Fungsi kuintik - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T03:57:59Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 03.57
Baris 1:		Baris 1:
			[[File:Quintic_polynomial.svg\|thumb\|right\|280px\|Quintic polynomial]]

	Dalam [[aljabar]], '''fungsi kuintik''' adalah [[fungsi (matematika)\|fungsi]] berbentuk<math display="block">g(x)=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f,\,</math>dengan <math>a,b,c,d,e,f</math> merupakan anggota dari [[Lapangan (matematika)\|lapangan]], Anggota tersebut secara umum berupa [[bilangan rasional]], [[bilangan real]] ataupun [[bilangan kompleks]], serta <math>a</math> bukan nol. Dengan kata lain, fungsi kuintik adalah suatu fungsi yang didefinisikan dengan sebuah [[polinomial]] dengan [[Derajat polinomial\|derajat]] lima.		Dalam [[aljabar]], '''fungsi kuintik''' adalah [[fungsi (matematika)\|fungsi]] berbentuk<math display="block">g(x)=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f,\,</math>dengan <math>a,b,c,d,e,f</math> merupakan anggota dari [[Lapangan (matematika)\|lapangan]], Anggota tersebut secara umum berupa [[bilangan rasional]], [[bilangan real]] ataupun [[bilangan kompleks]], serta <math>a</math> bukan nol. Dengan kata lain, fungsi kuintik adalah suatu fungsi yang didefinisikan dengan sebuah [[polinomial]] dengan [[Derajat polinomial\|derajat]] lima.

Baris 8:		Baris 10:

	== Mencari akar dari persamaan kuintik ==		== Mencari akar dari persamaan kuintik ==

	Mencari akar dari polinomial telah menjadi masalah matematika yang menonjol. Persamaan polinomial seperti [[persamaan linear]], [[persamaan kuadrat]], [[persamaan kubik]] dan [[persamaan kuadrtik\|persamaan kuartik]] selalu dapat diselesaikan dengan menggunakan [[faktorisasi]] dan kemudian diubah menjadi [[Akar ke-n\|akar]], tidak peduli apakah akarnya bernilai bilangan rasional atau irasional, bilangan real atau bilangan kompleks, dan ada rumus-rumus yang menghasilkan solusi yang dibutuhkan. Sayangnya, persamaan polinomial seperti persamaan kuintik tidak mempunyai [[Ekspresi aljabar\|ekspresi]] akar untuk solusinya atas bilangan rasional. Pernyataan ini dikenal sebagai [[teorema Abel–Ruffini]], yang pertama kali pernyataan tersebut diterbitkan pada tahun 1799, dan buktinya diselesaikan pada tahun 1824. Teorema ini juga berlaku untuk persamaan derajat yang lebih tinggi. Sebagai contoh, akar dari persamaan kuintik tidak dapat diubah menjadi ekspresi [[Akar ke-n\|radikal]].		Mencari akar dari polinomial telah menjadi masalah matematika yang menonjol. Persamaan polinomial seperti [[persamaan linear]], [[persamaan kuadrat]], [[persamaan kubik]] dan [[persamaan kuadrtik\|persamaan kuartik]] selalu dapat diselesaikan dengan menggunakan [[faktorisasi]] dan kemudian diubah menjadi [[Akar ke-n\|akar]], tidak peduli apakah akarnya bernilai bilangan rasional atau irasional, bilangan real atau bilangan kompleks, dan ada rumus-rumus yang menghasilkan solusi yang dibutuhkan. Sayangnya, persamaan polinomial seperti persamaan kuintik tidak mempunyai [[Ekspresi aljabar\|ekspresi]] akar untuk solusinya atas bilangan rasional. Pernyataan ini dikenal sebagai [[teorema Abel–Ruffini]], yang pertama kali pernyataan tersebut diterbitkan pada tahun 1799, dan buktinya diselesaikan pada tahun 1824. Teorema ini juga berlaku untuk persamaan derajat yang lebih tinggi. Sebagai contoh, akar dari persamaan kuintik tidak dapat diubah menjadi ekspresi [[Akar ke-n\|radikal]].

Baris 14:		Baris 15:

	== Persamaan kuintik yang terpecahkan ==		== Persamaan kuintik yang terpecahkan ==
			Beberapa persamaan kuintik dapat diselesaikan dalam bentuk akar, dan persamaan tersebut didefinisikan dengan polinomial [[polinomial tak tersederhanakan\|tersederhanakan]], seperti . Sebagai contoh, persamaan<math display="block">x^5-x-r=0</math>telah diperlihatkan<ref>Michele Elia and Piero Filipponi. "Equations of the Bring-Jerrard form, the golden section, and square Fibonacci numbers", ''Fibonacci Quarterly'' 36, June-July 1998, 282–286. http://www.fq.math.ca/Scanned/36-3/elia.pdf</ref> mempunyai solusi dalam ekspresi akar [[jika dan hanya jika]] persamaan tersebut mempunyai solusi [[bilangan bulat]] atau <math>r</math> bernilai ±15, ± 22440, atau ± 2759640. Pada kasus ini, polinomial tersebut dapat disederhanakan.
	Beberapa persamaan kuintik dapat diselesaikan dalam bentuk akar, dan persamaan tersebut didefinisikan dengan polinomial [[polinomial tak tersederhanakan\|tersederhanakan]], seperti . Sebagai contoh, persamaan<math display="block">x^5-x-r=0</math>telah diperlihatkan mempunyai solusi dalam ekspresi akar [[jika dan hanya jika]] persamaan tersebut mempunyai solusi [[bilangan bulat]] atau <math>r</math> bernilai ±15, ± 22440, atau ± 2759640. Pada kasus ini, polinomial tersebut dapat disederhanakan.

	Penyelesaian persamaan kuintik tersederhanakan disederhanakan secara langung agar membentuk penyelesaian polinomial dengan derajat yang lebih kecil, sehingga yang tersisa hanyalah persamaan kuintik tak tersederhanakan. Karena itu, istilah "kuintik" hanya akan merujuk pada kuintik tak tersederhanakan. '''Kuintik terpecahkan''' () adalah polinomial kuintik tak tersederhanakan yang akarnya dapat dinyatakan dalam ekspresi akar.		Penyelesaian persamaan kuintik tersederhanakan disederhanakan secara langung agar membentuk penyelesaian polinomial dengan derajat yang lebih kecil, sehingga yang tersisa hanyalah persamaan kuintik tak tersederhanakan. Karena itu, istilah "kuintik" hanya akan merujuk pada kuintik tak tersederhanakan. '''Kuintik terpecahkan''' () adalah polinomial kuintik tak tersederhanakan yang akarnya dapat dinyatakan dalam ekspresi akar.

	Untuk mengkarakterisasi kuintik terpecahkan, dan untuk polinomial dengan derajat yang lebih tinggi, [[Évariste Galois]] mengembangkan teknik yang memunculkan [[teori grup]] dan [[teori Galois]]. Ketika menerapkan teknik tersebut, [[Arthur Cayley]] menemukan kriteria umum untuk menentukan apakah sebarang persamaan kuintik terselesaikan (dapat diselesaikan). Kriteria tersebut menjelaskan sebagai berikut.		Untuk mengkarakterisasi kuintik terpecahkan, dan untuk polinomial dengan derajat yang lebih tinggi, [[Évariste Galois]] mengembangkan teknik yang memunculkan [[teori grup]] dan [[teori Galois]]. Ketika menerapkan teknik tersebut, [[Arthur Cayley]] menemukan kriteria umum untuk menentukan apakah sebarang persamaan kuintik terselesaikan (dapat diselesaikan).<ref>A. Cayley. "On a new auxiliary equation in the theory of equation of the fifth order", Philosophical Transactions of the Royal Society of London (1861).</ref> Kriteria tersebut menjelaskan sebagai berikut.<ref>Formulasi hasil Cayley ini diambil dari Lazard (2004) paper.</ref>

	Diberikan persamaan<math display="block"> ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0,</math> maka [[transformasi Tschirnhaus]] , yang menekan persamaan kuintik (dengan kata lain, menghilangkan suku derajat empat), memberikan persamaan <math display="block"> y^5+p y^3+q y^2+r y+s=0</math>dengan<math display="block">\begin{align}p &= \frac{5ac-2b^2}{5a^2}\\		Diberikan persamaan<math display="block"> ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0,</math> maka [[transformasi Tschirnhaus]] , yang menekan persamaan kuintik (dengan kata lain, menghilangkan suku derajat empat), memberikan persamaan <math display="block"> y^5+p y^3+q y^2+r y+s=0</math>dengan<math display="block">\begin{align}p &= \frac{5ac-2b^2}{5a^2}\\
Baris 31:		Baris 31:
	</math>Hasil Cayley memungkinkan seseorang untuk menguji apakah persamaan kuintik tersebut terpecahkan. Jika demikian, maka mencari akarnya adalah masalah yang lebih sulit, yang terdiri dari mencari akar dalam ekspresi radikal yang melibatkan koefisien dari persamaan kuintik dan akar rasional dari resolven Cayley.		</math>Hasil Cayley memungkinkan seseorang untuk menguji apakah persamaan kuintik tersebut terpecahkan. Jika demikian, maka mencari akarnya adalah masalah yang lebih sulit, yang terdiri dari mencari akar dalam ekspresi radikal yang melibatkan koefisien dari persamaan kuintik dan akar rasional dari resolven Cayley.

	Pada tahun 1888, [[George Paxton Young]] menjelaskan cara menyelesaikan suatu persamaan kuintik terselesaikan tanpa menyediakan rumus yang eksplisit. Rumus tersebut ditulis dalam tiga halaman oleh [[Daniel Lazard]].		Pada tahun 1888, [[George Paxton Young]]<ref>George Paxton Young. ''Solvable Quintics Equations with Commensurable Coefficients'' ''American Journal of Mathematics'' '''10''' (1888), 99–130 [https://www.jstor.org/pss/2369502 at JSTOR]</ref> menjelaskan cara menyelesaikan suatu persamaan kuintik terselesaikan tanpa menyediakan rumus yang eksplisit. Rumus tersebut ditulis dalam tiga halaman oleh [[Daniel Lazard]].<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Fungsi+kuintik&oldid=25202647 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref>
	== Solusi selain dalam ekspresi akar ==		== Solusi selain dalam ekspresi akar ==
			Sekitar tahun 1835, [[George Jerrard\|Jerrard]] memperlihatkan bahwa persamaan kuintik dapat diselesaikan dengan menggunakan [[ultraradikal]] (atau juga dikenal sebagai [[radikal Bring]]), sebuah akar real dari persamaan untuk bilangan real . Pada tahun 1858, [[Charles Hermite]] memperlihatkan bahwa radikal Bring dapat dikarakterisasi dalam [[fungsi theta]] Jacobi dan [[fungsi modular eliptik]] iringannya, dengan menggunakan pendekatan yang mirip dengan pendekatan yang lebih dikenal dalam menyelesaikan [[persamaan kubik]] melalui [[fungsi trigonometri]]. Di sekitar waktu yang sama, [[Leopold Kronecker]] dan [[Francesco Brioschi]] menggunakan [[teori grup]] dan mengembangkan cara yang lebih sederhana untuk memperoleh hasil Hermite. [[Felix Klein]] kemudian menemukan metode yang mengaitkan simetri dari [[ikosahedron]], [[teori Galois]], dan fungsi modular eliptik yang dipakai dalam solusi Hermite; menjelaskan alasan fungsi tersebut harus dipakai, dan mengembangkan solusinya sendiri dengan menggunakan [[Fungsi hipergeometrik rampat\|fungsi hipergeometrik diperumum]].<ref>; a modern exposition is given in</ref> Fenomena yang serupa terjadi dalam persamaan berderajat 7 (atau [[persamaan septik]]) dan persamaan berderajat 11, saat Klein mempelajarinya.
	Sekitar tahun 1835, [[George Jerrard\|Jerrard]] memperlihatkan bahwa persamaan kuintik dapat diselesaikan dengan menggunakan [[ultraradikal]] (atau juga dikenal sebagai [[radikal Bring]]), sebuah akar real dari persamaan untuk bilangan real . Pada tahun 1858, [[Charles Hermite]] memperlihatkan bahwa radikal Bring dapat dikarakterisasi dalam [[fungsi theta]] Jacobi dan [[fungsi modular eliptik]] iringannya, dengan menggunakan pendekatan yang mirip dengan pendekatan yang lebih dikenal dalam menyelesaikan [[persamaan kubik]] melalui [[fungsi trigonometri]]. Di sekitar waktu yang sama, [[Leopold Kronecker]] dan [[Francesco Brioschi]] menggunakan [[teori grup]] dan mengembangkan cara yang lebih sederhana untuk memperoleh hasil Hermite. [[Felix Klein]] kemudian menemukan metode yang mengaitkan simetri dari [[ikosahedron]], [[teori Galois]], dan fungsi modular eliptik yang dipakai dalam solusi Hermite; menjelaskan alasan fungsi tersebut harus dipakai, dan mengembangkan solusinya sendiri dengan menggunakan [[Fungsi hipergeometrik rampat\|fungsi hipergeometrik diperumum]]. Fenomena yang serupa terjadi dalam persamaan berderajat 7 (atau [[persamaan septik]]) dan persamaan berderajat 11, saat Klein mempelajarinya.
	== Penerapan persamaan kuintik dalam mekanika benda angkasa ==		== Penerapan persamaan kuintik dalam mekanika benda angkasa ==
	Memecahkan lokasi [[titik Lagrangian]] dari orbit astronomi dengan massa dari kedua objek tidak dapat diabaikan melibatkan penyelesaian kuintik.		Memecahkan lokasi [[titik Lagrangian]] dari orbit astronomi dengan massa dari kedua objek tidak dapat diabaikan melibatkan penyelesaian kuintik.
Baris 64:		Baris 63:

	== Catatan ==		== Catatan ==


	~~== Referensi ==~~
	* Charles Hermite, "Sur la résolution de l'équation du cinquème degré", ''Œuvres de Charles Hermite'', t.2, pp. 5–21, Gauthier-Villars, 1908.
	* Felix Klein, [https://archive.org/details/cu31924059413439 ''Lectures on the Icosahedron and the Solution of Equations of the Fifth Degree''], trans. George Gavin Morrice, Trübner & Co., 1888. .
	* Leopold Kronecker, "Sur la résolution de l'equation du cinquième degré, extrait d'une lettre adressée à M. Hermite", ''Comptes Rendus de l'Académie des Sciences'', t. XLVI, 1858 (1), pp. 1150–1152.
	* Blair Spearman and Kenneth S. Williams, "Characterization of solvable quintics , ''American Mathematical Monthly'', Vol. 101 (1994), pp. 986–992.
	* Ian Stewart, ''Galois Theory'' 2nd Edition, Chapman and Hall, 1989. . Discusses Galois Theory in general including a proof of insolvability of the general quintic.
	* [[Jörg Bewersdorff]], ''Galois theory for beginners: A historical perspective'', [[American Mathematical Society]], 2006. . Chapter 8 () gives a description of the solution of solvable quintics .
	* Victor S. Adamchik and David J. Jeffrey, "Polynomial transformations of Tschirnhaus, Bring and Jerrard," ''ACM SIGSAM Bulletin'', Vol. 37, No. 3, September 2003, pp. 90–94.
	* Ehrenfried Walter von Tschirnhaus, "A method for removing all intermediate terms from a given equation," ''ACM SIGSAM Bulletin'', Vol. 37, No. 1, March 2003, pp. 1–3.
	*
	*

	== Pranala luar ==		== Pranala luar ==
	* [http://mathworld.wolfram.com/QuinticEquation.html Mathworld - Quintic Equation] – more details on methods for solving Quintics.		* [http://mathworld.wolfram.com/QuinticEquation.html Mathworld - Quintic Equation] – more details on methods for solving Quintics.
Baris 83:		Baris 68:
	* [https://web.archive.org/web/20090226035640/http://www.sigsam.org/bulletin/articles/143/tschirnhaus.pdf A method for removing all intermediate terms from a given equation] - a recent English translation of Tschirnhaus' 1683 paper.		* [https://web.archive.org/web/20090226035640/http://www.sigsam.org/bulletin/articles/143/tschirnhaus.pdf A method for removing all intermediate terms from a given equation] - a recent English translation of Tschirnhaus' 1683 paper.

			== Referensi ==
			<references />

			== Sumber dan atribusi ==

	== ~~Sumber~~ dan ~~atribusi ==~~		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Fungsi+kuintik&oldid=25202647 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 25202647 (2024-01-22T05:30:19Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

	~~Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Fungsi+kuintik&oldid=25202647 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 25202647 (2024~~-01-~~22T05:30:19Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi~~-~~BerbagiSerupa (CC BY~~-~~SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.~~		<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 25202647; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T03:18:01Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 25202647; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[aljabar]], '''fungsi kuintik''' adalah [[fungsi (matematika)|fungsi]] berbentuk<math display="block">g(x)=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f,\,</math>dengan <math>a,b,c,d,e,f</math> merupakan anggota dari [[Lapangan (matematika)|lapangan]], Anggota tersebut secara umum berupa [[bilangan rasional]], [[bilangan real]] ataupun [[bilangan kompleks]], serta <math>a</math> bukan nol. Dengan kata lain, fungsi kuintik adalah suatu fungsi yang didefinisikan dengan sebuah [[polinomial]] dengan [[Derajat polinomial|derajat]] lima.

Karena mempunyai derajat bernilai ganjil, fungsi kuintik normal tampak mirip seperti [[fungsi kubik]] normal saat menggambarkannya, kecuali mempunyai satu buah [[Maxima dan minima|maksimum lokal]] dan satu buah minimum lokal tambahan. [[Turunan]] dari fungsi kuintik adalah [[fungsi kuartik]].

Dengan menetapkan , dan mengasumsi bahwa , akan menghasilkan '''persamaan kuintik''' dalam bentuk:<math display="block">ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0.\,</math>

Memecahkan [[persamaan kuintik]] dalam bentuk [[Akar ke-n|akar]] adalah masalah utama dalam aljabar pada abad ke-16, ketika menemukan solusi dari [[persamaan kubik]] dan [[persamaan kuartik]]. Hingga pada setengah abad ke-19, kemustahilan untuk mendapatkan solusi umum dari polinomial tersebut dibuktikan dengan menggunakan [[teorema Abel–Ruffini]].

== Mencari akar dari persamaan kuintik ==

Mencari akar dari polinomial telah menjadi masalah matematika yang menonjol. Persamaan polinomial seperti [[persamaan linear]], [[persamaan kuadrat]], [[persamaan kubik]] dan [[persamaan kuadrtik|persamaan kuartik]] selalu dapat diselesaikan dengan menggunakan [[faktorisasi]] dan kemudian diubah menjadi [[Akar ke-n|akar]], tidak peduli apakah akarnya bernilai bilangan rasional atau irasional, bilangan real atau bilangan kompleks, dan ada rumus-rumus yang menghasilkan solusi yang dibutuhkan. Sayangnya, persamaan polinomial seperti persamaan kuintik tidak mempunyai [[Ekspresi aljabar|ekspresi]] akar untuk solusinya atas bilangan rasional. Pernyataan ini dikenal sebagai [[teorema Abel–Ruffini]], yang pertama kali pernyataan tersebut diterbitkan pada tahun 1799, dan buktinya diselesaikan pada tahun 1824. Teorema ini juga berlaku untuk persamaan derajat yang lebih tinggi. Sebagai contoh, akar dari persamaan kuintik tidak dapat diubah menjadi ekspresi [[Akar ke-n|radikal]].

Ada beberapa persamaan kuintik yang dapat diselesaikan dengan menggunakan ekspresi akar. Akan tetapi, solusi tersebut umumnya terlalu rumit untuk digunakan pada praktiknya. Sebagai gantinya, aproksimasi numerik dihitung menggunakan [[algoritma pencarian akar#Menemukan akar polinomial|algoritma pencarian akar untuk polinomial]].

== Persamaan kuintik yang terpecahkan ==

Beberapa persamaan kuintik dapat diselesaikan dalam bentuk akar, dan persamaan tersebut didefinisikan dengan polinomial [[polinomial tak tersederhanakan|tersederhanakan]], seperti . Sebagai contoh, persamaan<math display="block">x^5-x-r=0</math>telah diperlihatkan mempunyai solusi dalam ekspresi akar [[jika dan hanya jika]] persamaan tersebut mempunyai solusi [[bilangan bulat]] atau <math>r</math> bernilai ±15, ± 22440, atau ± 2759640. Pada kasus ini, polinomial tersebut dapat disederhanakan.

Penyelesaian persamaan kuintik tersederhanakan disederhanakan secara langung agar membentuk penyelesaian polinomial dengan derajat yang lebih kecil, sehingga yang tersisa hanyalah persamaan kuintik tak tersederhanakan. Karena itu, istilah "kuintik" hanya akan merujuk pada kuintik tak tersederhanakan. '''Kuintik terpecahkan''' () adalah polinomial kuintik tak tersederhanakan yang akarnya dapat dinyatakan dalam ekspresi akar.

Untuk mengkarakterisasi kuintik terpecahkan, dan untuk polinomial dengan derajat yang lebih tinggi, [[Évariste Galois]] mengembangkan teknik yang memunculkan [[teori grup]] dan [[teori Galois]]. Ketika menerapkan teknik tersebut, [[Arthur Cayley]] menemukan kriteria umum untuk menentukan apakah sebarang persamaan kuintik terselesaikan (dapat diselesaikan). Kriteria tersebut menjelaskan sebagai berikut.

Diberikan persamaan<math display="block"> ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0,</math> maka [[transformasi Tschirnhaus]] , yang menekan persamaan kuintik (dengan kata lain, menghilangkan suku derajat empat), memberikan persamaan <math display="block"> y^5+p y^3+q y^2+r y+s=0</math>dengan<math display="block">\begin{align}p &= \frac{5ac-2b^2}{5a^2}\\
q &= \frac{25a^2d-15abc+4b^3}{25a^3}\\
r &= \frac{125a^3e-50a^2bd+15ab^2c-3b^4}{125a^4}\\
s &= \frac{3125 a^4f-625a^3 be+125a^2b^2 d-25ab^3 c+4 b^5}{3125a^5}\end{align}</math>

Kedua persamaan kuintik di atas terselesaikan dengan akar jika dan hanya jika kedua persamaan tersebut dapat difaktorkan dalam persamaan derajat yang lebih rendah dengan koefisien bilangan rasional atau polinomial , yang bernama ''resolven Cayley'', mempunyai akar rasional di, dengan<math display="block">
P =z^3-z^2(20r+3p^2)- z(8p^2r - 16pq^2- 240r^2 + 400sq - 3p^4) - p^6 + 28p^4r- 16p^3q^2- 176p^2r^2- 80p^2sq + 224prq^2- 64q^4 + 4000ps^2 + 320r^3- 1600rsq
</math>dan <math display="block">\Delta=-128p^2r^4+3125s^4-72p^4qrs+560p^2qr^2s+16p^4r^3+256r^5+108p^5s^2-1600qr^3s+144pq^2r^3-900p^3rs^2+2000pr^2s^2-3750pqs^3+825p^2q^2s^2+2250q^2rs^2+108q^5s-27q^4r^2-630pq^3rs+16p^3q^3s-4p^3q^2r^2.
</math>Hasil Cayley memungkinkan seseorang untuk menguji apakah persamaan kuintik tersebut terpecahkan. Jika demikian, maka mencari akarnya adalah masalah yang lebih sulit, yang terdiri dari mencari akar dalam ekspresi radikal yang melibatkan koefisien dari persamaan kuintik dan akar rasional dari resolven Cayley.

Pada tahun 1888, [[George Paxton Young]] menjelaskan cara menyelesaikan suatu persamaan kuintik terselesaikan tanpa menyediakan rumus yang eksplisit. Rumus tersebut ditulis dalam tiga halaman oleh [[Daniel Lazard]].
== Solusi selain dalam ekspresi akar ==

Sekitar tahun 1835, [[George Jerrard|Jerrard]] memperlihatkan bahwa persamaan kuintik dapat diselesaikan dengan menggunakan [[ultraradikal]] (atau juga dikenal sebagai [[radikal Bring]]), sebuah akar real dari persamaan untuk bilangan real . Pada tahun 1858, [[Charles Hermite]] memperlihatkan bahwa radikal Bring dapat dikarakterisasi dalam [[fungsi theta]] Jacobi dan [[fungsi modular eliptik]] iringannya, dengan menggunakan pendekatan yang mirip dengan pendekatan yang lebih dikenal dalam menyelesaikan [[persamaan kubik]] melalui [[fungsi trigonometri]]. Di sekitar waktu yang sama, [[Leopold Kronecker]] dan [[Francesco Brioschi]] menggunakan [[teori grup]] dan mengembangkan cara yang lebih sederhana untuk memperoleh hasil Hermite. [[Felix Klein]] kemudian menemukan metode yang mengaitkan simetri dari [[ikosahedron]], [[teori Galois]], dan fungsi modular eliptik yang dipakai dalam solusi Hermite; menjelaskan alasan fungsi tersebut harus dipakai, dan mengembangkan solusinya sendiri dengan menggunakan [[Fungsi hipergeometrik rampat|fungsi hipergeometrik diperumum]]. Fenomena yang serupa terjadi dalam persamaan berderajat 7 (atau [[persamaan septik]]) dan persamaan berderajat 11, saat Klein mempelajarinya.
== Penerapan persamaan kuintik dalam mekanika benda angkasa ==
Memecahkan lokasi [[titik Lagrangian]] dari orbit astronomi dengan massa dari kedua objek tidak dapat diabaikan melibatkan penyelesaian kuintik.

Lebih tepatnya, lokasi <math>L_2</math> dan <math>L_1</math> adalah solusi untuk persamaan berikut, dengan [[Gravitasi|gaya gravitasi]] dua objek bermassa terhadap objek ketiga (sebagai contoh, Matahari dan Bumi terhadap satelit seperti [[Gaia probe|Gaia]] di <math>L_2</math> dan [[Observatorium Surya dan Heliosfer|SOHO]] di <math>L_1</math>) memberikan [[gaya sentripetal]] satelit yang diperlukan untuk tetap berada dalam orbit sinkron dengan Bumi di sekitar Matahari:

: <math>\frac{G m M_S}{(R \pm r)^2} \pm \frac{G m M_E}{r^2} = m \omega^2 (R \pm r)</math>

Tanda ± mewakili masing-masing <math>L_2</math> dan <math>L_1</math>; <math>G</math> adalah [[konstanta gravitasi]], <math>\omega</math> adalah [[kecepatan sudut]], <math>r</math> adalah jarak satelit ke Bumi, <math>R</math> jarak Matahari ke Bumi (yaitu, [[sumbu semi-mayor]] orbit bumi), serta <math>m</math>, <math>M_E</math>, dan <math>M_S</math> adalah massa satelit, [[Bumi]], dan [[Matahari]].

Menggunakan Hukum Ketiga Kepler <math display="inline">\omega^2=\frac{4 \pi^2}{P^2}=\frac{G (M_S+M_E)}{R^3}</math> dan menyusun ulang semua partisipan persamaan menghasilkan kuintik:

: <math>a r^5 + b r^4 + c r^3 + d r^2 + e r + f = 0</math>

dengan <math>a = \pm (M_S + M_E)</math>, <math>b = + (M_S + M_E) 3 R</math>, <math>c = \pm (M_S + M_E) 3 R^2</math>, <math>d = + (M_E \mp M_E) R^3</math> (jadi <math>d = 0</math> untuk <math>L_2</math>), <math>e = \pm M_E 2 R^4</math>, <math>f = \mp M_E R^5</math>.

Menyelesaikan kedua hasil kuintik ini akan menghasilkan untuk <math>L_2</math> dan untuk <math>L_1</math>. [[Daftar objek di titik Lagrange|Titik Lagrangian Matahari–Bumi]] <math>L_2</math> dan <math>L_1</math> biasanya menggunakan jarak sejauh 1,5 juta km dari Bumi.

Jika massa dari objek yang lebih kecil (<math>M_E</math> jauh di bawah massa objek yang lebih besar (<math>M_S</math>), maka persamaan kuintiknya dapat direduksi, serta <math>L_1</math> dan <math>L_2</math> akan kurang lebih berada pada radius [[bola Hill]], sesuai dengan:

: <math>r \approx R \sqrt[3]{\frac{M_E}{3 M_S}}</math>

yang juga akan menghasilkan untuk satelit pada <math>L_1</math> dan <math>L_2</math> dalam sistem Matahari-Bumi.

== Lihat pula ==
* [[Persamaan sekstik]]
* [[Fungsi septik]]
* [[Teori persamaan]]

== Catatan ==

== Referensi ==
* Charles Hermite, "Sur la résolution de l'équation du cinquème degré", ''Œuvres de Charles Hermite'', t.2, pp. 5–21, Gauthier-Villars, 1908.
* Felix Klein, [https://archive.org/details/cu31924059413439 ''Lectures on the Icosahedron and the Solution of Equations of the Fifth Degree''], trans. George Gavin Morrice, Trübner & Co., 1888. .
* Leopold Kronecker, "Sur la résolution de l'equation du cinquième degré, extrait d'une lettre adressée à M. Hermite", ''Comptes Rendus de l'Académie des Sciences'', t. XLVI, 1858 (1), pp. 1150–1152.
* Blair Spearman and Kenneth S. Williams, "Characterization of solvable quintics , ''American Mathematical Monthly'', Vol. 101 (1994), pp. 986–992.
* Ian Stewart, ''Galois Theory'' 2nd Edition, Chapman and Hall, 1989. . Discusses Galois Theory in general including a proof of insolvability of the general quintic.
* [[Jörg Bewersdorff]], ''Galois theory for beginners: A historical perspective'', [[American Mathematical Society]], 2006. . Chapter 8 () gives a description of the solution of solvable quintics .
* Victor S. Adamchik and David J. Jeffrey, "Polynomial transformations of Tschirnhaus, Bring and Jerrard," ''ACM SIGSAM Bulletin'', Vol. 37, No. 3, September 2003, pp. 90–94.
* Ehrenfried Walter von Tschirnhaus, "A method for removing all intermediate terms from a given equation," ''ACM SIGSAM Bulletin'', Vol. 37, No. 1, March 2003, pp. 1–3.
*
*

== Pranala luar ==
* [http://mathworld.wolfram.com/QuinticEquation.html Mathworld - Quintic Equation] – more details on methods for solving Quintics.
* [http://www.emba.uvm.edu/~dummit/quintics/solvable.pdf Solving Solvable Quintics] – a method for solving solvable quintics due to David S. Dummit.
* [https://web.archive.org/web/20090226035640/http://www.sigsam.org/bulletin/articles/143/tschirnhaus.pdf A method for removing all intermediate terms from a given equation] - a recent English translation of Tschirnhaus' 1683 paper.

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Fungsi+kuintik&oldid=25202647 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 25202647 (2024-01-22T05:30:19Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.