Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T04:04:58Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 04.04
Baris 1:		Baris 1:
			[[File:Euler's_formula.svg\|thumb\|right\|280px\|Euler's formula]]

	'''Fungsi eksponensial''' adalah fungsi nonaljabar atau transcendental yang tidak dapat direpresentasikan sebagai produk, jumlah, dan perbedaan variabel yang dipangkatkan ke bilangan bulat non-negatif. Fungsi eksponensial merupakan fungsi berpangkat, yang pangkatnya memiliki variabel. Biasanya, fungsi ini ditulis dengan notasi exp(''x'') atau ''e''<sup>''x''</sup>, di mana ''e'' adalah [[e (konstanta matematika)\|basis logaritma natural]] yang kira-kira sama dengan 2.71828183.		'''Fungsi eksponensial''' adalah fungsi nonaljabar atau transcendental yang tidak dapat direpresentasikan sebagai produk, jumlah, dan perbedaan variabel yang dipangkatkan ke bilangan bulat non-negatif. Fungsi eksponensial merupakan fungsi berpangkat, yang pangkatnya memiliki variabel. Biasanya, fungsi ini ditulis dengan notasi exp(''x'') atau ''e''<sup>''x''</sup>, di mana ''e'' adalah [[e (konstanta matematika)\|basis logaritma natural]] yang kira-kira sama dengan 2.71828183.

Baris 45:		Baris 47:

	== Definisi formal ==		== Definisi formal ==

	Fungsi eksponensial e<sup>''x''</sup> dapat didefinisikan menurut beberapa definisi yang ekivalen, sebagai [[deret tak terhingga]]. Beberapa definisi tersebut antara lain:		Fungsi eksponensial e<sup>''x''</sup> dapat didefinisikan menurut beberapa definisi yang ekivalen, sebagai [[deret tak terhingga]]. Beberapa definisi tersebut antara lain:

Baris 57:		Baris 58:

	== Nilai numerik ==		== Nilai numerik ==

	Untuk mendapatkan nilai numerik dari fungsi eksponensial, deret tak terhingga di atas dapat ditulis menjadi:		Untuk mendapatkan nilai numerik dari fungsi eksponensial, deret tak terhingga di atas dapat ditulis menjadi:

Baris 68:		Baris 68:
	*		*

			== Sumber dan atribusi ==

			Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Fungsi+eksponensial&oldid=28588669 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28588669 (2025-11-21T13:51:13Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

	~~== Sumber dan atribusi ==~~		<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

	~~Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Fungsi+eksponensial&oldid=28588669 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28588669 (2025~~-11-~~21T13:51:13Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi~~-~~BerbagiSerupa (CC BY~~-~~SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.~~

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28588669; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T03:33:00Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28588669; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

'''Fungsi eksponensial''' adalah fungsi nonaljabar atau transcendental yang tidak dapat direpresentasikan sebagai produk, jumlah, dan perbedaan variabel yang dipangkatkan ke bilangan bulat non-negatif. Fungsi eksponensial merupakan fungsi berpangkat, yang pangkatnya memiliki variabel. Biasanya, fungsi ini ditulis dengan notasi exp(''x'') atau ''e''''x'', di mana ''e'' adalah [[e (konstanta matematika)|basis logaritma natural]] yang kira-kira sama dengan 2.71828183.

Sebagai fungsi variabel [[bilangan real]] ''x'', grafik ''e''''x'' selalu positif (berada di atas sumbu ''x'') dan nilainya bertambah (dilihat dari kiri ke kanan). Grafiknya tidak menyentuh sumbu ''x'', tetapi mendekati sumbu tersebut secara [[asimptotik]]. [[Invers]] dari fungsi ini, [[logaritma natural]], atau ln(''x''), didefinisikan untuk nilai ''x'' yang positif.

Secara umum, [[variabel]] ''x'' dapat berupa bilangan real atau [[bilangan kompleks]], ataupun objek matematika yang lain; lihat [[#Definisi formal|definisi formal di bawah ini]].

== Sifat-sifat ==
Dengan menggunakan logaritma natural, fungsi eksponensial yang lebih generik dapat didefinisikan. Fungsi
: <math>\!\, a^x=e^{x \ln a}</math>
yang terdefinisikan untuk ''a'' > 0, dan semua bilangan real ''x'', disebut juga '''fungsi eksponensial dengan basis''' '''''a'''''.

Perlu diperhatikan bahwa persamaan tersebut berlaku pula untuk ''a'' = ''e'', karena
: <math>\!\, e^{x \ln e}=e^{x \cdot 1}=e^x.</math>

Fungsi eksponensial dapat "menterjemahkan" antara dua macam operasi, penjumlahan dan pengkalian. Ini dapat dilihat dari ''rumus-rumus eksponen'' sebagai berikut:
: <math>\!\, a^0 = 1</math>
: <math>\!\, a^1 = a</math>
: <math>\!\, a^{x + y} = a^x a^y</math>
: <math>\!\, a^{x y} = \left( a^x \right)^y</math>
: <math>\!\, {1 \over a^x} = \left({1 \over a}\right)^x = a^{-x}</math>
: <math>\!\, a^x b^x = (a b)^x</math>

Rumus-rumus di atas berlaku untuk semua bilangan real positif ''a'' dan ''b'' dan semua bilangan real ''x'' dan ''y''. Ekspresi yang mengandung [[pecahan (matematika)|pecahan]] dan [[akar (matematika)|pengakaran]] pada umumnya dapat disederhanakan dengan menggunakan notasi eksponensial, karena:
: <math>{1 \over a} = a^{-1}</math>
dan, untuk semua ''a'' > 0, bilangan real ''b'', dan bilangan bulat ''n'' > 1:
: <math>\sqrt[n]{a^b} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^b = a^{b/n}</math>

== Turunan dan persamaan diferensial ==
Pentingnya fungsi eksponensial dalam matematika dan ilmu-ilmu lainnya adalah karena sifat [[turunan]]nya.

: <math>{d \over dx} e^x = e^x</math>

Dengan kata lain, fungsi ''e''''x'' jika diturunkan, hasilnya adalah fungsi itu sendiri. Sifat "ketidakmempanan untuk diturunkan" ini sangat unik, karena hanya fungsi inilah yang mempunyai sifat seperti ini. Sifat fungsi ini dapat diinterpretasikan sebagai berikut:
* Kemiringan (gradien) grafik fungsi ini pada semua titiknya sama dengan nilai fungsi pada titik tersebut.
* Bertambahnya nilai fungsi pada ''x'' sama dengan nilai fungsi pada ''x''
* Fungsi ini merupakan solusi dari [[persamaan diferensial]] <math>y'=y</math>.

Dalam ilmu-ilmu terapan, banyak persamaan diferensial yang menghasilkan fungsi eksponensial, antara lain [[persamaan Schrödinger]], [[persamaan Laplace]], dan persamaan untuk [[gerakan harmonis sederhana]].

Untuk fungsi eksponensial dengan basis-basis lain (yang bukan ''e''):

: <math>{d \over dx} a^x = (\ln a) a^x</math>

jadi, semua fungsi eksponensial adalah perkalian turunannya sendiri dengan sebuah konstanta.

== Definisi formal ==

Fungsi eksponensial e''x'' dapat didefinisikan menurut beberapa definisi yang ekivalen, sebagai [[deret tak terhingga]]. Beberapa definisi tersebut antara lain:

: <math>e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots</math>

atau sebagai [[limit]] berikut ini:

: <math>e^x = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + {x \over n} \right)^n.</math>

Dalam definisi di atas, <math>n!</math> adalah [[faktorial]] dari ''n'', dan ''x'' dapat berupa [[bilangan real]], [[bilangan kompleks]], ataupun konsep-konsep matematika lainnya yang kompleks, seperti matriks bujursangkar (atau [[matriks persegi]]).

== Nilai numerik ==

Untuk mendapatkan nilai numerik dari fungsi eksponensial, deret tak terhingga di atas dapat ditulis menjadi:

:<math>e^x = {1 \over 0!} + x \, \left( {1 \over 1!} + x \, \left( {1 \over 2!} + x \, \left( {1 \over 3!} + \cdots \right)\right)\right)</math>
:<math>= 1 + {x \over 1} \left(1 + {x \over 2} \left(1 + {x \over 3} \left(1 + \cdots \right)\right)\right)</math>

Jika x lebih kecil dari 1, maka ekspresi di atas akan menemukan nilai numerik fungsi pada titik yang dicari dengan cepat.

== Bacaan lebih lanjut ==
*

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Fungsi+eksponensial&oldid=28588669 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28588669 (2025-11-21T13:51:13Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Fungsi eksponensial - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28588669; atribusi sumber disertakan.