Fungsi pembangkit - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-23T03:08:08Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 23 Agustus 2026 03.08
Baris 1:		Baris 1:
	Dalam [[matematika]], '''fungsi pembangkit''' adalah sebuah cara menyatakan suku-suku dari barisan takhingga <math>(a_n)</math> sebagai koefisien-koefisien suatu [[deret pangkat\|deret pangkat formal]]. Deret yang dihasilkan proses ini disebut dengan fungsi pembangkit dari barisan tersebut. Berbeda dengan deret pada umumnya, deret pangkat ''formal'' tidak perlu [[Konvergensi\|konvergen]]: malahan, fungsi pembangkit sebenarnya tidak dianggap sebagai sebuah fungsi, dan "variabel" pada fungsi adalah besaran yang tidak terdefinisi. Fungsi pembangkit pertama kali diperkenalkan oleh [[Abraham de Moivre]] di tahun 1730, dalam upaya menyelesaikan masalah rekursi perulangan [[Lincoln Near-Earth Asteroid Research\|linear]] secara umum. Deret pangkat formal dapat diperumum ke bentuk multi-"variabel", untuk mencatat informasi multidimensi dari barisan bilangan.		Dalam [[matematika]], '''fungsi pembangkit''' adalah sebuah cara menyatakan suku-suku dari barisan takhingga <math>(a_n)</math> sebagai koefisien-koefisien suatu [[deret pangkat\|deret pangkat formal]]. Deret yang dihasilkan proses ini disebut dengan fungsi pembangkit dari barisan tersebut. Berbeda dengan deret pada umumnya, deret pangkat ''formal'' tidak perlu [[Konvergensi\|konvergen]]: malahan, fungsi pembangkit sebenarnya tidak dianggap sebagai sebuah fungsi, dan "variabel" pada fungsi adalah besaran yang tidak terdefinisi. Fungsi pembangkit pertama kali diperkenalkan oleh [[Abraham de Moivre]] di tahun 1730, dalam upaya menyelesaikan masalah rekursi perulangan [[Lincoln Near-Earth Asteroid Research\|linear]] secara umum.<ref>Donald E. Knuth. ''Fundamental Algorithms''. Addison-Wesley. 1997. Vol. 1. ISBN 0-201-89683-4.</ref> Deret pangkat formal dapat diperumum ke bentuk multi-"variabel", untuk mencatat informasi multidimensi dari barisan bilangan.

	Terdapat berbagai tipe fungsi pembangkit, beberapa diantaranya ''fungsi pembangkit biasa'', ''fungsi pembangkit eksponensial'', ''deret Lambert'', ''deret Bell'', dan ''deret Dirichlet''; definisi dan contoh mengenai tipe-tipe fungsi tersebut akan dijelaskan dibawah. Setiap barisan pada prinsipnya memiliki sebuah fungsi pembangkit untuk setiap tipe fungsi pembangkit (kecuali deret Lambert dan Dirichlet, yang memerlukan indeks barisan dimulai dari 1 ketimbang 0), tetapi tingkat kesulitan untuk menggunakan setiap tipe dapat berbeda secara signifikan. Tipe fungsi pembangkit yang paling sesuai untuk suatu konteks, jika ada, akan bergantung pada sifat dari barisan dan detail dari masalah yang dikerjakan.		Terdapat berbagai tipe fungsi pembangkit, beberapa diantaranya ''fungsi pembangkit biasa'', ''fungsi pembangkit eksponensial'', ''deret Lambert'', ''deret Bell'', dan ''deret Dirichlet''; definisi dan contoh mengenai tipe-tipe fungsi tersebut akan dijelaskan dibawah. Setiap barisan pada prinsipnya memiliki sebuah fungsi pembangkit untuk setiap tipe fungsi pembangkit (kecuali deret Lambert dan Dirichlet, yang memerlukan indeks barisan dimulai dari 1 ketimbang 0), tetapi tingkat kesulitan untuk menggunakan setiap tipe dapat berbeda secara signifikan. Tipe fungsi pembangkit yang paling sesuai untuk suatu konteks, jika ada, akan bergantung pada sifat dari barisan dan detail dari masalah yang dikerjakan.
Baris 5:		Baris 5:
	Fungsi pembangkit umumnya dinyatakan dalam [[Ekspresi bentuk tertutup\|bentuk tertutup]] (ketimbang sebagai sebuah deret), lewat beberapa ekspresi yang terdefinisi bagi deret formal. Ekspresi-ekspresi ini diterapkan pada variabel—yang tak terdefinisi -- <math>x</math>, dan dapat melibatkan operasi aritmetika, [[Turunan\|diferensiasi]], [[komposisi fungsi]] dengan fungsi-fungsi pembangkit lainnya. Karena operasi-operasi ini juga terdefinisi pada fungsi, hasil yang didapatkan terlihat sebagai fungsi terhadap <math>x</math>. Lagipula, ekspresi bentuk tertutup dapat diinterpretasi sebagai sebuah fungsi yang dapat dievaluasi pada suatu nilai , sehingga [[pengembangan deret]] fungsi tersebut menghasilkan deret formal; hal ini menjelaskan asal-usul "fungsi pembangkit". Tapi interpretasi itu tidak diharuskan perlu dilakukan, karena deret formal tidak harus menghasilkan [[deret konvergen]] ketika nilai taknol disubtitusi ke <math>x</math>. Selain itu, tidak semua ekspresi yang berlaku pada fungsi terhadap <math>x</math> dapat digunakan (secara berarti) untuk deret formal; sebagai contoh, pangkat negatif dan pecahan dari <math>x</math> pada fungsi tidak memiliki padanan deret formal.		Fungsi pembangkit umumnya dinyatakan dalam [[Ekspresi bentuk tertutup\|bentuk tertutup]] (ketimbang sebagai sebuah deret), lewat beberapa ekspresi yang terdefinisi bagi deret formal. Ekspresi-ekspresi ini diterapkan pada variabel—yang tak terdefinisi -- <math>x</math>, dan dapat melibatkan operasi aritmetika, [[Turunan\|diferensiasi]], [[komposisi fungsi]] dengan fungsi-fungsi pembangkit lainnya. Karena operasi-operasi ini juga terdefinisi pada fungsi, hasil yang didapatkan terlihat sebagai fungsi terhadap <math>x</math>. Lagipula, ekspresi bentuk tertutup dapat diinterpretasi sebagai sebuah fungsi yang dapat dievaluasi pada suatu nilai , sehingga [[pengembangan deret]] fungsi tersebut menghasilkan deret formal; hal ini menjelaskan asal-usul "fungsi pembangkit". Tapi interpretasi itu tidak diharuskan perlu dilakukan, karena deret formal tidak harus menghasilkan [[deret konvergen]] ketika nilai taknol disubtitusi ke <math>x</math>. Selain itu, tidak semua ekspresi yang berlaku pada fungsi terhadap <math>x</math> dapat digunakan (secara berarti) untuk deret formal; sebagai contoh, pangkat negatif dan pecahan dari <math>x</math> pada fungsi tidak memiliki padanan deret formal.

	Fungsi pembangkit bukan merupakan fungsi dalam artian formal, yakni sebagai sebuah pemetaan dari sebuah [[Ranah fungsi\|domain]] ke suatu [[Citra (matematika)\|kodomain]]. Fungsi pembangkit terkadang disebut sebagai '''deret pembangkit'''. Fungsi pembangkit berguna untuk membantu menyelesaikan berbagai masalah [[pencacahan]], [[rekursi]], dan [[relasi pengulangan]].		Fungsi pembangkit bukan merupakan fungsi dalam artian formal, yakni sebagai sebuah pemetaan dari sebuah [[Ranah fungsi\|domain]] ke suatu [[Citra (matematika)\|kodomain]]. Fungsi pembangkit terkadang disebut sebagai '''deret pembangkit'''.<ref>Istilah alternatif ini dapat ditemukan di E.N. Gilbert (1956), "Enumeration of Labeled graphs", ''Canadian Journal of Mathematics'' 3, [https://books.google.com/books?id=x34z99fCRbsC&lpg=PA405&ots=eOp9p9mIoD&dq=%22generating%20series%22&lr=lang_en&pg=PA407#v=onepage&q=%22generating%20series%22&f=false p. 405–411]. Istilah ini jarang digunakan sebelum tahun 2000, tetapi terlihat meningkat sejak tahun itu.</ref> Fungsi pembangkit berguna untuk membantu menyelesaikan berbagai masalah [[pencacahan]], [[rekursi]], dan [[relasi pengulangan]].

	== Definisi ==		== Definisi ==
	Beberapa penulis memberikan definisi informal dari fungsi pembangkit:		Beberapa penulis memberikan definisi informal dari fungsi pembangkit:


	=== Fungsi pembangkit biasa ===		=== Fungsi pembangkit biasa ===
Baris 16:		Baris 15:
	Fungsi pembangkit biasa dapat diperumum untuk barisan dengan banyak indeks. Sebagai contoh, fungsi pembangkit biasa dari barisan dua dimensi <math>(a_{m,n})</math>, dengan <math>m</math> dan <math>n</math> berupa [[bilangan asli]], adalah<math display="block">G(a_{m,n};x,y)=\sum_{m,n=0}^\infty a_{m,n} x^m y^n.</math>		Fungsi pembangkit biasa dapat diperumum untuk barisan dengan banyak indeks. Sebagai contoh, fungsi pembangkit biasa dari barisan dua dimensi <math>(a_{m,n})</math>, dengan <math>m</math> dan <math>n</math> berupa [[bilangan asli]], adalah<math display="block">G(a_{m,n};x,y)=\sum_{m,n=0}^\infty a_{m,n} x^m y^n.</math>
	=== Fungsi pembangkit eksponensial ===		=== Fungsi pembangkit eksponensial ===
	''Fungsi pembangkit eksponensial'' dari sebuah barisan <math>(a_n)</math> adalah<math display="block">\operatorname{EG}(a_n;x)=\sum _{n=0}^\infty a_n \frac{x^n}{n!}.</math>Fungsi pembangkit eksponensial umumnya lebih mudah digunakan ketimbang fungsi pembangkit biasa untuk masalah [[pencacahan kombinatorial]] yang melibatkan objek berlabel. Keuntungan lain dari fungsi pembangkit eksponensial adalah kemudahannya membawa [[relasi pengulangan]] ke ranah [[persamaan diferensial]]. Sebagai contoh, [[Bilangan Fibonacci\|barisan Fibonacci]] <math>\{f_n\}</math> yang memenuhi relasi pengulangan <math>f_{n+2} = f_{n+1} + f_{n}</math> memiliki fungsi pembangkit eksponensial dengan bentuk<math display="block">\operatorname{EF}(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f_n}{n!} x^n</math>dan turunan-turunan dari fungsi tersebut memenuhi persamaan diferensial <math>\operatorname{EF}''(x) = \operatorname{EF}'(x) + \operatorname{EF}(x)</math> yang analog dengan relasi pengulangan di atas. Pada fungsi pembangkit tipe ini, suku faktorial <math>n!</math> digunakan semata-mata untuk menormalisasi efek melakukan turunan pada <math>x^n</math>.		''Fungsi pembangkit eksponensial'' dari sebuah barisan <math>(a_n)</math> adalah<math display="block">\operatorname{EG}(a_n;x)=\sum _{n=0}^\infty a_n \frac{x^n}{n!}.</math>Fungsi pembangkit eksponensial umumnya lebih mudah digunakan ketimbang fungsi pembangkit biasa untuk masalah [[pencacahan kombinatorial]] yang melibatkan objek berlabel.<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Fungsi+pembangkit&oldid=29300917 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref> Keuntungan lain dari fungsi pembangkit eksponensial adalah kemudahannya membawa [[relasi pengulangan]] ke ranah [[persamaan diferensial]]. Sebagai contoh, [[Bilangan Fibonacci\|barisan Fibonacci]] <math>\{f_n\}</math> yang memenuhi relasi pengulangan <math>f_{n+2} = f_{n+1} + f_{n}</math> memiliki fungsi pembangkit eksponensial dengan bentuk<math display="block">\operatorname{EF}(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f_n}{n!} x^n</math>dan turunan-turunan dari fungsi tersebut memenuhi persamaan diferensial <math>\operatorname{EF}''(x) = \operatorname{EF}'(x) + \operatorname{EF}(x)</math> yang analog dengan relasi pengulangan di atas. Pada fungsi pembangkit tipe ini, suku faktorial <math>n!</math> digunakan semata-mata untuk menormalisasi efek melakukan turunan pada <math>x^n</math>.
	=== Fungsi pembangkit Poisson ===		=== Fungsi pembangkit Poisson ===
	''Fungsi pembangkit Poisson'' dari sebuah barisan <math>(a_n)</math> adalah<math display="block">\operatorname{PG}(a_n;x)=\sum _{n=0}^\infty a_n e^{-x} \frac{x^n}{n!} = e^{-x}\, \operatorname{EG}(a_n;x).</math>		''Fungsi pembangkit Poisson'' dari sebuah barisan <math>(a_n)</math> adalah<math display="block">\operatorname{PG}(a_n;x)=\sum _{n=0}^\infty a_n e^{-x} \frac{x^n}{n!} = e^{-x}\, \operatorname{EG}(a_n;x).</math>
Baris 26:		Baris 25:

	untuk <math>\|x\|\le 1</math> .		untuk <math>\|x\|\le 1</math> .

	~~== Catatan kaki ==~~


	~~== Referensi ==~~

	*
	* Reprinted in
	*
	*
	*
	*
	*

	== Pranala luar ==		== Pranala luar ==

	* [http://garsia.math.yorku.ca/~zabrocki/MMM1/MMM1Intro2OGFs.pdf "Introduction To Ordinary Generating Functions"] by Mike Zabrocki, York University, Mathematics and Statistics		* [http://garsia.math.yorku.ca/~zabrocki/MMM1/MMM1Intro2OGFs.pdf "Introduction To Ordinary Generating Functions"] by Mike Zabrocki, York University, Mathematics and Statistics
	*		*
	* [http://www.cut-the-knot.org/ctk/GeneratingFunctions.shtml Generating Functions, Power Indices and Coin Change] at [[cut-the-knot]]		* [http://www.cut-the-knot.org/ctk/GeneratingFunctions.shtml Generating Functions, Power Indices and Coin Change] at [[cut-the-knot]]
	* [http://demonstrations.wolfram.com/GeneratingFunctions/ "Generating Functions"] by [[Ed Pegg Jr.]], [[Wolfram Demonstrations Project]], 2007.		* [http://demonstrations.wolfram.com/GeneratingFunctions/ "Generating Functions"] by [[Ed Pegg Jr.]], [[Wolfram Demonstrations Project]], 2007.

			== Referensi ==
			<references />

	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	~~Artikel~~ ini diadaptasi ~~dalam mode teks~~ dari		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Fungsi+pembangkit&oldid=29300917 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29300917 (2026-06-01T03:27:42Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.
	[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=~~Fungsi_pembangkit~~&oldid=29300917 Wikipedia bahasa Indonesia],
	revisi 29300917 (2026-06-01T03:27:42Z).		<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->
	~~Gambar, media, infobox, templat navigasi~~, ~~dan kategori sumber~~
	~~tidak diimpor ke Wiki Unissula.~~
	~~Atribusi dan~~ lisensi ~~mengikuti ketentuan~~ Creative Commons
	Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA) ~~pada sumber Wikipedia~~.

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29300917; atribusi sumber disertakan.

2026-08-23T02:28:21Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29300917; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[matematika]], '''fungsi pembangkit''' adalah sebuah cara menyatakan suku-suku dari barisan takhingga <math>(a_n)</math> sebagai koefisien-koefisien suatu [[deret pangkat|deret pangkat formal]]. Deret yang dihasilkan proses ini disebut dengan fungsi pembangkit dari barisan tersebut. Berbeda dengan deret pada umumnya, deret pangkat ''formal'' tidak perlu [[Konvergensi|konvergen]]: malahan, fungsi pembangkit sebenarnya tidak dianggap sebagai sebuah fungsi, dan "variabel" pada fungsi adalah besaran yang tidak terdefinisi. Fungsi pembangkit pertama kali diperkenalkan oleh [[Abraham de Moivre]] di tahun 1730, dalam upaya menyelesaikan masalah rekursi perulangan [[Lincoln Near-Earth Asteroid Research|linear]] secara umum. Deret pangkat formal dapat diperumum ke bentuk multi-"variabel", untuk mencatat informasi multidimensi dari barisan bilangan.

Terdapat berbagai tipe fungsi pembangkit, beberapa diantaranya ''fungsi pembangkit biasa'', ''fungsi pembangkit eksponensial'', ''deret Lambert'', ''deret Bell'', dan ''deret Dirichlet''; definisi dan contoh mengenai tipe-tipe fungsi tersebut akan dijelaskan dibawah. Setiap barisan pada prinsipnya memiliki sebuah fungsi pembangkit untuk setiap tipe fungsi pembangkit (kecuali deret Lambert dan Dirichlet, yang memerlukan indeks barisan dimulai dari 1 ketimbang 0), tetapi tingkat kesulitan untuk menggunakan setiap tipe dapat berbeda secara signifikan. Tipe fungsi pembangkit yang paling sesuai untuk suatu konteks, jika ada, akan bergantung pada sifat dari barisan dan detail dari masalah yang dikerjakan.

Fungsi pembangkit umumnya dinyatakan dalam [[Ekspresi bentuk tertutup|bentuk tertutup]] (ketimbang sebagai sebuah deret), lewat beberapa ekspresi yang terdefinisi bagi deret formal. Ekspresi-ekspresi ini diterapkan pada variabel—yang tak terdefinisi -- <math>x</math>, dan dapat melibatkan operasi aritmetika, [[Turunan|diferensiasi]], [[komposisi fungsi]] dengan fungsi-fungsi pembangkit lainnya. Karena operasi-operasi ini juga terdefinisi pada fungsi, hasil yang didapatkan terlihat sebagai fungsi terhadap <math>x</math>. Lagipula, ekspresi bentuk tertutup dapat diinterpretasi sebagai sebuah fungsi yang dapat dievaluasi pada suatu nilai , sehingga [[pengembangan deret]] fungsi tersebut menghasilkan deret formal; hal ini menjelaskan asal-usul "fungsi pembangkit". Tapi interpretasi itu tidak diharuskan perlu dilakukan, karena deret formal tidak harus menghasilkan [[deret konvergen]] ketika nilai taknol disubtitusi ke <math>x</math>. Selain itu, tidak semua ekspresi yang berlaku pada fungsi terhadap <math>x</math> dapat digunakan (secara berarti) untuk deret formal; sebagai contoh, pangkat negatif dan pecahan dari <math>x</math> pada fungsi tidak memiliki padanan deret formal.

Fungsi pembangkit bukan merupakan fungsi dalam artian formal, yakni sebagai sebuah pemetaan dari sebuah [[Ranah fungsi|domain]] ke suatu [[Citra (matematika)|kodomain]]. Fungsi pembangkit terkadang disebut sebagai '''deret pembangkit'''. Fungsi pembangkit berguna untuk membantu menyelesaikan berbagai masalah [[pencacahan]], [[rekursi]], dan [[relasi pengulangan]].

== Definisi ==
Beberapa penulis memberikan definisi informal dari fungsi pembangkit:

=== Fungsi pembangkit biasa ===
''Fungsi pembangkit biasa'' dari sebuah barisan <math>(a_n)</math> adalah<math display="block">G(a_n;x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_kx^k+...=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n.</math>Ketika istilah ''fungsi pembangkit'' digunakan tanpa keterangan, umumnya hal itu merujuk pada sebuah fungsi pembangkit biasa. Jika <math>(a_n)</math> menyatakan [[fungsi massa peluang]] dari sebuah [[variabel acak diskret]], maka fungsi pembangkit biasa yang dihasilkan disebut dengan [[fungsi pembangkit peluang]].

Fungsi pembangkit biasa dapat diperumum untuk barisan dengan banyak indeks. Sebagai contoh, fungsi pembangkit biasa dari barisan dua dimensi <math>(a_{m,n})</math>, dengan <math>m</math> dan <math>n</math> berupa [[bilangan asli]], adalah<math display="block">G(a_{m,n};x,y)=\sum_{m,n=0}^\infty a_{m,n} x^m y^n.</math>
=== Fungsi pembangkit eksponensial ===
''Fungsi pembangkit eksponensial'' dari sebuah barisan <math>(a_n)</math> adalah<math display="block">\operatorname{EG}(a_n;x)=\sum _{n=0}^\infty a_n \frac{x^n}{n!}.</math>Fungsi pembangkit eksponensial umumnya lebih mudah digunakan ketimbang fungsi pembangkit biasa untuk masalah [[pencacahan kombinatorial]] yang melibatkan objek berlabel. Keuntungan lain dari fungsi pembangkit eksponensial adalah kemudahannya membawa [[relasi pengulangan]] ke ranah [[persamaan diferensial]]. Sebagai contoh, [[Bilangan Fibonacci|barisan Fibonacci]] <math>\{f_n\}</math> yang memenuhi relasi pengulangan <math>f_{n+2} = f_{n+1} + f_{n}</math> memiliki fungsi pembangkit eksponensial dengan bentuk<math display="block">\operatorname{EF}(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f_n}{n!} x^n</math>dan turunan-turunan dari fungsi tersebut memenuhi persamaan diferensial <math>\operatorname{EF}''(x) = \operatorname{EF}'(x) + \operatorname{EF}(x)</math> yang analog dengan relasi pengulangan di atas. Pada fungsi pembangkit tipe ini, suku faktorial <math>n!</math> digunakan semata-mata untuk menormalisasi efek melakukan turunan pada <math>x^n</math>.
=== Fungsi pembangkit Poisson ===
''Fungsi pembangkit Poisson'' dari sebuah barisan <math>(a_n)</math> adalah<math display="block">\operatorname{PG}(a_n;x)=\sum _{n=0}^\infty a_n e^{-x} \frac{x^n}{n!} = e^{-x}\, \operatorname{EG}(a_n;x).</math>

== Contoh ==
Contoh sederhananya, fungsi pembangkit untuk barisan <math>1,1,1,\ldots</math> adalah

: <math> \sum_{n=0}^\infty x^n = \frac{1}{1-x}</math> ,

untuk <math>|x|\le 1</math> .

== Catatan kaki ==

== Referensi ==

*
* Reprinted in
*
*
*
*
*

== Pranala luar ==

* [http://garsia.math.yorku.ca/~zabrocki/MMM1/MMM1Intro2OGFs.pdf "Introduction To Ordinary Generating Functions"] by Mike Zabrocki, York University, Mathematics and Statistics
*
* [http://www.cut-the-knot.org/ctk/GeneratingFunctions.shtml Generating Functions, Power Indices and Coin Change] at [[cut-the-knot]]
* [http://demonstrations.wolfram.com/GeneratingFunctions/ "Generating Functions"] by [[Ed Pegg Jr.]], [[Wolfram Demonstrations Project]], 2007.

== Sumber dan atribusi ==

Artikel ini diadaptasi dalam mode teks dari
[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Fungsi_pembangkit&oldid=29300917 Wikipedia bahasa Indonesia],
revisi 29300917 (2026-06-01T03:27:42Z).
Gambar, media, infobox, templat navigasi, dan kategori sumber
tidak diimpor ke Wiki Unissula.
Atribusi dan lisensi mengikuti ketentuan Creative Commons
Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA) pada sumber Wikipedia.