Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-24T22:57:56Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 27007661; atribusi sumber disertakan.

2026-08-24T22:21:10Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 27007661; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

'''Fungsi Invers''' (atau '''fungsi kebalikan''') adalah (dalam matematika) fungsi yang merupakan kebalikan [[aksi]] dari suatu [[fungsi (matematika)|fungsi]]. Misalnya anggap saja <math>f</math> sebuah fungsi dari [[himpunan]] A ke [[himpunan]] B. Bila dapat ditentukan sebuah fungsi <math>g</math> dari himpunan B ke himpunan A sedemikian, sehingga <math>g(f(a)) = a</math> dan <math>f(f(b)) = b</math> untuk setiap a dalam A dan b dalam B, maka <math>g</math> disebut fungsi [[invers]] dari <math>f</math> dan bisa ditulis sebagai <math>f^{-1}</math>. Sebelum mengetahui fungsi invers maka harus mengenali dahulu fungsi yang memiliki invers. Fungsi <math>f(x)</math> akan memiliki invers dengan syarat <math>f(x)</math> merupakan fungsi [[Bijeksi|bijektif]]. Jika fungsi <math>f</math> memetakan anggota himpunan A ke himpunan B maka invers dari fungsi <math>f</math> atau ditulis <math>f^{-1}</math> memetakan himpunan B ke himpunan A. Kemudian ketika suatu bilangan itu dioperasikan dengan inversnya, maka akan menghasilkan identitas. Identitas adalah suatu bilangan yang jika dioperasikan dengan suatu bilangan, maka akan menghasilkan suatu bilangan tersebut dan pada [[operasi]] [[perkalian]], identitasnya adalah 1 karena apabila dikalikan dengan suatu bilangan hasilnya suatu [[bilangan]]. Sedangkan, pada [[penjumlahan]] identitasnya adalah 0 karena bila dijumlahkan dengan bilangan tertentu hasilnya bilangan tertentu. Pada fungsi juga berlaku demikian, sebuah fungsi bila dikomposisikan dengan invers maka menghasilkan fungsi identitas, yaitu <math>f(x) = x</math>.

== Simetri ==
Ada kesimetrian antara suatu fungsi dan kebalikannya. Secara khusus, jika adalah fungsi yang dapat dibalik dengan domain dan rentang , maka kebalikannya memiliki domain dan rentang , serta kebalikan dari adalah fungsi asli . Dalam simbol, untuk fungsi dan ,

:<math>f^{-1}\circ f = \operatorname{id}_X </math> dan <math> f \circ f^{-1} = \operatorname{id}_Y.</math>

Pernyataan ini adalah konsekuensi dari implikasi bahwa agar dapat dibalik, pernyataan itu harus bersifat bijektiv. Sifat [[Involusi (matematika)|involutori]] dari invers dapat diekspresikan secara ringkas
:<math>\left(f^{-1}\right)^{-1} = f.</math>

Kebalikan dari komposisi fungsi diberikan oleh
:<math>(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}.</math>
Perhatikan bahwa urutan dan telah dibalik; untuk mengurungkan diikuti oleh , pertama-tama kita harus membatalkan , lalu mengurungkan .

Misalnya, maka dan jika . Kemudian komposisinya adalah fungsi yang pertama kali dikalikan tiga lalu ditambahkan lima,

: <math>(g \circ f)(x) = 3x + 5.</math>

Untuk membalik proses ini, pertama-tama kita harus mengurangi lima, lalu membaginya dengan tiga,

: <math>(g \circ f)^{-1}(x) = \tfrac13(x - 5).</math>

kemudian sisi kanan invers masing-masing yaitu <math>f^{-1} = \frac{x}{3}</math> dan <math>g^{-1} = x - 5</math> maka <math>f^{-1} \circ g^{-1}</math> adalah <math>\tfrac13(x - 5).</math>

== Fungsi invers dalam kalkulus ==
Variabel tunggal [[kalkulus]] terutama berkaitan dengan fungsi yang memetakan [[Bilangan riil|bilangan real]] ke bilangan real. Fungsi seperti itu sering kali didefinisikan melalui [[rumus]], seperti:
:<math>f(x) = (2x + 8)^3 .</math>
Fungsi dugaan dari bilangan real ke bilangan real memiliki invers, asalkan satu-ke-satu. Artinya, grafik memiliki, untuk setiap kemungkinan nilai , hanya satu nilai yang sesuai, dan dengan demikian lolos [[uji garis horizontal]].

Tabel berikut menunjukkan beberapa fungsi standar dan invers:

:

== Fungsi Invers (sel) ==
Jika adalah himpunan, maka [[fungsi identitas]] di adalah kebalikannya:

: <math>{\operatorname{id}_X}^{-1} = \operatorname{id}_X.</math>

Secara lebih umum, sebuah fungsi sama dengan kebalikannya sendiri, hanya komposisi adalah . Fungsi seperti itu disebut [[Involusi (matematika)|involusi]].

== Rumus utama untuk Fungsi invers ==
Salah satu pendekatan untuk menemukan rumus , adalah untuk menyelesaikan [[persamaan]] untuk . Misalnya, jika adalah fungsinya

: <math>f(x) = (2x + 8)^3 </math>

maka kita harus menyelesaikan persamaan tersebut dari :

: <math>\begin{align}
y & = (2x+8)^3 \\
\sqrt[3]{y} & = 2x + 8 \\
\sqrt[3]{y} - 8 & = 2x \\
\dfrac{\sqrt[3]{y} - 8}{2} & = x .
\end{align}</math>

Demikianlah fungsi invers diberikan oleh rumus

: <math>f^{-1}(y) = \frac{\sqrt[3]{y} - 8} 2.</math>

Terkadang, kebalikan dari suatu fungsi tidak dapat diekspresikan dengan rumus dengan jumlah suku terbatas. Misalnya, jika adalah fungsinya

: <math>f(x) = x - \sin x ,</math>

maka adalah bijection, dan karena itu memiliki fungsi invers . [[Persamaan Kepler#Persamaan Invers Kepler|rumus untuk invers ini]] memiliki jumlah suku yang tak terhingga:

: <math> f^{-1}(y) =
\sum_{n=1}^\infty
\frac{y^{n/3}}{n!} \lim_{ \theta \to 0} \left(
\frac{\mathrm{d}^{\,n-1}}{\mathrm{d} \theta^{\,n-1}} \left(
\frac \theta { \sqrt[3]{ \theta - \sin( \theta)} } \right)^n
\right).
</math>

== Grafik invers ==

Jika dapat dibalik, maka grafik fungsinya

: <math>y = f^{-1}(x)</math>

sama dengan grafik persamaan

: <math>x = f(y) .</math>

Ini identik dengan persamaan yang mendefinisikan grafik , kecuali peran dan telah dibalik. Demikian grafik dapat diperoleh dari grafik dengan mengganti posisi sumbu dan . Ini setara dengan [[Refleksi (matematika)|mencerminkan]] grafik melintasi garis
.

== Dalam fungsi trigonometri ==

Fungsi trigonometri bersifat periodik, dan karenanya bukan [[fungsi injeksi|injeksi]], jadi tegaskan pada nilai yang tidak memiliki fungsi invers. Namun, pada setiap interval di mana fungsi trigonometri [[monotonik]], seseorang dapat mendefinisikan fungsi invers, dan ini mendefinisikan fungsi trigonometri terbalik sebagai [[fungsi multinilai]]. Untuk mendefinisikan fungsi invers yang benar, seseorang harus membatasi domain ke interval di mana fungsinya monotonik, dan dengan demikian [[kebijaksanaan|bijektiv]] dari interval ini ke citranya dengan fungsi. Pilihan umum untuk interval ini, yang disebut himpunan [[nilai pokok]] s, diberikan dalam tabel berikut. Seperti biasa, fungsi trigonometri terbalik dilambangkan dengan awalan "arc" sebelum nama atau singkatan dari fungsi tersebut.
:<math>
\begin{array}
\hline
\text{Fungsi} & \text{Definisi} & \text{Domain} &\text{Kumpulan nilai pokok}
\\
\hline
y = \arcsin x & \sin y = x & -1 \le x \le 1 & -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2} \\
y = \arccos x & \cos y = x & -1 \le x \le 1 & 0 \le y \le \pi \\
y = \arctan x & \tan y = x & -\infty \le x \le \infty & -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2} \\
y = \arccot x & \cot y = x & -\infty \le x \le \infty & 0 < y < \pi \\
y = \arcsec x & \sec y = x & x<-1 \text{ atau } x>1 & 0 \le y \le \pi,\; y \ne \frac{\pi}{2} \\
y = \arccsc x & \csc y = x & x<-1 \text{ atau } x>1 & -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2},\; y \ne 0
\\\hline
\end{array}
</math>

== Fungsi invers dan turunan ==
Sebuah [[fungsi kontinu]] dapat dibalik pada rentangnya (gambar) jika dan hanya jika [[fungsi monotonik|meningkat atau menurun]] (tanpa lokal [[maksima dan minimum|maksimal dan minimum]], contoh dari:

: <math>f(x) = x^3 + x</math>

dapat dibalik, karena [[turunan]]
selalu positif.

Jika fungsi adalah [[Fungsi yang dapat dibedakan|dapat dibedakan]] pada interval dan untuk setiap , lalu kebalikannya dapat dibedakan . Bila , turunan dari invers diberikan oleh [[teorema fungsi invers]],

: <math>\left(f^{-1}\right)^\prime (y) = \frac{1}{f'\left(x \right)}. </math>

Menggunakan [[notasi Leibniz]] rumus di atas dapat ditulis sebagai

: <math>\frac{dx}{dy} = \frac{1}{dy / dx}. </math>

Hasil ini mengikuti [[aturan rantai]] (lihat artikel tentang [[Fungsi dan diferensiasi invers]]).

Teorema fungsi invers dapat digeneralisasikan menjadi fungsi dari beberapa variabel. Secara khusus, [[fungsi multivariabel nyata|fungsi multivariabel]] dapat dibalik di lingkungan titik selama [[Matriks dan determinan|matriks Jacobian]] dari pada adalah [[matriks yang invers|dapat dibalik]]. Dalam hal ini, Jacobian dari pada adalah [[invers matriks]] dari Jacobian dari pada .

== Contoh ==
* Tentukan <math>f^{-1}(x)</math> dari <math>f(x) = 2x + 3</math>!
: <math>f(x) = 2x + 3</math>
: <math>f(x) - 3 = 2x</math>
: <math>x = \frac{f(x) - 3}{2}</math>
: <math>f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}</math>

* Tentukan <math>f^{-1}(x)</math> dari <math>f(x) = x^2 - 6x + 15</math>!
: <math>f(x) = x^2 - 6x + 15</math>
: <math>f(x) = x^2 - 6x + 9 - 9 + 15</math>
:<math>f(x) = (x - 3)^2 + 6</math>
:<math>f(x) - 6 = (x - 3)^2</math>
:<math>x - 3 = \pm \sqrt{f(x) - 6}</math>
:<math>x = 3 \pm \sqrt{f(x) - 6}</math>
:<math>f^{-1}(x) = 3 \pm \sqrt{x - 6}</math>

* Tentukan <math>f^{-1}(x)</math> dari <math>f(x) = \frac{2x - 7}{5x + 3}</math>!
: <math>f(x) = \frac{2x - 7}{5x + 3}</math>
: <math>(5x + 3) f(x) = 2x - 7</math>
: <math>5x f(x) + 3 f(x) = 2x - 7</math>
: <math>5x f(x) - 2x = - 3 f(x) - 7</math>
: <math>(5f(x) - 2)x = - 3 f(x) - 7</math>
: <math>x = \frac{- 3 f(x) - 7}{5f(x) - 2}</math>
: <math>f^{-1}(x) = \frac{- 3x - 7}{5x - 2}</math>

* Tentukan <math>f^{-1}(x)</math> dari <math>f(x) = e^{x+3}</math>!
: <math>f(x) = e^{x+3}</math>
: <math>^e \log f(x) = x + 3</math>
: <math>x = ^e \log f(x) - 3</math> (karena <math>^e \log x = \ln x</math>)
: <math>f^{-1}(x) = \ln x - 3</math>

* Tentukan <math>f^{-1}(x)</math> dari <math>f(x) = ^2 \log {(x^2 + 8x -25)}</math>!
: <math>f(x) = ^2 \log {(x^2 + 8x - 25)}</math>
: <math>x^2 + 8x - 25 = 2^{f(x)}</math>
: <math>x^2 + 8x +16 - 16 - 25 = 2^{f(x)}</math>
: <math>x^2 + 8x +16 - 41 = 2^{f(x)}</math>
: <math>(x + 4)^2 - 41 = 2^{f(x)}</math>
: <math>(x + 4)^2 = 41 + 2^{f(x)}</math>
: <math>x + 4 = \pm \sqrt{41 + 2^{f(x)}}</math>
: <math>x = - 4 \pm \sqrt{41 + 2^{f(x)}}</math>
: <math>f^{-1}(x) = - 4 \pm \sqrt{41 + 2^{x}}</math>

* Tentukan <math>f^{-1}(x)</math> dari <math>f(x) = sin (4x+3) - 7</math>!
: <math>f(x) = sin (4x+3) - 7</math>
: <math>f(x) + 7 = sin (4x+3)</math>
: <math>4x + 3 = arcsin (f(x) + 7)</math>
: <math>4x = arcsin (f(x) + 7) - 3</math>
: <math>x = \frac{arcsin (f(x) + 7) - 3}{4}</math>
: <math>f^{-1}(x) = \frac{arcsin (x + 7) - 3}{4}</math>

== Lihat pula ==
* [[Fungsi (matematika)]]
* [[Komposisi fungsi]]

== Referensi ==

== Bacaan lebih lanjut ==
*
*

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Fungsi+invers&oldid=27007661 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27007661 (2025-03-08T07:26:56Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Fungsi invers - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 27007661; atribusi sumber disertakan.