Fungsi hiperbolik - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-24T22:57:28Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 24 Agustus 2026 22.57
Baris 1:		Baris 1:
	'''Fungsi hiperbolik''' adalah salah satu hasil [[kombinasi]] dari fungsi-fungsi [[eksponen]]. Fungsi hiperbolik memiliki rumus. Selain itu memiliki [[invers]] serta turunan dan anti turunan fungsi hiperbolik dan inversnya.		[[File:Hyperbolic_functions-2.svg\|thumb\|right\|280px\|Hyperbolic functions-2]]

			'''Fungsi hiperbolik''' adalah salah satu hasil [[kombinasi]] dari fungsi-fungsi [[eksponen]]. Fungsi hiperbolik memiliki rumus. Selain itu memiliki [[invers]] serta turunan dan anti turunan fungsi hiperbolik dan inversnya.<ref>[http://lib.unnes.ac.id/990/ FUNGSI HIPERBOLIK DAN INVERSNYA]. DIGILIB UNNES.</ref>

	== Definisi ==		== Definisi ==


	=== Definisi Eksponen ===		=== Definisi Eksponen ===


	Dalam istilah dari [[fungsi eksponensial]]:		Dalam istilah dari [[fungsi eksponensial]]:

Baris 28:		Baris 26:
	=== Definisi persamaan diferensial ===		=== Definisi persamaan diferensial ===
	- Dalam pengembangan -		- Dalam pengembangan -


	=== Definisi kompleks trigonometri ===		=== Definisi kompleks trigonometri ===
	-Dalam pengembangan -		-Dalam pengembangan -


	== Sifat karakteristik ==		== Sifat karakteristik ==
	- Dalam pengembangan -		- Dalam pengembangan -


	=== Penambahan ===		=== Penambahan ===
Baris 65:		Baris 60:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Dan juga:		Dan juga:<ref>George E. Martin. ''The foundations of geometry and the non-euclidean plane''. Springer-Verlag. 1986. hlm. 416. ISBN 3-540-90694-0.</ref>
	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	\sinh x - \sinh y &= 2 \cosh \left(\frac{x+y}{2}\right) \sinh \left(\frac{x-y}{2}\right)\\		\sinh x - \sinh y &= 2 \cosh \left(\frac{x+y}{2}\right) \sinh \left(\frac{x-y}{2}\right)\\
Baris 75:		Baris 70:
	\sinh\left(\frac{x}{2}\right) &= \frac{\sinh x}{\sqrt{2 (\cosh x + 1)} } &&= \sgn x \, \sqrt \frac{\cosh x - 1}{2} \\[6px]		\sinh\left(\frac{x}{2}\right) &= \frac{\sinh x}{\sqrt{2 (\cosh x + 1)} } &&= \sgn x \, \sqrt \frac{\cosh x - 1}{2} \\[6px]
	\cosh\left(\frac{x}{2}\right) &= \sqrt \frac{\cosh x + 1}{2}\\[6px]		\cosh\left(\frac{x}{2}\right) &= \sqrt \frac{\cosh x + 1}{2}\\[6px]
	\tanh\left(\frac{x}{2}\right) &= \frac{\sinh x}{\cosh x + 1} &&= \sgn x \, \sqrt \frac{\cosh x-1}{\cosh x+1} = \frac{e^x - 1}{e^x + 1}		\tanh\left(\frac{x}{2}\right) &= \frac{\sinh x}{\cosh x + 1} &&= \sgn x \, \sqrt \frac{\cosh x-1}{\cosh x+1} = \frac{e^x - 1}{e^x + 1}
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	di mana adalah [[fungsi tanda]].		di mana adalah [[fungsi tanda]].

	Jika <math>x \ne 0</math>, maka		Jika <math>x \ne 0</math>, maka<ref>[https://math.stackexchange.com/q/1565753 Prove the identity]. ''StackExchange (mathematics)''.</ref>

	:<math> \tanh\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cosh x - 1}{\sinh x} = \coth x - \operatorname{csch} x </math>		:<math> \tanh\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cosh x - 1}{\sinh x} = \coth x - \operatorname{csch} x </math>
Baris 91:		Baris 86:

	=== Pertidaksamaan ===		=== Pertidaksamaan ===
			Pertidaksamaan berikut sangat berguna dalam statistik, yaitu <math>\operatorname{cosh}(t) \leq e^{t^2 /2}</math><ref>Jean-Yves Audibert. ''Fast learning rates in statistical inference through aggregation''. The Annals of Statistics. 2009. hlm. 1627. [https://projecteuclid.org/download/pdfview_1/euclid.aos/1245332827]</ref>
	Pertidaksamaan berikut sangat berguna dalam statistik, yaitu <math>\operatorname{cosh}(t) \leq e^{t^2 /2}</math>

	== Fungsi invers sebagai logaritma ==		== Fungsi invers sebagai logaritma ==


	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	\operatorname {arsinh} (x) &= \ln \left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right) \\		\operatorname {arsinh} (x) &= \ln \left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right) \\
Baris 105:		Baris 97:
	\operatorname {arcsch} (x) &= \ln \left( \frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2} +1}\right) = \ln \left( \frac{1+ \sqrt{1 + x^2}}{x} \right) && x \ne 0		\operatorname {arcsch} (x) &= \ln \left( \frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2} +1}\right) = \ln \left( \frac{1+ \sqrt{1 + x^2}}{x} \right) && x \ne 0
	\end{align}</math>		\end{align}</math>


	== Turunan ==		== Turunan ==
Baris 111:		Baris 102:
	\frac{d}{dx}\sinh x &= \cosh x \\		\frac{d}{dx}\sinh x &= \cosh x \\
	\frac{d}{dx}\cosh x &= \sinh x \\		\frac{d}{dx}\cosh x &= \sinh x \\
	\frac{d}{dx}\tanh x &= 1 - \tanh^2 x = \operatorname{sech}^2 x = \frac{1}{\cosh^2 x} \\		\frac{d}{dx}\tanh x &= 1 - \tanh^2 x = \operatorname{sech}^2 x = \frac{1}{\cosh^2 x} \\
	\frac{d}{dx}\coth x &= 1 - \coth^2 x = -\operatorname{csch}^2 x = -\frac{1}{\sinh^2 x} && x \neq 0 \\		\frac{d}{dx}\coth x &= 1 - \coth^2 x = -\operatorname{csch}^2 x = -\frac{1}{\sinh^2 x} && x \neq 0 \\
	\frac{d}{dx}\operatorname{sech} x &= - \tanh x \operatorname{sech} x \\		\frac{d}{dx}\operatorname{sech} x &= - \tanh x \operatorname{sech} x \\
Baris 122:		Baris 113:
	\frac{d}{dx}\operatorname{arcsch} x &= -\frac{1}{\|x\|\sqrt{1+x^2}} && x \neq 0		\frac{d}{dx}\operatorname{arcsch} x &= -\frac{1}{\|x\|\sqrt{1+x^2}} && x \neq 0
	\end{align}</math>		\end{align}</math>


	== Turunan detik ==		== Turunan detik ==
	- Dalam pengembangan -		- Dalam pengembangan -


	== Standar integral ==		== Standar integral ==


	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	\int \sinh (ax)\,dx &= a^{-1} \cosh (ax) + C \\		\int \sinh (ax)\,dx &= a^{-1} \cosh (ax) + C \\
Baris 150:		Baris 137:
	\int {\frac{1}{u\sqrt{a^2 + u^2}}\,du} & = -a^{-1}\operatorname{arcsch}\left\| \frac{u}{a} \right\| + C		\int {\frac{1}{u\sqrt{a^2 + u^2}}\,du} & = -a^{-1}\operatorname{arcsch}\left\| \frac{u}{a} \right\| + C
	\end{align}</math>		\end{align}</math>


	== Referensi ==		== Referensi ==
			<references />

			== Sumber dan atribusi ==

			Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Fungsi+hiperbolik&oldid=23907604 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 23907604 (2023-07-26T13:41:25Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

	~~== Sumber dan atribusi ==~~		<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

	~~Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Fungsi+hiperbolik&oldid=23907604 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 23907604 (2023~~-07-~~26T13:41:25Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi~~-~~BerbagiSerupa (CC BY~~-~~SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.~~

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 23907604; atribusi sumber disertakan.

2026-08-24T22:20:06Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 23907604; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

'''Fungsi hiperbolik''' adalah salah satu hasil [[kombinasi]] dari fungsi-fungsi [[eksponen]]. Fungsi hiperbolik memiliki rumus. Selain itu memiliki [[invers]] serta turunan dan anti turunan fungsi hiperbolik dan inversnya.

== Definisi ==

=== Definisi Eksponen ===

Dalam istilah dari [[fungsi eksponensial]]:

* Hiperbolik sinus:
*:<math>\sinh x = \frac {e^x - e^{-x}} {2} = \frac {e^{2x} - 1} {2e^x} = \frac {1 - e^{-2x}} {2e^{-x}}.</math>
* Hiperbolik kosinus:
*:<math>\cosh x = \frac {e^x + e^{-x}} {2} = \frac {e^{2x} + 1} {2e^x} = \frac {1 + e^{-2x}} {2e^{-x}}.</math>
* Hiperbolik tangen:
*:<math>\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac {e^x - e^{-x}} {e^x + e^{-x}}
= \frac{e^{2x} - 1} {e^{2x} + 1}</math>
* Hiperbolik kotangen: untuk ,
*:<math>\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}}
= \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1}</math>
* Hiperbolik sekan:
*:<math>\operatorname{sech} x = \frac{1}{\cosh x} = \frac {2} {e^x + e^{-x}}
= \frac{2e^x} {e^{2x} + 1}</math>
* Hiperbolik kosekan: untuk ,
*:<math>\operatorname{csch} x = \frac{1}{\sinh x} = \frac {2} {e^x - e^{-x}}
= \frac{2e^x} {e^{2x} - 1}</math>

=== Definisi persamaan diferensial ===
- Dalam pengembangan -

=== Definisi kompleks trigonometri ===
-Dalam pengembangan -

== Sifat karakteristik ==
- Dalam pengembangan -

=== Penambahan ===
:<math>\begin{align}
\sinh(x + y) &= \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y \\
\cosh(x + y) &= \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y \\[6px]
\tanh(x + y) &= \frac{\tanh x +\tanh y}{1+ \tanh x \tanh y } \\
\end{align}</math>

terutama
:<math>\begin{align}
\cosh (2x) &= \sinh^2{x} + \cosh^2{x} = 2\sinh^2 x + 1 = 2\cosh^2 x - 1\\
\sinh (2x) &= 2\sinh x \cosh x \\
\tanh (2x) &= \frac{2\tanh x}{1+ \tanh^2 x } \\
\end{align}</math>

Lihat:
:<math>\begin{align}
\sinh x + \sinh y &= 2 \sinh \left(\frac{x+y}{2}\right) \cosh \left(\frac{x-y}{2}\right)\\
\cosh x + \cosh y &= 2 \cosh \left(\frac{x+y}{2}\right) \cosh \left(\frac{x-y}{2}\right)\\
\end{align}</math>

=== Pengurangan ===
:<math>\begin{align}
\sinh(x - y) &= \sinh x \cosh y - \cosh x \sinh y \\
\cosh(x - y) &= \cosh x \cosh y - \sinh x \sinh y \\
\tanh(x - y) &= \frac{\tanh x -\tanh y}{1- \tanh x \tanh y } \\
\end{align}</math>

Dan juga:
:<math>\begin{align}
\sinh x - \sinh y &= 2 \cosh \left(\frac{x+y}{2}\right) \sinh \left(\frac{x-y}{2}\right)\\
\cosh x - \cosh y &= 2 \sinh \left(\frac{x+y}{2}\right) \sinh \left(\frac{x-y}{2}\right)\\
\end{align}</math>

=== Rumus setengah argumen ===
:<math>\begin{align}
\sinh\left(\frac{x}{2}\right) &= \frac{\sinh x}{\sqrt{2 (\cosh x + 1)} } &&= \sgn x \, \sqrt \frac{\cosh x - 1}{2} \\[6px]
\cosh\left(\frac{x}{2}\right) &= \sqrt \frac{\cosh x + 1}{2}\\[6px]
\tanh\left(\frac{x}{2}\right) &= \frac{\sinh x}{\cosh x + 1} &&= \sgn x \, \sqrt \frac{\cosh x-1}{\cosh x+1} = \frac{e^x - 1}{e^x + 1}
\end{align}</math>

di mana adalah [[fungsi tanda]].

Jika <math>x \ne 0</math>, maka

:<math> \tanh\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cosh x - 1}{\sinh x} = \coth x - \operatorname{csch} x </math>

=== Rumus kuadrat ===
:<math>\begin{align}
\sinh^2 x &= \frac{1}{2}(\cosh 2x -1) \\
\cosh^2 x &= \frac{1}{2}(\cosh 2x +1)
\end{align}</math>

=== Pertidaksamaan ===

Pertidaksamaan berikut sangat berguna dalam statistik, yaitu <math>\operatorname{cosh}(t) \leq e^{t^2 /2}</math>

== Fungsi invers sebagai logaritma ==

:<math>\begin{align}
\operatorname {arsinh} (x) &= \ln \left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right) \\
\operatorname {arcosh} (x) &= \ln \left(x + \sqrt{x^{2} - 1} \right) && x \geqslant 1 \\
\operatorname {artanh} (x) &= \frac{1}{2}\ln \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right) && | x | < 1 \\
\operatorname {arcoth} (x) &= \frac{1}{2}\ln \left( \frac{x + 1}{x - 1} \right) && |x| > 1 \\
\operatorname {arsech} (x) &= \ln \left( \frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2} - 1}\right) = \ln \left( \frac{1+ \sqrt{1 - x^2}}{x} \right) && 0 < x \leqslant 1 \\
\operatorname {arcsch} (x) &= \ln \left( \frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2} +1}\right) = \ln \left( \frac{1+ \sqrt{1 + x^2}}{x} \right) && x \ne 0
\end{align}</math>

== Turunan ==
:<math>\begin{align}
\frac{d}{dx}\sinh x &= \cosh x \\
\frac{d}{dx}\cosh x &= \sinh x \\
\frac{d}{dx}\tanh x &= 1 - \tanh^2 x = \operatorname{sech}^2 x = \frac{1}{\cosh^2 x} \\
\frac{d}{dx}\coth x &= 1 - \coth^2 x = -\operatorname{csch}^2 x = -\frac{1}{\sinh^2 x} && x \neq 0 \\
\frac{d}{dx}\operatorname{sech} x &= - \tanh x \operatorname{sech} x \\
\frac{d}{dx}\operatorname{csch} x &= - \coth x \operatorname{csch} x && x \neq 0 \\
\frac{d}{dx}\operatorname{arsinh} x &= \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \\
\frac{d}{dx}\operatorname{arcosh} x &= \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} && 1 < x \\
\frac{d}{dx}\operatorname{artanh} x &= \frac{1}{1-x^2} && |x| < 1 \\
\frac{d}{dx}\operatorname{arcoth} x &= \frac{1}{1-x^2} && 1 < |x| \\
\frac{d}{dx}\operatorname{arsech} x &= -\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}} && 0 < x < 1 \\
\frac{d}{dx}\operatorname{arcsch} x &= -\frac{1}{|x|\sqrt{1+x^2}} && x \neq 0
\end{align}</math>

== Turunan detik ==
- Dalam pengembangan -

== Standar integral ==

:<math>\begin{align}
\int \sinh (ax)\,dx &= a^{-1} \cosh (ax) + C \\
\int \cosh (ax)\,dx &= a^{-1} \sinh (ax) + C \\
\int \tanh (ax)\,dx &= a^{-1} \ln (\cosh (ax)) + C \\
\int \coth (ax)\,dx &= a^{-1} \ln (\sinh (ax)) + C \\
\int \operatorname{sech} (ax)\,dx &= a^{-1} \arctan (\sinh (ax)) + C \\
\int \operatorname{csch} (ax)\,dx &= a^{-1} \ln \left( \tanh \left( \frac{ax}{2} \right) \right) + C = a^{-1} \ln\left|\operatorname{csch} (ax) - \coth (ax)\right| + C
\end{align}</math>

----

:<math>\begin{align}
\int {\frac{1}{\sqrt{a^2 + u^2}}\,du} & = \operatorname{arsinh} \left( \frac{u}{a} \right) + C \\
\int {\frac{1}{\sqrt{u^2 - a^2}}\,du} &= \operatorname{arcosh} \left( \frac{u}{a} \right) + C \\
\int {\frac{1}{a^2 - u^2}}\,du & = a^{-1}\operatorname{artanh} \left( \frac{u}{a} \right) + C && u^2 < a^2 \\
\int {\frac{1}{a^2 - u^2}}\,du & = a^{-1}\operatorname{arcoth} \left( \frac{u}{a} \right) + C && u^2 > a^2 \\
\int {\frac{1}{u\sqrt{a^2 - u^2}}\,du} & = -a^{-1}\operatorname{arsech}\left( \frac{u}{a} \right) + C \\
\int {\frac{1}{u\sqrt{a^2 + u^2}}\,du} & = -a^{-1}\operatorname{arcsch}\left| \frac{u}{a} \right| + C
\end{align}</math>

== Referensi ==

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Fungsi+hiperbolik&oldid=23907604 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 23907604 (2023-07-26T13:41:25Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.