuk '' y '' di setiap titik '' x '', asalkan kita mengizinkan '' y '' untuk mengasumsikan kompleks serta nilai [[bilangan real|nyata]]. Dengan demikian, masalah yang berkaitan dengan [[domain suatu fungsi|domain]] dari suatu fungsi aljabar dapat diminimalkan dengan aman.

Lebih jauh, bahkan jika seseorang pada akhirnya tertarik pada fungsi aljabar yang sebenarnya, mungkin tidak ada cara untuk menyatakan fungsi tersebut dalam istilah penjumlahan, perkalian, pembagian dan pengambilan akar '' n '' tanpa menggunakan bilangan kompleks (lihat [[casus irreducibilis]]). Misalnya, perhatikan fungsi aljabar yang ditentukan oleh persamaan

:<math>y^3-xy+1=0.\,</math>

Menggunakan [[rumus kubik]], kita dapatkan

:<math>
y=-\frac{2x}{\sqrt[3]{-108+12\sqrt{81-12x^3}}}+\frac{\sqrt[3]{-108+12\sqrt{81-12x^3}}}{6}.
</math>

Untuk <math>x\le \frac{3}{\sqrt[3]{4}},</math> akar kuadrat adalah nyata dan akar kubik didefinisikan dengan baik, memberikan akar nyata yang unik. Di sisi lain, untuk <math>x>\frac{3}{\sqrt[3]{4}},</math> akar kuadrat tidak nyata, dan kita harus memilih, untuk akar kuadrat, akar kuadrat non-nyata. Jadi akar kubik harus dipilih di antara tiga bilangan non-riil. Jika pilihan yang sama dilakukan dalam dua suku rumus, ketiga pilihan akar kubik menyediakan tiga cabang yang ditunjukkan, pada gambar yang menyertai.

Dapat dibuktikan bahwa tidak ada cara untuk mengekspresikan fungsi ini dalam istilah akar '' nth '' hanya dengan menggunakan bilangan real, meskipun fungsi yang dihasilkan bernilai nyata pada domain grafik yang ditampilkan.

Pada tingkat teoretis yang lebih signifikan, menggunakan bilangan kompleks memungkinkan seseorang untuk menggunakan teknik yang kuat [[analisis kompleks]] untuk membahas fungsi aljabar. Secara khusus, [[prinsip argumen]] dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa fungsi aljabar apa pun sebenarnya adalah [[fungsi analitis]], setidaknya dalam arti multi-nilai.

Secara formal, maka ''p''(''x'', ''y'') menjadi polinomial kompleks dalam variabel kompleks '' x '' dan '' y ''. Seandainya
''x''0 ∈ '''C''' sedemikian rupa sehingga polinomial ''p''(''x''0, ''y'') of ''y'' has ''n'' angka nol yang berbeda. Kita akan menunjukkan bahwa fungsi aljabar adalah analitik dalam [[Persekitaran (matematika)|lingkungan]] dari ''x''0. Pilih sistem cakram '' n '' yang tidak tumpang tindih Δ''i'' berisi masing-masing angka nol ini. Kemudian dengan prinsip argumentasi

:<math>\frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial\Delta_i} \frac{p_y(x_0,y)}{p(x_0,y)}\,dy = 1.</math>

Dengan kontinuitas, ini juga berlaku untuk semua '' x '' di sekitar ''x''0. Secara khusus, '' p ''('' x '', '' y '') hanya memiliki satu root Δ''i'', diberikan oleh [[teorema residu]]:

:<math>f_i(x) = \frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial\Delta_i} y\frac{p_y(x,y)}{p(x,y)}\,dy</math>

yang merupakan fungsi analitik.

== Sejarah ==

Gagasan seputar fungsi aljabar kembali setidaknya sejauh [[René Descartes]]. Diskusi pertama tentang fungsi aljabar tampaknya terjadi di [[Edward Waring]] tahun 1794 '' An Essay on the Principles of Human Knowledge '' di mana dia menulis:
:jik kuantitas yang menunjukkan ordinat, menjadi fungsi aljabar dari absis '' x '', dengan metode umum pembagian dan ekstraksi akar, menguranginya menjadi deret tak berhingga menaik atau menurun menurut dimensi '' x '', kemudian mencari integral dari masing-masing yang dihasilkan.

== Lihat pula ==
* [[Ekspresi aljabar]]
* [[Fungsi analitik]]
* [[Fungsi kompleks]]
* [[Fungsi dasar]]
* [[Fungsi (matematika)]]
* [[Fungsi umum]]
* [[Daftar fungsi khusus dan eponim]]
* [[Daftar jenis fungsi]]
* [[Polinomial]]
* [[Fungsi rasional]]
* [[Fungsi khusus]]
* [[Fungsi transendental]]

== Referensi ==
*
*

== Pranala luar ==

*[https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Algebraic_function Definition of "Algebraic function" in the Encyclopedia of Math]
*
*
*[http://www.daviddarling.info/encyclopedia/A/algebraic_function.html Definition of "Algebraic function"] in [[David J. Darling]]'s Internet Encyclopedia of Science

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Fungsi+aljabar&oldid=28378320 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28378320 (2025-11-08T00:24:41Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.