Fungsi bilangan bulat terbesar dan terkecil - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T04:00:43Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 04.00
Baris 1:		Baris 1:
	~~Dalam~~ [[~~matematika]], khususnya di bidang [[teori bilangan]] dan [[ilmu komputer~~]], suatu fungsi <math>f</math> dikatakan '''fungsi atap''' (''ceiling function''), dinotasikan oleh <math>f(x) = \lceil x \rceil = \text{ceil}(x)</math>, adalah fungsi yang memetakan bilangan real <math>x</math> ke bilangan bulat terkecil yang lebih besar daripada atau sama dengan <math>x</math>. Sebagai contoh, nilai dari <math>\lceil 0,\!8 \rceil = 1</math>. Fungsi atap juga dapat disebut '''fungsi bilangan bulat terkecil'''.		[[File:Floor_function.svg\|thumb\|right\|280px\|Floor function]]

	Sebaliknya, suatu fungsi <math>f</math> dikatakan '''fungsi lantai''' (''floor function''), dinotasikan oleh <math>f(x) = \lfloor x \rfloor = \text{floor}(x)</math>, adalah fungsi yang memetakan bilangan real <math>x</math> ke bilangan bulat terbesar yang lebih kecil daripada atau sama dengan <math>x</math>. Sebagai contoh, nilai dari <math>\lfloor 3,\!14 \rfloor = 3</math>. Fungsi lantai juga dapat disebut '''fungsi bilangan bulat terbesar'''.		Dalam [[matematika]], khususnya di bidang [[teori bilangan]] dan [[ilmu komputer]], suatu fungsi <math>f</math> dikatakan '''fungsi atap''' (''ceiling function''), dinotasikan oleh <math>f(x) = \lceil x \rceil = \text{ceil}(x)</math>, adalah fungsi yang memetakan bilangan real <math>x</math> ke bilangan bulat terkecil yang lebih besar daripada atau sama dengan <math>x</math>.<ref>Sukardi, mathcyber1997.com: [https://mathcyber1997.com/fungsi-lantai-dan-fungsi-atap/ Materi, Soal, dan Pembahasan - Fungsi Lantai dan Fungsi Atap]. Diakses pada 5 Agustus 2023.</ref> Sebagai contoh, nilai dari <math>\lceil 0,\!8 \rceil = 1</math>. Fungsi atap juga dapat disebut '''fungsi bilangan bulat terkecil<ref>Gatot Muhsetyo. [https://pustaka.ut.ac.id/lib/pema4428-matematika-diskrit-edisi-2/ Matematika Diskrit]. Universitas Terbuka. 2019. ISBN 9786023924127.</ref>'''.

			Sebaliknya, suatu fungsi <math>f</math> dikatakan '''fungsi lantai''' (''floor function''), dinotasikan oleh <math>f(x) = \lfloor x \rfloor = \text{floor}(x)</math>, adalah fungsi yang memetakan bilangan real <math>x</math> ke bilangan bulat terbesar yang lebih kecil daripada atau sama dengan <math>x</math>.<ref>Sukardi, mathcyber1997.com: [https://mathcyber1997.com/fungsi-lantai-dan-fungsi-atap/ Materi, Soal, dan Pembahasan - Fungsi Lantai dan Fungsi Atap]. Diakses pada 5 Agustus 2023.</ref> Sebagai contoh, nilai dari <math>\lfloor 3,\!14 \rfloor = 3</math>. Fungsi lantai juga dapat disebut '''fungsi bilangan bulat terbesar'''.<ref>Gatot Muhsetyo. [https://pustaka.ut.ac.id/lib/pema4428-matematika-diskrit-edisi-2/ Matematika Diskrit]. Universitas Terbuka. 2019. ISBN 9786023924127.</ref>

	Galibnya, definisi pada fungsi bilangan bulat terbesar dan terkecil dapat ditulis sebagai		Galibnya, definisi pada fungsi bilangan bulat terbesar dan terkecil dapat ditulis sebagai

			Hubungan kedua fungsi di atas dapat diterapkan pada salah satu fungsi berikut, yaitu '''bagian bilangan bulat''' (), di mana [[bilangan riil]] yang dipetakan ke fungsi tersebut sehingga menjadi [[bilangan bulat]] yang muncul sebelum [[Sistem bilangan desimal\|bilangan desimal]], dilambangkan <math>[x]</math> atau terkadang dinotasikan sebagai <math>\operatorname{int}(x)</math><ref>Eric W. Weisstein. [https://mathworld.wolfram.com/IntegerPart.html Integer Part]. ''mathworld.wolfram.com''.</ref> dan dirumuskan sebagai<ref>Eric W. Weisstein. [https://mathworld.wolfram.com/IntegerPart.html Integer Part]. ''mathworld.wolfram.com''.</ref><ref>[https://planetmath.org/integerpart#:~:text=The%20integer%20part%20of%20a,%E2%88%92%E2%88%9A2%20is%20%E2%88%921%20. integer part]. ''planetmath.org''.</ref>
	Hubungan kedua fungsi di atas dapat diterapkan pada salah satu fungsi berikut, yaitu '''bagian bilangan bulat''' (), di mana [[bilangan riil]] yang dipetakan ke fungsi tersebut sehingga menjadi [[bilangan bulat]] yang muncul sebelum [[Sistem bilangan desimal\|bilangan desimal]], dilambangkan <math>[x]</math> atau terkadang dinotasikan sebagai <math>\operatorname{int}(x)</math> dan dirumuskan sebagai


	Untuk memahami lebih lanjut, tinjau <math>\pi</math> yang bernilai <math>3.1415926\dots</math>, maka <math>[\pi] = 3</math>. Hal yang serupa dengan bilangan bertandakan negatif, contohnya sederhananya, <math display="inline">\left[-\frac{1}{2}\right] = 0</math>.		Untuk memahami lebih lanjut, tinjau <math>\pi</math> yang bernilai <math>3.1415926\dots</math>, maka <math>[\pi] = 3</math>. Hal yang serupa dengan bilangan bertandakan negatif, contohnya sederhananya, <math display="inline">\left[-\frac{1}{2}\right] = 0</math>.

	== Sejarah ==		== Sejarah ==
			Fungsi atap dan lantai dikenal masuk dalam bagian bilangan bulat.<ref>[https://everything.explained.today/Floor_and_ceiling_functions/ Floor and ceiling functions explained]. ''everything.explained.today''.</ref> Namun, bagian bilangan bulat juga digunakan untuk pemotongan bilangan bulat mendekati 0 pada [[bilangan bulat negatif]], yang berbeda dengan fungsi lantai di bilangan negatif.

	~~Fungsi atap dan lantai dikenal masuk dalam bagian~~ bilangan bulat. ~~Namun~~, ~~bagian~~ bilangan bulat ~~juga digunakan~~ untuk ~~pemotongan~~ bilangan bulat ~~mendekati~~ 0 ~~pada [~~[bilangan bulat ~~negatif]]~~, yang ~~berbeda dengan fungsi lantai di bilangan negatif~~.		Bagian bilangan bulat didefinisikan oleh [[Adrien-Marie Legendre]] pada tahun 1798. Selanjutnya, [[Carl Friedrich Gauss]] memperkenalkan penggunaan notasi tanda kurung kotak<ref>[https://everything.explained.today/Floor_and_ceiling_functions/ Floor and ceiling functions explained]. ''everything.explained.today''.</ref> untuk menuliskan fungsi bilangan bulat terbesar. Namun, tidak ada notasi standar untuk penulisan fungsi bilangan bulat terkecil.<ref>Ronald L. Graham. [https://books.google.co.id/books?id=ctnPEAAAQBAJ&hl=id&source=gbs_navlinks_s Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science]. Addison-Wesley Professional. 1994-02-28. hlm. 65. ISBN 978-0-13-438998-1.</ref> Beberapa penulis bahkan menggunakan notasi <math>]x[</math> untuk penulisan fungsi bilangan bulat terkecil, yang tidak menjadi standar.<ref>Ronald L. Graham. [https://books.google.co.id/books?id=ctnPEAAAQBAJ&hl=id&source=gbs_navlinks_s Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science]. Addison-Wesley Professional. 1994-02-28. hlm. 65. ISBN 978-0-13-438998-1.</ref>

	Bagian bilangan bulat didefinisikan oleh [[Adrien-Marie Legendre]] pada tahun 1798. Selanjutnya, [[Carl Friedrich Gauss]] memperkenalkan penggunaan notasi tanda kurung kotak untuk menuliskan fungsi bilangan bulat terbesar. Namun, tidak ada notasi standar untuk penulisan fungsi bilangan bulat terkecil. Beberapa penulis bahkan menggunakan notasi <math>]x[</math> untuk penulisan fungsi bilangan bulat terkecil, yang tidak menjadi standar.		Pada tahun 1962, [[Kenneth Eugene Iverson]] memperkenalkan fungsi atap dan lantai dalam bukunya, ''[[A Programming Language]]''.<ref>Kenneth E. Iverson. [https://books.google.co.id/books/about/A_programming_language.html?id=zR81AAAAIAAJ&redir_esc=y A Programming Language]. Wiley. 1962. hlm. 12. ISBN 978-0-471-43014-8.</ref> Penggunaan notasi ini dipopulerkan oleh [[Donald Knuth\|Donald Ervin Knuth]]<ref>[https://math.libretexts.org/Bookshelves/Combinatorics_and_Discrete_Mathematics/Elementary_Number_Theory_(Clark)/01%3A_Chapters/1.04%3A_The_Floor_and_Ceiling_of_a_Real_Number 1.4: The Floor and Ceiling of a Real Number]. ''Mathematics LibreTexts''. 2021-08-14.</ref> yang sekarang menjadi standar penggunaan dalam berbagai artikel teknis tanpa perlu penjelasan fungsi tersebut.<ref>Ronald L. Graham. [https://books.google.co.id/books?id=ctnPEAAAQBAJ&hl=id&source=gbs_navlinks_s Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science]. Addison-Wesley Professional. 1994-02-28. hlm. 65. ISBN 978-0-13-438998-1.</ref>

	Pada tahun 1962, [[Kenneth Eugene Iverson]] memperkenalkan fungsi atap dan lantai dalam bukunya, ''[[A Programming Language]]''. Penggunaan notasi ini dipopulerkan oleh [[Donald Knuth\|Donald Ervin Knuth]] yang sekarang menjadi standar penggunaan dalam berbagai artikel teknis tanpa perlu penjelasan fungsi tersebut.

	== Sifat dan identitas ==		== Sifat dan identitas ==
	Beberapa sifat yang terkandung dalam fungsi bilangan bulat besar dan fungsi bilangan bulat terkecil adalah sebagai berikut:		Beberapa sifat yang terkandung dalam fungsi bilangan bulat besar dan fungsi bilangan bulat terkecil adalah sebagai berikut:<ref>[https://www.bookofproofs.org/branches/properties-of-floors-and-ceilings/ Properties of Floors and Ceilings]. ''www.bookofproofs.org''.</ref>

	* <math>\lfloor x \rfloor \le x \le \lceil x \rceil</math> untuk suatu <math>x</math> [[bilangan real]].		* <math>\lfloor x \rfloor \le x \le \lceil x \rceil</math> untuk suatu <math>x</math> [[bilangan real]].
Baris 30:		Baris 29:
	* <math>[-x] = -[x]</math>		* <math>[-x] = -[x]</math>

	Beberapa penulis mendefinisikan bagian bulat sebagai fungsi bilangan bulat terbesar, menggunakan notasi berikut:		Beberapa penulis mendefinisikan bagian bulat sebagai fungsi bilangan bulat terbesar, menggunakan notasi berikut:<ref>Luke Heaton, ''A Brief History of Mathematical Thought'', 2015, (n.p.)</ref><ref>Albert A. Blank ''et al.'', ''Calculus: Differential Calculus'', 1968, hlm. 259</ref><ref>John W. Warris, Horst Stocker, ''Handbook of mathematics and computational science'', 1998, , hlm. 151</ref>

	* <math>\lfloor x \rfloor = \lceil x \rceil = [x]</math> untuk <math>x</math> adalah bilangan bulat.		* <math>\lfloor x \rfloor = \lceil x \rceil = [x]</math> untuk <math>x</math> adalah bilangan bulat.

	== Kalkulus ==		== Kalkulus ==

	=== Turunan ===		=== Turunan ===
	[[Turunan]] fungsi bilangan bulat terbesar dan terkecil tidak terdiferensialkan bila <math>x</math> adalah bilangan bulat. Bila <math>x</math> bukanlah bilangan bulat, maka turunannya terdiferensialkan di mana-mana, yakni bernilai 0.		[[Turunan]] fungsi bilangan bulat terbesar dan terkecil tidak terdiferensialkan bila <math>x</math> adalah bilangan bulat. Bila <math>x</math> bukanlah bilangan bulat, maka turunannya terdiferensialkan di mana-mana,<ref>[https://www.mathsisfun.com/calculus/differentiable.html Differentiable]. ''www.mathsisfun.com''.</ref> yakni bernilai 0.

	=== Integral ===		=== Integral ===
	Dalam [[integral]], fungsi bilangan bulat terbesar dapat dinyatakan sebagai		Dalam [[integral]], fungsi bilangan bulat terbesar dapat dinyatakan sebagai

	* <math>\int \lfloor x \rfloor \, \mathrm dx = x \lfloor x \rfloor</math>.		* <math>\int \lfloor x \rfloor \, \mathrm dx = x \lfloor x \rfloor</math>.<ref>[https://functions.wolfram.com/IntegerFunctions/Floor/21/01/01/ Floor function: Integration (subsection 21/01/01)]. ''functions.wolfram.com''.</ref>

	Hal yang serupa dengan fungsi bilangan bulat terkecil,		Hal yang serupa dengan fungsi bilangan bulat terkecil,

	* <math>\int \lceil x \rceil\, \mathrm dx = x \lceil x \rceil</math>.		* <math>\int \lceil x \rceil\, \mathrm dx = x \lceil x \rceil</math>.<ref>[https://functions.wolfram.com/IntegerFunctions/Ceiling/21/01/01/ Ceiling function: Integration (subsection 21/01/01)]. ''functions.wolfram.com''.</ref>

	== Representasi deret ==		== Representasi deret ==
Baris 52:		Baris 50:

	* Dalam bentuk deret Fourier, dirumuskan		* Dalam bentuk deret Fourier, dirumuskan
	<blockquote><math>\lfloor x \rfloor = x - \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin (2\pi k x)}{k} </math> asalkan <math>x</math> bilangan real dan bukan bilangan bulat.</blockquote>		<blockquote><math>\lfloor x \rfloor = x - \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin (2\pi k x)}{k} </math> asalkan <math>x</math> bilangan real dan bukan bilangan bulat.<ref>[https://functions.wolfram.com/IntegerFunctions/Floor/06/01/ Floor function: Series representations (subsection 06/01)]. ''functions.wolfram.com''.</ref></blockquote>

	Hal yang serupa dengan fungsi bilangan bulat terkecil.		Hal yang serupa dengan fungsi bilangan bulat terkecil.
Baris 58:		Baris 56:
	* Dalam bentuk deret Fourier, dirumuskan		* Dalam bentuk deret Fourier, dirumuskan

	<blockquote><math>\lceil x \rceil = x + \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin (2\pi k x)}{k}</math> asalkan <math>x</math> bilangan real dan bukan bilangan bulat.</blockquote>		<blockquote><math>\lceil x \rceil = x + \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin (2\pi k x)}{k}</math> asalkan <math>x</math> bilangan real dan bukan bilangan bulat.<ref>[https://functions.wolfram.com/IntegerFunctions/Ceiling/06/ShowAll.html Ceiling function: Series representations]. ''functions.wolfram.com''.</ref></blockquote>
	~~== Rujukan ==~~

			== Referensi ==
			<references />

			== Sumber dan atribusi ==

	== ~~Sumber~~ dan ~~atribusi ==~~		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Fungsi+bilangan+bulat+terbesar+dan+terkecil&oldid=26742995 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 26742995 (2025-01-05T05:58:04Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

	~~Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Fungsi+bilangan+bulat+terbesar+dan+terkecil&oldid=26742995 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 26742995 (2025~~-01-~~05T05:58:04Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi~~-~~BerbagiSerupa (CC BY~~-~~SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.~~		<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 26742995; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T03:23:06Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 26742995; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[matematika]], khususnya di bidang [[teori bilangan]] dan [[ilmu komputer]], suatu fungsi <math>f</math> dikatakan '''fungsi atap''' (''ceiling function''), dinotasikan oleh <math>f(x) = \lceil x \rceil = \text{ceil}(x)</math>, adalah fungsi yang memetakan bilangan real <math>x</math> ke bilangan bulat terkecil yang lebih besar daripada atau sama dengan <math>x</math>. Sebagai contoh, nilai dari <math>\lceil 0,\!8 \rceil = 1</math>. Fungsi atap juga dapat disebut '''fungsi bilangan bulat terkecil'''.

Sebaliknya, suatu fungsi <math>f</math> dikatakan '''fungsi lantai''' (''floor function''), dinotasikan oleh <math>f(x) = \lfloor x \rfloor = \text{floor}(x)</math>, adalah fungsi yang memetakan bilangan real <math>x</math> ke bilangan bulat terbesar yang lebih kecil daripada atau sama dengan <math>x</math>. Sebagai contoh, nilai dari <math>\lfloor 3,\!14 \rfloor = 3</math>. Fungsi lantai juga dapat disebut '''fungsi bilangan bulat terbesar'''.

Galibnya, definisi pada fungsi bilangan bulat terbesar dan terkecil dapat ditulis sebagai

Hubungan kedua fungsi di atas dapat diterapkan pada salah satu fungsi berikut, yaitu '''bagian bilangan bulat''' (), di mana [[bilangan riil]] yang dipetakan ke fungsi tersebut sehingga menjadi [[bilangan bulat]] yang muncul sebelum [[Sistem bilangan desimal|bilangan desimal]], dilambangkan <math>[x]</math> atau terkadang dinotasikan sebagai <math>\operatorname{int}(x)</math> dan dirumuskan sebagai

Untuk memahami lebih lanjut, tinjau <math>\pi</math> yang bernilai <math>3.1415926\dots</math>, maka <math>[\pi] = 3</math>. Hal yang serupa dengan bilangan bertandakan negatif, contohnya sederhananya, <math display="inline">\left[-\frac{1}{2}\right] = 0</math>.

== Sejarah ==

Fungsi atap dan lantai dikenal masuk dalam bagian bilangan bulat. Namun, bagian bilangan bulat juga digunakan untuk pemotongan bilangan bulat mendekati 0 pada [[bilangan bulat negatif]], yang berbeda dengan fungsi lantai di bilangan negatif.

Bagian bilangan bulat didefinisikan oleh [[Adrien-Marie Legendre]] pada tahun 1798. Selanjutnya, [[Carl Friedrich Gauss]] memperkenalkan penggunaan notasi tanda kurung kotak untuk menuliskan fungsi bilangan bulat terbesar. Namun, tidak ada notasi standar untuk penulisan fungsi bilangan bulat terkecil. Beberapa penulis bahkan menggunakan notasi <math>]x[</math> untuk penulisan fungsi bilangan bulat terkecil, yang tidak menjadi standar.

Pada tahun 1962, [[Kenneth Eugene Iverson]] memperkenalkan fungsi atap dan lantai dalam bukunya, ''[[A Programming Language]]''. Penggunaan notasi ini dipopulerkan oleh [[Donald Knuth|Donald Ervin Knuth]] yang sekarang menjadi standar penggunaan dalam berbagai artikel teknis tanpa perlu penjelasan fungsi tersebut.

== Sifat dan identitas ==
Beberapa sifat yang terkandung dalam fungsi bilangan bulat besar dan fungsi bilangan bulat terkecil adalah sebagai berikut:

* <math>\lfloor x \rfloor \le x \le \lceil x \rceil</math> untuk suatu <math>x</math> [[bilangan real]].
* <math>\lfloor x \rfloor = x </math> dan <math>\lceil x \rceil = x</math> jika dan hanya jika <math>x</math> adalah bilangan bulat.
* <math>\lceil x \rceil - \lfloor x \rfloor = 1</math> jika <math>x</math> adalah bilangan real dan <math>0</math> bila <math>x</math> bilangan bulat.
* Untuk suatu <math>n</math> bilangan bulat, <math>\lfloor x + n \rfloor = \lfloor x \rfloor + n</math>.
Untuk sifat fungsi bagian bilangan bulat, antara lain

* <math>[-x] = -[x]</math>

Beberapa penulis mendefinisikan bagian bulat sebagai fungsi bilangan bulat terbesar, menggunakan notasi berikut:

* <math>\lfloor x \rfloor = \lceil x \rceil = [x]</math> untuk <math>x</math> adalah bilangan bulat.

== Kalkulus ==

=== Turunan ===
[[Turunan]] fungsi bilangan bulat terbesar dan terkecil tidak terdiferensialkan bila <math>x</math> adalah bilangan bulat. Bila <math>x</math> bukanlah bilangan bulat, maka turunannya terdiferensialkan di mana-mana, yakni bernilai 0.

=== Integral ===
Dalam [[integral]], fungsi bilangan bulat terbesar dapat dinyatakan sebagai

* <math>\int \lfloor x \rfloor \, \mathrm dx = x \lfloor x \rfloor</math>.

Hal yang serupa dengan fungsi bilangan bulat terkecil,

* <math>\int \lceil x \rceil\, \mathrm dx = x \lceil x \rceil</math>.

== Representasi deret ==
Dalam representasi deret, fungsi bilangan bulat terbesar dirumuskan sebagai berikut:

* Dalam bentuk deret Fourier, dirumuskan
<blockquote><math>\lfloor x \rfloor = x - \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin (2\pi k x)}{k} </math> asalkan <math>x</math> bilangan real dan bukan bilangan bulat.</blockquote>

Hal yang serupa dengan fungsi bilangan bulat terkecil.

* Dalam bentuk deret Fourier, dirumuskan

<blockquote><math>\lceil x \rceil = x + \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin (2\pi k x)}{k}</math> asalkan <math>x</math> bilangan real dan bukan bilangan bulat.</blockquote>
== Rujukan ==

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Fungsi+bilangan+bulat+terbesar+dan+terkecil&oldid=26742995 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 26742995 (2025-01-05T05:58:04Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.