Gelanggang bertingkat - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T09:02:47Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 09.02
Baris 9:		Baris 9:

	Gelanggang bertingkat adalah [[Gelanggang (matematika)\|gelanggang]] yang didekomposisi sebagai [[jumlah langsung]]		Gelanggang bertingkat adalah [[Gelanggang (matematika)\|gelanggang]] yang didekomposisi sebagai [[jumlah langsung]]
	:<math>R = \bigoplus_{n=0}^\infty R_n = R_0 \oplus R_1 \oplus R_2 \oplus \cdots</math>		:<math>R = \bigoplus_{n=0}^\infty R_n = R_0 \oplus R_1 \oplus R_2 \oplus \cdots</math>
	dari		dari
	[[grup aditif]], sehingga		[[grup aditif]], sehingga
	:<math>R_mR_n \subseteq R_{m+n}</math>		:<math>R_mR_n \subseteq R_{m+n}</math>
	untuk semua bilangan bulat non-negatif <math>m</math> dan <math>n</math>.		untuk semua bilangan bulat non-negatif <math>m</math> dan <math>n</math>.
Baris 56:		Baris 56:

	== Invarian modul bertingkat ==		== Invarian modul bertingkat ==

	Diberikan modul bertingkat ''M'' atas gelanggang bertingkat komutatif ''R'', apabila mengasosiasikan deret pangkat formal <math>P(M, t) \in \Z[\![t]\!]</math>:		Diberikan modul bertingkat ''M'' atas gelanggang bertingkat komutatif ''R'', apabila mengasosiasikan deret pangkat formal <math>P(M, t) \in \Z[\![t]\!]</math>:
	:<math>P(M, t) = \sum \ell(M_n) t^n</math>		:<math>P(M, t) = \sum \ell(M_n) t^n</math>
Baris 66:		Baris 65:

	== Aljabar bertingkat ==		== Aljabar bertingkat ==

	Sebuah [[aljabar (teori gelanggang)\|aljabar]] ''A'' atas gelanggang ''R'' adalah '''aljabar bertingkat''' jika dinilai sebagai gelanggang.		Sebuah [[aljabar (teori gelanggang)\|aljabar]] ''A'' atas gelanggang ''R'' adalah '''aljabar bertingkat''' jika dinilai sebagai gelanggang.

	Dalam kasus biasa di mana gelanggang ''R'' tidak dinilai (khususnya jika ''R'' adalah medan), diberikan penilaian trivial (setiap elemen ''R'' adalah derajat 0). Jadi, <math>R\subseteq A_0</math> dan potongan bertingkat <math>A_i</math> adalah modul ''R''.		Dalam kasus biasa di mana gelanggang ''R'' tidak dinilai (khususnya jika ''R'' adalah medan), diberikan penilaian trivial (setiap elemen ''R'' adalah derajat 0). Jadi, <math>R\subseteq A_0</math> dan potongan bertingkat <math>A_i</math> adalah modul ''R''.

	Dalam kasus di mana gelanggang ''R'' juga merupakan gelanggang bertingkat, apabila memerlukan		Dalam kasus di mana gelanggang ''R'' juga merupakan gelanggang bertingkat, apabila memerlukan
	:<math>R_iA_j \subseteq A_{i+j}</math>		:<math>R_iA_j \subseteq A_{i+j}</math>

Baris 113:		Baris 111:
	Secara intuitif, sebuah [[monoid]] bertingkat adalah [[himpunan bagian]] dari gelanggang bertingkat, <math>\bigoplus_{n\in \mathbb N_0}R_n</math>, yang dihasilkan oleh <math>R_n</math>, tanpa menggunakan bagian aditif. Artinya, himpunan elemen dari monoid bertingkat adalah <math>\bigcup_{n\in\mathbb N_0}R_n</math>.		Secara intuitif, sebuah [[monoid]] bertingkat adalah [[himpunan bagian]] dari gelanggang bertingkat, <math>\bigoplus_{n\in \mathbb N_0}R_n</math>, yang dihasilkan oleh <math>R_n</math>, tanpa menggunakan bagian aditif. Artinya, himpunan elemen dari monoid bertingkat adalah <math>\bigcup_{n\in\mathbb N_0}R_n</math>.

	Secara formal, monoid bertingkat adalah monoid <math>(M,\cdot)</math>, dengan fungsi bertingkat <math>\phi:M\to\mathbb N_0</math> sehingga <math>\phi(m\cdot m')=\phi(m)+\phi(m')</math>. Perhatikan bahwa bertingkat <math>1_M</math> harus 0. Beberapa penulis meminta lebih lanjut bahwa <math>\phi(m)\ne 0</math> ketika '''m''' bukanlah identitas.		Secara formal, monoid bertingkat<ref>Jacques Sakarovitch. ''Elements of automata theory''. Cambridge University Press. 2009. hlm. 384. ISBN 978-0-521-84425-3.</ref> adalah monoid <math>(M,\cdot)</math>, dengan fungsi bertingkat <math>\phi:M\to\mathbb N_0</math> sehingga <math>\phi(m\cdot m')=\phi(m)+\phi(m')</math>. Perhatikan bahwa bertingkat <math>1_M</math> harus 0. Beberapa penulis meminta lebih lanjut bahwa <math>\phi(m)\ne 0</math> ketika '''m''' bukanlah identitas.

	Dengan asumsi bertingkat elemen non-identitas bukan nol, jumlah elemen bertingkat ''n'' digunakan <math>g^n</math> di mana ''g'' adalah kardinalitas dari [[generator (monoid)\|himpunan pembangkit]] ''G'' dari monoid. Oleh karena itu jumlah elemen gradasi ''n'' atau kurang <math>n+1</math> (untuk <math>g=1</math>) atau <math>\frac{g^{ n+1}-1}{g-1}</math>. Setiap elemen tersebut adalah produk dari paling banyak elemen ''n'' dari ''G'', dan hanya <math>\frac{g^{n+1}-1}{g-1}</math> produk seperti itu ada. Demikian pula, elemen identitas tidak ditulis sebagai produk dari dua elemen non-identitas. Artinya, tidak ada pembagi satuan dalam monoid bergradasi seperti itu.		Dengan asumsi bertingkat elemen non-identitas bukan nol, jumlah elemen bertingkat ''n'' digunakan <math>g^n</math> di mana ''g'' adalah kardinalitas dari [[generator (monoid)\|himpunan pembangkit]] ''G'' dari monoid. Oleh karena itu jumlah elemen gradasi ''n'' atau kurang <math>n+1</math> (untuk <math>g=1</math>) atau <math>\frac{g^{ n+1}-1}{g-1}</math>. Setiap elemen tersebut adalah produk dari paling banyak elemen ''n'' dari ''G'', dan hanya <math>\frac{g^{n+1}-1}{g-1}</math> produk seperti itu ada. Demikian pula, elemen identitas tidak ditulis sebagai produk dari dua elemen non-identitas. Artinya, tidak ada pembagi satuan dalam monoid bergradasi seperti itu.

	=== Deret pangkat indeks oleh monoid bertingkat ===		=== Deret pangkat indeks oleh monoid bertingkat ===

	Gagasan ini memungkinkan untuk memperluas gagasan [[gelanggang deret pangkat]]. Alih-alih memiliki keluarga indeks sebagai <math>\mathbb N</math>, indeks keluarga biasanya berupa monoid bertingkat, dengan asumsi bahwa jumlah elemen derajat ''n'' hingga, untuk setiap bilangan bulat ''n''.		Gagasan ini memungkinkan untuk memperluas gagasan [[gelanggang deret pangkat]]. Alih-alih memiliki keluarga indeks sebagai <math>\mathbb N</math>, indeks keluarga biasanya berupa monoid bertingkat, dengan asumsi bahwa jumlah elemen derajat ''n'' hingga, untuk setiap bilangan bulat ''n''.

Baris 137:		Baris 134:

	== Referensi ==		== Referensi ==
			<references />

	* .
	*
	*



	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Gelanggang+bertingkat&oldid=28446038 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28446038 (2025-11-13T05:33:22Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Gelanggang+bertingkat&oldid=28446038 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28446038 (2025-11-13T05:33:22Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28446038; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T08:33:23Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28446038; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[matematika]], khususnya [[aljabar abstrak]], '''gelanggang bertingkat''' adalah [[gelanggang (matematika)|gelanggang]] sehingga grup aditif yang mendasarinya adalah [[jumlah langsung grup abelian]] <math>R_i</math> dari <math>R_i R_j \subseteq R_{i+j}</math>. Himpunan indeks biasanya himpunan bilangan bulat nonnegatif atau himpunan bilangan bulat, tetapi berupa [[monoid]]. Dekomposisi jumlah langsung biasanya disebut sebagai '''gradasi''' atau '''bertingkat'''.

Sebuah '''modul bertingkat''' didefinisikan sama (lihat di bawah untuk definisi yang tepat). Ini menggeneralisasi [[ruang vektor bertingkat]]. Modul bertingkat yang juga merupakan gelanggang bertingkat disebut '''aljabar bertingkat'''. Gelanggang bertingkat juga dapat dilihat sebagai aljabar-<math>\Z</math> bertingkat.

Asosiatif tidak penting (bahkan tidak digunakan sama sekali) dalam definisi gelanggang bertingkat; karenanya, gagasan tersebut juga berlaku untuk [[aljabar non-asosiatif]]; misalnya, apabila mempertimbangkan [[aljabar Lie bertingkat]].

== Sifat pertama ==
Umumnya, himpunan indeks dari gelanggang bertingkat seharusnya sebagai himpunan bilangan bulat non-negatif, kecuali ditentukan lain secara eksplisit. Ini adalah kasus dalam artikel ini.

Gelanggang bertingkat adalah [[Gelanggang (matematika)|gelanggang]] yang didekomposisi sebagai [[jumlah langsung]]
:<math>R = \bigoplus_{n=0}^\infty R_n = R_0 \oplus R_1 \oplus R_2 \oplus \cdots</math>
dari
[[grup aditif]], sehingga
:<math>R_mR_n \subseteq R_{m+n}</math>
untuk semua bilangan bulat non-negatif <math>m</math> dan <math>n</math>.

Sebuah elemen bukan nol dari <math>R_n</math> dikatakan sebagai ''homogen'' dari ''derajat'' <math>n</math>. Menurut definisi penjumlahan langsung, setiap elemen bukan nol <math>a</math> dari <math>R</math> apabila ditulis secara unik sebagai penjumlahan <math>a=a_0+a_1+\cdots +a_n</math> di mana setiap <math>a_i</math> adalah 0 atau homogen dengan derajat <math>i</math>. <math>a_i</math> bukan nol adalah ''komponen homogen'' dari <math>a</math>.

Beberapa sifat dasar adalah:
*<math>R_0</math> adalah [[subgelanggang]] dari <math>R</math>; khususnya, identitas perkalian <math>1</math> adalah elemen homogen dengan derajat nol.
*Untuk sembarang <math>n</math>, <math>R_n</math> adalah [[modul (mathematics)|modul]]-<math>R_0</math>dua sisi, dan dekomposisi jumlah langsungnya adalah jumlah langsung modul-<math>R_0</math>.
* <math>R</math> adalah [[aljabar asosiatif|aljabar-<math>R_0</math> asosiatif]].

Sebuah [[ideal (teori gelanggang)|ideal]] <math>I\subseteq R</math> adalah ''homogen'', jika untuk setiap <math>a \in I</math>, komponen homogen <math>a</math> juga termasuk <math>I</math> (ekuivalen, jika itu adalah submodul bergradasi dari <math>R</math>; lihat ). Perpotongan antara ideal homogen <math>I</math> dengan <math>R_n</math> adalah submodul-<math>R_0</math> dari <math>R_n</math> yang disebut ''bagian homogen'' derajat <math>n</math> dari <math>I</math>. Suatu ideal homogen adalah jumlah langsung dari bagian-bagiannya yang homogen.

Jika <math>I</math> adalah ideal homogen dua sisi dalam <math>R</math>, maka <math>R/I</math> juga merupakan gelanggang bertingkat, dekomposisi-nya sebagai
: <math>R/I = \bigoplus_{n=0}^\infty R_n/I_n,</math>
di mana <math>I_n</math> adalah bagian homogen dari derajat <math>n</math> dari <math>I</math>.

== Contoh dasar ==
* Setiap gelanggang (bukan bertingkat) ''R'' diberikan oleh bertingkat dengan <math>R_0=R</math>, dan <math>R_i=0</math> untuk ''i'' ≠ 0. Ini disebut '''trivial bertingkat''' pada ''R''.
* [[Gelanggang polinomial]] <math>R = k[t_1, \ldots, t_n]</math> dinilai oleh [[Derajat polinomial|derajat]]: itu adalah jumlah langsung dari <math>R_i</math> yang terdiri dari [[polinomial homogen]] derajat ''i''.
* Misalkan ''S'' adalah himpunan semua elemen homogen bukan nol dalam [[ranah integral]] ''R'' bertingkat. Maka [[lokalisasi gelanggang|lokalisasi]] dari ''R'' pada ''S'' adalah gelanggang-<math>\Z</math> bertingkat.
* Jika ''I'' ideal dalam gelanggang komutatif ''R'', maka <math>\bigoplus_0^{\infty} I^n/I^{n+1}</math> adalah gelanggang bertingkat yang disebut [[gelanggang asosiatif bertingkat]] dari ''R'' sepanjang ''I''; geometris tersebut adalah gelanggang koordinat dari [[kerucut normal]] sepanjang subvarietas didefinisikan oleh ''I''.
* Misalkan ''X'' adalah ruang topologi, ''H<sup>i</sup>(X; R)'' grup kohomologi ''i'' dengan koefisien dalam gelanggang-''R''. Maka ''H<sup>*</sup>(X; R)'', gelanggang kohomologi ''X'' dengan koefisien dalam ''R'', adalah gelanggang bertingkat grup dasar <math>\bigoplus_{i = 0}^\infty H^i(X; R)</math> dengan struktur perkalian yang diberikan oleh produk cangkir.

== Modul bertingkat ==
Gagasan yang sesuai dalam [[teori modul]] adalah gagasan '''modul bertingkat''', yaitu [[modul (matematika)|modul]] kiri atas gelanggang bertingkat ''R'', sebagai
:<math>M = \bigoplus_{i\in \mathbb{N}}M_i ,</math>
dan
:<math>R_iM_j \subseteq M_{i+j}.</math>

'''Contoh''': sebuah [[ruang vektor bertingkat]] adalah contoh modul bertingkat atas medan (dengan medan memiliki trivial bertingkat).

'''Contoh''': sebuah gelanggang bertingkat adalah modul bertingkat atas sendiri. Suatu ideal dalam gelanggang bertingkat adalah homogen jika dan hanya jika adalah submodul bertingkat. [[annihilator (teori gelanggang)|annihilator]] dari modul bertingkat adalah ideal homogen.

'''Contoh''': Diberikan ideal ''I'' dalam gelanggang komutatif ''R'' dan modul- ''R'' dari ''M'', jumlah langsung <math>\bigoplus_{n=0}^{\infty} I^n M/I^{n+1} M</math> adalah modul bertingkat atas gelanggang bertingkat terkait <math>\bigoplus_0^{\infty} I^n/I^{n+1}</math>.

Morfisme <math>f: N \to M</math> antara modul bertingkat, yang disebut '''morfisme bertingkat''', adalah morfisme modul dasar; yaitu, <math>f(N_i) \subseteq M_i</math>. '''Submodul bertingkat''' adalah submodul yang merupakan modul bertingkat dalam sendiri dan sedemikian rupa sehingga inklusi teori himpunan adalah morfisme modul bertingkat. Secara eksplisit, modul bertingkat ''N'' adalah submodul bertingkat ''M'' jika dan hanya jika adalah submodul ''M'' dan memenuhi <math>N_i = N \cap M_i</math>. Kernel dan citra morfisme modul bertingkat adalah submodul bertingkat.

Catatan: Untuk memberikan morfisme bergradasi dari gelanggang bertingkat ke gelanggang bertingkat lain dengan citra yang terletak di tengah sama dengan memberikan [[struktur aljabar]] bertingkat ke gelanggang terakhir.

Diberikan modul bertingkat <math>M</math>, putaran-<math>\ell</math> dari <math>M</math> adalah modul bertingkat yang ditentukan oleh <math>M(\ell)_n = M_{n+\ell}</math>. (lih. [[gemal putaran Serre]] dalam geometri aljabar.)

Maka ''M'' dan ''N'' sebagai modul bertingkat. Jika <math>f\colon M \to N</math> adalah morfisme modul, maka ''f'' dikatakan memiliki derajat ''d'' dengan <math>f(M_n) \subseteq N_{n+d}</math>. Sebuah [[turunan eksterior]] bentuk diferensial dalam geometri diferensial adalah contoh dari morfisme yang memiliki derajat 1.

== Invarian modul bertingkat ==

Diberikan modul bertingkat ''M'' atas gelanggang bertingkat komutatif ''R'', apabila mengasosiasikan deret pangkat formal <math>P(M, t) \in \Z[\![t]\!]</math>:
:<math>P(M, t) = \sum \ell(M_n) t^n</math>
(dengan asumsi <math>\ell(M_n)</math> berhingga.) Ini disebut [[deret Hilbert–Poincaré]] dari ''M''.

Modul bertingkat dikatakan kebangkitan hingga jika modul yang mendasarinya kebangkitan secara berhingga. Generator merupakan homogen dengan mengganti generator dengan bagian homogen.

Misalkan ''R'' adalah gelanggang polinomial <math>k[x_0, \dots, x_n]</math>, ''k'' sebuah medan, dan ''M'' sebuah modul bertingkat yang dihasilkan secara hingga atas. Maka fungsi <math>n \mapsto \dim_k M_n</math> disebut juga sebagai fungsi Hilbert dari ''M''. Fungsi ini bertepatan dengan [[polinomial bernilai bilangan bulat]] untuk ''n'' besar yang disebut [[polinomial Hilbert]] dari ''M''.

== Aljabar bertingkat ==

Sebuah [[aljabar (teori gelanggang)|aljabar]] ''A'' atas gelanggang ''R'' adalah '''aljabar bertingkat''' jika dinilai sebagai gelanggang.

Dalam kasus biasa di mana gelanggang ''R'' tidak dinilai (khususnya jika ''R'' adalah medan), diberikan penilaian trivial (setiap elemen ''R'' adalah derajat 0). Jadi, <math>R\subseteq A_0</math> dan potongan bertingkat <math>A_i</math> adalah modul ''R''.

Dalam kasus di mana gelanggang ''R'' juga merupakan gelanggang bertingkat, apabila memerlukan
:<math>R_iA_j \subseteq A_{i+j}</math>

Dengan kata lain, kita membutuhkan ''A'' untuk menjadi modul kiri bertingkat atas ''R''.

Contoh aljabar bertingkat yang umum dalam matematika:

* [[Gelanggang polinomial]]. Unsur homogen derajat ''n'' persis adalah [[polinomial]] homogen dari derajat ''n''.
* [[Aljabar tensor]] <math>T^{\bullet} V</math> dari [[ruang vektor]] ''V''. Elemen homogen dengan derajat ''n'' adalah [[tensor]] dari urutan ''n'', <math>T^{n} V</math>.
* [[Aljabar eksterior]] <math>\textstyle\bigwedge\nolimits^{\bullet} V</math> dan [[aljabar simetris]] <math>S^{\bullet} V</math> juga merupakan aljabar bertingkat.
* [[Gelanggang kohomologi]] <math>H^{\bullet} </math> dalam [[teori kohomologi]] juga dinilai, menjadi jumlah langsung dari grup kohomologi <math>H^n</math>.

Aljabar bertingkat banyak digunakan dalam [[aljabar komutatif]] dan [[geometri aljabar]], [[aljabar homologis]], dan [[topologi aljabar]]. Salah satu contohnya adalah hubungan erat antara [[polinomial]] homogen dan [[varietas proyeksi]] (lih. [[gelanggang koordinat homogen]]).

== Gelanggang bertingkat-''G'' dan aljabar ==
Definisi di atas telah digeneralisasikan ke gelanggang yang dinilai menggunakan [[monoid]] ''G'' sebagai himpunan indeks. Sebuah '''''gelanggang bertingkat-G''''' ''R'' adalah gelanggang dengan dekomposisi jumlah langsung
:<math>R = \bigoplus_{i\in G}R_i </math>
sebagai
:<math> R_i R_j \subseteq R_{i \cdot j}. </math>
Elemen ''R'' yang terletak dalam <math>R_i</math> untuk beberapa <math>i \in G</math> dikatakan sebagai '''homogen''' dari '''bertingkat''' ''i''.

Gagasan "gelanggang bertingkat" didefinisikan sebelumnya sekarang menjadi hal yang sama dengan gelanggang bertingkat <math>\N</math>, di mana <math>\N</math> adalah monoid dari [[bilangan asli|bilangan bulat non-negatif]] bawah penjumlahan. Definisi untuk modul dan aljabar bertingkat juga diperluas dengan mengganti himpunan indeks <math>\N</math> dengan monoid ''G''.

Catatan:
* Apabila tidak mengharuskan gelanggang memiliki [[elemen identitas]], [[semigrup]] dapat menggantikan dengan [[monoid]].

Contoh:
* Sebuah grup bertingkat alami menilai [[grup gelanggang]]; demikian pula, [[gelanggang monoid]] dinilai oleh monoid dengan sesuai.
* [[Superaljabar]] (asosiatif) adalah istilah lain untuk aljabar bertingkat [[grup siklik|<math>\Z_2</math>]]. Contohnya termasuk [[aljabar Clifford]]. Di sini elemen homogen adalah salah satu dari derajat 0 (genap) atau 1 (ganjil).

=== Antikomutatif ===
Beberapa gelanggang bertingkat (atau aljabar) memiliki struktur [[antikomutatif]]. Gagasan ini menggunakan [[Monoid#Homomorfisme monoid|homomorfisme]] dari monoid bertingkat sebagai monoid aditif <math>\Z/2\Z</math>, medan dengan dua elemen. Secara khusus, '''monoid bertanda''' terdiri dari pasangan <math>(\Gamma, \varepsilon)</math> di mana <math>\Gamma</math> adalah monoid dan <math>\varepsilon \colon \Gamma \to\Z/2\Z</math> adalah homomorfisme dari monoid aditif. Sebuah '''antikomutatif gelanggang bertingkat-<math>\Gamma</math>''' adalah gelanggang ''A'' sebagai dinilai Γ sedemikian rupa sehingga:
:<math>xy=(-1)^{\varepsilon (\deg x) \varepsilon (\deg y)}yx ,</math>
untuk semua elemen homogen ''x'' dan ''y''.

=== Contoh ===
* Sebuah [[aljabar eksterior]] adalah contoh aljabar antikomutatif, dinilai sehubungan dengan struktur <math>(\Z, \varepsilon)</math> di mana <math>\varepsilon \colon \Z \to\Z/2\Z</math> adalah peta hasil bagi.
* Sebuah [[aljabar superkomutatif]] (terkadang disebut '''gelanggang asosiatif komutatif miring''') adalah hal yang sama dengan antikomutatif aljabar bertingkat-<math>(\Z, \varepsilon)</math>, di mana <math>\varepsilon</math> adalah identitas [[endomorfisme]] dari struktur aditif <math>\Z/2\Z</math>.

== Monoid bertingkat ==
Secara intuitif, sebuah [[monoid]] bertingkat adalah [[himpunan bagian]] dari gelanggang bertingkat, <math>\bigoplus_{n\in \mathbb N_0}R_n</math>, yang dihasilkan oleh <math>R_n</math>, tanpa menggunakan bagian aditif. Artinya, himpunan elemen dari monoid bertingkat adalah <math>\bigcup_{n\in\mathbb N_0}R_n</math>.

Secara formal, monoid bertingkat adalah monoid <math>(M,\cdot)</math>, dengan fungsi bertingkat <math>\phi:M\to\mathbb N_0</math> sehingga <math>\phi(m\cdot m')=\phi(m)+\phi(m')</math>. Perhatikan bahwa bertingkat <math>1_M</math> harus 0. Beberapa penulis meminta lebih lanjut bahwa <math>\phi(m)\ne 0</math> ketika '''m''' bukanlah identitas.

Dengan asumsi bertingkat elemen non-identitas bukan nol, jumlah elemen bertingkat ''n'' digunakan <math>g^n</math> di mana ''g'' adalah kardinalitas dari [[generator (monoid)|himpunan pembangkit]] ''G'' dari monoid. Oleh karena itu jumlah elemen gradasi ''n'' atau kurang <math>n+1</math> (untuk <math>g=1</math>) atau <math>\frac{g^{ n+1}-1}{g-1}</math>. Setiap elemen tersebut adalah produk dari paling banyak elemen ''n'' dari ''G'', dan hanya <math>\frac{g^{n+1}-1}{g-1}</math> produk seperti itu ada. Demikian pula, elemen identitas tidak ditulis sebagai produk dari dua elemen non-identitas. Artinya, tidak ada pembagi satuan dalam monoid bergradasi seperti itu.

=== Deret pangkat indeks oleh monoid bertingkat ===

Gagasan ini memungkinkan untuk memperluas gagasan [[gelanggang deret pangkat]]. Alih-alih memiliki keluarga indeks sebagai <math>\mathbb N</math>, indeks keluarga biasanya berupa monoid bertingkat, dengan asumsi bahwa jumlah elemen derajat ''n'' hingga, untuk setiap bilangan bulat ''n''.

Secara lebih formal, biarkan <math>(K,+_K,\times_K)</math> menjadi [[semigelanggang]] arbitrer dan <math>(R,\cdot,\phi)</math> sebuah monoid bertingkat. Kemudian <math>K\langle\langle R\rangle\rangle</math> menunjukkan semigelanggang dari deret pangkat dengan koefisien dalam ''K'' indeks oleh ''R''. Elemen-elemennya adalah fungsi dari ''R'' hingga ''K''. Jumlah dua elemen <math>s,s'\in K\langle\langle R\rangle\rangle</math> didefinisikan berdasarkan titik, itu adalah fungsi <math>m\in R</math> ke <math>s(m)+_Ks'(m)</math>. Dan hasil kali adalah fungsi <math>m\in R</math> ke jumlah tak hingga <math>\sum_{p,q\in R,p\cdot q=m}s(p)\times_K s'(q)</math>. Jumlah ini didefinisikan dengan benar (yaitu, hingga) karena, untuk setiap ''m'', hanya sejumlah pasangan hingga sedemikian .

=== Contoh ===
Dalam [[teori bahasa formal]], diberikan alfabet ''A'', [[monoid bebas]] kata atas ''A'' apabila sebagai monoid bertingkat, di mana bertingkat kata adalah panjangnya.

== Lihat pula ==
* [[Gelanggang bertingkat asosiatif]]
* [[Aljabar bertingkat diferensial]]
* [[Aljabar filter]], sebuah generalisasi
* [[Bertingkat (matematika)]]
* [[Kategori bertingkat]]
* [[Ruang vektor bertingkat]]
* [[Aljabar tensor]]
* [[Modul bertingkat diferensial]]

== Referensi ==

* .
*
*

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Gelanggang+bertingkat&oldid=28446038 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28446038 (2025-11-13T05:33:22Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.