Gelanggang dekat - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T23:05:17Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 23.05
Baris 1:		Baris 1:
	Dalam [[matematika]], '''gelanggang dekat''' adalah [[struktur aljabar]] dengan [[gelanggang (aljabar)\|gelanggang]] yang menggunakan sedikit [[aksioma]]. Gelanggang dekat secara alami dari [[Fungsi (matematika)\|fungsi]] dengan [[Grup (matematika)\|grup]].		Dalam [[matematika]], '''gelanggang dekat''' adalah [[struktur aljabar]] dengan [[gelanggang (aljabar)\|gelanggang]] yang menggunakan sedikit [[aksioma]]. Gelanggang dekat secara alami dari [[Fungsi (matematika)\|fungsi]] dengan [[Grup (matematika)\|grup]].


	== Definisi ==		== Definisi ==
Baris 6:		Baris 5:
	* ''K'' adalah [[grup (matematika)\|grup]] (non-[[grup abelian\|abelian]]) di bawah tambahan;		* ''K'' adalah [[grup (matematika)\|grup]] (non-[[grup abelian\|abelian]]) di bawah tambahan;
	* perkalian adalah [[sifat asosiatif\|asosiatif]] (jadi ''K'' adalah [[semigrup]] dalam perkalian); dan		* perkalian adalah [[sifat asosiatif\|asosiatif]] (jadi ''K'' adalah [[semigrup]] dalam perkalian); dan
	* perkalian ''di sebelah kanan'' [[sifat distributif\|distribusi]] di atas penjumlahan: untuk setiap ''x'', ''y'', ''z'' dalam ''K'', dengan (''x'' + ''y'')⋅''z'' = (''x''⋅''z'') + (''y''⋅''z'').		* perkalian ''di sebelah kanan'' [[sifat distributif\|distribusi]] di atas penjumlahan: untuk setiap ''x'', ''y'', ''z'' dalam ''K'', dengan (''x'' + ''y'')⋅''z'' = (''x''⋅''z'') + (''y''⋅''z'').<ref>G. Pilz, (1982), "Near-Rings: Apa Mereka dan Untuk Apa Mereka Bagus "di ''Contemp. Math.'', 9, pp. 97–119. Amer. Math. Soc., Penyediaan, R.I., 1981.</ref>

	Demikian pula, dimungkinkan untuk mendefinisikan ''gelanggang dekat [[kiri dan kanan (aljabar)\|kiri]]'' dengan mengganti hukum distributif kanan dengan hukum distributif kiri yang sesuai. Gelanggang dekat kanan dan kiri terjadi dalam literatur; misalnya, buku [[Günter Pilz\|Pilz]] menggunakan tepat di gelanggang dekat, sedangkan buku Clay menggunakan gelanggang dekat kiri.		Demikian pula, dimungkinkan untuk mendefinisikan ''gelanggang dekat [[kiri dan kanan (aljabar)\|kiri]]'' dengan mengganti hukum distributif kanan dengan hukum distributif kiri yang sesuai. Gelanggang dekat kanan dan kiri terjadi dalam literatur; misalnya, buku [[Günter Pilz\|Pilz]]<ref>G. Pilz, "[https://books.google.com/books?hl=en&lr=&id=b3Plqiy5ZNwC&oi=fnd&pg=PP1&dq=%22Near-rings,+the+Theory+and+its+Applications%22&ots=FQLY8VkTKf&sig=18XxePq3GNxJ81_SPizB-URcD5E#v=onepage&q=%22Near-rings%2C%20the%20Theory%20and%20its%20Applications%22&f=false Near-rings, Theory and its Applications] ", Belanda Utara, Amsterdam, edisi ke-2, (1983).</ref> menggunakan tepat di gelanggang dekat, sedangkan buku Clay<ref>J. Clay, "Nearrings: Geneses and application", Oxford, (1992).</ref> menggunakan gelanggang dekat kiri.

	Konsekuensi langsung dari ''hukum distributif satu sisi'' adalah 0⋅''x'' = 0 tetapi belum tentu benar bahwa ''x''⋅0 = 0 untuk setiap ''x'' dalam ''K''. Konsekuensi langsung lainnya adalah (−''x'')⋅''y'' = −(''x''⋅''y'') untuk setiap ''x'', ''y'' dalam ''K'', maka itu ''x''⋅(−''y'') = −(''x''⋅''y''). Gelanggang dekat adalah [[teori gelanggang\|gelanggang]] (tidak harus dengan satu satuan) [[jika dan hanya jika]] penjumlahan bersifat komutatif dan perkalian bersifat distributif atas penjumlahan di ''kiri''. Jika gelanggang dekat memiliki identitas perkalian, maka distribusi di kedua sisi sudah cukup, dan komutatifitas penjumlahan mengikuti secara otomatis.		Konsekuensi langsung dari ''hukum distributif satu sisi'' adalah 0⋅''x'' = 0 tetapi belum tentu benar bahwa ''x''⋅0 = 0 untuk setiap ''x'' dalam ''K''. Konsekuensi langsung lainnya adalah (−''x'')⋅''y'' = −(''x''⋅''y'') untuk setiap ''x'', ''y'' dalam ''K'', maka itu ''x''⋅(−''y'') = −(''x''⋅''y''). Gelanggang dekat adalah [[teori gelanggang\|gelanggang]] (tidak harus dengan satu satuan) [[jika dan hanya jika]] penjumlahan bersifat komutatif dan perkalian bersifat distributif atas penjumlahan di ''kiri''. Jika gelanggang dekat memiliki identitas perkalian, maka distribusi di kedua sisi sudah cukup, dan komutatifitas penjumlahan mengikuti secara otomatis.
Baris 19:		Baris 18:
	Jika ''G'' memiliki setidaknya 2 elemen, ''M''(''G'') bukanlah sebuah gelanggang, meskipun ''G'' adalah abelian. Pertimbangkan [[fungsi konstan\|pemetaan konstan]] ''g'' dari ''G'' ke elemen tetap ''g'' ≠ 0 dari ''G''; lali ''g''⋅0 = ''g'' ≠ 0.) Namun, himpunan bagian ''E''(''G'') dari ''M''(''G'') terdiri dari semua grup [[endomorfisma]] dari ''G'', yaitu, semua peta ''f'' : ''G'' → ''G'' dengan ''f''(''x'' + ''y'') = ''f''(''x'') + ''f''(''y'') untuk semua ''x'', ''y'' dalam ''G''. If (''G'', +) adalah abelian, dari kedua operasi gelanggang dekat pada ''M''(''G'') ditutup sebagai ''E''(''G''), dan (''E''(''G''), +, ⋅) adalah gelanggang. Jika (''G'', +) adalah nonabelian, ''E''(''G'') umumnya tidak ditutup di bawah operasi gelanggang dekat; penutupan ''E''(''G'') di bawah operasi gelanggang dekat adalah gelang dekat.		Jika ''G'' memiliki setidaknya 2 elemen, ''M''(''G'') bukanlah sebuah gelanggang, meskipun ''G'' adalah abelian. Pertimbangkan [[fungsi konstan\|pemetaan konstan]] ''g'' dari ''G'' ke elemen tetap ''g'' ≠ 0 dari ''G''; lali ''g''⋅0 = ''g'' ≠ 0.) Namun, himpunan bagian ''E''(''G'') dari ''M''(''G'') terdiri dari semua grup [[endomorfisma]] dari ''G'', yaitu, semua peta ''f'' : ''G'' → ''G'' dengan ''f''(''x'' + ''y'') = ''f''(''x'') + ''f''(''y'') untuk semua ''x'', ''y'' dalam ''G''. If (''G'', +) adalah abelian, dari kedua operasi gelanggang dekat pada ''M''(''G'') ditutup sebagai ''E''(''G''), dan (''E''(''G''), +, ⋅) adalah gelanggang. Jika (''G'', +) adalah nonabelian, ''E''(''G'') umumnya tidak ditutup di bawah operasi gelanggang dekat; penutupan ''E''(''G'') di bawah operasi gelanggang dekat adalah gelang dekat.

	Banyak [[himpunan bagian]] dari ''M''(''G'') bentuk gelanggang dekat yang menarik dan berguna. Sebagai contoh:		Banyak [[himpunan bagian]] dari ''M''(''G'') bentuk gelanggang dekat yang menarik dan berguna. Sebagai contoh:<ref>G. Pilz, (1982), "Near-Rings: Apa Mereka dan Untuk Apa Mereka Bagus "di ''Contemp. Math.'', 9, pp. 97–119. Amer. Math. Soc., Penyediaan, R.I., 1981.</ref>
	* Pemetaan untuk ''f''(0) = 0.		* Pemetaan untuk ''f''(0) = 0.
	* Pemetaan konstan, yaitu pemetaan yang memetakan setiap elemen grup ke satu elemen tetap.		* Pemetaan konstan, yaitu pemetaan yang memetakan setiap elemen grup ke satu elemen tetap.
Baris 36:		Baris 35:
	Ada berbagai penerapan gelanggang dekat yang tepat, yaitu yang bukan gelanggang atau pun medan dekat.		Ada berbagai penerapan gelanggang dekat yang tepat, yaitu yang bukan gelanggang atau pun medan dekat.

	Yang paling terkenal adalah [[desain blok taklengkap berimbang]] menggunakan planar gelanggang dekat. Ini adalah cara untuk mendapatkan [[Himpunan perbedaan\|keluarga perbedaan]] menggunakan orbit dari grup keautomorfan bebas titik tetap dari suatu grup. Clay dan lainnya telah memperluas gagasan ini ke konstruksi geometris yang lebih umum.		Yang paling terkenal adalah [[desain blok taklengkap berimbang]]<ref>G. Pilz, "[https://books.google.com/books?hl=en&lr=&id=b3Plqiy5ZNwC&oi=fnd&pg=PP1&dq=%22Near-rings,+the+Theory+and+its+Applications%22&ots=FQLY8VkTKf&sig=18XxePq3GNxJ81_SPizB-URcD5E#v=onepage&q=%22Near-rings%2C%20the%20Theory%20and%20its%20Applications%22&f=false Near-rings, Theory and its Applications] ", Belanda Utara, Amsterdam, edisi ke-2, (1983).</ref> menggunakan planar gelanggang dekat. Ini adalah cara untuk mendapatkan [[Himpunan perbedaan\|keluarga perbedaan]] menggunakan orbit dari grup keautomorfan bebas titik tetap dari suatu grup. Clay dan lainnya telah memperluas gagasan ini ke konstruksi geometris yang lebih umum.<ref>J. Clay, "Nearrings: Geneses and application", Oxford, (1992).</ref>

	== Lihat pula ==		== Lihat pula ==
Baris 42:		Baris 41:
	* [[Semigelanggang]]		* [[Semigelanggang]]
	* [[Semigelanggang dekat]]		* [[Semigelanggang dekat]]

	~~== Referensi ==~~

	*

	== Pranala luar ==		== Pranala luar ==
	* The [http://www.algebra.uni-linz.ac.at/Nearrings/ Halaman Utama Gelanggang dekat] di [[Johannes Kepler Universität Linz]]		* The [http://www.algebra.uni-linz.ac.at/Nearrings/ Halaman Utama Gelanggang dekat] di [[Johannes Kepler Universität Linz]]

			== Referensi ==
			<references />

	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Gelanggang+dekat&oldid=25112087 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 25112087 (2024-01-02T05:32:34Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Gelanggang+dekat&oldid=25112087 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 25112087 (2024-01-02T05:32:34Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 25112087; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T22:38:05Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 25112087; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[matematika]], '''gelanggang dekat''' adalah [[struktur aljabar]] dengan [[gelanggang (aljabar)|gelanggang]] yang menggunakan sedikit [[aksioma]]. Gelanggang dekat secara alami dari [[Fungsi (matematika)|fungsi]] dengan [[Grup (matematika)|grup]].

== Definisi ==
[[himpunan (matematika)|Himpunan]] ''K'' dengan dua [[operasi biner]] + (disebut ''[[penambahan]]'') dan ⋅ (disebut ''[[perkalian]]'') disebut (kanan) ''gelanggang dekat'' jika:
* ''K'' adalah [[grup (matematika)|grup]] (non-[[grup abelian|abelian]]) di bawah tambahan;
* perkalian adalah [[sifat asosiatif|asosiatif]] (jadi ''K'' adalah [[semigrup]] dalam perkalian); dan
* perkalian ''di sebelah kanan'' [[sifat distributif|distribusi]] di atas penjumlahan: untuk setiap ''x'', ''y'', ''z'' dalam ''K'', dengan (''x'' + ''y'')⋅''z'' = (''x''⋅''z'') + (''y''⋅''z'').

Demikian pula, dimungkinkan untuk mendefinisikan ''gelanggang dekat [[kiri dan kanan (aljabar)|kiri]]'' dengan mengganti hukum distributif kanan dengan hukum distributif kiri yang sesuai. Gelanggang dekat kanan dan kiri terjadi dalam literatur; misalnya, buku [[Günter Pilz|Pilz]] menggunakan tepat di gelanggang dekat, sedangkan buku Clay menggunakan gelanggang dekat kiri.

Konsekuensi langsung dari ''hukum distributif satu sisi'' adalah 0⋅''x'' = 0 tetapi belum tentu benar bahwa ''x''⋅0 = 0 untuk setiap ''x'' dalam ''K''. Konsekuensi langsung lainnya adalah (−''x'')⋅''y'' = −(''x''⋅''y'') untuk setiap ''x'', ''y'' dalam ''K'', maka itu ''x''⋅(−''y'') = −(''x''⋅''y''). Gelanggang dekat adalah [[teori gelanggang|gelanggang]] (tidak harus dengan satu satuan) [[jika dan hanya jika]] penjumlahan bersifat komutatif dan perkalian bersifat distributif atas penjumlahan di ''kiri''. Jika gelanggang dekat memiliki identitas perkalian, maka distribusi di kedua sisi sudah cukup, dan komutatifitas penjumlahan mengikuti secara otomatis.

== Pemetaan dari grup ke sendiri ==
Misalkan ''G'' sebagai grup, ditulis secara aditif tetapi bukan [[grup Abelian|abelian]], dan misalkan ''M''(''G'') menjadi himpunan {''f'' | ''f'' : ''G'' → ''G''} dari semua [[fungsi (matematika)|fungsi]] dari ''G'' hingga ''G''. Operasi penambahan dapat ditentukan dalam ''M''(''G''): diberikan ''f'', ''g'' dalam ''M''(''G''), lalu pemetaan ''f'' + ''g'' dari ''G'' ke ''G'' diberikan oleh (''f'' + ''g'')(''x'') = ''f''(''x'') + ''g''(''x'') untuk semua ''x'' dalam ''G''. Kemudian (''M''(''G''), +) adalah grup abelian jika dan hanya jika ''G'' adalah abelian. Mengambil komposisi pemetaan sebagai produk ⋅, ''M''(''G'') menjadi gelanggang dekat.

Elemen 0 dari gelanggang dekat ''M''(''G'') adalah [[peta nol]] yaitu pemetaan untuk setiap elemen ''G'' ke elemen identitas ''G''. [[Invers aditif|Aditif invers]] –''f'' dari ''f'' dalam ''M''(''G'') bertepatan dengan definisi natural [[pointwise]], yaitu (−''f'')(''x'') = −(''f''(''x'')) for all ''x'' in ''G''.

Jika ''G'' memiliki setidaknya 2 elemen, ''M''(''G'') bukanlah sebuah gelanggang, meskipun ''G'' adalah abelian. Pertimbangkan [[fungsi konstan|pemetaan konstan]] ''g'' dari ''G'' ke elemen tetap ''g'' ≠ 0 dari ''G''; lali ''g''⋅0 = ''g'' ≠ 0.) Namun, himpunan bagian ''E''(''G'') dari ''M''(''G'') terdiri dari semua grup [[endomorfisma]] dari ''G'', yaitu, semua peta ''f'' : ''G'' → ''G'' dengan ''f''(''x'' + ''y'') = ''f''(''x'') + ''f''(''y'') untuk semua ''x'', ''y'' dalam ''G''. If (''G'', +) adalah abelian, dari kedua operasi gelanggang dekat pada ''M''(''G'') ditutup sebagai ''E''(''G''), dan (''E''(''G''), +, ⋅) adalah gelanggang. Jika (''G'', +) adalah nonabelian, ''E''(''G'') umumnya tidak ditutup di bawah operasi gelanggang dekat; penutupan ''E''(''G'') di bawah operasi gelanggang dekat adalah gelang dekat.

Banyak [[himpunan bagian]] dari ''M''(''G'') bentuk gelanggang dekat yang menarik dan berguna. Sebagai contoh:
* Pemetaan untuk ''f''(0) = 0.
* Pemetaan konstan, yaitu pemetaan yang memetakan setiap elemen grup ke satu elemen tetap.
* Himpunan peta yang dihasilkan dengan penambahan dan negasi dari [[endomorfisme]] grup ("penutupan aditif" dari himpunan endomorfisme). Jika G abelian maka himpunan endomorfisme ditutup secara aditif, sehingga penutupan aditif hanyalah himpunan endomorfisme G, dan itu tidak hanya membentuk gelanggang dekat, tetapi gelanggang.

Contoh lebih lanjut terjadi jika grup memiliki struktur lebih lanjut, misalnya:
* Pemetaan kontinu dalam [[grup topologi]].
* Fungsi polinomial pada gelanggang dengan identitas di bawah komposisi penjumlahan dan polinomial.
* Peta affine dalam [[ruang vektor]].

Setiap gelanggang dekat adalah [[Isomorfisme|isomorfik]] ke gelanggang subdekat ''M''(''G'') untuk beberapa ''G''.

== Penerapan ==
Banyak penerapan melibatkan subkelas dari gelanggang dekat yang dikenal sebagai [[Medan dekat (matematika)|medan dekat]]; untuk ini lihat artikel Medan dekat.

Ada berbagai penerapan gelanggang dekat yang tepat, yaitu yang bukan gelanggang atau pun medan dekat.

Yang paling terkenal adalah [[desain blok taklengkap berimbang]] menggunakan planar gelanggang dekat. Ini adalah cara untuk mendapatkan [[Himpunan perbedaan|keluarga perbedaan]] menggunakan orbit dari grup keautomorfan bebas titik tetap dari suatu grup. Clay dan lainnya telah memperluas gagasan ini ke konstruksi geometris yang lebih umum.

== Lihat pula ==
* [[Medan kepil (matematika)|Medan dekat (matematika)]]
* [[Semigelanggang]]
* [[Semigelanggang dekat]]

== Referensi ==

*

== Pranala luar ==
* The [http://www.algebra.uni-linz.ac.at/Nearrings/ Halaman Utama Gelanggang dekat] di [[Johannes Kepler Universität Linz]]

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Gelanggang+dekat&oldid=25112087 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 25112087 (2024-01-02T05:32:34Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.